安徽省縣中聯盟2024-2025學年高二上學期12月月考數學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省縣中聯盟2024-2025學年高二上學期12月月考數學試卷考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數列1，，，，3，…，，…，則9是該數列的（）A.第42項 B.第41項 C.第9項 D.第8項【答案】B【解析】由已知數列1，，，，3，…，，…，即，，，，，…，，…，則數列的第項為，令，解得，所以9是該數列的第41項.故選：B.2.過點且與直線垂直的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設與直線垂直的直線方程是，代入點，得，解得，所以所求的直線方程是.故選：A3.已知函數的圖象在點1,f1處的切線方程為，則（）A.8 B.3 C.4 D.-4【答案】C【解析】因為切線方程為，可知當時，，且切線斜率為3，即，，所以.故選：C.4.已知等差數列的前項和為，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中取得，故，所以.故選：A.5.在平面直角坐標系中，已知點，且動點滿足，則動點的軌跡與圓的位置關系是（）A.相交 B.外切 C.外離 D.內切【答案】C【解析】，得，則，整理得，表示圓心為，半徑為的圓，圓的圓心為，半徑，兩圓的圓心距為，滿足，所以兩個圓外離.故選：C.6.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列關于函數的說法正確的是（）A.單調減區(qū)間是 B.是極大值點C.沒有最大值 D.最多能有四個零點【答案】D【解析】由圖可知：當或時，f'x<0當或時，f'x>0因此函數在和0,4上單調遞減，在和上單調遞增，∴函數在上不單調，A錯誤；不是極值點，B錯誤；函數在處取得極大值，當不小于函數在，上的所有函數值時，函數有最大值，C錯誤；當，，，且函數在，上的圖象都與軸相交時，函數在，，0,4，上各有1個零點，共有4個零點，因此最多能有四個零點，D正確.故選：D.7.在直三棱柱中,,,若點滿足，其中，則直線與平面所成角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分別取，中點，，則，即平面，連接，因為，所以，以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知，，，，，則，，因為，，，易知平面的一個法向量是，設直線與平面所成角為，，則，所以時，，即的最大值是.故選：B.8.已知拋物線的焦點為，為坐標原點，若直線交于，兩點，且，點關于的對稱點為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，兩點在拋物線上，所以可以設點，，則，由直線交于，兩點，故直線不與軸平行或重合，故可設直線解析式為，聯立，得，，所以，解得，所以直線與軸的交點為，由，關于直線對稱，所以，且點不與點重合，故可知的軌跡方程為：（不經過原點），所以，，即.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A. B.是的一個極值點C.在上的平均變化率為1 D.在處的瞬時變化率為2【答案】BD【解析】利用復合函數的求導法則，由，所以A錯誤；因為，當時，，且時，f'x>0，時，f'x<0，故由在上的平均變化率為，所以C錯誤；因為，當時，，所以D正確.故選：BD.10.已知橢圓的長軸長為，離心率為，設點是橢圓上的任意一點，若點到點的距離與點到定直線的距離之比為定值，則（）A.橢圓的標準方程為B.C.D.若直線與橢圓相交于，兩點，則【答案】ACD【解析】對于A，由題意，所以，則，所以橢圓的標準方程為，A正確；對于BC，設Px0,y0所以，所以恒成立，可得且，且，顯然，解得，，B錯誤，C正確；對于D，由，解得，或，所以交點為，，則，D正確.故選：ACD.11.如圖，在三棱錐中，三條側棱，，兩兩垂直,且,為內部一動點（不包含邊界）,過分別作平面、平面、平面的垂線，垂足分別為，，.則（）A.直線與直線是異面直線B.為定值C.三棱錐的外接球表面積的最小值為D.當時，平面與平面的夾角為【答案】BC【解析】對于B，設，，，由題意，即，所以，即為定值，故B正確；對于C，設三棱錐外接球的半徑為，由題意可知，，兩兩垂直，，當且僅當時取等號，所以的最小值為，即的最小值為，所以三棱錐的外接球表面積的最小值為，故C正確；對于D，如圖，以為原點，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，,因為，所以，此時，為的中心，，，，因為，，平面，所以平面，故,即為平面的一個法向量，，，設平面的法向量為，則有，令，則，，，則，所以平面與平面夾角的余弦值為，故D錯誤；由D可知，當為的中心時，，則，所以，所以直線與直線共面，故A錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等比數列中，若，則______.【答案】【解析】由，得，所以.故答案為：.13.已知直線與雙曲線交于，兩點，點是弦的中點，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】設，，可得，，兩式相減可得，點是弦的中點，且直線，可得，，，即有，即，，，故雙曲線的離心率為.故答案為：2.14.已知函數及其導函數的定義域均為,若對任意實數，，且當時，，則不等式的解集為______.【答案】【解析】令，則，由題意可得當時，，即在上單調遞增，由，則，即，故為偶函數，故在上單調遞減，則不等式可化為，即，即，則有，即，即，即，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線上，且經過點，.（1）求圓的標準方程；（2）求經過點且與圓相切的直線方程.解：（1）線段的中點2,1，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，，因此圓的圓心，半徑，所以圓的標準方程為；（2）點到直線的距離為2，即直線與圓相切；當切線斜率存在時，設切線方程為，即，由，解得，因此方程為，所以經過點且與圓相切的直線方程為或.16.已知數列的前項和為，，且數列的前項和為.（1）求數列的通項公式；（2）求證：.解：（1）當時，.因為時，，滿足上式，所以數列的通項公式為；（2），所以.因為，所以，又數列是遞增數列，所以，所以.17.已知函數的兩個極值點分別為2，3.（1）求，的值，并求出函數的極值；（2）已知，求證：不等式在上恒成立.解：（1）因為，所以，因為函數的兩個極值點分別為2，3，所以解得此時，.所以當時，f'x>0，當時，f當時，f'x故函數在0,2，上單調遞增，在2,3上單調遞減，滿足的兩個極值點分別為2，3，極大值點為2，極小值點為3，所以函數的極大值為，極小值為.（2）等價于，即，令，則，若，則h'x>0恒成立，hx所以；若，令，得，當時，h'x當時，h'x故hx上單調遞減，在上單調遞增，所以hx極小值為，也是最小值.令，，則，所以在上單調遞減，.綜上所述，在x∈0,+∞即不等式在x∈0,+∞上恒成立18.已知雙曲線的一條漸近線方程為，左、右頂點分別為，，且.（1）求的方程；（2）若點為直線上的一點，直線交于另外一點（不同于點）.①記，的面積分別為，，且，求點的坐標；②若直線交于另外一點，點是直線上的一點，且，其中為坐標原點，試判斷是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.解：（1）由題意知解得，，所以的方程為.（2）由