人教版八年級數(shù)學(xué)常見題型專練：三角形的內(nèi)角（7種題型）（解析版）

第03講三角形的內(nèi)角（7種題型）

D【知識梳理】

三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°.

要點(diǎn)詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：

①在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；

②已知三角形三個內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；

③求一個三角形中各角之間的關(guān)系.

W【考點(diǎn)剖析】

題型一、三角形的內(nèi)角和定理證明

例1.證明：三角形的內(nèi)角和為180°.

【答案與解析】

解：已知：如圖，已知△ABC,求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證法1:如圖1所示，延長BC至IJE,作CD〃AB.因?yàn)锳B〃CD（已作），所以N1=NA（兩

直線平行，內(nèi)錯角相等），NB=/2（兩直線平行，同位角相等）.

又/ACB+/1+N2=180°（平角定義），

所以/ACB+/A+/B=180°（等量代換）.

圖1

證法2:如圖2所示，在BC邊上任取一點(diǎn)D,作DE〃AB,交AC于E,DF〃AC,交AB于點(diǎn)

F.

因?yàn)镈F〃AC（已作），

所以N1=NC（兩直線平行，同位角相等），

Z2=ZDEC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

因?yàn)镈EZ/AB（已作）.

所以N3=/B,ZDEC=ZA（兩直線平行，同位角相等）.

所以/A=N2（等量代換）.

又Nl+N2+N3=180°（平角定義），

所以NA+NB+/C=180°（等量代換）.

圖2

證法3:如圖3所示，過A點(diǎn)任作直線小過B點(diǎn)作4〃小過C點(diǎn)作人〃小

因?yàn)?1〃4（已作）.

所以/1=/2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

同理N3=N4.

又/i〃4（已作），

所以/5+/1+/6+/4=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

所以/5+/2+/6+/3=180°（等量代換）.

又/2+N3=/ACB,

所以NBAC+/ABC+/ACB=180°（等量代換）.

圖3

證法4：如圖4,將△ABC的三個內(nèi)角剪下，拼成以C為頂點(diǎn)的平角.

A

證法5：如圖5—1和圖5—2,在圖5—1中作/1=NA,得CD〃AB,有/2=/B；在圖5

一2中過A作MN〃BC有Z2=ZC,進(jìn)而將三個內(nèi)角拼成平角.

【總結(jié)升華】三角形內(nèi)角和定理的證明方法有很多種，無論哪種證明方法，都是應(yīng)用的平行

線的性質(zhì).

題型二：利用三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù)

例2.在△ABC中，己知/A+NB=80°,/C=2/B,試求NA,/B和NC的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】題中給出兩個條件：NA+/B=80°,/C=2NB,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于

180°,即NA+/B+NC=180°就可以求出NA,/B和/C的度數(shù).

【答案與解析】

解：由/A+NB=80°及/A+NB+/C=180°,

知NC=100°.

又：ZC=2ZB,

ZB=50°.

/A=80°-ZB=80°-50°=30°.

【總結(jié)升華】解答本題的關(guān)鍵是利用隱含條件NA+NB+NC=180。.本題可以設(shè)/B=x,則

NA=80°-x,NC=2x建立方程求解.

【變式1】已知，如圖，在AABC中，ZC=ZABC=2ZA,BD是AC邊上的高，求NDBC的度

A

【答案】

解：已知△ABC中，ZC=ZABC=2ZA

設(shè)/A=x

則NC=NABC=2x

x+2x+2x=180°

解得：x=36°

.?.ZC=2x=72°

在aBDC中，BD是AC邊上的高，

，ZBDC=90°

/.ZDBC=180°-90°-72°=18°

例3.在^ABC中，ZABC=ZC,BD是AC邊上的高，NABD=3O°,則NC的度數(shù)是多少?

【思路點(diǎn)撥】按^ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，分類討論.

【答案與解析】

解：分兩種情況討論：

(1)當(dāng)^ABC為銳角三角形時，如圖所示，在4ABD中，

,/BD是AC邊上的高（已知），

/ADB=90°（垂直定義）.

又,:ZABD=30°（已知），

NA=180°-ZADB-ZABD=180°-90°-30°=60°.

又；ZA+ZABC+ZC=180°（三角形內(nèi)角和定理），

ZABC+ZC=120°,

又：ZABC=ZC,ZC=60°.

⑵當(dāng)^ABC為鈍角三角形時，如圖所示.在直角4ABD中,

D

A

B匕----------------------------

NABD=30°（已知），所以NBAD=60°.

/.ZBAC=120°.

又,:ZBAC+ZABC+ZC=180°（三角形內(nèi)角和定理），

/.ZABC+ZC=60°.

ZC=30°.

綜上，NC的度數(shù)為60°或30°.

【總結(jié)升華】在解決無圖的幾何題的過程中，只有正確作出圖形才能解決問題.這就要求解

答者必須具備根據(jù)條件作出圖形的能力；要注意考慮圖形的完整性和其他各種可能性，雙解

和多解問題也是我們在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該注意的一個重要環(huán)節(jié).

【變式1】三角形中至少有一個角不小于度.

【答案】60

題型三：直角三角形兩個銳角互余

例3.（2023春?湖南婁底?八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在RtZXABC中，ZC=90°,ZB=60°,

則/A的度數(shù)是（）

A.60°B.30°C.50°D.40°

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，則可求解.

【詳解】解：.“=90。，ZB=60°,

.-.ZA=90°-ZB=30°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是明確直角三角形的兩個銳角互

余.

【變式1】（2023春?湖南懷化?八年級統(tǒng)考期中）直角三角形的一銳角是30。，那么另一銳

角是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】C

【分析】由直角三角形的兩銳角互余可得答案.

【詳解】解：直角三角形的一銳角是30。，那么另一銳角是90。-30。=60。，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，熟記知識點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，AC，BC,CD，AB,圖中有對互余的角？有對相等的銳角？

【答案】3,2.

題型四、利用三角形內(nèi)角和判定三角形的形狀

例4.在^ABC中，若/A=L/B=』/C,試判斷該三角形的形狀.

23

【思路點(diǎn)撥】由NA=L/B=^NC,以及NA+NB+/C=180°,可求出/A、NB和

23

/C的度數(shù)，從而判斷三角形的形狀.

【答案與解析】

解：設(shè)/A=x,則/B=2x,NC=3x.

由于/A+NB+/C=180°,即有x+2x+3x=180°.

解得x=30°.故NA=30°.ZB=60°,ZC=90°.

故4ABC是直角三角形.

【總結(jié)升華】本題利用設(shè)未知數(shù)的方法求出三角形三個內(nèi)角的度數(shù)，解法較為巧妙.

題型五：與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題

例5.（2023秋?山東濟(jì)南?八年級?？计谀┮阎本€〃跖，一個含30。角的直角三角

尺ABC（AB>3C）如圖疊放在直線肱V上，斜邊AC交E廠于點(diǎn)。，則N1的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】D

【分析】首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)判定回A=30。，國ACB=60。，然后根據(jù)平行的性質(zhì)得出

01=EIACB.

【詳解】回含30。角的直角三角尺

EBA=30°,0ACB=6O°

QMN〃EF

E01=0ACB=6O-

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查直角三角形以及平行的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.

【變式】.（2023秋?八年級單元測試）如圖，在一ABC中，8平分/ACB交A3于點(diǎn)

過點(diǎn)。作DE〃BC交AC于點(diǎn)E.若44=54。，ZB=48°,0lJZCDE=.

【答案】39。.

【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求出/DCB即可解決問題.

【詳解】解：ZA=54°,4=48。，

ZACB=180°-54°-48°=78°,

CD平分/AC3,

ZDCB=-ZACB=39°,

2

DE!IBC,

ZCDE=ZDCB=39°,

故答案為:39。.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基

本知識，屬于中考?？碱}型.

題型六：三角形折疊中的角度問題

例6.（2023秋?四川達(dá)州?八年級?？计谀┤鐖D，將一ABC沿著平行于的直線折疊，

得到若ND4'E=25。，NDE4'=115。，則的度數(shù)是（）

A.45°B.40°C.55°D.50°

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得NAZ>E=NADE,DE//BC,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得

“把=40。，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：由題意得，ZADE=ZADE,DE//BC,

又回ZDA'EnZS。，NDE4'=115°,

EAADE=ZA'DE=180°—ZDAE-ZDEA=180°-25°-115°=40°,

^DE//BC,

ElZADE=ZB=40°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識

求解是解決本題的關(guān)鍵.

【變式工（2023秋?山東聊城?八年級校考期末）如圖，把ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落

在四邊形BCDE內(nèi)部時，則-A與N1+N2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，這個關(guān)系

是（）

A.2ZA=N1+N2B.3ZA=2Z1+Z2

C.ZA=N1+N2D.3ZA=2Z1+2Z2

【答案】A

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角的定義先得到2NA￡D+2ZADE=360。-Nl-N2,再由三

角形內(nèi)角和定理得到2ZAED+2ZADE=360°-2ZA,由此即可得到結(jié)論.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知2NA￡D+Nl=18（）o,2NADE+N2=180。,

E2ZAED+2ZADE=360°-Z1-Z2,

由三角形內(nèi)角和定理可知NA+NADE+NAED=180。，

02ZAED+2ZADE=360°-2ZA,

0360°-Zl-Z2=360°-2ZA,

0Z1+Z2=2ZA

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)

鍵.

題型七：與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題

例7.（2023秋?廣東汕頭?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，AD是角平分線，AE是

高，已知N3=45。，ZC=55°,那么NEAD的度數(shù)為（）

E

A.40°B.35°C.15°D.5°

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求解-B4C的大小，再利用角平分線的定義可求解

44。的度數(shù)，由三角形的高線可得NAEB=90。，利用三角形的內(nèi)角和定理可求解

44E的度數(shù)，進(jìn)而可求得NEA。的度數(shù).

【詳解】解：0ZB=45°,ZC=55°,

0ZBAC=180°-45°-55°=80°,

回AD平分/BAC,

0ZE4Z）=4OO,

@AE±BC,

0ZAEB=9O°,

El/BAE=180°—90°-45°=45°,

ENEAD=NBAE—NBAD=45°-40°=5°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的高線的含義，求解

44E的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式工（2023秋?八年級課時練習(xí)）如圖，在中，AD1BC,AE平分NBAC,

若Zfl4E=30。，ZC4D=20°,則的度數(shù)為.

【答案】50。/50度

【分析】先利用角平分線的定義求得N54C=2N3AE=60。，在咫ACD利用直角三角形

的兩銳角互余求得NC,最后在工ABC中利用三角形的內(nèi)角和即可求解.

【詳解】解：EIAE平分/BAC,,Zfi4E=30°,

0ZBAC=2ZBAE=60°,

EIZG4￡)=20o,AD0BC,

0ZC=9OO-ZC4D=7O°,

團(tuán)在11ABe中，/3=180?！?BAC-NC=50。，

故答案為：50°.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握定義和定理是解題

的關(guān)鍵.

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023春?湖南常德?八年級統(tǒng)考期中）在一個直角三角形中，有一個銳角等于35。，則另

一個銳角的度數(shù)是（）

A.145°B.125°C.65°D.55°

【答案】D

【分析】根據(jù)直角三角形中兩銳角互余可直接求得.

【詳解】解：一個直角三角形中，有一個銳角等于35。，則另一個銳角的度數(shù)是

90°-35°=55°,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)是解本

題的關(guān)鍵.

2.（2023春?貴州貴陽?八年級校考階段練習(xí)）在，ABC中，ZA=90°,ZB=36°,則/C

的度數(shù)為（）

A.34°B.44°C.54°D.64°

【答案】C

【分析】由三角形內(nèi)角和180?？傻媒Y(jié)果.

【詳解】解：ZC=180°-ZA-ZB=180°-90°-36°=54°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和為180。是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?新疆烏魯木齊?八年級烏市八中?？奸_學(xué)考試）如圖，在ABC中，AD是

邊上的高，BE平分NABC交AC邊于E,NS4c=60。，ZABE=26°,則—D4C的大小是

A.20°B.22°C.24°D.26°

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得/ABC=2/ABE,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出

NBAD,然后根據(jù)4MC=/fi4C-/胡。計算即可得解.

【詳解】解：BE平分NABC,

ZABC=2ZABE=2x26°=52°,

AD是3c邊上的高，

"BAD=90°-ZABC=90°-52°=38°,

ADAC=ABAC-/BAD=60°一38°=22°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之

間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.（2023秋?重慶渝北?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，AD13C于點(diǎn)。，

ZC=48°.則NA4c的度數(shù)為（）

A

A.52°B.42°C.32°D.28°

【答案】B

【分析】根據(jù)垂直的定義，直角三角形的兩個銳角互余，即可求解.

【詳解】解：SADdLBC,ZC=48°,

0ZADC=9O°,

0ZC=48°,

BlZDAC=90°-48°=42°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，直角三角形的兩個銳角互余，求得NADC=90。是解題的

關(guān)鍵.

5.（2023春?湖南張家界?八年級統(tǒng)考期中）在Rt_ABC中，ZC=90°,若NA=50。，貝！|

NB等于（）

A.55°B.50°C.45°D.40°

【答案】D

【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求出結(jié)果.

【詳解】解：在RtABC中，.ZC=90°,ZA=50°,

.-.ZA+ZB=90°,

.?.ZB=90°-50°=40°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵.

6.（2023春?廣西貴港?八年級統(tǒng)考期中）將一副直角三角板如圖放置，使含30。角的三角板

的短直角邊和含45。角的三角板的一條直角邊重合，則N1的度數(shù)為（）度.

A.60B.75C.45D.30

【答案】B

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等即可求解.

【詳解】解：由題意得NA=60。，ZB=45°,

0Z1=ZACB=180°-ZA-ZB=75°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2023秋?重慶忠縣?八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，將-A沿著3C折疊到-A所在平面

內(nèi)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是A，，若NA=54。，貝吐1+/2=（）

A.144°B.108°C.72°D.54°

【答案】B

【分析】先根據(jù)折疊求出N1和N2的補(bǔ)角，再求N1+N2即可.

【詳解】回將—A沿著折疊到—A所在平面內(nèi)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是A,

回N1的補(bǔ)角為2NACB,N2的補(bǔ)角為2NABC,

0ZA=54°,

0ZABC+ZACB=180°-ZA=180°-54°=126°,

02ZABC+2ZACB=252°,

0Z1+Z2=180°-2ZABC+180°-2ZACB=360°—252°=108°,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到N1+N2和-A

的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.（2023秋?山東濟(jì)南?八年級?？计谀﹥蓚€直角三角板如圖擺放，其中

NBAC=NEDF=90°,ZE=45°,ZC=30°,AB與DF交于點(diǎn)M.若3C7/E尸，則

NBMD的大小為（）

BDC

A.60°B.67.5°C.75°D.82.5°

【答案】C

【分析】根據(jù)BC//EF,可得NFD3=N/=45。,再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出答案.

【詳解】由圖可得NB=60。，ZF=45°,

0SC//EF,

0ZFDB=ZF=45°,

0NBMD=180°-NFDB-ZB=180°-45°-60°=75°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，掌握平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角

和是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

9.（2023秋?廣東汕頭?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，點(diǎn)、D、E分別在3C、AC

上，ZB=40°,ZC=60°.若DE//AB,則

It

D

【答案】100

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出0A=80。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出一血＞,即

可.

【詳解】解:0=40°,ZC=60°,

函4=180°-40°-60°=80°,

旦DE//AB,

0ZAED=180°-80°=100°.

故答案是100.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角

互補(bǔ)，是解題的關(guān)鍵.

10.(2023秋?山東濟(jì)寧?八年級統(tǒng)考期末)如圖，ABC中，ZB=80°,ZC=70°,將

"。沿石尸折疊，A點(diǎn)落在形內(nèi)的A,則N1+N2的度數(shù)為.

【答案】60°

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出-A的度數(shù)，進(jìn)而得出4止F+加E的度數(shù)，再根

據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出NA'EF+NA'FE的度數(shù)，最后由四邊形的內(nèi)角和為360。即可得

到結(jié)論.

【詳解】解：ZB=80°,ZC=70°,

.?.ZA=180°-ZB-ZC=180°-80°-70°=30°,

ZA￡F+ZAFE=180°-ZA=180°-30°=150°,

AEF由AAEF折疊而成，

ZAEF+ZAFE=ZAEF+ZAFE=150°,

.-.Zl+Z2=360°-ZB-ZC-(ZAEF+ZAFE)=360°-80°-70°-150°=60°,

故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和折疊問題，熟知三角形內(nèi)角和是180。，折疊前后

對應(yīng)的角相等是解答此題的關(guān)鍵.

11.（2023秋?甘肅定西?八年級?？计谀┤鐖D，ABC中，ZA=60°,點(diǎn)、E、尸在A3、

AC上，沿E尸向內(nèi)折疊AAEf，得_DEF,則圖中N1+N2等于.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。求出加F+WE的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求出

的度數(shù)，然后根據(jù)平角等于180。解答.

【詳解】解：乙1=6。。,

ZAEF+ZAFE=180°-60°=120°,

沿跖向內(nèi)折疊尸，得DEF,

ZAED+ZAFD=2（ZAEF+ZAFE）=2x120°=240°,

.-.Zl+Z2=180ox2-240°=360°-240°=120°.

故答案為：120°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)

鍵.

12.（2023秋?黑龍江齊齊哈爾,八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，沿DE折疊，點(diǎn)A落

在三角形所在的平面內(nèi)的4處，若NA=30。，々圖=8。°,則/C￡4=.

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出=44即=/4區(qū)＞,根據(jù)NBDA=80°,得

出NAED=100。，根據(jù)/（7碼=44應(yīng)）+441a）-180。，即可求解.

【詳解】解：回沿DE折疊，點(diǎn)A落在三角形所在的平面內(nèi)的A處，

EZADE=NADE,NAED=Z^ED,

=80°,

0ZAD^=ZADE+Z^DE=100°,

EINAOE=NAOE=50°

SZAED=1800-ZA-ZADE=100°

0ZA￡D=Z^￡Z）=1OOO

0ZC￡A=NAED+ZA,ED-180°=20°,

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題中的三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握折疊的性質(zhì)以及三角形

內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

13.（2023秋?河南鄭州?八年級校考期末）如圖所示，將三角形紙片A3C沿DE折疊，點(diǎn)A

落在點(diǎn)尸處，已知/1+/2=128。，則NA是度.

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知NAD￡=NEDP,ZAED=ZDEP,利用平角是180。，求出

ZADE與NAED的和，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出NA的度數(shù).

【詳解】解：將紙片ABC沿DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處，

:.ZADE=ZEDP,ZAED=ZDEP,

.-.Z1+2ZADE+Z2+2ZAED=180°+180°,

Z1+Z2+2（ZADE+ZAED）=360°,

又［Zl+Z2=128°,

ZADE+ZAED=116°,

ZA=1SO0-（ZADE+ZAED）=64°.

故答案是：64.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），解題的關(guān)鍵是挖掘出隱含于題中的已知條件:

三角形內(nèi)角和是180。、平角的度數(shù)也是180。.

14.（2023秋?北京東城?八年級北京市第五中學(xué)分校?？计谥校┤鐖D，D,E分別為一ABC

的邊A3,AC上的點(diǎn)，DE//BC,將ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)尸

處.若4=55。，則ZBDF的度數(shù)為。.

【答案】70

【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得NADE=NB=55。，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得

ZADE=ZEDF=55°,再根據(jù)平角的性質(zhì)，即可求得答案.

【詳解】解：DE//BC,

:.ZADE=NB=55。,

根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得ZADE=NEDF=55。,

NBDF=180°-ZADE-ZEDF=180°-55°-55°=70°,

故答案為：70.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平角的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用各圖形的

性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

三、解答題

15.（2023秋?八年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)P為.ABC的內(nèi)角平分線3尸與CP的交點(diǎn)，求

證：ZBPC=90°+-ZA.

2

【答案】見解析

【分析】由角平分線的定義求得NABC=2NPBC,ZACB=2NBCP,再利用三角形的內(nèi)角

和定理即可證明.

【詳解】證明：BP、CP是角平分線，

:.ZABC=2NPBC,ZACB=2NBCP,

ZASC+ZACB+ZA=180°,

2NPBC+2/BCP+NA=180。，

又NPBC+NBCP+NBPC=180。,

:.ZBPC=9G0+-ZA.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理

是解題的關(guān)鍵.

16.（2023春?湖南岳陽?八年級統(tǒng)考期中）AD.BE為ABC的高，AD、鹿相交于X點(diǎn)，

ZC=50°,求NBHD.

【答案】50°

【分析】根據(jù)同角的余角相等求出NBHD=NC,從而得解.

【詳解】解：EIAD是一ABC的高，

?ZBHD+ZHBD=90P,

團(tuán)班是一ABC的高，

EZfi?D+ZC=90°,

0ZBHD=ZC,

回"=50。，

ElZBHD=50°..

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并

準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

17.（2023秋?浙江湖州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，CO是/ACB的平分線，高

AE與CP相交于點(diǎn)O.若Zfi4C=70。，ZACB=60°.求：

（1）/3的度數(shù)；

（2）ZAOD的度數(shù).

【答案】⑴50。

（2）60°

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出答案.

（2）利用角平分線求出/COE度數(shù)，在根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出NEOC的度數(shù),

利用對頂角相等可求出ZAO。的度數(shù).

【詳解】（1）解：ZBAC=10°,ZACB=60。，

?.ZB=180°-ZBAC-ZACB=180°-70°-60°=50°；

(2)解：ZACB=60°,8是/4?3的平分線,

ZDCB=-ZACB=30°,

2

.高AE與CO相交于點(diǎn)。,

.-.AE±BC,

:.ZAEC^90°,

.ZCOE=180°-90°-30°=60°,

ZAOD=ZEOC（對頂角相等），

ZAOD=ZEOC=60°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的知識點(diǎn)有三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義和對頂角相等，解

題過程中是否能熟練運(yùn)用定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.（2023春?浙江?八年級專題練習(xí)）用反證法證明"三角形三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角

小于或等于60。.”

己知：/A,NB,/C是4ABe的內(nèi)角.

求證：/A,NB,2C中至少有一個內(nèi)角小于或等于60。.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)反證法證明方法，先假設(shè)結(jié)論不成立，然后得到與定理矛盾，從而證得原結(jié)

論成立.

【詳解】證明：假設(shè)求證的結(jié)論不成立，那么三角形中所有角都大于60。，

.-.ZA+ZB+ZC>180°,

這與三角形的三內(nèi)角和為180。相矛盾.

假設(shè)不成立，

三角形三內(nèi)角中至少有一個內(nèi)角小于或等于60度.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理考查反證法，解題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步

驟.反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成

立，則結(jié)論成立.在假設(shè)結(jié)論不成立時，要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只

有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.

19.（2023秋?貴州貴陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，3。平分/ABC,C￡>平分

NACB,ZA=70°,求一。的度數(shù).

【答案】125。

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NABC+NACB=110。，再由角平分線的定義推出

ZDBC+ZDCB=55°,進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理求出NO的度數(shù).

【詳解】解：0ZA=7O°,

0ZABC+ZACB=180°-ZA=110°,

回8。平分/ABC,CD平分，ACS,

EZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

0ZDBC+ZDCB=-ZABC+-ZACB=55°,

22

EZD=180°-ZDBC-ZDCB=125°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知三角形內(nèi)角和為180。

是解題的關(guān)鍵.

20.（2023春?河南鄭州?八年級鄭州外國語中學(xué)?？计谀W(xué)習(xí)了證明的必要性，張明嘗試

證明三角形內(nèi)角和定理，下面是他的部分證明過程.

已知：如圖，BBC,求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證明：過點(diǎn)A作直線OE〃3C...

【答案】見解析

【分析】過點(diǎn)A作直線根據(jù)平行線的性質(zhì)可證得=ZEAC=Z.C,

再根據(jù)平角的性質(zhì)，即可證得.

【詳解】證明：如圖：過點(diǎn)A作直線DE〃3C,

QZDAB+ABAC+NEAC=180°,

.-.ZB+ZBAC+ZC=180o.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的證明方法，熟練掌握和運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理的

證明方法是解決本題的關(guān)鍵.

21.（2023秋?四川達(dá)州?八年級校考期末）如圖，在A4BC中,CDSAB,垂足為，點(diǎn)E在

上，EF^AB,垂足為尸，01=02.

（1）試說明OG0BC的理由；

（2）如果02=34。，且她?！?gt;=47。，求團(tuán)3的度數(shù).

【答案】（1）DG0BC,詳見解析；（2）03=103。.

【分析】（1）先根據(jù)垂直定義得出回CDFWEFB=90。，根據(jù)平行線判定可得出CD回EF,故可得

出回2=E1BCD,推出ElbEIBCD,根據(jù)平行線的判定即可得出結(jié)論；

（2）先根據(jù)CDI3AB得出0BDC=90。，由直角三角形的性質(zhì)得出回BCD的度數(shù)，故可得出0ACB

的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）DG0BC.