人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 第十二章 全等三角形（壓軸題專練）（解析版）

第十二章全等三角形(壓軸題專練)

全等三角形壓軸題題型

專練

ITIT1

?四邊形中構(gòu)造全等三角形?一線三等角模型?三垂直模型O倍長中線模型?旋轉(zhuǎn)模型

【題型一四邊形中構(gòu)造全等三角形】

;方法模型總結(jié)：若四邊形中有兩對鄰邊/Qi

E

:相等(如圖)，常連接這兩對鄰邊的交點\\2F\

;構(gòu)造全等三角形解題.弋/;

：.....................H.__：

例題：如圖，在四邊形A8CD中，于點B,8,AD于點。，點E,尸分別在AB,上，AE=AF,

CE=CF.

(1)若AB=8,CD=6,求四邊形AECP的面積；

(2)猜想NZM2,ZECF,/DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】(1)48

(2)NDAB+/ECF=2/DFC,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)連接AC,證明△ACEg^ACF,則必ACE=SZACF,根據(jù)三角形面積公式求得LACF與S/ACE,根據(jù)S因

必影A￡CF=S/ACF+S/ACE求解即可；

(2)由△可得NFCA=/EC4,ZFAC=ZEAC,ZAFC=ZAEC,根據(jù)垂直關(guān)系，以及三角

形的外角性質(zhì)可得/C+NBEC=ZFCA+ZFAC+ZECA+/EAC=ZDAB+ZECF.可得ND4B+

/ECF=2NDFC

(1)

解：連接AC,如圖,

AE=AF

在△ACE和△AC尸中|CE=CF

AC=AC

：.AACE^AACF(SSS).

：.SAACE=SAACF,ZFAC=ZEAC.

\9CB±AB,CDLAD,

：.CD=CB=6.

SAACF=SAACE=^AECB=x8x6=24.

「?S^^AECF=SAACF~\~SAACE=24+24=48.

(2)

ZDAB+ZECF=2ZDFC

證明：VAACE^AACF,

：.ZFCA=ZECA,ZFAC=ZEACfZAFC=ZAEC.

?.?/。/。與/4尸?；パa，N3EC與NAEC互補，

???ZDFC=ABEC.

VZDFC=ZFCA+ZFAC,ZBEC=ZECA+ZEAC,

：.ZDFC+NBEC=ZFCA+ZFAC+ZECA+ZEAC

=ZDAB+ZECF.

：.ZDAB+ZECF=2ZDFC

【點睛】

本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.在四邊形A8OC中，AC=AB,DC=DB,ZCAB=60°fZCDB=120°fE是AC上一點，歹是A3延長線上

一點，且CE=3尸.

c

D

⑴試說明：DE=DF：

(2)在圖中，若G在AB上且/即G=60。，試猜想CE,EG,8G之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論.

⑶若題中條件“NCAB=60°,/。8=120。改為/。42=mZCDB=180°-a,G在AB上，NEDG滿足什么條

件時，(2)中結(jié)論仍然成立？

【答案】(1)見解析；

⑵CE+BG=EG,理由見解析；

(3)當/EDG=9O"3a時，(2)中結(jié)論仍然成立.

【解析】

【分析】

(1)首先判斷出NC=ND2尸，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出ACDE三AB//，即可判斷出

DE=DF.

(2)猜想CE、EG、3G之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+BG=EG.首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出

AABDSAACZ),即可判斷出=/。必=60。；然后根據(jù)NEDG=60。，可得NCDE=ZADG,

ZADE=ZBDG,再根據(jù)ZCDE=ZBDF，判斷出ZEDG=ZFDG,據(jù)此推得ADEG三ADFG，所以EG=R7,

最后根據(jù)CE=B/，判斷出CE+3G=EG即可.

(3)根據(jù)(2)的證明過程，要使CE+3G=EG仍然成立，則NEDG=ZBD4=NCDA=gNCO3,即

ZEDG=1(180°-?)=90°-1?,據(jù)此解答即可.

(1)

證明：Z.CAB+ZC+ZCDB+ZABD=360°,NC4B=60°,ZCDB=120°,

:.ZC+ZABD=360°-60°-120°=180°,

又；ZDBF+ZABD=180°,

:.NC=NDBF,

在ACDE和ABOb中，

CD=BD

<ZC=ZDBF

CE=BF

,\\CDE^ABDF(SAS),

:.DE=DF.

(2)

解：如圖，連接AO,

猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+BG=EG.

證明：在AABD和AACD中，

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

.?.AABD^AACr)(SS5),

/.ZBDA=ZCDA=-ZCDB」x120。=60。，

22

又?.?N團G=60。，

.?./CDE=ZADG,ZADE=NBDG,

由(1),可得ACDENABDF,

:./CDE=/BDF,

ZBDG+ZBDF=60°f

即NFDG=60。，

:.NEDG=NFDG,

在AD￡G和ADFG中，

DE=DF

<ZEDG=ZFDG

DG=DG

ADEG=bDFG(SAS),

:.EG=FG,

又?.?CE=BF,FG=BF+BG,

.?.CE+BG=EG；

(3)

解:要使CE+3G=EG仍然成立，

貝UNEDG=NBDA=ZCDA=|ZCDB,

即ZEDG=1(180°-a)=90°-1a,

.,.當NEOG=90。一1c時，CE+3G=EG仍然成立.

2

【點睛】

本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，此題是一道綜合性比較強的題目，有一定的難度，能根據(jù)題意

推出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

【題型二一線三等角模型】

方法模型總結(jié)：如圖，NB=NC=

N1,由三角形內(nèi)角和及平角的有

關(guān)性質(zhì)易得N2=N3,N4=/5,

再加上任一組對應(yīng)邊相等，易證兩三角形全等.

例題：【探究】如圖①，點8、C在NM4N的邊AM、AN上，點E、/在NM4N內(nèi)部的射線AD上，/I、Z2

分別是AABE、VC4F的外角.若AB=AC,Z1=Z2=ZBAC,求證：VME絲VC4F.

【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，AB^AC,AB>3C,點。在邊3C上，CD=2BD,點、E、尸在

線段AD上，Z1=Z2=ZBAC,若AABC的面積為9,貝心ABE與ACDP的面積之和為.

【答案】探究：見解析；應(yīng)用：6

【分析】探究：根據(jù)/4=/&!￡+NABE,ZBAC=ZCAF+ZBAE,得出ZA5E=NC4F,根據(jù)N1=N2,

得出NA￡B=NCE4,再根據(jù)AAS證明即可;

應(yīng)用：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出：S^ABE=S^CAF,進而得出凡8尸+久如=S4As，根據(jù)CD=23。，AABC

2

的面積為9,得出與皿,=35^0=6,即可得出答案.

【詳解】探究

證明：VZA=ZBAE+ZABE,ZBAC=ZCAF+ZBAE,

又,:ZBAC=Z1,

：.ZABE=ZCAF,

,-'4=N2,

ZAEB=ZCFA,

在AABE和VC4F中，

'NAEB=NCFA

<NABE=ZCAF

AB=AC

：.z\4BE^AC4F(AAS)；

應(yīng)用

解：,；VABE^CAF,

?q—v

??一口ACAF，

?Q-1-V—V

??*CDF丁0AC4F一°AACD，

,:CD=2BD,AABC的面積為9,

\ACD=耳S^ABC=6,

與ACDP的面積之和為6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,射線AE在NM4N的內(nèi)部，點B、C分別在NM4N的邊AM、AN上,且AB=AC,

若NBAC=/BFE=NCDE=90°,求證：AABF^CAD.

(2)類比探究：如圖2,AB=AC,>ABAC=ZBFE=ZCDE.(1)中的結(jié)論是否仍然成立，請說明

理由；

(3)拓展延伸：如圖3,在"RC中，AB=AC,AB>BC.點E在BC邊上，CE=2BE,點、D、尸在線

段AE上，ZBAC=ZBFE=ZCDE.若AABC的面積為15,DE=2AD,求△臺砂與ACDE的面積之比.

【答案】（1）證明見詳解；（2）成立，證明見詳解；（3）1:4

【分析】（1）根據(jù)NBAC=NBEE=NCDE=90。即可得到N54戶+NC4F=90。，ZDCA+ZCAF=90°,從

而得到ZBAF=/DCA,即可得到證明；

（2）根據(jù)==得到/BA^+NC4F=NDC4+NC4產(chǎn)，即可得到NE4F=/OC4,即可得

到證明；

（3）根據(jù)AABC的面積為15,CE=2BE,即可得到S&BE=5,LEC=1°，結(jié)合￡>E=2AD可得S△皿■=日，

20

SAEDC=3，根據(jù)AB=AC，ZBAC=/BFE=/CDE得至U^ABF^4CAD,即可得到2肥尸，即可得到答案；

【詳解】（1）證明：ZBAC=ZBFE=ZCDE=90°,

AZBFA=ZCDA=90°,NBAF+/CAF=90。,ZDC4+ZC4F=90°,

JZBAF=ZDCA,

在△鉆b與△C4O中，

ZBFA=ZCDA

?.?{ZBAF=ZDCA,

AB=AC

.?.△AB廠/q/XAAS）；

（2）解：成立，理由如下，

ABAC=/BFE=NCDE,

：.ABAF+ACAF=ADCA+ACAF,/BFA=/CDA,

：.ZBAF=ZDCA,

在AABb與△C4。中，

ZBFA=ZCDA

?.?{NBAF=ZDCA,

AB=AC

：.^ABF^CAD（AAS）；

(3)解：AABC的面積為15,CE=2BE,

,?S@BE=5,S&AEC=10,

,/DE=2AD,

_1020

??^AADC_3，MEDC-3，

???ABAC=Z.BFE=Z.CDE,

ZBAF+Z.CAF=ZDCA+ZCAF,Z.BFA=NCDA,

ZBAF=ZDCA,

在AAB尸與AC4D中，

ZBFA=ZCDA

'；］ZBAF=ZDCA,

AB=AC

：.AABF^AC4￡>(AAS)

??、ABEF-33-3，

?S-V-5,Z2-1.4

,,3BEF-3CDE_3.3_L什；

【點睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)及同高不同底三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)內(nèi)外角關(guān)系得

到三角形全等的條件.

2.在直線"?上依次取互不重合的三個點RAE,在直線機上方有AB=AC,且滿足

⑴如圖1,當。=90。時，猜想線段。E,32CE之間的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖2,當0＜勿＜180。時，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明

理由;

(3)應(yīng)用：如圖3,在AABC中，ZBAC是鈍角，AB=AC,NBAD<NCAE,NBDA=ZAEC=NBAC,直線機

與CB的延長線交于點/，若BC=3FB,AABC的面積是12,求AFBD與AACE的面積之和.

【答案】⑴DE=BD+CE

(2)DE=8Z)+CE仍然成立，理由見解析

(3)AFBD與乙ACE的面積之和為4

【解析】

【分析】

(1)由/BZM=/BAC=/AEC=90°得到/BAD+NEAC=N8AZ)+/nBA=90°,進而得到/。&4=

ZEAC,然后結(jié)合AB=AC得證之△EAC,最后得至1」。石=2。+?！辏?/p>

(2)由/BOA=/BAC=/AEC=a得到N8AO+/EAC=/BAZ)+NZ)BA=180°-a,進而得到/。8A=

ZEAC,然后結(jié)合AB=AC得證△OBA04EAC,最后得到。E=BD+CE；

(3)由NBAZ)>NCAE,ZBDA=ZAEC=ABAC,得出/CAE=NA8O,由AAS證得△AOB絲ZkCAE,得

出SAABD=SACEA,再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比，得出SZXA2尸即可得出結(jié)果.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

,/ZBDA=ZBAC=ZAEC=90°,

ZBAD+ZEAC^ZBAD+ZDBA^90°,

：.ZDBA=ZEAC,

\'AB=AC,

：.ADBA^AEAC(AAS),

：.AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE^BD+CE.

(2)

DE=BD+CE仍然成立,理由如下，

,?ZBDA=ZBAC=ZAEC=a,

：.ZBAD+ZEAC^ZBAD+ZDBA^180°-a,

：.ZDBA=ZEAC,

\'AB=AC,

：.(AAS),

：.BD^AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：,：ZBAD<ZCAE,NBDA=/AEC=NBAC,

；./CAE=/ABD,

在△ABO和△CAE中，

ZABD=ZCAE

，ZBDA=ZCEA,

AB=AC

：.AABD^ACAE(AAS),

：.SAABD=SACAE,

設(shè)△ABC的底邊BC上的高為〃，則△ABF的底邊3尸上的高為h,

：.SAABC=^BC-h^n,SAABF=gBF?h,

'：BC=3BF,

：.S^ABF=4,

,/SLABF=SABDF+SAABD=SAFBD+S/\ACE=4,

：.AFBD與△ACE的面積之和為4.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三

角形的判定與性質(zhì).

【題型三三垂直模型】

:方—法穰型總結(jié)，歪三選直硬到干;劉詞泰磨由桂庚濟至

：兩直角三角形中一組角相等，再加上任一組對邊相等，：

;易證兩直角三角形全等，常見的模型如下：

例題：問題1：在數(shù)學(xué)課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1,ZACB^90°,AC^BC,BE±MN,AD±MN,

垂足分別為￡、D.圖中哪條線段與AO相等？并說明理由.

問題2：試問在這種情況下線段。E、AD,8E具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出來，不需要說明理由.

問題3：當直線CE繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線的位置時，試問。E、AD.8E具有怎樣的等量關(guān)系？請

寫出這個等量關(guān)系，并說明理由.

BB

【答案】問題1，AD=EC,證明見解析；問題2：DE+BE=AD；問題3：DE=AD+BE,證明見解析.

【分析】(1)由已知推出NA0C=N8EC=9O。，因為NACQ+NBCE=90。，NZMC+ACQ=90。,推出NOAONBCE,

根據(jù)AAS即可得到^ADC^ACEB,即可得出AD=EC；

(2)由(1)得至！JA。=CE,CD=BE,即可求出答案；

(3)與(1)證法類似可證出NACD=NE8C,能推出△ADC之△CM,得到A。=CE,CD=BE,即可得到

DE、AD.8E之間的等量關(guān)系.

【詳解】解：⑴AD=EC；

證明：9：AD±MN,BELMN,

：.ZADC=ZBEC=90°,

???ZACB=90°,

AZACD+ZBCE=90°,ZDAC+ZACD=90°,

：.ZDAC=ZBCE,

?；NADC=NBEC,AC=BC,

：.AADC^ACEB,

：.AD=EC；

(2)DE+BE=AD；

由(1)已證△ADC之△CE5,

：.AD=EC,CD=EB,CE=AD

：.CE=CD+DE=BE+DE=AD

即DE+BE=AD；

(3)DE=AD+BE.

證明：9：BE±BC,ADLCE,

：.ZADC=90°,ZBEC=90°,

：.NEBC+/ECB=9。。,

,/ZACB=90°,

：.ZECB+ZACD=90°,

：.NACD=NCBE,

VZADC=ZBEC,AC=BC,

：.AADC沿4CEB,

：.AD=CE,CD=BE,

CD+CE=DC,

【點睛】此題主要考查了鄰補角的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能根據(jù)已知證出符合全等的

條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強.

【變式訓(xùn)練】

1.在△ABC中，NBAC=90。，AC^AB,直線MN經(jīng)過點A,且CZ)_LMN于。，BELMN于E.

圖1圖2

(1)當直線繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，ZEAB+ZDAC=度；

(2)求證：DE=CD+BE；

(3)當直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問OE、8、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系,

并加以證明.

【答案】⑴90。

(2)見解析

(3)CD=BE+DE,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)由/BAC=90?？芍苯拥玫?E4S+NOAC=90。；

(2)由CD±MN,BELMN,得/ADC=NBEA=NBAC=9。。,根據(jù)等角的余角相等得到根

據(jù)A4S可證ADCA四△EAB,所以AO=CE,DC=BE,即可得到DE=E4+A。=OC+8E.

(3)同(2)易證△OCAg/XEAB,得到AO=CE,DC=BE,由圖可知AE=A。+OE,所以CD=BE+DE.

(1)

,?ZBAC=9Q°

：.ZEAB+ZDAC=180°-ZBAC=180°-90°=90°

故答案為：90°.

(2)

證明：?:CDLMN于D,BELMN于E

：.ZADC=ZBEA^ZBAC=90°

'：/ZMC+/OCA=90°且ZDAC+ZEAB=9Q°

：.ZDCA=ZEAB

?.?在AOCA和AEAB中

ZADC=ZBEA=90°

<ZDCA=/EAB

AC=AB

：.ADCA^AEAB(A4S)

AO=8E且EA=DC

由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE.

(3)

:CDLMN于D,BELMN于E

：.ZADC=ZBEA=ZBAC=90°

'：/DAC+/Z)CA=90°且NZMC+NEAB=90°

ZDCA=ZEAB

:在AOCA和AEAB中

ZADC=ZBEA=90"

<ZDCA=ZEAB

AC=AB

：.ADCA與AEAB(44S)

AD=BE^.AE=CD

由圖可知：AE=AD+DE

：.CD=BE+DE.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線

段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì).

【題型四倍長中線模型】

例題：閱讀理解

在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法.

如圖1,AZ)是AABC的中線，AB=7,AC=5,求AD的取值范圍.我們可以延長AD到點M,使。M=AD,

連接2M,易證△ADCZ&WDB,所以=接下來，在AABM中利用三角形的三邊關(guān)系可求得40

的取值范圍，從而得到中線AD的取值范圍是；

類比應(yīng)用

如圖2,在四邊形A3C。中，AB//DC,點E是BC的中點.若AE是—54。的平分線，試判斷AB,AD,

0c之間的等量關(guān)系，并說明理由；

拓展創(chuàng)新

如圖3,在四邊形ABCD中，AB//CD,AF與。。的延長線交于點下，點E是BC的中點，若AE是NA4廣的

平分線，試探究AB,AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論.

AA

【答案】閱讀理解：1<AD<6

類比應(yīng)用：DC+AB=AD

拓展創(chuàng)新：AF+CF=AB

【分析】閱讀理解：由全等的性質(zhì)推出E0=AC=5,^^^AM-BM<AM<AB+BM,可得結(jié)論.

類比應(yīng)用：延長AE,DC交于點F,先證AABE/AEEC得CF=AB,再由AE是的平分線知

ZBAF^ZFAD,從而得NEW=N/，據(jù)此知AD=DF,結(jié)合。C+CF=D戶可得答案.

拓展創(chuàng)新：延長AE,DF交于點G,根據(jù)平行和角平分線可證AP=FG,也可證得"BE四△GCE,從而

可得AB=CG,即可得到結(jié)論.

【詳解】閱讀理解：由題可知，AADCdMDB,

：.AC=BM=5.

VAB-BM<AM<AB+BM,AB=1.

2<AM<12,

：.2<2AD<12,

：.1<AD<6,

故答案為：1<AD<6.

類比應(yīng)用：DC+AB=AD.理由如下:

如圖1,延長AE,DC交于點尸.

A

圖1

■:AB//CD,

:.ZBAF=ZF.

CE=BE,

在△ABE和△/C石中，＜/BAF=/F,

ZAEB=ZFEC,

：.AABE^AFEC(AAS),

:.CF=AB.

???是4BA。的平分線，

JZBAF=ZFAD,

???ZFAD=ZF,

JAD=DF.

■:DC+CF=DF,

:.DC+AB=AD.

拓展創(chuàng)新：如圖2,延長AE1,DF交于點、G.

/BAG=NG.

CE=BE,

在AABE和AGCE中，＜/BAG=NG,

NAEB=ZGEC,

：.AABE^AGECCAAS),

CG=AB.

：AE是/BA尸的平分線，

NBAG=NGAF,

：.ZFAG^ZG,

：.AF=GF.

'：FG+CF=CG,

：.AF+CF=AB.

故答案為：AF+CF=AB.

【點睛】本題是三角形的綜合問題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)、角平分線的定

義、平行線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識點，綜合性比較強，有一定的難度，通過作輔助線，倍長中線

構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.為了進一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時，小麗在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1,在

A/4BC中，AO是BC邊上的中線，延長AO到使=連接

圖1圖2圖3

【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)圖1中AC與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是.

【初步應(yīng)用】

(2)如圖2,在44BC中，若AB=12,AC=8,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

【探究提升】

(3)如圖3,AD是“1BC的中線，過點A分別向外作AELAB、AFAC,使得AE=AB,AF=AC,延長

DA交EF于點、P,判斷線段E尸與AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請說明理由.

【答案】(1)AC^BM,AC/IBM；(2)2<A￡><10；(3)EF=2AD,ADYEF,理由見解析

【分析】(1)證AMDB絲AADC,得AC=BM,ZMBD=ZACD,再由平行線的判定即可得出AC〃即1；

(2)延長4)到使得。暇=4),連接由(1)可知：AMDB-ADC,^BM=AC=8,再由

三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

(3)延長AD到使得DW=A￡),連接,由(1)可知：AMOB絲AADC,得=AC,由AC=AF,

可證=再證AABM0A￡4/，得AM=EF,ZE=ZBAM,則EF=2AD,然后由平角

ZEAP+ZBAM=90°,再由NE=44M,得N￡/%=90。，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)如下圖1,

?.?&￡＞是AABC的中線,

BD=CD,

在ZW陽和△ADC中,

BD=CD

ZBDM=ZCDA

DMAD

..△MDBmAADC,

:.AC=BM,ZMBD=ZACD,

:.AC//BM,

二.AC與血/的數(shù)量關(guān)系是AC=5M,位置關(guān)系是AC〃氏0；

(2)如下圖2,延長AO到M,使得=連接

A

由（1）可知：AMDB會AADC,

:.BM=AC=8,

在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM,

,\12-8<AM<12+8,

BP4<W<20,

/.2<AD<10；

（3）如下圖3,延長AD到M,使得DM=AD,連接氏0,

M圖3

由（1）可知：AMDB'ADC,

:.BM=AC,

?.?AC=AF,

BM=AF,

?.?/C=ZDBM,

:.AC//BMf

/.ZBAC+ZABM=180°,

\AELAB,AFLAC,

.\ZBAE=ZFAC=90°,

ZBAC+ZEAF=180°,

:.ZABM=ZEAFf

在△ABM和Z\E4尸中,

AB=EA

<ZABM=ZEAF,

BM=AF

:.^ABM=^EAF,

:.AM=EF,NE二ZBAM,

AD=DM,

:.AM=EF=2AD,

vZBAE=90°,

:.ZEAP+ZBAM=90°,

\-ZAEF=ZBAM,

/.ZEAP+ZE=90°,

:.ZEPA=90°f

即M>_L￡F,

:.EF=2AD,AD±EF.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、倍長中線法、三角形的三邊關(guān)系、平行線的判定與性質(zhì)，

正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

【題型五旋轉(zhuǎn)模型】

例題：【嘗試探究】如圖1,已知在正方形ABCD中（四邊相等，四個內(nèi)角均為90。），點E、尸分別在邊BC、

0c上運動，當㈤F=45。時，探究。尸、8E和石尸的數(shù)量關(guān)系，并加以說明；

【模型建立】如圖2,若將直角三角形ABC沿斜邊翻折得到△AQC,且ZB=ZD=90。，點E、廠分別在邊。C、

BC上運動，且N胡尸=；NBAD,試猜想（2）中的結(jié)論還成立嗎？請加以說明；

【拓展應(yīng)用】如圖3,已知44BC是邊長為8的等邊三角形（三邊相等，三個內(nèi)角均為60。），BD=CD,

ZfiDC=120°,NDBC=/BCD=3",以。為頂點作一個60。角，使其角的兩邊分別交邊AB、AC于點E、

F,連接收，直接寫出△>!￡1尸的周長.

【答案】【嘗試探究】DF+BE=EF,證明見解析；【模型建立】成立，證明見解析；【拓展應(yīng)用】16

【詳解】解：【嘗試探究】DF+BE=EF.

證明：如圖，把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。至AABG,可使A2與重合，

/EBG=180。，點E、B、G共線，

ZBAG=ZDAF+/GAB=ZFAD+ZBAG=90°-45°=45°=ZEAF,

即ZEAF=ZEAG.

AG=AF

在△AEF和AAEG中，＜NGAE=NFAE,

AE=AE

：.△A￡F^AA￡,G（SAS）,

EF=EG=EB+BG=EB+DF,

DF+BE^EF；

【模型建立】成立，如圖，DF+BE=EF

證明：將/繞A順時針旋轉(zhuǎn)—BAD的度數(shù)，此時，AD與A3重合,

由旋轉(zhuǎn)得：BG=DF,Z1=Z2,AF=AG,ZABG=ZD=90°,

同理得：點G,B,E在同一條直線上，

,/ZEAF=-ZBAD,

2

/.ZBAE+ZFAD=-ZBAD,

2

/.NBAE+ZGAB=-ABAD,

2

NEAG=NEAF,

'：AF=AG,AE=AE,

：.^GAE^FAE(SAS),

：.EF=EG,

：.EF=BG+BE=DF+BE,

(2)中的結(jié)論還成立，DF+BE=EF；

【拓展應(yīng)用】：AABC是邊長為8的等邊三角形,

AB=AC=8,ZABC=ZACB=60°,

NDBC=NBCD=30°,

：.ZAB￡)=ZACD=90°,

將△￡>(#繞點。旋轉(zhuǎn)120。，得到△DBG,

VBD=CD,ZBDC=120°,

和重合，NDBG=NDCF=90°,BG=CF,DG=DF,

：.ZEBG=ZEBD+ZGBD=180°,

E,比G三點共線,

同法(2),可得：AGDE當FDE,

：.EF=EG=BE+BG,

△AEP的周長=AE+AF+EF=AE+AF+3E+3G=AE+AF+BE+CF=AB+AC=16.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形.本題主要考查半角

模型，平時多歸納，多積累，可以幫助我們快速解題.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在"BC中，AB=BC,NABC=120。，點D在邊AC上，且線段繞著點2按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

120。能與BE重合，點尸是匹與AB的交點.

（1）求證：AE^CDi

（2）若NDBC=45。，求的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）NBFE=105。.

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABEg/XCBD（SAS）,進而得證；

（2）由（1）得出NOBC=/A2E=45。，BD=BE,NE加）=120。，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行求解即可.

【詳解】（1）證明：：線段8。繞著點8按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。能與BE重合，

:.BD=BE,NEBD=120。,

"：AB=BC,ZABC=nO°,

：./ABD+/DBC=ZABD+ZABE^120°,

：.ZDBC=ZABE,

:.LABE沿ACBD（SAS）,

：.AE=CD；

（2）解：由（1）知NO8C=/A8E=45。，BD=BE,/EBD=120°,

；.NBED=/BDE=W（180°-120°）=30°,

ZBFE=180°-ZBED-ZABE

=180°-30°-45°=105°.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是

解題的關(guān)鍵.

2.在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ADC=9Q°,E、尸分別是BC,8上的點，且Z￡XF=60。,

在探究圖1中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系過程中.

(1)你嘗試添加了怎樣的輔助線？成功了嗎？(真實大膽作答即可得分)

(2)小亮同學(xué)認為：延長FD到點G,使=連接AG,先證明△ABE9△ADG,再證明AAEF/AAG尸，

即可得出BE,EF,ED之間的數(shù)量關(guān)系是

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，=N3+"=180。，E、/分別是8C,CD上的點，且ZE4F=；NBAD,

上述結(jié)論是否仍然成立？并證明；

(4)如圖4,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(。處)北偏西30。的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70。

的8處，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進,

艦艇乙沿北偏東50°的方向以70海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到

達E,F處,且兩艦艇之間的夾角/EO尸為70。，試求