人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)常見題型專練：角平分線的性質(zhì)（4種題型）（解析版）

第12講角平分線的性質(zhì)(4種題型)

【知識(shí)梳理】

一、角的平分線的性質(zhì)

角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

要點(diǎn)詮釋：

用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分NADB,點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PELAD于點(diǎn)E,PFLBD于點(diǎn)F,則PE=PF.

二、角的平分線的逆定理

角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

要點(diǎn)詮釋：

用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的判定：

若PE_LAD于點(diǎn)E,PF_LBD于點(diǎn)F,PE=PF,則PD平分/ADB

角平分線的尺規(guī)作圖

(1)以。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交0A于D,交0B于E.

(2)分別以D、E為圓心，大于‘DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在NAOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

2

(3)畫射線0C.

射線0C即為所求.

W【考點(diǎn)剖析】

題型一：角平分線性質(zhì)定理

例1.(2023春?陜西榆林?八年級(jí)?？计谀?如圖，在四邊形ABCD中，ZB=NC=90。，點(diǎn)E為3C的中點(diǎn),

且AE平分254D.求證：DE是—ADC的平分線.

【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)E作EF/AD于點(diǎn)尸,

?BE=EF.

團(tuán)點(diǎn)E是3C的中點(diǎn)，

0BE=CE,

田CE=EF.

又團(tuán)NC=9。。,EFJ.AD,

團(tuán)DE是NADC的平分線.

【變式1](2023春?山西太原?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，一ABC中，NC=90。，4。平分/BAC,

AB=5,CD=2,求△ABD的面積.

【詳解】解：作如圖，

EIAD平分/朋C,ZC=90°,CD=2,

^CD=DE=2,

【變式2］（2023春?湖南常德?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)P是ABC的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，若ABC

的周長(zhǎng)為24cm,面積為36cm2,則點(diǎn)尸到邊3C的距離是（）

A.8cmB.3cmC.4cmD.6cm

【答案】B

【詳解】解：過點(diǎn)尸作PDLAB于。，PELBC于E,PbLAC于尸，如圖,

團(tuán)點(diǎn)尸是二ABC的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，

0PE=PF=PD,

又，ABC的周長(zhǎng)為24cm,面積為36cm②，

05MC=^ABPD+^BCPE+^ACPF=^PE(AB+BC+AC),

團(tuán)』x24x尸石=36

3

團(tuán)PE=3cm

【變式3】（湖南省郴州市2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在1145c中，ZACB=90°,

3。平分/ABC,DEJ.AB于點(diǎn)、E.如果AC=8,那么AD+DE=.

【答案】8

【詳解】解：團(tuán)在，AfiC中，ZACB^90°,平分/ABC,DEJ.AB,

^CD=DE,

EIAC=8,

^AD+DE^AD+CD=AC^8,

【變式4】（2023春?廣東深圳?七年級(jí)統(tǒng)考期末）把兩個(gè)同樣大小的含30。角的三角尺像如圖所示那樣放

置，其中M是40與2C的交點(diǎn)，若。0=4,則點(diǎn)M到A3的距離為.

【詳解】解：由題意，得：ND=NC=90o,NABC=ND4B=30。，

SMC1.AC,ZCAB=60°,

SZMAC=ZBAC-ZMAB=3Q°=ZMAB,

13AM平分//MB,

過點(diǎn)加作MN1AB,交AB于點(diǎn)、N,

I3MV=MC=4.

故答案為：4.

cD

ANB

【變式5】如圖，尸為&ABC三條角平分線的交點(diǎn)，PH、PN、分別垂直于2C、AB,垂足分別為

H、N、M.已知ASC的周長(zhǎng)為15cm,PH=3cm,貝UASC的面積為cm2

【詳解】解：連接PM、PN、PH,

P為ABC三條角平分線的交點(diǎn)，PH、PN、分別垂直于BC、AC.AB,

:.PM=PN=PH=3cm,

.?.AABC的面積=AAPB的面積+ABPC的面積+AAPC的面積

=-xABxPM+-xBCxPH+-xACxPN

222

=1(AB+BC+AC)x3

=22.5(cm2).

【變式6](2023春?陜西榆林?七年級(jí)?？计谀?如圖，在.ABC中，AD平分ZR4C,4=40。，

ZC=76°.

⑴求—的度數(shù)；

(2)若DE人AC,垂足為E,DE=2,AB=6,求△ABD的面積.

【答案】⑴32。(2)6

【詳解】(1)解：回4=40°,ZC=76°,

0ABAC=180°-40°-76°=64°,

團(tuán)40平分，54(7,

S\ZBAD^-ZBAC^32°；

2

(2)如圖，過點(diǎn)。作“'LAB于點(diǎn)尸，

SDF=DE,

回DE=2,AB=6,

SDF=2,

回△ABD的面積=1■x2x6=6.

2

題型二：角平分線性質(zhì)定理及證明

例2.（2023秋?河南三門峽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在/A03的兩邊。4、。8上分別取點(diǎn)M、N,連接

MN.若Aff（平分ZAW,NP平分ZMNB.

⑴求證：O尸平分/AOB；

（2）若MN=8,且（PMN與OMN的面積分別是16和24,求線段加與QV的長(zhǎng)度之和.

【答案】⑴證明過程見詳解

(2)OM+ON=20

【詳解】(1)證明：如圖所示，過尸作尸C_LMV,PD±OA,PE工OB,

回"P平分ZAW,NP平分/MNB,

?PD=PE,PC=PE,

?PD=PE,

團(tuán)PD上AO,PE上BO,

團(tuán)QP平分/AOB.

（2）解：如圖所示，過尸作PC_LMMPDLOA,PEVOB,連接OP,

回…&S△…；MMPC=16,

團(tuán)PC=4,由（1）可知尸石=PC=4,

團(tuán)=16，S40MN=24,

回S四邊形MONP=4。,即S四邊形MONP=SAOPM+SaONP=5OM,PD+5°N?P￡*,

[340=」X4?OM+LX4?ON=2OM+2ON,

22

SOM+ON=20.

【變式1】（2022秋?河南安陽(yáng)?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)￡是8C的中點(diǎn)，AB±BC,DC±BC,AE

平分/BAD.求證:

(1)方￡平分/4。。；

{2}AD^AB+CD.

【詳解】(1)證明：如下圖，過￡作EFSAD于凡

SABJ.BC,AE■平分/3AD,

團(tuán)EB=EF,

團(tuán)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

團(tuán)EB—EC,

團(tuán)EF—EC,

0DC1BC,EFLAD,

團(tuán)/瓦ZANECZA90。，

在Rt-EFD和RtAECD中，

[EF=EC

\ED=ED"

團(tuán)RtEFD名RiECD(HL),

⑦NFDE=/CDE,

回平分/ADC；

(2)解：由(1)知，RtEFD^RtECD,

BFD=CD,

在RtAEb和RtAEB中，

jEF=EB

[AE=AE"

團(tuán)RtAEF^RtA￡B（HL）,

國(guó)AF=AB,

^AD=AF+FD,

⑦AD=AB+CD.

【變式2】（2022秋?北京朝陽(yáng)?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在AABC中，ZC=90°,DEJ.AB,于點(diǎn)￡,AD

平分NC4B,點(diǎn)尸在AC上，BD=DF.求證：BE=FC.

【詳解】證明：回AD平分，C4B,ZC=90°,DEJ.AB,

?DE=DC,NC=/DEB=90°,

團(tuán)在RtADEB和RtADCF中，

1DE=DC

回〈，

[BD^DF

0ADEB=ADCF（HL）,

國(guó)BE=FC.

【變式3】如圖，西3c的兩條高BE、CO相交于點(diǎn)O,BD=CE.

(2)判斷點(diǎn)O是否在SB/C的平分線上，并說明理由.

(1)證明：BE、8是AABC的高，且相交于點(diǎn)。,

:.NBEC=NCDB=9Q0,

ZCDB=ZBEC=90°

在耶DO和NCEO中，</BOD=ZCOE,

BD=CE

.?.ABOD=ACOE(AAS),

OD=OE,OB=OC,

:.OD+OC=OE+OB,

即CD=5E；

(2)解：點(diǎn)。在—B4C的平分線上，理由如下:

連接A。，如圖所示：

:二

9

BE、8是AABC的高,且相交于點(diǎn)。，

:.ZADC=ZAEB=90°,

,由(1)得BE=CD,

ZADC=ZAEB=90°

.1在AA3E和A4CD中，ACAD=/BAE

CD=BE

.■.AACDsAAB￡(AAS),

AD=AE>

■由(1)得OD=OE,

AD=AE

.,.在AAO3和AAOE中，-ZADC=ZAEB=90°9

OD=OE

MODsAAOE(SAS),

.\ZDAO=ZEAO,

???點(diǎn)。在NBAC的平分線上.

題型三：角平分線的判定定理

例3.如圖，ZB=NC=90。，M是3c的中點(diǎn)，A"平分求證：DM平分/SC.

【詳解】證明：如圖：過點(diǎn)M作垂足為E,

AM平分ZQAB,MB工AB,MEYAD,

：.ME=MB（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），

又'MC=MB,

:.ME=MC,

MCLCD,ME±AD,

二.DM平分NADC（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.

【變式1］（2023春?廣東深圳?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，ZB=ZC=90°,點(diǎn)￡是BC的中點(diǎn)，DE平分

⑴求證：AE是的平分線；

（2）已知AE=4,DE=3,求四邊形ABCD的面積.

【詳解】（［）證明：如圖，過點(diǎn)E作EF1.D4于點(diǎn)尸，

A4B

0ZC=9O°,DE平分/">C,

^CE=EF,

回E是BC的中點(diǎn)，

0BE=CE,

0BE=EF,

又El?390?,EF±DA,

EIAE平分—DW.

(2)解：^\EF±DA,ZC=90°,

0AEFD和、ECD都為RtA,

又回DE平分NADC,

0EC=EF,

在RtE陽(yáng)和Rt^ECD中，

JED=ED

[EC=EF,

0RtAEro^RtAECD(HL),

0S&EFD=SAECD，NCED=NFED,

SEF±DA,IB90?,

0△EE4和AEBA都為RtA,

又IBAE平分"AB,

國(guó)EF=EB,

在RtAEM和RtAEBA中，

[EA=EA

[EF=EB'

0RtAEE4^RtAEBA(HL),

團(tuán)SXEEA~S/\EBA,^FEA=^BEA，

04DEA=NDEF+ZAEF=1(ZCEF+NBEF)=1xl80°=90°

0AE=4,DE=3,

=|AE-DE=1X4X3=6,

團(tuán)S四邊形A5CD=S^EFD+S/XECD+‘△EE4+S^EBA

=S/\EFD+S^EFD+^/\EFA+^/\EFA

=2(S^EFD+SWFA)

=2S^AED

=2x6

=12.

回四邊形ABC。的面積為12.

【變式2】如圖，在AC?和△COQ中，OA=OB,OC=OD(OA<OC),ZAOB=ZCOD=a,直線

AC,BD交于點(diǎn)M,連接OM.

O

⑴求證：AC=BD；

⑵用a表示ZAMB的大??；

⑶求證：平分/AMD.

【詳解】(1)證明：ZAOB=ZCOD=af

/.ZAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC,即NAOC=NB。。,

在,AOC和5OD中，

OA=OB

<ZAOC=ZBOD,

OC=OD

AOC咨BOD(SAS),

AC=BD,

(2)解：由三角形的外角性質(zhì)得：ZAMB+Z.OBD=ZOAC+ZAOB,

由(1)得△AOC絲△3QD(SAS),

NOAC=NOBD,

:.ZAMB=ZAOB=a,

(3)證明：作OGLAM于G,OH工DM于H,如圖所示,

在△Q4G和△08”中，

Z0GA=ZOHB

■Z0AC=Z0BD,

0A=0B

OAG用一OBH(AAS),

:.OG=OH,

OG_LAM于G,OH，DM于H,

.〔MO平分/AMD,

【變式3］如圖，己知/C=60。，AE,BD是ABC的角平分線，且交于點(diǎn)P.

(1)ZAPB=.

⑵求證：點(diǎn)尸在NC的平分線上.

⑶求證：AB=AD+BE.

【詳解】(1)解：證明：NC=60。，AE,BD是ABC的角平分線,

ZABP=-ZABC,ZBAP=-ABAC,

22

NBAP+ZABP=1(ZABC+ZBAC)=1(180°-ZC)=60°,

:.ZAPB=120°；

(2)如圖，過P作尸AB,PG1AC,PHIBC,

AE,3。分別平分/CAB,NCBA,

:.PF=PG,PF=PH,

:.PH=PG,

???點(diǎn)尸在/C的平分線上；

(3)如圖，在A5上取點(diǎn)M使A〃=AD,連接R0,

AE是NBAC的平分線，

:.ZPAM=ZPAD,

在/AMP與ZW不中，

AP=AP

<ZPAM=NPAD,

AM=AD

AMP^ADP(SAS),

/.ZAPM=ZAPD=180O-ZAPB=60°,

/./BPM=180°-(ZAPM+/APD)=60°,ZBPE=ZAPD=60°,

/.ZBPM=ZBPE,

Q3D是/ABC的角平分線，

:.ZMBP=ZEBP,

在ABPM與,BPE中,

4MBp=ZEBP

<BP=BP,

NBPE=ZBPM

BPM^.,BPD（ASA）,

:.BM=BE,

:.AB=AM+BM=AD+BE.

【變式4】（2023春?福建福州?七年級(jí)福建省福州第一中學(xué)校考期末）已知。是四邊形A5CD內(nèi)一點(diǎn)，且

OA=OD,OB=OC,ZAOD=ABOC.

⑴如圖1,連接AC,BD,交點(diǎn)為G,連接OG,求證：

①AC=B。；

②0G平分NDGC；

(2)如圖2,若NAOD=N3OC=90。，E是8的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作。尸，AB,垂足為R求證：點(diǎn)E,O,F

在同一條直線上.

【詳解】(1)@SZAOD=ZBOC,

0ZAOD+ZAOB=Z.BOC+ZAOB,

SZAOB=ZAOC,

又國(guó)OA=OD,OB=OC,

fflVDOB^VAOC(SAS),

S\AC=BD；

②如圖所示，過點(diǎn)。作于點(diǎn)〃，。尸，AC于點(diǎn)尸，

（圖1）

團(tuán)DOB^AOC,0H1DB,OF±AC

田OH=OF,

回點(diǎn)。在/DGC的角平分線上，

回0G是/DGC的角平分線，

回0G平分/DGC；

（2）證明：連接OE,并延長(zhǎng)到N,使NE=OE,連接CN,

(圖2)

防是。的中點(diǎn)，

0CE=DE,

又⑦NCEN=NDEO,NE=OE,

國(guó)VCSVANOEO(SAS),

⑦ZNCE=NODE,CN=OD,

⑦CN〃OD,

團(tuán)NOCN+NCOD=180。，CN=OAf

/ZAOD=ZBOC=90°,

ZAOB+ZCOD=180°,

:./OCN=ZAOB,

在人。NC和840中,

OC=OB

<ZOCN=ZAOB,

CN=OA

[ONC￡BAO(SAS),

:.ZNOC=ZABO,

OF上AB,

:.ZABO+/BOF=90°,

:.ZNOC+ZBOF=90°,

ZNOC+ABOF+Z.BOC=180°,

.??點(diǎn)E,O,尸在同一條直線上.

題型四：尺規(guī)作圖一作角平分線

例4.（2023春?陜西榆林?七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知ABC,利用尺規(guī)，在AC邊上求作一點(diǎn)O,使得

NABD=/OBC（保留作圖痕跡，不寫作法）

A

【變式1］（2023春?福建福州?七年級(jí)福建省福州第十九中學(xué)?？计谀┤鐖D，中,

ZBAC=90°,AD為3c邊上的高.

A

⑴尺規(guī)作圖，在42邊上求作點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸到邊BC的距離等于AP（保留作圖痕跡，不寫做法）:

⑵連接CP（尸為所求作的點(diǎn)）交AD于點(diǎn)Q,若43=30。，求ZAQC的度數(shù).

【詳解】（1）解：如圖：點(diǎn)尸即為所求；

作法：作NACB的角平分線，與AB的交點(diǎn)尸即為所求;

理由：回CP是NACB的角平分線,

回點(diǎn)P到AC的距離等于點(diǎn)P到BC的距離,

0ZR4C=9O°,

回點(diǎn)P到AC的距離即為Bl的值，故點(diǎn)P到邊BC的距離等于AP.

（2）解：如圖:

團(tuán)NACB=180°—90—30°=60°,

又團(tuán)AD為BC邊上的高，

0ZAZ）C=9OO,

0ZDAC=180°-90-60°=30°,

由（1）可知CP是NACfi的角平分線，

團(tuán)ZACQ=ZQCD=；ZACB=30°,

0ZAQC=180°-ZACQ-ZDAC=180°-30°-30°=120°.

【變式2】（2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐

問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9："平分一個(gè)已知角.”

即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在。4和上

分別取點(diǎn)C和。，使得OC=8,連接8,以CO為邊作等邊三角形CDE,則OE就是，493的平分

線.

請(qǐng)寫出OE平分N4%的依據(jù)：；

類比遷移：

（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：.CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=OE即可.他查閱資料：

我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角.做法如下：如圖3,在ZAO3的邊。4,03上分別取OM=ON,移動(dòng)

角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M,N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線OC是NAC?的平分線，請(qǐng)說明

此做法的理由；

拓展實(shí)踐：

（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐.如圖4,校園的兩條小路A3和AC,匯聚形成了一個(gè)岔路口4現(xiàn)在學(xué)校

要在兩條小路之間安裝一盞路燈E,使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口/

的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等.試問路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在

【詳解】解：（1）回OC=OD,CE=DE,DE=DE,

國(guó)OCE烏ODE(SSS),

SZAOE^ZBOE,

團(tuán)OE是NAOB的角平分線；

故答案為：SSS

(2)SOM^ON,CM=CN,OC=OC,

0OCM=OCV(SSS),

0ZAOC=ZBOC,

團(tuán)OC是/AN的角平分線；

(3)如圖，點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)；

【變式3】(2023春?重慶九龍坡?七年級(jí)?？计谀?如圖，已知在16ABe中，ZBAC=90°,A。人3c于點(diǎn)

D.

(1)尺規(guī)作圖：作/ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)尸；(要求：保留作圖痕跡，不寫作法，不

下結(jié)論)

(2)在(1)的條件下，求證：ZAFE=ZAEF.

AD1BC

:.ZADB=90°

..+NBFD=90°

又〔ZBFD=

ZFBD+=90°

ABAC=90°

/.ZABF+=90°

BF平分/ABC

:.ZABF=__________

ZAFE=ZAEF.

【詳解】(1)如圖所示，

(2)-AD1BC

.\ZADB=9Q0

NFBD+ZBFD=90。

又?ZBFD:NAEF

:.AFBD+^AEF=9QQ

ABAC=90°

二.NAB尸+ZAFE=90。

BF平分/ABC

.\ZABF=ZFBD

ZAFE=ZAEF.

故答案為：NFBD；NAEF；NAEF；NAFE；ZFBD.

【過關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.（2023春?四川瀘州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，ZAO8=70。，點(diǎn)C是/AOB內(nèi)一點(diǎn)，00，。4于點(diǎn)。,

CE工OB于點(diǎn)、E.且CD=CE,則/DOC的度數(shù)是（）

A

X

oEB

A.30°B.35°C.40°D.45°

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線的判定定理可得OC平分/4如，再計(jì)算角度.

【詳解】解：^CDYOA,CELOB,CD=CE,

EIOC平分ZAO3,

ZDOC=-ZAOB=35°,

-2

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的判定，注意：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上.

2.（陜西省榆林市高新區(qū)2022-2023學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在RtZiABC中，/ABC的

平分線交AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。交A3于點(diǎn)￡.若CD=9cm,則點(diǎn)。到A3的距離是（）

A.9cmB.6cmC.4.5cmD.3cm

【答案】A

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即可求解.

【詳解】團(tuán)3D平分/ABC,DEJ.AB,AC±BC,

EIDC=OE=9,

回點(diǎn)D到AB的距離是9cm.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì).

3.（2023春?河南焦作?七年級(jí)校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,AD=3,連接3。,

BDLCD,ZADB=ZC.若P是3c邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP的長(zhǎng)不可能是（）

5

A.-B.3C.4D.6

2

【答案】A

【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)可得NAB￡>=NC8￡>,即3。平分NMC,作DE_L8C于E,則40=上=3,

再根據(jù)垂線段最短即可得到答案.

【詳解】解：0ZA=9O°,BD±CD,

0ZABD+ZADB=90°,ZCBD+ZC=90°,

SZADB^ZC,

SZABD=ZCBD,即8。平分/ABC,

作DE_L3C于E,則AD=OE=3,

0P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則。尸NOE,即DPN3,

團(tuán)OP的長(zhǎng)不可能是!■；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得出3。平分/ABC是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?福建?統(tǒng)考中考真題）閱讀以下作圖步驟：

①在。4和03上分別截取。GOD,使OC=OD；

②分別以C,。為圓心，以大于：CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/AO3內(nèi)交于點(diǎn)M；

③作射線OM,連接如圖所示.

根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（）

'A

B.Zl=Z3_aCM=DM

C.Z1=Z,2S.OD=DMD.Z2=Z3^.OD=DM

【答案】A

【分析】由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM,再結(jié)合加=血/可得-COM-DOM(SSS),由全等

三角形的性質(zhì)可得4=N2即可解答.

【詳解】解：由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM,

^DM=DM,

團(tuán)COM^DOM(SSS).

0Z1=Z2.

0A選項(xiàng)符合題意；

不能確定OC=C0,則Nl=N3不一定成立，故B選項(xiàng)不符合題意；

不能確定OD=DM,故C選項(xiàng)不符合題意，

OD〃C0不一定成立，則-2=-3不一定成立，故D選項(xiàng)不符合題意.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解尺規(guī)作圖過程是

解答本題的關(guān)鍵.

5.(2023春?陜西西安?七年級(jí)交大附中分校?？计谀?如圖，AE乃瓦CE分別平分

NBAC,NABC,ZACB,EDLBC于點(diǎn)D,ED=1,45c的面積為12,則ABC的周長(zhǎng)為()

A.4B.6C.24D.12

【答案】C

【分析】過點(diǎn)E作防，AB,垂足為R過點(diǎn)E作EGLAC,垂足為G,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

EG=EF=ED=1,然后根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：過點(diǎn)￡作歷，45,垂足為R過點(diǎn)E作EGLAC,垂足為G,

A

SEF=ED=1,

EICE平分，ACB,EDVBC,EG1.AC,

SED=EG=1,

aABC的面積=ABE的面積+△3EC的面積+△4EC的面積

^-ABEF+-BCED+-ACEG^-xlx（AB+BC+AC）^12,

2222v'

0AB+SC+AC=24,

即ABC的周長(zhǎng)為24.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

6.（2023春?湖南永州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)尸在NABC的平分線上，點(diǎn)尸到54邊的距離等于3,點(diǎn)。是

2C邊上的任意一點(diǎn)，則關(guān)于PD長(zhǎng)度的選項(xiàng)正確的是（）

A.PD=3B.PD<3C.PD<3D.PD>3

【答案】D

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到網(wǎng)=3,再根據(jù)垂線段最短即可解答.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作于點(diǎn)E,過點(diǎn)?作小，3c于點(diǎn)尸，

團(tuán)點(diǎn)尸在NABC的平分線上，

?PE=PF,

0PE=3,

0PF=3,

酬艮據(jù)垂線段最短可知：PD>3,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2023春?湖南婁底?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，ZC=90°,AC=4,DC=^AD,瓦）平分

33'

【答案】D

【分析】由題意可求。C的長(zhǎng)，由角平分線的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作垂足為〃，

—3

0DC—1?

回30平分/ABC,NC=90°,DH_LAB,

SCD=DH=1,

回點(diǎn)。到A3的距離等于1,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

8.（2023春?湖南婁底?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，三條公路把，，B,。三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，現(xiàn)決

定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在

（）

A.三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

C.三角形三條高的交點(diǎn)D.三角形三條中線的交點(diǎn)

【答案】A

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答即可.

【詳解】解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)處.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2023春?陜西榆林?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平分NAO8,。石，49于點(diǎn)區(qū)DE=5,尸是射線

上的任意一點(diǎn)，則叱的長(zhǎng)度不可能是（）

【答案】A

【分析】過D點(diǎn)作。"_L08于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得。以=DE=5,再利用垂線段最短得到

DF>5,然后對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可，

【詳解】過D點(diǎn)作于H,

OD平分NAO3,DE±OA,DH1OB,

DH=DE=5,DF>DH,

:.DF>5,

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，也考查了垂線段最短，

掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2023春?河南開封?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,上工AB于

E,則下列結(jié)論：①DE=CD；②AZ）平分NCDE；（3）ZBAC=ZBDE；@BE+AC^AB,其中正確的

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】①根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出結(jié)論：DE=CD；②證明△ACD四△AED,得AD平分NCDE；

③由四邊形的內(nèi)角和為360。得NCDE+NBAC=180。，再由平角的定義可得結(jié)論是正確的；④由

AACD=AAED^AC=AE,再由=得出結(jié)論是正確的.

【詳解】解：①“=90。，AT>平分，54C,DEJ.AB,

DE=CD；

所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；

②DE=CD,AD=AD,ZACD=ZAED=9G°,

:.^ACD^_AED,

:.ZADC=AADE,

..AD平分NCDE,

所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；

③ZACD=ZAED=90°,

Z.CDE+ZBAC=360°-90°-90°=180°,

/BDE+NCDE=180°,

ZBAC=ZBDE,

所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；

④_AC哈一AED,

AC=AE,

AB=AE+BE,

BE+AC=AB,

所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；

本題正確的結(jié)論有4個(gè)，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，同時(shí)運(yùn)用角平分線的性質(zhì)得出兩條垂線段相等；本題難度不

大，關(guān)鍵是根據(jù)加證明兩直角三角形全等，根據(jù)等量代換得出線段的和，并結(jié)合四邊形的內(nèi)角和與平角

的定義得出角的關(guān)系.

二、填空題

11.（2023春?河南平頂山?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，NACB=90。.以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為

半徑畫弧，分別交A3,AC于點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于1A/N的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧

2

410

在.ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P,作射線AP交邊8C于點(diǎn)D,若8=耳，的面積為了，則線段A3的

長(zhǎng)為________.

【答案】5

【分析】先根據(jù)尺規(guī)作圖描述得出AD為NBAC的角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)。到AB的距

離。￡=5,進(jìn)而求出三角形的面積.

【詳解】由作法得AD平分N3AC,

如圖所示，過點(diǎn)。作DESAB于￡,EI/ACB=90。，

c

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得

4

DC=DE=—,

3

ABD的面積=LAROE」xABx3=竺.

2233

團(tuán)48=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)并靈活應(yīng)用.

12.（2023春?山東濟(jì)南?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,利用尺規(guī)在3A3C上分別

截取3河=師；分別以點(diǎn)N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NCBA內(nèi)部交于點(diǎn)E,作射

線BE交AC于點(diǎn)尸，若CF=2,點(diǎn)，為線段A3上的一動(dòng)點(diǎn)，則取的最小值是.

【答案】2

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖可得即平分/ABC,再利用角平分線的性質(zhì)定理可得出上=CF=2,最后根據(jù)

垂線段最短即可得出FH的最小值是2.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)/作于D

由作圖可知，班1平分NABC,

0FC±BC,FD±AB,

0DF=CF=2.

根據(jù)垂線段最短可知，F(xiàn)H的最小值為叱的長(zhǎng)，即為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確判斷出正是,ABC的角

平分線.

13.（2023春?重慶沙坪壩,七年級(jí)重慶八中?？计谀┤鐖D，中，NC=90。，平分/BAC交

BC于點(diǎn)、D,E為線段/C上一點(diǎn)，連接?！?且/B=NCED.若AB=16,CE=6,則/￡的長(zhǎng)為

【答案】4

【分析】過點(diǎn)D作。尸，AB于點(diǎn)R由角平分線的性質(zhì)得出。C=DF,證明DCE”DFB,得出

BF=CE,求出AF,由HL證明Rt_ADC/Rt_ADF,得出AC=AF,即可求出結(jié)果.

【詳解】解：過點(diǎn)。作。尸，AB于點(diǎn)尸，如圖所示：

0ZC=9O°,4D平分/A4C交2C于點(diǎn)D,,

團(tuán)DC=DF,

在ADCE和△DF8中，

ZBFD=ZDCE=90°

<ZB=ZCED,

DC=DF

團(tuán)DCE-DFB(AAS),

0BF=CE=6,

@AF=AB—BF=10,

在RtADC與RtA。尸中，

fDC=DF

[AD=AD'

回RtADC^RtADF,

團(tuán)AC=AF=10,

^\AE=AC-CE=10-6=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角

形，根據(jù)HL證明直角三角形的全等解答.

14.（2023?湖南岳陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題）如圖，①在上分別截取線段。使OD=OE；②分另!]

以。E為圓心，以大于goE的長(zhǎng)為半徑畫弧，在/AO3內(nèi)兩弧交于點(diǎn)C；③作射線OC.若

ZAOB=60°,貝1|NAOC=°.

【答案】30

【分析】由作圖可知OC是NA03的角平分線，根據(jù)角平分線的定義即可得到答案.

【詳解】解：由題意可知，OC是NAC?的角平分線，

SZAOC=-ZAOB=-x60°=30°.

22

故答案為：30

【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的作圖、角平分線相關(guān)計(jì)算，熟練掌握角平分線的作圖是解題的關(guān)鍵.

15.（2023春?四川達(dá)州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖，,AQB中，在。4和03邊上分別截取CM,ON,

使OM=ON,分別以M,N為圓心，以大于;MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在,AQB內(nèi)交于點(diǎn)瓦作射線

OE,點(diǎn)、P,。分別是射線0E,08上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PC_LGW,垂足為點(diǎn)C,連接尸0，若尸C=3,

00=4,貝LPOD的面積是

'P

A

CE

OWDB

【答案】6

【分析】過點(diǎn)尸作尸尸，OB交08于點(diǎn)F,由作圖可知OP是ZAO3的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得

PF=PC=3,即可求得.一尸8的面積.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)尸作P尸，03交于點(diǎn)F,

由作圖可知，0P是NAO3的平分線，

0PC1O4,PF±OB,

SPF=PC=3,

ELP8的面積為：-ODPF^6,

2

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作角平分線以及角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

16.（2023春?山東泰安?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在銳角；ABC中，N&4c=60。，BE、CD為ABC的角平

分線.且BE、CD交于點(diǎn)F,連接AF.有下列四個(gè)結(jié)論：①/班C=120。；②BD=CE；③

BC=BD+CE；?SAFBD+SAFEC=SAFBC.其中結(jié)論正確的序號(hào)是.

【答案】①③④

【分析】根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理求出/3PC；在BC上取區(qū)揚(yáng)=班＞,證明

△DBF出AMBF（SAS）,再證明AWC戶gAECF（ASA）；過點(diǎn)歹作方AB于點(diǎn)G,陽(yáng)，AC于點(diǎn)

尸于點(diǎn)K,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形面積公式分別對(duì)各個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：團(tuán)ABC的兩條角平分線班和CD交于點(diǎn)/，ZBAC=60°,

國(guó)NFBC+NFCB

=^(ZABC+ZACB)

-1(180°-ZBAC)

=1x(180°-60°)

=60。，

團(tuán)ZBFC=180。—(NFBC+ZFCB)=180°-60°=120°,故結(jié)論①正確；

田？BFD180??BFC60??CFE,

在BC上取BM=BD,

團(tuán)平分/ABC,

⑦？DBF?MBF,

在陽(yáng)和VM即中，

BD=BM

</DBF=ZMBF,

BF=BF

0ADBF^AMBF(SAS),

⑦/BFD=ZBFM=6。。,

團(tuán)ZCFM=ZBFC-ZBFM=120?！?0°=60°,

團(tuán)ZCFM=ZCFE=60°,

團(tuán)8平分—AC5,

⑦ZMCF=NECF,

在和AEC「中，

ZCFM=ZCFE

<CF=CF,

NMCF=ZECF

團(tuán)△MCFgAECF(ASA),

團(tuán)CM=CE,

^BC=BM+CM=BD+CE,故結(jié)論③正確；

團(tuán)沒有條件得出點(diǎn)M是3C的中點(diǎn)，

團(tuán)不能得出與CE一定相等，故結(jié)論②錯(cuò)誤；

過點(diǎn)/作FG1/W于點(diǎn)G,FH_LAC于點(diǎn)H,FKLBC于點(diǎn)K,

團(tuán)旗、CD為ABC的角平分線，

0FG=FK,FK=FH,

0FG=FK=FE,

11

0SZAAFrBDDLJ=—2BD-FG,S/A\rFrFA.r=2—EC-FHSZAAFrBoC=_2BC?FK,

團(tuán)S^FBD+S/XFEC

=-BDFG+-ECFH

22

^-BMFK+-MCFK

22

=^BM+MC)-FK

=-BCFK

2

=S^FBC，

0SAFBD+，△FEC=FBC，故結(jié)論④正確,

團(tuán)結(jié)論正確的序號(hào)是①③④.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積，作出

輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.（2023春?重慶江北?七年級(jí)統(tǒng)考期末）完成下面的解答過程，并填上適當(dāng)?shù)睦碛?

已知：如圖，DE//BC,3。平分EF平分NAED.

求證：EF//BD.

解：S\DE//BC（已知）

^ZABC=ZAED（①）.

03。平分/筋。，E尸平分NAED,

B1Z1=-ZABC,Z2=-ZAED.

一22

0Z1=—②—（③）.

SEF//BD（（4））.

【答案】?jī)芍本€平行，同位角相等Z2等量代換同位角相等，兩直線平行

【分析】先分析角的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)及判定定理，即可寫出答案.

【詳解】證明：QDE〃BC（已知），

SZABC=ZAED（兩直線平行，同位角相等）.

EI8D平分/ABC,EF平分NAED,

11

0Z1=-ZABC,N2=-NAED.

22

0Z1=Z2（等量代換）.

SEF//BD（同位角相等，兩直線平行）.

故答案為：兩直線平行，同位角相等；Z2；等量代換同位角相等，兩直線平行.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同位角相等），及平行線的判定方法（同位角相等,

兩直線平行）.牢記平行線的性質(zhì)和判定方法是解題的關(guān)鍵.

18.（2023春?山東泰安?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在AQ?和△COD中，OA=OB,OC=OD,

OA<OC,ZAOB=ZCOD=36°,連接AC、BD交于點(diǎn),M,連接CM.求證:

(1)ZAMB=36°；

⑵MO平分N4WD.

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)證明△AOC絲△BQD(SAS),由三角形全等的性質(zhì)得出NO4c=NQ5D,由三角形的外角性

質(zhì)得：ZAMB+ZOBD=ZOAC+ZAOB,可得出NAMB的度數(shù)；

(2)作OGLAC于G,OHLBD于H,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，得出OG=OH,由角平分線

的判定方法即可得證.

【詳解】(1)證明：團(tuán)NAOB=NCOD=36。，

0ZAOB+ZBOC=Z.COD+ZBOC,即ZAOC=NBOD,

在，AOC和BOD中，

OA=OB

<ZAOC=ZBOD,

OC=OD

0△AOC四△BOD(SAS),

SZOACZOBD,

EINAEB是"OE和.3ME的外角

團(tuán)NAEB=/AMB+/OBD=NAOB+NOAC,

ZAMBZAOB36°

(2)如圖所示，作OG_LAC于G,OHLBD于H,

E10G是AOC中AC邊上的高，OH是300中3。邊上的高,

由（1）知：，AOC組.3?！辏?

0OG=OH,

團(tuán)點(diǎn)。在4M＞的平分線上,

即MO平分/4WD.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識(shí).證明三角形全

等是解題的關(guān)鍵.

19.（2023春?河南駐馬店，七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在45c中，8。平分/ABC,CO平分NACB,

DELAB千點(diǎn)、E.

⑴若NABC=40。，ZACB=70°,求/加C的度數(shù);

⑵若DE=4,BC=9,求△BCD的面積.

【答案】⑴125。

⑵18

【分析】（1）根據(jù)3D平分/ABC,C。平分NACB得/D3C=L/A3C,ZDCB=-ZACB,根據(jù)

22

ZABC=40°,NACB=70。得/D5C=gx4（）o=20。，ZDCB=1x70°=35°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可

得；

（2）過點(diǎn)。作小，3c于點(diǎn)尸，根據(jù)3。平分/ABC,DELAB,DF_LBC得DE=DF,根據(jù)

DE=4得DF=4,即可得.

【詳解】（1）解：回3。平分/ABC,8平分NACB,

團(tuán)NDBC=L/ABC,ZDCB=-ZACB,

22

團(tuán)ZABC=40。，ZACB=70°,

^ZDBC=-x40°=20°,ZZ)CB=-x70o=35o,

22

團(tuán)在△3CD中，ZBDC=180°-20°-35°=125°；

(2)解：過點(diǎn)。作。尸±BC于點(diǎn)F,

⑦BD平分/ABC,DE_LAB,DF±BCf

⑦DE=DF,

團(tuán)。石=4,

團(tuán)止=4,

團(tuán)3c=9,

團(tuán)S八“力=—xBCxDF=—x9x4=18.

ZADCIJ22

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知

識(shí)點(diǎn).

20.（2023,浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在一ABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,DEJ.AB,如果

DE=6cm,ZG4D=28°,求CD的長(zhǎng)度及33的度數(shù).

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=OE,ZBAD=ZCAD=28