廣東省五校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省五校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.）1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，故選：C.2.橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上一點(diǎn)，若，則（）A.4 B.3 C.5 D.7【答案】D【解析】橢圓的長半軸長，依題意，，而，所以.故選：D3.已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則邊上的中線所在直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以邊上的中線所在直線的方程為，整理得.故選：B4.若圓C的圓心為，且被y軸截得的弦長為8，則圓C的一般方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，依題意，因?yàn)楣蕓CD|=3，從而，圓的半徑為故所求圓的方程為即故選：C5.圓與圓的公切條數(shù)為（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】B【解析】的圓心是，半徑，即，圓心為，半徑，，，所以兩圓相交，公切線有條.故選：B6.如圖是某拋物線形拱橋的示意圖，當(dāng)水面處于位置時(shí)，拱頂離水面的高度為2.5m，水面寬度為8m，當(dāng)水面上漲0.9m后，水面的寬度為（）A.6.4m B.6m C.3.2m D.3m【答案】A【解析】以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，依題意可知，拋物線過點(diǎn)，所以，所以拋物線方程為，所以當(dāng)時(shí)，，解得，所以當(dāng)水面上漲0.9m后，水面的寬度為.故選：A7.空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面方程為,經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下列問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過點(diǎn)的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)知：平面的法向量，直線的方向向量，且平面與直線相交于，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A8.已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線過圓的圓心且與圓交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，即，則圓心，半徑為.橢圓方程，,則，則圓心為橢圓的焦點(diǎn)，由題意的圓的直徑，且如圖，連接，由題意知為中點(diǎn)，則，可得.點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則，，由，得.故選：C二、多選題（本題共3小題，題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分送對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知直線，（）A.當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為B.當(dāng)時(shí)，C.若，則或D.直線始終過定點(diǎn)【答案】BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線：，故斜率，則傾斜角為120°，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，等價(jià)于，解得，故B正確，對(duì)于C，若，且，故，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，：變形為：，令且，解得，故恒過，故D正確，故選：BD10.已知直線l：與圓C：，下列說法正確的是（）A.點(diǎn)在圓C外B.直線l與圓C相離C.點(diǎn)P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是D.將直線l下移4個(gè)單位后得到直線l＇，則圓C上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線l＇的距離為【答案】BCD【解析】因?yàn)閳AC：，所以圓心，半徑對(duì)于A：點(diǎn)A與圓心的距離為，所以點(diǎn)在圓C內(nèi)，故A錯(cuò)；對(duì)于B：圓心到直線l的距離為，所以直線l與圓C相離，故B對(duì)；對(duì)于C：有B選項(xiàng)知，圓心到直線l的距離為，則的最小值是，無最大值，則的取值范圍是，故C對(duì)；對(duì)于D：直線圓心到直線的距離為是半徑的一半，如圖所示則圓C有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，故D對(duì)；故選：BCD.11.在直三棱柱中，，，，分別為棱和的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.該三棱柱的體積為4C.過，，三點(diǎn)截該三棱柱的截面面積為D.直線與平面所成角的正切值的最大值為【答案】ABD【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則.對(duì)于A，，因，，可得，因，且兩直線在平面內(nèi)，則有平面，又為棱上的動(dòng)點(diǎn)，故，即A正確；對(duì)于B，由題意，該三棱柱的體積為，故B正確；對(duì)于C，如圖，設(shè)經(jīng)過，，三點(diǎn)的截面交于點(diǎn)，連接，因，平面，平面，則平面，又平面，故得，即截面為梯形.因，，設(shè)梯形的高為，則，解得.則故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，因平面，平面，則，又，，且兩直線在平面內(nèi)，故得平面，故可取平面的法向量為，又為棱上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，因，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值為5，此時(shí)取得最大值為，因，而正弦函數(shù)和正切函數(shù)在上均為增函數(shù)，故此時(shí)取得最大值為，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.三條直線與相交于一點(diǎn)，則的值為______.【答案】3【解析】由，即三條直線交于，代入，有.故答案為：313.已知空間中的三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為______．【答案】【解析】設(shè)直線的單位方向向量為．則，，，，點(diǎn)到直線的距離故答案為：14.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在的右支上存在關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，使得為正三角形，且，則的離心率為__________.【答案】【解析】由題意知，為正三角形，且，關(guān)于軸對(duì)稱，所以，且，所以，，由余弦定理得，由雙曲線定義得，即，所以.故答案：.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程.解：（1）設(shè)，則，，由，得，所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）曲線是以為圓心，1為半徑的圓，過點(diǎn)的直線若斜率不存在，直線方程為，滿足與圓相切；過點(diǎn)的切線若斜率存在，設(shè)切線方程為，即，由圓心到直線距離，解得，則方程為.過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為或.16.如圖，在四棱錐中，平面，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求平面和平面夾角的余弦值.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，且，又，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則有，可取，因?yàn)檩S垂直平面，則可取平面的法向量為，則，所以平面和平面夾角的余弦值為.17.已知雙曲線C:x2a2（1）求的方程；（2）直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積是，求直線的方程.解：（1）由題意可得，解得，故；（2）設(shè)，，由，可得，則有，解得且，，，，化簡(jiǎn)得，即，解得或，故直線的方程為或.18.在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大??；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出長度；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）因?yàn)樵谥?，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，故，由幾何關(guān)系可知，，，，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，.設(shè)與平面所成角的大小為，則有，設(shè)為與平面所成角，故，即與平面所成角的大小為；（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，若平面與平面成角余弦值為.則滿足，化簡(jiǎn)得，解得或，即或，故在線段上存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為.此時(shí)的長度為或.19.已知圓，點(diǎn)在圓上，過作軸的垂線，垂足為，動(dòng)點(diǎn)P滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）斜率存在且不過的直線l與曲線C相交于M、N兩點(diǎn)，BM與BN