第一章 三角函數(shù) 單元測試卷（含解析）-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版(2019)必修第二冊

第一章三角函數(shù)單元測試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”.如圖，是以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧，C是的中點(diǎn)，D在上，.“會圓術(shù)”給出后的弧長的近似值s的計(jì)算公式：，記實(shí)際弧長為l.當(dāng)，時，的值約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．0.01 B．0.05 C．0.13 D．0.532．已知半徑為的圓上，有一條弧的長是，則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)為（

）A．12 B．1.2 C．16 D．1.63．已知角的終邊經(jīng)過，則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增且在這個區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù)的一個值可以是（

）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)把的圖像向右平移個單位后，圖像恰好為函數(shù)的圖像，則的值可以是（

）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)，下列結(jié)論不成立的是（

）A． B．C．最小正周期是 D．二、多選題7．下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則下列說法正確的是（

）A． B．y=C．是對稱軸 D．此函數(shù)在上是增函數(shù)8．下列命題中，是真命題的有（

）A．“”是“關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)解”的必要不充分條件；B．“”是“”的既不充分也不必要條件；C．“”，是“”的充要條件D．“”是“”的充分不必要條件三、填空題9．寫出與的角終邊重合的所有角組成的集合．10．函數(shù)的定義域?yàn)?11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對任意的實(shí)數(shù)，滿足，且，，并且當(dāng)時，，①函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)在上單調(diào)遞增③函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)；④其中的真命題有．（寫出所有真命題的序號）12．（1）函數(shù)，的值域?yàn)椋唬?）函數(shù)的最大值是.四、解答題13．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若，，求的值.14．已知函數(shù)，．若對于給定的非零常數(shù)，存在非零常數(shù)，使得對于恒成立，則稱函數(shù)是上的“級類周期函數(shù)”，周期為．(1)已知是上的周期為1的“2級類周期函數(shù)”，且當(dāng)時，．求的值；(2)在（1）的條件下，若對任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)是否存在非零實(shí)數(shù)，使函數(shù)是上的周期為的級類周期函數(shù)，若存在，求出實(shí)數(shù)和的值，若不存在，說明理由．15．.(1)求；(2)將函數(shù)化為的形式，寫出其最小正周期并求函數(shù)在區(qū)間上的值域.16．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3).參考答案：題號12345678答案BBACADBDABD1．B【分析】根據(jù)題意求出與的值，代入弧長公式和求出和即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，在上，，所以延長可得在上，，所以，，所以.故選：B2．B【分析】根據(jù)給定條件，利用弧長公式計(jì)算即得.【詳解】半徑為的圓上，弧長為的圓弧所對的圓心角的弧度數(shù)為.故選：B3．A【分析】根據(jù)正余弦的定義分別求解的正余弦，再求解即可【詳解】由題意，故選：A4．C【分析】代入得到，解出即可.【詳解】∵在上單調(diào)遞增且在這個區(qū)間上的最大值為，，依題意知，，，故選：C．5．A【分析】利用倍角公式、輔助角公式以及圖像的平移變換，再結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解.【詳解】由于函數(shù)，函數(shù)，由于將的圖像向右平移m個單位長度，即可得到的圖像，可得：，可得：，或，解得：．則m的值可以是．故B，C，D錯誤.故選：A．6．D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可逐一求解.【詳解】對于A,，故正確，對于B，，故B正確，對于C,正弦函數(shù)的周期為，故C正確，對于D,由于在上為增函數(shù)，,故錯誤，故選：D.7．BD【分析】由圖象可求得最小正周期，由周期公式即可求得的值，從而判斷選項(xiàng)；將點(diǎn)代入，可求得的值，從而可判斷選項(xiàng)；將代入解析式求得值，判斷是否為最值即可判斷選項(xiàng)；求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可判斷選項(xiàng)．【詳解】解：由圖象可知，又，所以，故錯誤；當(dāng)時，，將點(diǎn)代入，可得，所以，，解得，，此時，當(dāng)時，，將點(diǎn)代入，可得，所以，，解得，，此時，綜上可得，故正確；當(dāng)時，，不是最值，故不是對稱軸；，令，，解得，，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，取時，函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以此函數(shù)在上是增函數(shù)，故正確．故選：．8．ABD【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】對于A，關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)解，則，解得且，因此“”是“關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)解”的必要不充分條件，A正確；對于B，，而，即“”不是“”的充分條件，反之，，而，即“”不是“”的必要條件，因此“”是“”的既不充分也不必要條件，B正確；對于C，由，得或，因此“”不是“”的充要條件，C錯誤；對于D，，而，取，無意義，因此“”是“”的充分不必要條件，D正確.故選：ABD9．【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義求解即可．【詳解】與的角終邊重合的所有角組成的集合為．故答案為：．10．【分析】根據(jù)給定條件，列出不等式，解正弦不等式即可作答.【詳解】依題意，，即，解得，所以所求定義域?yàn)?故答案為：11．①②③【分析】利用賦值法，令，即可判斷①，根據(jù)單調(diào)性的定義以及奇函數(shù)即可判斷②，根據(jù)周期函數(shù)的定義以及奇函數(shù)即可對③作出判斷，由函數(shù)的周期性以及奇函數(shù)即可求解④.【詳解】令，可得，，函數(shù)是奇函數(shù)，故①正確；設(shè)，則當(dāng)時，，，因?yàn)?，所?故,，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故②正確；，可得，函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，故③正確；④由③知的周期為2，所以，故④不正確．故答案為：①②③12．【分析】（1）由的范圍可得的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)可求得結(jié)果；（2）令，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)最大值的求解問題，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，即的值域?yàn)?；?），；令，則，，則當(dāng)時，，即的最大值為.故答案為：；.13．(1)最大值為2，最小值為.(2)【分析】（1）由二倍角公式、兩角和的正弦展開式得，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與范圍可得答案；（2）由得，利用平方關(guān)系得到，再利用展開可得答案.【詳解】（1）由得，因?yàn)?，則，故當(dāng)時，取最大值2；當(dāng)時，取最小值；所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為.（2）由（1）可知，又因?yàn)?，所以，由，得，從而，所?14．(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）根據(jù)題意得到，代入求解即可；（2）畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）由題意得到，分或，兩種情況，得到對應(yīng)的值.【詳解】（1），且當(dāng)時，，故；（2），當(dāng)時，，……，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，……，畫出的圖象如下：設(shè)當(dāng)時，，即，解得或，因?yàn)?，所以，對任意，都有，故故?shí)數(shù)的取值范圍是，（3）假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)，使函數(shù)是上的周期為的級類周期函數(shù)，即，，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，而，故，解得或，?dāng)時，，故，當(dāng)時，，故，綜上，或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)新定義問題，命題新穎，且存在知識點(diǎn)交叉，常常會和函數(shù)的性質(zhì)，包括奇偶性，單調(diào)性，值域等進(jìn)行結(jié)合，很好的考慮了知識遷移，綜合運(yùn)用能力，對于此類問題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進(jìn)行解決.15．(1)(2),最小正周期為，值域?yàn)椤痉治觥浚?）直接根據(jù)的解析式求值即可；（2）根據(jù)兩角和與差的正弦公式、二倍角的余弦公式化簡，由正弦函數(shù)的最小正周期公式求出最小正周期，由正弦函數(shù)的圖象求出值域.【詳解】（1）.（2）所以的最小正周期，由于，，，所以，，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?16．(1)偶函數(shù)(2)奇函數(shù)(3)非奇非偶函