第五章 函數(shù)應(yīng)用 章末測試（含解析）-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊

第五章函數(shù)應(yīng)用章末測試學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知函數(shù)f(x)=，g(x)=kx2，若方程f(x)=g(x)有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A．(∞,1) B．(1,0) C．(0,4) D．(0,1)∪(1,4)2．已知函數(shù)當(dāng)時，方程的根的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．33．已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，則正數(shù)的所有可取的值的集合為（

）A． B． C． D．4．已知定義在上的偶函數(shù),，且當(dāng)時，，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù).當(dāng)時，，若關(guān)于的方程，有且只有個不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬.專家發(fā)現(xiàn)兩歲燕子的飛行速度v（單位：）可以表示為，其中Q表示燕子耗氧量的單位數(shù).某只兩歲燕子耗氧量的單位數(shù)為時的飛行速度為，耗氧量的單位數(shù)為時的飛行速度為，若，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題7．若函數(shù)y＝(ax－1)(x＋2)的唯一零點(diǎn)為－2，則實(shí)數(shù)a可取值為(

)A．－2 B．0 C． D．－8．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則下列說法中正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．f(2023)+f(2024)=0C．是函數(shù)的一個周期D．方程f(x)=|lnx|恰有三、填空題9．設(shè)方程的兩根為，，其中，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.10．已知函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，用二分法求零點(diǎn)的近似值（精確度為0.1時，至少需要進(jìn)行次函數(shù)值的計(jì)算.11．已知函數(shù)，若方程有四個不同的解，且，的取值范圍是..12．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為四、解答題13．全國新舊動能轉(zhuǎn)換的先行區(qū)濟(jì)南市將以“結(jié)構(gòu)優(yōu)化·質(zhì)量提升”為目標(biāo)，通過開放平臺匯聚創(chuàng)新要素，堅(jiān)持綠色循環(huán)保障持續(xù)發(fā)展，建設(shè)現(xiàn)代綠色智慧新城.某創(chuàng)新科技公司為了響應(yīng)市政府的號召，決定研發(fā)并生產(chǎn)某種新型的工業(yè)機(jī)器人，經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)機(jī)器人需投入年固定成本為100萬元，每生產(chǎn)x個，需另投入流動成本為萬元，在年產(chǎn)量不足80個時，（萬元）；在年產(chǎn)量不小于80個時，（萬元）.每個工業(yè)機(jī)器人售價為6萬元.通過市場分析，生產(chǎn)的機(jī)器人當(dāng)年可以全部售完．(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（個）的函數(shù)解析式；（注：年利潤=年銷售收入?固定成本?流動成本）(2)年產(chǎn)量為多少個時，工業(yè)機(jī)器人生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？14．學(xué)校鼓勵學(xué)生課余時間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時間有60分鐘，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分與當(dāng)天鍛煉時間（單位：分）的函數(shù)關(guān)系．要求及圖示如下：①函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；③每天運(yùn)動時間為0分鐘時，當(dāng)天得分為0分；④每天運(yùn)動時間為20分鐘時，當(dāng)天得分為2分；⑤每天運(yùn)動時間為60分鐘時，當(dāng)天得分不超過5分．現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）．(1)請你根據(jù)條件及圖像從中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出函數(shù)的解析式；(2)求每天得分不少于3分，至少需要鍛煉多少分鐘．（注：，結(jié)果保留整數(shù)）．15．已知，關(guān)于的函數(shù)，集合，.（1）若，求、的值；（2）若，且，求集合.16．FISS足球世界杯是很受全球高中生歡迎的足球賽事，中國成功獲得國際中體聯(lián)足球世界杯2024，2026，2028年主辦權(quán)，經(jīng)過大連市的積極申辦，教育部正式推薦，大連最終成為2024年國際中體聯(lián)足球世界杯承辦地．籌備期間組委會委托A工廠生產(chǎn)某種紀(jì)念品，生產(chǎn)該紀(jì)念品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本為萬元，在年產(chǎn)量不足9萬件時，（萬元），在年產(chǎn)量不小于9萬件時，（萬元），每件紀(jì)念品售價為10元，通過市場分析，此紀(jì)念品當(dāng)年能全部售完．(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本）(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，該工廠在這一紀(jì)念品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？參考答案：題號12345678答案DDCBCDBDACD1．D【解析】畫出f(x)，g(x)的圖像，f(x)=g(x)有兩個不同的實(shí)數(shù)根即圖象有兩個交點(diǎn)，討論0<k<1、k=1、1<k<4、k≤0時的交點(diǎn)情況即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】f(x)==分別畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖像如圖所示，由圖像可以看出，g(x)=kx2的圖像恒過A(0,2)，設(shè)B(1,2)，則直線AB的斜率為4，①當(dāng)0<k<1時，函數(shù)f(x)，g(x)的圖像有兩個交點(diǎn)，即方程f(x)=g(x)有兩個不同的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)k=1時，函數(shù)f(x)，g(x)的圖像有一個交點(diǎn)，即方程f(x)=g(x)有一個實(shí)數(shù)根；③當(dāng)1<k<4時，函數(shù)f(x)，g(x)的圖像有兩個交點(diǎn)，即方程f(x)=g(x)有兩個不同的實(shí)數(shù)根；④當(dāng)k≤0時，函數(shù)f(x)，g(x)的圖像有一個交點(diǎn)，即方程f(x)=g(x)有一個實(shí)數(shù)根.綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是0<k<1或1<k<4.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，由f(x)=g(x)有兩個不同的實(shí)數(shù)根等價于函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)時k的取值.1、刻畫含絕對值的函數(shù)圖象，以及過定點(diǎn)的函數(shù)圖象.2、分類討論k的取值，判斷函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況.2．D【分析】結(jié)合分段函數(shù)、周期函數(shù)和函數(shù)零點(diǎn)的含義結(jié)合兩個函數(shù)圖像求解.【詳解】當(dāng)時，即則的周期為畫出函數(shù)的圖像，令則又因?yàn)閯t由圖可知方程的根的個數(shù)即為兩個函數(shù)圖像交點(diǎn)的個數(shù)，由圖像可知，當(dāng)時，存在一個零點(diǎn)，因?yàn)闀r，當(dāng)時，則在兩函數(shù)存在一個零點(diǎn)，當(dāng)時，則在兩函數(shù)存在一個零點(diǎn)，當(dāng)時，則在兩函數(shù)存在一個零點(diǎn)，當(dāng)時，恒成立，則兩函數(shù)無零點(diǎn).綜上所述，兩函數(shù)有三個零點(diǎn).故選：D.3．C【分析】考慮函數(shù)在區(qū)間上有一個零點(diǎn)、有兩個零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布分別求解出的取值范圍，即可求解出正數(shù)的所有取值的集合.【詳解】當(dāng)在實(shí)數(shù)集上僅有一個零點(diǎn)，，所以，此時零點(diǎn)，所以滿足；當(dāng)在實(shí)數(shù)集上有兩個零點(diǎn)，有一個零點(diǎn)在上時，，所以，所以；當(dāng)在上有兩個零點(diǎn)時，對稱軸為，所以，解得，所以.綜上所述：正數(shù)的所有取值的集合為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的零點(diǎn)分布以及零點(diǎn)的存在性定理的運(yùn)用，難度一般.定義在區(qū)間上的，若有則在區(qū)間上一定有零點(diǎn)；反之，若在區(qū)間上有零點(diǎn)則不一定有.4．B【分析】根據(jù)題目，判斷出在(0,+∞)上的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，判斷在(0,+∞)的零點(diǎn)個數(shù)，最后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，推出結(jié)果．【詳解】由題意知，當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)都是增函數(shù)，所以為增函數(shù)，所以在(0,+∞)至多有一個零點(diǎn)．又因?yàn)楫?dāng)時，，當(dāng)時，．根據(jù)零點(diǎn)判定定理，在(0,+∞)有且僅有一個零點(diǎn)，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，圖像關(guān)于軸對稱，所以在上也存在一個零點(diǎn)．綜上所述，共有2個零點(diǎn)，故答案選B．【點(diǎn)睛】本題是涉及函數(shù)相關(guān)知識的綜合題，既考查了判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，偶函數(shù)的性質(zhì)，也考查了函數(shù)的零點(diǎn)判定定理．5．C【解析】設(shè)，則方程必有兩根，作出函數(shù)的圖象，可得出，，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由于關(guān)于的方程，有且只有個不同實(shí)數(shù)根，則關(guān)于的二次方程必有兩根，其中，且，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)，涉及復(fù)合型二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，解決此類問題一般將函數(shù)分為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)來分析，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.6．D【分析】利用公式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以所以，故選：D7．BD【分析】y＝(ax－1)(x＋2)有唯一零點(diǎn)－2等價于方程(ax－1)(x＋2)＝0有唯一解x＝－2，據(jù)此即可求出a的取值.【詳解】由題可知ax－1≠0或ax－1＝0的解為x＝－2，故a＝0或a＝.故選：BD.8．ACD【分析】令，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的對稱性判斷A，推導(dǎo)出的周期，即可判斷C，根據(jù)周期性與對稱性，作出，的圖象與的圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷D.【詳解】對于A：令，則是偶函數(shù)，即，即，所以關(guān)于對稱，故A正確；對于C：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，則，因?yàn)?，所以f2+x=f即fx+4=-fx+2=--f顯然f8+x=f4+x=fx，則也是函數(shù)對于B：因?yàn)?，，所以f2023=f3所以f2023+f2024對于D：因?yàn)?，，且關(guān)于直線對稱，根據(jù)對稱性可以作出上的圖象，又fx+4=fx=-f-x，可知又的周期，作出，的圖象與的圖象，又f9=f1=2，9>如圖所示：所以與有4個交點(diǎn)，故D正確，故選：ACD．9．【解析】由題意利用韋達(dá)定理，不等式的性質(zhì)，求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：方程的兩根，，其中，故，即，解得或，令①，解得；②解得綜上可得故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)根的分布問題，屬于中檔題.10．4【分析】根據(jù)二分法求零點(diǎn)的方法，計(jì)算一次，區(qū)間精度變?yōu)樯弦淮蔚?，根?jù)精度要求即可求解.【詳解】設(shè)對區(qū)間二等分次，初始區(qū)間長度為1，第1次計(jì)算后區(qū)間長度為；第2次計(jì)算后區(qū)間長度為；第3次計(jì)算后區(qū)間長度為；第4次計(jì)算后區(qū)間長度為；故至少計(jì)算4次.故答案為：4.11．【分析】根據(jù)二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象作出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合及對勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】作函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，方程有四個不同的解，且，需滿足，則由二次函數(shù)的對稱性可知，，由對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，，，，則，，∴，而函數(shù)在遞減，上遞增，當(dāng)時，，當(dāng)或4時，，故其取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)求參問題通常利用數(shù)形結(jié)合思想，及常用結(jié)論：對于方程有兩根，且該兩根之積為定值1，化簡，再根據(jù)參數(shù)范圍及對勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.12．【分析】令，根據(jù)題設(shè)條件探求出方程有4個互不相同的實(shí)根，再借助一元二次方程實(shí)根分布即可作答.【詳解】當(dāng)時，的圖象是圖象右移1個單位并去掉y軸及左側(cè)的部分，當(dāng)時，的圖象是拋物線去掉y軸右側(cè)的部分，如圖，

令，原方程化為：，令，觀察圖象知，直線與的圖象最多有4個公共點(diǎn)，即關(guān)于的方程最多4個根，而關(guān)于的方程有個不相等的實(shí)數(shù)根，則關(guān)于的方程有4個根，，并且關(guān)于t的方程在上有兩個不等實(shí)根，于是得：，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：13．(1)(2)年產(chǎn)量為85個時，工業(yè)機(jī)器人生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤是25萬元【分析】小問1：分段討論求解即可；小問2：當(dāng)時，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解最值；當(dāng)時，結(jié)合基本不等式求解最值．【詳解】（1）因?yàn)槊總€工業(yè)機(jī)器人售價為6萬元，則x個工業(yè)機(jī)器人的銷售收入為6x萬元，依題意得：當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴（2）當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，取得最大值20；當(dāng)時，，此時，當(dāng)即時，取得最大值25；∵，∴年產(chǎn)量為85個時，工業(yè)機(jī)器人生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤是25萬元．14．(1)選項(xiàng)模型（Ⅲ），(2)37分鐘【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)與指對數(shù)函數(shù)的圖象判斷即可；（2）代入函數(shù)模型求解即可.【詳解】（1）由圖可知，該函數(shù)的增長速度較慢，對于模型（1），，為線性增長，不合題意；對于模型（2），是指數(shù)型的函數(shù)，其增長是先慢后爆炸型增長，不合適；對于模型（3），對數(shù)型的函數(shù)增長速度較慢，符合題意，故選項(xiàng)模型（3），此時，所求函數(shù)過點(diǎn)，則，解得，故所求函數(shù)為，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，，符合題意綜上所述，函數(shù)的解析式為（2）由（1）得，因?yàn)槊刻斓梅植簧儆?分，所以，即，所以，即，所以每天得分不少于3分，至少需要鍛煉37分鐘15．（1），；（2），；，；，；，.【分析】（1）等價于有兩個相等的實(shí)根，解且即得解；（2）先化簡兩個集合的方程，由題得兩方程同解，再對分類討論得解.【詳解】（1）由題得有兩個相等的實(shí)根，所以有兩個相等的實(shí)根，所以且，解之得，.（2）當(dāng)b=0時，關(guān)于A的方程可以化為（1）關(guān)于B的方程可以化為，因式分解為

（2）由條件A=B可知，方程（1）和（2）同解，（1）當(dāng)時，兩方程為和，所以，所以;（2）當(dāng)時，兩方程為和，所以所以；（3）當(dāng)時，兩方程為和，所以所以；（4）當(dāng)時，兩方程為和，所以所以；（5）當(dāng)時，方程（2）中，，有兩個不同的解，此時方程（1）和（2）不同解，所以舍去.所以，；，；，；