數(shù)學物理方法(第3版)課件：用分離變量法求解偏微分方程

用分離變量法求解偏微分方程偏微分方程的求解是數(shù)學物理方法的重要內(nèi)容之一。作為有關(guān)偏微分方程內(nèi)容的首章，本章中引入了偏微分方程的初步概念和基本知識；分析了幾個典型的用疊加定理和特征函數(shù)展開法求解非齊次定解問題。本章的內(nèi)容是偏微分方程解法的基本內(nèi)容，是學好以后各章的基礎(chǔ)。2

用分離變量法求解偏微分方程§

4.1

數(shù)學物理方程的導出§

4.2

定解問題的基本概念

§

4.3

直角坐標系下的分離變量法

§

4.4

直角坐標系下的第三類邊值問題與廣義傅里葉級數(shù)

§

4.5

拉普拉斯方程的定解問題

§

4.6

特征函數(shù)展開法解齊次邊界條件的定解問題

§

4.7

非齊次邊界條件的處理34.1

數(shù)學物理方程的導出工程問題的求解有三個步驟：首先應(yīng)用物理學、化學知識將物理問題歸納為數(shù)學模型，導出與之相適應(yīng)的偏微分方程，或者方程組；其次是給出物理模型在具體發(fā)生的空間與時間內(nèi)的約

束條件，數(shù)學上就是偏微分方程的邊界條件和初始條件，使反映某一類現(xiàn)象普遍規(guī)律的方程能適應(yīng)特定的具體情況；最后，求解得到的方程或方程組，證明解的合理性并且做出物理解釋。44.1

數(shù)學物理方程的導出例4.1一根質(zhì)量均勻長為l

的弦，兩端固定在x

軸上，弦恰好在無任何形變狀態(tài)，然后在弦上加一個力，使弦上各質(zhì)量點產(chǎn)生一個速度分布，各點的速度都是v0，立即取消作用力后，弦開始振動。若振動始終在彈性限度內(nèi)，且弦上各點只沿垂直于x

軸方向振動，稱弦做橫振動。求：(1)不考慮質(zhì)量的輕弦和有質(zhì)量的重弦的橫振動問題；(2)若用一個剛性偏平小槌打擊上任一點x0處，然后立即停

止槌擊，弦上只有x0處有一個速度v0，求輕弦的橫振動問題。5解(1)在題設(shè)的條件下，弦上各點在張力T

和重力mg的合力作用下做縱向加速運動。設(shè)弦的質(zhì)量的密度為p，振動時產(chǎn)生的縱向位移為u

，取一個微元弦s

，它的受力如圖4.1所示。在振動中，弦的縱向位移遵守牛頓第二定律，微元弦的質(zhì)量m

=pg

s，4.1

數(shù)學物理方程的導出圖

4.1

微元弦的受力圖'

'

6'4.1

數(shù)學物理方程的導出

m

的加速度a

=

，根據(jù)牛頓第二定律F

=ma

,可以寫出弦的運動方程是T

sin

T

sin

pg

s

=p

s

(1)現(xiàn)在求解張力T

，微元s

和sin

的表達式。由于弦只做縱向加速運動，沿x

方向沒有加速運動，所以有T

cos

T

cos

=0又因為弦振動位移很小，則有=0，cos=cos=1。因此得到T

=T

(2)74.1

數(shù)學物理方程的導出在a為小量時，根據(jù)三角函數(shù)和弧微元的關(guān)系，可以寫出sin

a

=

~

tan

a

=

(3)sin

a，~

tan

a，

編x,

t

)

(4)編s

=

編x

~

編x

(5)式(2)，(3)，(4)和(5)代入式(1)后，可以得到「

?u

(x

+

dx,

t

)

?u

(x,

t

)]

?2

u

(x,

t

)T

|L

?x

-

?x

」|

-

pg編x

=

p編x

?t2

(6)84.1

數(shù)學物理方程的導出因為

=a2

-g

(

t>0,0<x<l)

(4.1-1)T

?2up

?x2令a2

=

T

，上式可以寫成p式(6)兩端同除以p編x，再將式(7)代入式(6)，兩邊取極限并且整理式子，可得到?u

(x

+

編x

,

t

)

?u

(x

,

t

)lim

?x

-?x

=

?

u

(x,

t

)22編x)

0

編x

?x2(7)?2u+g2?t=94.1

數(shù)學物理方程的導出式子(4.1-1)是一個由偏導數(shù)組成的方程，偏導數(shù)的最高階數(shù)為二階，所以稱為二階偏微分方程。它反映了在t

>

0時，0<x

<l區(qū)域內(nèi)弦的橫振動規(guī)律，稱為弦振動方程。方程右邊的g

反映了外界的作用力影響。設(shè)重力G

=mg,則有g(shù)

=

G

，所以g

是單位質(zhì)量受重力的大小，對于質(zhì)量不計的輕m弦，弦不受重力作用，單位質(zhì)量所受的重力為零，因此g

=0。這樣，輕弦的振動方程是

=

a2

，

(t

>

0,0

<

x

<

l

)

(4.1-2)104.1

數(shù)學物理方程的導出式(4.1-1)和(4.1-2)只反映了t

>0,0<x

<l的弦振動規(guī)律，但是弦在振動過程中的位移會受到邊界的約束，因此兩式都不能完全反映某一個瞬間弦的振動，還要列出在t

>0

后邊界處弦的位移，這個邊界位移稱為弦振動的邊界條件。在本題中，邊界有兩個端點，而這兩個端點在t

>0后是固定不動的，

所以位移為零，故有(|u

(x,

t

)〈|u

(x,

t

)(t

>0)

(t

>0)=0=0

x=l(4.1-3)x=0114.1

數(shù)學物理方程的導出進一步觀察方程(4.1-1)或(4.1-2)后，就可以看到方程中有對時間的導數(shù)項，這表明位移與時間有關(guān)，因此必須給出弦的二個初始條件。由題設(shè)條件可知，繩初始沒有縱向位移，故位移為零；但在初始有一個初速度v0

，因此得到(0<x

<l

)(4.1-4)(0<x

<l

)u

(x

,

t

)

t

=

0

=

0

,

=

v

0t

=0(0<x

<l

)(|

u

(

x

,

t

)

t

=

0

=

0〈

?

u

(x

,

t

)綜合式(4.1-2)、(4.1-3)和上式，得到輕弦振動規(guī)律是u

(x

,

t

)x=

0

=

0

,

u

(x

,

t

)x=

l

=

0?2

u

2

?

2

u

(x

,

t

)?t

2

?x

2(t

>0,0<x

<

l

)|

=

v

0l

?

t

t

=

0(4.1-5)(t

>0)=a

，(

|||〈|12||l而考慮了重力作用的弦振動規(guī)律是

)

_g)

u

(x,t

)t

=0

=0,=v0

(0<x

<l

)0=tt=0,,t,t,|〈〈|t=4.1

數(shù)學物理方程的導出13(2)問題(2)的弦橫振動方程和邊界條件與問題(1)

相同，只是初始的條件有些差別。初始位移仍然為零，但是初始有一個沖激力位于x0

處，該處弦有一個初始速度，故此處的初速度應(yīng)當是v

(x0

)=v06(x

-x0

)。所以初始條件是(|

u

(x,

t

)t=0

=

0〈|

?u

=

v06(x

-

x0

)l?t

t=0

輕弦的橫振動問題是4.1

數(shù)學物理方程的導出14

)

，

0(

x)

<

l

)

u

(x,t

)t

=0

=0,=v0

6(x

-x0

),(0

<x

<l

)式(4.1-7)在改變了初始條件后，它的解與式(4.1-4)的

解有很大差別。0=tt=0〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈,7)-1.(4t

),,〈t=4.1

數(shù)學物理方程的導出15例4.2導線很長時，或者高頻信號在導線中傳播時，導線本身

的損耗電阻，導線因電磁感應(yīng)的電感，相鄰導線形成的寄生電容，會產(chǎn)生長線效應(yīng)，使導線看起來像一個RLC電路。這樣的導線稱為傳輸線。圖4.2是一個無窮長的傳輸線和傳輸線的微元示意圖，圖中的R,G,C

和L分別是單位長度損耗電阻、損耗電

導、寄生電容和寄生電感。試推導長線上電壓、電流應(yīng)當滿足的偏微分方程。若t

=0時，一個電壓E

加在輸入端，求電路中任意點的電流電壓值。4.1

數(shù)學物理方程的導出16L

x

i+

i

NC

x

G

x4.1

數(shù)學物理方程的導出圖

4.2

(a)無窮長的傳輸線；(b)傳輸線的微元等效電路

x

(b)u+

uM

iE(t)R

x(a)17x4.1

數(shù)學物理方程的導出di一

lim

編u

=

Ri

+L

?i解

設(shè)電壓為u

，電流為i

。電感的電壓uL

=

L

dt

，電容的電流是

ic

=

C

。根據(jù)基爾霍夫電壓定律和圖4.2(b)可寫出方程如下：u

一(u

+編u)=R編x.i

+L編x

.

上式兩邊同除以編x

，然后取極限，得到?u

(Ri

L

?i

)?x

=

一

|\

+

?t

)|編x)0

編x

?t(1)184.1

數(shù)學物理方程的導出根據(jù)基爾霍夫電流定律，可以寫出流入MN

的電流方程是i

+

-

(i

+

Ai)=

CAx

+

GAxu用得到式(1)的方法去處理上式，可以得到

=

-

C

+

Gu

))|

(2)由式(1)和式(2)，可以寫出微分方程組是〈

LC(4.1-8)(4.1-9)194.1

數(shù)學物理方程的導出在式(4.1-8)兩邊乘L

后對t

求導，在式(4.1-9)兩邊對x

求導，得到〈

i

將上兩式相減，再把式(4.1-8)代入整理，得到

+

+

))|

-

+

u

=

0

(t

>

0,0

<

x

<w)(4.1-10)L0=xL+LL+axata2iLCaaL204.1

數(shù)學物理方程的導出同理得到

++))|

-+i

=0(t

>0,0<x

<w)(4.1-11)式(4.1-10)和式(4.1-11)就是所求的方程。無耗線是指損耗為零，故R

=G

=0，從式(4.1-10)和(4.1-11)可以得到無耗線方程是(?2u

1

?2u〈|

2

i

lllt22ttl?x2?2i?x2CCL1L???(t

>0,0<x

<w)(t

>0,0<x

<w)214.1

數(shù)學物理方程的導出當電壓在t

>0加在x

=0的兩端后，對方程組形成邊界條件和初始條件。先求邊界條件，在t

>0后，x

=0處有外加電壓為E(t

)，故有u

(x,t

)x=0

=E

(t

)另一個邊界條件要從物理學的角度去考慮。由于所加的電壓為有限值，所以在x

處，電壓u

(,t

)也應(yīng)當是有限值，記作u

(,t

)

<224.1

數(shù)學物理方程的導出再求初始條件。在t

=0時，雖然有外加電壓，但由于電容上電壓不能突變，所以電路各節(jié)點處電壓仍保持原先不帶電的狀態(tài)：電壓為零。從而u

(x,

t

)t=0

=

0另一個初始條件可從式(4.1-8)導出。由于G

=0，所以t

=0時，可得?i

+

C

?u

=

0注意到圖4.2(b)中，電流是流過電感的電流，而電感中電流不能突變，所以t

=0時有

=0，故有?u

?iC

?t

t=0

=

?x

t=0

=

0?x

t=0

?t

t=023〈

u

x,

t

)

(t)

,

u

(w,

t

)

<

w

,

(t

>

0)

u

(x,t

)t=0

=0,0(0<x

<

w)||||||||||||||||??|Ex(t對于電流也有類似的表達式，只要將式(4.1-12b)中的u

(x,t

)替換成i

(x,t

)即可，這里不再重復(fù)。綜合前面推導結(jié)果，可以求出無耗線的電壓變化規(guī)律是下面

偏微分方程的解：(|?

?

(t

>

0,0

<

x

<

w)4.1

數(shù)學物理方程的導出(4.1-12b)(4.1-12c)(4.1-12a)244.1

數(shù)學物理方程的導出自然界中很多物理現(xiàn)象的領(lǐng)域雖然不同，但是抽象出來的數(shù)理方程卻是相同的。兩種現(xiàn)象：一個是力學的振動現(xiàn)象；另一個是電學中的伏安特性。但是它們的偏微分方程相同，只是邊界條件和初始條件不同。像這樣的典型方程還可以列舉出來很多。有很多描寫各種不同物理規(guī)律的經(jīng)典方程，例如：

u

=

e

2u

=0

2u

+入u

=0

2u

+V

(r

)

=Eu泊松方程：拉普拉斯方程：赫姆維茲方程：薛定諤方程：(4.1-14)(4.1-15)

(4.1-16)(4.1-17)2

p254.1

數(shù)學物理方程的導出式中

=

?x2+

?y2+

?z2

。上面這些不帶邊界條件和初始條件的偏微分方程反映了一些常見的物理定律，例如弦振動方程反映了牛頓運動規(guī)律，傳

輸線方程反映了基爾霍夫電流和電壓定律，它們描寫了一個個

物理過程，稱為泛定方程。若再加上邊界條件和初始條件就能求出這個物理過程在特定情況下的解，因此稱邊界條件和初始條件為定解條件。定解條件和泛定方程構(gòu)成的特定問題稱為定解問題。 22

?2

?2

?2

26§4.2.1

泛定方程的基本概念

§4.2.2

定解條件

§4.2.3

線性偏微分方程解的疊加定理4.2

定解問題的基本概念274.2.1

泛定方程的基本概念偏微分方程的階：一個偏微分方程所含偏導數(shù)的最高階數(shù)，稱

為偏微分方程的階。例如?3u

?2u

?u是三階偏微分方程。而稱是二階偏微分方程。式(4.2-1)

中只含自變量的項f

(x,y,t

)是自由項；自由項是零的方程，稱為齊次方程，否則稱為非齊次

方程。

=

a2

+

b2

+

f

(x,

y,

t

)++=0?x3

?y2

?z(4.2-1)28?u

?2u稱式(4.2-2)是線性方程，式(4.2-3)是非線性方程。線性方程與非線性方程

一個偏微分方程對于未知函數(shù)及其偏導數(shù)都是一次的，稱為線性方程。否則，稱為非線性方程。例如u

+=0

(4.2-3)4.2.1

泛定方程的基本概念?u

2

?2u=

a?t

?x2(4.2-2)?x

?x2294.2.1

泛定方程的基本概念怎樣確定偏微分方程的解呢？某個函數(shù)代入偏微分方程后，方程成為恒等式，此函數(shù)

就是方程的一個解。現(xiàn)在來看一看方程?

+

?

0解的情況。將函數(shù)u1

(x,

y

)

=

(x,

y

)

(x0

,

y0

)222uu2

(x,y

)=ln

(x

x0

)2

+(y

y0

)2

(x,y

)(x0

,y0

)u3

(x,y

)=x2

y2?x

?y30代入偏微分方程中，可以看到方程都是恒等式，因

此上述三個函數(shù)都是方程的解。一般地說，若對偏微分方程不提定解條件，它的解有無窮多個。有些偏微分方程通解是存在的，但是它們常常仍然是未知函數(shù)的形式。4.2.1

泛定方程的基本概念例4.3例4.4314.2.2

定解條件定解條件有兩大類：一類是初始條件；另一類就是邊界條件。

在4.1中，已經(jīng)討論過了如何在物理問題中確定定解條件，下面系統(tǒng)地介紹定解條件提法和分類。初始條件初始條件是指物理過程發(fā)生的初始狀態(tài)，包括初值、對時間導數(shù)的初值等。例如u

(x,t

)t=0

=x,(<x

<)

=

x2

,

(<

x

<

)如果定解條件中只有初始條件，稱這一類定解問題是初值問題。邊界條件泛定方程代表的物理規(guī)律發(fā)生在空間區(qū)域中，區(qū)域界面的狀態(tài)對

物理運動會產(chǎn)生約束，從而形成邊界條件。邊界條件有以下幾類。=032t4.2.2

定解條件(1)第一類邊界條件。第一類邊界條件直接給出了偏微分方程解函數(shù)在邊界S

上的值。即邊界條件的形式是u

(,t

)=S

=0(S,t

)

(4.2-4)式中的為空間坐標矢量。例4.1的邊界條件就是第一類邊界條件。又如下面的定解問題(|條2u

(x,

y,

z

)=

0

,

(0

<

x

<

a

,

0

<

y

<

b,0

<

z

<

c

)是第一類邊界條件的定解問題，或者稱為狄利克萊問題。第一類邊界條件又稱為固定邊界條件。r一r一r一|u

x=0

=u

x=a

=u0

,(0<y

<b,0<z

<c

)〈

u

y=0

=

u

y=b

=

0

,

(0

<

x

<

a

,0

<

z

<

c

)||||||||||||||||||||||||||22|lu

z=0

=u

z=c

=x

y,(0<x

<a,0<y

<

b

)33式中n

是界面的法向量。例如，球內(nèi)的定解問題V2u

(x,

y,

z

)

=

0

,

(r

=

<

R)〈|

?u

=Q|l

?r

tr

=R式中?u

是第二類邊界條件，這一類定解問題又稱為諾依00(2)第二類邊界條件。這一類邊界條件直接給出了解函數(shù)在

界面的梯度值。它的表達形式是4.2.2

定解條件

=f

(S,t

)?r1r

=R曼問題。(4.2-5)=Q034S例如球內(nèi)的泊松方程可以有下列邊值問題：v2u

(x,

y,

z

)

=-

p(x,

y,

z

)

,

(

<

R

)

〈|

+

ou))|=

u0

,

u

(0)

<

w式中

+ou))|=u0

是第三類邊界條件。這一類問題又稱為洛平問題。R==Rr一llllllllllllllllllll=R=lr一(3)第三類邊界條件。這一類邊界值中既有邊界值，又有梯度值。它的表達式是u

+

h

))|

=

Q(S,

t

)SS4.2.2

定解條件(4.2-6)354.2.2

定解條件(4)銜接條件。系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生某種突變，被分成了若干個不同部分，例如兩個區(qū)域。由于兩個區(qū)域不是獨立的，因此不可能在兩個區(qū)域列出兩個獨立的定解問題，兩個區(qū)域

的界面處的邊界條件也不能獨立的列出。但是兩個區(qū)域的

解通過界面相聯(lián)系，所以在界面應(yīng)當有銜接條件。例4.536Lxy

u

=〈(A

(x,

y

)

?

2

+

2B(x,

y

)

?

+

C

(x,

y

)

?

2

+

D

(x,

y

)

?

+E

(x,

y

)+

F

(x,

y

)卜u

(x,

y

)=

f

(x,

y

)J)22222222222222222222222222222222式中Lxy

是偏微分算子，是式(4.2-7)中大括號里面的表達式。對于(4.2-7)這樣的方程，其解符合疊加原理。這里以二階兩變量線性偏微分方程為例來討論線性偏微分方程解的疊加定理。設(shè)有4.2.3

線性偏微分方程解的疊加定理l

?x

?x?y

?y

?x(4.2-7)374.2.3

線性偏微分方程解的疊加定理線性偏微分方程解的疊加定理

4.1

若ui

(x,y

)

是Lxy

ui

(x,y

)=fi

(x,y

)(i

=1,2,...)(4.2-8)w證由于對于級數(shù)能夠逐項微分兩次，所以偏微分算子L能夠與求

和號互換運算次序，因此有Lxyu

(x,

y

)=

ci

fi=1的解。xw=1其中ci

(i

=1,2,...)為任意常數(shù)，則u

(x,y

)一定是方程i的一個解，級數(shù)u

(x,y

)=xci

ui

(x,y

)收斂，并且能夠逐項微分兩次，Lxyu

(x,

y

)

=

Lxy

ci

ui

=

ci

Lxy

ui

=

ci

fi(4.2-9)[證畢]38i

=1i=1斂，可以逐項微分兩次，ci

ui

一定也是此方程Lxy

u

=0的解。

i推論

若ui

是齊次方程Lxy

ui

=

0的一個解，并且u

=

ci

ui

收4.2.3

線性偏微分方程解的疊加定理例4.6394.2.3

線性偏微分方程解的疊加定理解的適定性問題。所謂適定性就是指解的存在性、唯一性和

穩(wěn)定性。存在性是指定解問題的解是否一定存在；求出的解

是否唯一的，是解的唯一性；而解的穩(wěn)定性是指當定解條件

有微小變動時，解是否也只有微小的變動，如果確實如此，稱解是穩(wěn)定的。通常希望求出的解滿足存在、唯一和穩(wěn)定的

要求，也就是希望解是適定的。方程的解是否適定，牽涉到

更多的數(shù)學知識，同時這里討論的絕大部分定解問題是已經(jīng)

證明了它的解是適定的，因此以后除個別情況外，不再討論

方程解的適定性。另外，要注意并不是只有適定性的解才有意義，有時解

是不適定的，但是在一定的條件下仍然有物理意義，這樣的解仍然是有意義的。404.2.3

線性偏微分方程解的疊加定理例如方程

+

=

0上式的解是u

(x,y

)+c

，c

為任意常數(shù)，因此上面的定解問題解不是唯一的。但是，它的偏導數(shù)是唯一的，由偏導數(shù)組成的速度場分布并不受到解的適定性的影響，所以研究它的解對于解決流速這樣的問題仍有一定的意義。以上的討論雖然只是針對二階兩變量的偏微分方程，但是它的結(jié)論對于高階多變量線性偏微分方程也是成立的?！磡

au

|an

S

=

g41§4.3.1

一維齊次定解問題的分離變量法§4.3.2

高維齊次定解問題的分離變量法4.3

直角坐標系下的分離變量法42從線性偏微分方程解的疊加定理出發(fā)，可以得到求定解問題的思路：首先求出只滿足邊界條件下的所有解ui

，它的疊加和ci

ui

也一定是齊次方程的解，這樣就得到了一個既i滿足泛定方程和邊界條件，同時又含有足夠多待定常數(shù)的解

ci

ui

。再把疊加和代入初始條件，確定出ci

。最終的結(jié)果i既滿足泛定方程和邊界條件又滿足初始條件，所以是定解問題的解。完成這一求解思路的最簡單方法是分離變量法。4.3.1

一維齊次定解問題的分離變量法43

0(

)u

t

=0

=

0(x

)

,

=v

(x

)

,

(0

<

x

<

l

)

(4.3-3)0=tt=0tu??〈〈要先把偏微分方程化成常微分方程，常微分方程的解不含未知函數(shù)，就能進一步求解。4.3.1

一維齊次定解問題的分離變量法設(shè)有定解問題44解設(shè)式(4.3-1)有下列形式的特解u

(x,t

)=X

(x

)T

(t

)將式(4.3-4)代人(4.3-1)，得到的方程是X

(x

)T

(t

)=a2

X

(x

)T

(t

)

X

(x

)

T

(t

)

X

(x

)=

a2

T

(t

)設(shè)常數(shù)入

，因此得到X

(x

)

=

T

(t

)

=

入X

(x

)a2

T

(t

)4.3.1

一維齊次定解問題的分離變量法(4.3-4)(4.3-5)45邊界條件是齊次的，有X(0)T

(t

)=0，T

(t

)豐0，X

(0)=0。同理可得X(l

)=0。有上式可以化為兩個常微分方程：X,,(x

)-入X(x

)=0T,,(t

)-入a2

T

(t

)=0(|X,,(x

)-

入X(x

)

=

0〈|lX

(0)=0;X

(l

)=04.3.1

一維齊次定解問題的分離變量法(4.3-6)(4.3-7)(4.3-8)464.3.1

一維齊次定解問題的分離變量法可以分以下幾步求解式(4.3-8)：(1)入=0，方程是X

(x

)=0，通解是X

(x

)=Ax

+BX

(0)=0與X(l

)=0代人上式，得到A

=0；B

=0。由于微分方程不能是零解，所以入

0。(2)入>0，式(4.3-8)的解是X

(x)=Ae

入x

+Be

入xX

(0)=0和X(l

)代入上式，得到A

=B

=0。微分方程又只有零解，所以入不能大于零。474.3.1

一維齊次定解問題的分離變量法(3)入<0，設(shè)入=一b2

，方程(4.3-8)是

X,,(x)+b2

X

(x)=0方程的通解是X

(x

)=Acosbx

+B

sin

bx

(4.3-9)將邊界條件X(0)=0，X

(l

)=0代入上式得A

=0;Bsinbl

=0。

由于B

才0，因此有bl

=n幾

(n

=1,2,3...)。b與n

有關(guān)，記為bn

，則有bn

=

n

(n

=

1,2,3

…)(4.3-10.a)入=

一bn

2

=

一

n

(n

=

1,

2,3

…)(4.3-10.b)222幾l2l幾48稱bn2

是特征值，sin

x

是屬于特征值的特征函數(shù)。式(4.3-10.b)代人式(4.3-7)，得到方程和它的解分別是Tn”(t

)+Tn

(t

)=0Tn

(t

)=An

,

cos

n"a

t

+Bn

,

sin

n"a

t,(n

=1,2,3…)

(4.3-13)Xn

(x

)=

An

sin

bn

x

=

An

sin

x

,

(n

=

1,

2,3

…)bn

2

=

))|

(n

=

1,

2,3

…)224.3.1

一維齊次定解問題的分離變量法根據(jù)式(4.3-9)和式(4.3-10.a)可以寫出X(x

)的解是l

l(4.3-11)(4.3-12)494.3.1

一維齊次定解問題的分離變量法由于u

(x,t

)=X

(x

)T

(t

)，所以u

(x,t

)的任意一個解為un

(x,

t

)=

An

An，cos

t

+

An

Bn，sin

t))|sin

x記Cn

=An

A，n

，Dn

=Bn

B，n

，u

(x,t

)的任意一個解可以用下式表示

un

(x,

t

)=

Cn

cos

t

+

Dn

sin

t))|sin

x

(n

=

1,

2,3

…)(4.3-14)可以取定解問題的解是u

(x,

t

)=

un

(x,

t

)=

Cn

cos

t

+

Dn

sin

t))|sin

x

(4.3-15)504.3.1

一維齊次定解問題的分離變量法將式(4.3-15)代入合適的初始條件，定出Cn

和Dn

就得到了定解將0(x

)和v(x

)在所定義的區(qū)間[0,l

]上展開成正弦級數(shù)，再用待定系數(shù)法，可以得到u

(x,0)=

Cn

sin

x

=0(x

)

=

Dn

sin

x=v

(x

)0=tt=0Cn

=

j

0(x)sin

xdx

Dn

=

j

v

(x)sin

xdx0l0l式(4.3-15)代人式(4.3-3)后，得到方程(4.3-18.a)(4.3-18.b)(4.3-16)(4.3-17)問題的解。51根據(jù)以上結(jié)果，可寫出定解問題(4.3－1)~(4.3－3)的解是

u

(x,

t)

=

Cn

cos

t

+

Dn

sin

t

sin

x

l

ln"

2

l

"式(4.3－19)是不是定解問題的解？還是式(4.3－19)只有形式上的意義。對于定解問題的初始條件0(x

)和v(x

)加一定的條件，并證明式(4.3－19)的級數(shù)是所給出的定解問題的解的過程稱為綜合過程。對于綜合過程可以直接引用下面定理?！础础础础础础础础础础础础础?xdxxdxxdxldxdxsinsinsinn"n"tna"na"na"2lj0l2lj0lln"n""2〈nxjuxdxxdxjolj03－19).(4(4.3－19)4.3.1

一維齊次定解問題的分離變量法52定理

4.2

若在區(qū)間[0,l

]中，0(x)有連續(xù)三階導數(shù)，v

(x

)有連續(xù)二階導數(shù)，并且它們符合齊次邊界條件，則定解問題(4.3－1)、 (4.3－2)和(4.3－3)的解是存在的，并且可以用式(4.3－19)來表達。定理4.2給出的解稱為古典解。在應(yīng)用上，可以給一個更為近似的初始條件，即0(x

)和v(x

)是在[0,l]上可積且平方可積函數(shù)時，式(4.3－19)可以作為定解問題的解，這個解稱為廣義解。由于這里所介紹的定解問題都是經(jīng)典問題，或者都是已經(jīng)證明過解的適定性，今后對求出的解不再討論解的綜合過程。4.3.1

一維齊次定解問題的分離變量法534.3.1

一維齊次定解問題的分離變量法泛定方程略有差異的齊次定解問題，求解次序都相差不多，大致有以下幾點：(1)

設(shè)u

(x,t

)=X

(x

)T(t)，代入泛定方程進行分離變量，得到帶有齊次邊界條

件的常微分方程A(X,入)=0，和帶有時間變量t

的常微分方程B(T,入)=0；(2)

解A(X,入)=0，求出特征值入n和特征函數(shù)Xn

(x

)；(3)

將入=入n代入B(T,入)=0，求出該方程的通解Tn

(t

)；(4)

設(shè)所求的解是u

(x,t

)=Xn

(x

)Tn

(t

)，將其代入定解問題的初始條件中，

n求出

Xn

(x

)T

n

(t

)里的待定常數(shù)，所得到的結(jié)果就是所求的u

。n讀者應(yīng)當記住四個求解步驟，而不要去記每次解的結(jié)果。例4.7544.3.2

高維齊次定解問題的分離變量法高維齊次定解問題解法與一維類似，但是要用到多重傅立葉級數(shù)，下面是一個例子。例4.8求〈

,tt

,t,t

,(

b,a,

)0>yyx,(x,2ux2u)),

0xy0a試試a,,())(uuuc(1)(2)(3)(4)554.3.2

高維齊次定解問題的分離變量法解設(shè)u

(x,y,t

)的解為u

(x,y,t

)=X(x

)Y(y

)T(t

)將上式代入方程(1)，得到

=

+

=-入與一維情況相同，經(jīng)過討論可得入>0?？稍O(shè)入

=k

2

，于是有X,,

+

Y,,

=

-k2

；

=

-k2整理上面式子，有T,,+k2

c2

T

=

0X,,Y,,X

Y

=-

-k2

(5)X

Y

c

Tc2

T

X

YT,,X,,Y,,564.3.2

高維齊次定解問題的分離變量法若式(5)成立，兩邊都要等于一個小于零的常數(shù)，設(shè)它等于-山2，可以得到X,,+山2

X=0；Y,,+v2

Y=0其中v2

=k2

-山2

。整理上面推導結(jié)果，并且分離變量邊界條件(2)、(3)，得到X,,(x)+山2

X

(x)=0,X(0)=0,X(a)=0(6)Y,,(y

)+v2

Y(y

)=0,Y(0)=0,Y(b)=0(7)T,,(t

)+c2

k2

T

(t

)=0

(8)其中山、v

和k

滿足方程k2

=山2

+v2

。574.3.2

高維齊次定解問題的分離變量法求解方程(6)和(7)，得到

p=

pm

=

,

(m=1,2,3,…)vn

=

,

(n=1,2,3,…)

xm

(x)=

Am

sin

x,

(m=

1,2,3,…)Yn

(y)=

Bn

sin

y,

(n=1,2,3,…)〈

(x

x

si

3(

,

2,3,

…；n

=1,

2,3,

…)將上面的代入式(8)，可以解出3mk,,22〈〈58Tmn

(t

)=Dmn

cos入mnt

+Emn

sin入mnt其中

22m

n滿足定解問題的乘積解為umn

(x,

y,

t

)=

sin

m

x

sin

n

y

(Fmn

cos

入mnt

+

Gmn

sin

入mnt

)

|l入mn

=

c爪

(m

=1,

2,3,…；n

=1,

2,3,

…)

〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈(9)(9)〈b爪a爪4.3.2

高維齊次定解問題的分離變量法入=c爪

+

mn

a2

b2594.3.2

高維齊次定解問題的分離變量法適定解應(yīng)當是把式(9)的所有與m

和n

有關(guān)的特征函數(shù)疊加在一起，所以有u

(x,

y,

t

)=

(Fmn

cos

入mnt

+

Gmn

sin

入mnt

)sin

x

sin

y(10)根據(jù)?u

=0,可解出Gmn

=0；另一個常數(shù)應(yīng)當滿足下面方程Fmn

sin

x

sin

y

=

xy

+

1?t

t=0(11)60式(12)可以直接用二重積分進行驗證，即j

j0

sin

x

sin

y

.

sin

冗

x

sin

n

ydxdy

=

0,(m

士

m,,

n

士

n,)aab,冗am,bn冗am冗0b〈|lj

j0a

sin2

x

sin2

ydxdy

=

,(m

=

m,,

n

=

n,)

(13)(13)bn冗am冗0b上式是一個二重傅立葉級數(shù)，在0共x

共a,0共y

共b的矩形區(qū)域上，有正交函數(shù)系〈

sin

x

sin

y;(n

=1,

2,3,

…;m

=1,

2,3,

…)卜J)bn冗am冗l(4.3.2

高維齊次定解問題的分離變量法(12)614.3.2

高維齊次定解問題的分離變量法有了式(13)，就可以直接對式(11)積分，得到Fmn

=j

j

(xy

+1)sinxsinydxdy＝(一1)m+n

abn幾2

=(一1)m+n

4ab2幾

.

所以解是u

(x,y,t

)=(一1)m+n

4ab2幾

cos入mntsin

xsin

ybn幾am幾m4bn幾am幾2

2m

na2

b2入

=

c幾

mn+62§4.4.1

直角坐標系下的第三類邊值問題的求解§4.4.2

廣義傅里葉級數(shù)4.4

直角坐標系下的第三類邊值問題與廣義傅里葉級數(shù)63設(shè)有定解問題〈

u

0

(t

>

0,

h

>

0)

上述問題，仍然可以用分離變量法求解，一節(jié)提到的四步。(aauaa(4.4-1)(4.4-2)

(4.4-3)求解步驟是上4.4.1

直角坐標系下的第三類邊值問題的求解64(

X,,(x

)+入X(x

)=0〈lX(0)=0,X,(l

)+hX

(l

)=0T

,

(t

)+入a

2

T

(t

)=0解(1)設(shè)u(x,t)=X(x)T(t)，可以得到常微分方程組是4.4.1

直角坐標系下的第三類邊值問題的求解(4.4-4)(4.4-5)654.4.1直角坐標系下的第三類邊值問題的求解(2)可用4.3節(jié)的方法來確定入。但是這里用另外一個方法，即證明入>0。對式(4.4-4)的方程兩邊同乘以X(x

)得到入X2

(x

)=-X(x

).X,,(x

)上式兩邊在[0,l]區(qū)間積分，有入j

X2

(x

)dx

=

-j

X,,(x

)X

(x

)dx

=

-X

(x

).

X,(x

)+

j

X,(x

)dx=

-

X

(l

)X,(l

)-

X

(0)X,(0)+

j

X,(x

)dx由邊界條件中X(0)X,(0)=0；X(l

)X,(l

)=X(l

)-hX(l

)=-hX2

(l

)，得到入j

X2

(x)dx

=

hX2

(l

)+j

X,(x)dx220l0l220l220l0l0l0l66由于hX2

(l

)>0，要證j

X,(x)dx

>0。若j

X,(x)dx等于零，應(yīng)有X,(x

)=

0

，X

(x

)是非零解，故X(x

)=

c為一不為零的常數(shù)。由邊界條件X,(l

)+hX(l

)=0可得hX

(l

)=0，因h

豐0，故X(l

)=0。而X(l

)=0與X(x)

=

c

是矛盾的，因此j

X,(x

)dx

=0不成立。故入j

X,(x

)dx

>0，即入>

0。因入>

0，設(shè)入=b2

，故方程(4.4-4)是X,,(x)+b2

X(x)=0X(x

)=Acosbx

+Bsinbx220l220l220l220l4.4.1

直角坐標系下的第三類邊值問題的求解674.4.1

直角坐標系下的第三類邊值問題的求解由式(4.4-2)的邊界條件X(0)=A

=0，得到解是X(x

)=Bsin

bx上式代入邊界條件X,(l

)+hX

(l

)=0，可以寫出bcos

bl

+hsin

bl

=

0，得到h

hl

hl設(shè)bl

=Y，a

=_1hl，得到tanY=aY

(4.4-6)式(4.4-6)是特征方程，其中a

<

0。解式(4.4-6)可以用圖解法。圖4.4是圖解法示意圖。tan

bl

=

_

b

=

_

bl

=

_

1

bl684.4.1直角坐標系下的第三類邊值問題的求解從圖中可以看出式(4.4-6)有解為y1

,y2

,…。而y1＝b1l

，y2

＝b2l,…。所以特征值入＝入n

=bn2

，特征函數(shù)是(|Xn

(x

)=

Bn

sin

bn

x

,n

=

1,

2,

…〈|lbn

=

,

n

=

1,

2,

…

(4.4-7)圖

4.4

求解tany

=ay

的圖解示意圖y1

y2-y2

-y1694.4.1

直角坐標系下的第三類邊值問題的求解(3)將入=

bn2

代入式(3.4-5)，得到

T

'(t)

+

a

2

bn2Tn

(t)

=

0Tn

(t

)=An

exp(-bn2

a2

t

)(4.4-8)(4)這樣可以寫出u

(x,

t)有下面的解un

(x,t

)=cn

e-bn

a

t

sinbn

x

(n

=1,2,3,…)上述所有結(jié)果疊加在一起，得到定解問題的解是u

(x,t

)=cn

e-bn

a

t

sinbn

xn=1根據(jù)初始條件可以確定式(4.4-10)中的常數(shù)cn

。u

(x,0)=

cn

sin

bn

x

=Q(x)xw222222222xw22222222222222(4.4-10)(4.4-11)(4.4-9)n=1704.4.1

直角坐標系下的第三類邊值問題的求解如何以sinbnx為基矢量把Q(x

)展開成三角級數(shù)的問題，稱為廣義傅里葉級數(shù)問題。