人教版八年級數(shù)學(xué)下冊專項復(fù)習(xí)：勾股定理（知識歸納+題型突破）（解析版）

第十七章勾股定理（知識歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法;

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；

3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實際問題.

基礎(chǔ)知識歸納

知識點一、勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b,斜邊長為c,那

2

么片+/=C.

特別說明：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就

將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.

（3）理解勾股定理的一些變式：a2=c2-b2,護(hù)—a1,c2=（a+b^-2ab.

知識點二、勾股定理的證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖（1）中$靈士一.4=（4+5了=1+4x—at>,所以

2

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖⑵中&方“?Mc'S-ay+dx/b,所以戶

2

方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

邑3=2x；必+9,所以『+從=―

知識點三、勾股數(shù)

滿足不定方程好+寸=Z?的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以X、外Z為

三邊長的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股數(shù)，對解題會很有幫助：

①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41...

如果。、b、C是勾股數(shù)，當(dāng)f為正整數(shù)時，以g、初、a為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.

特別說明：（1）附2—1,2n,n2+l是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；

（2）2n2+2n,2n+l,2n2+2n+l（〃是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；

（3）m2-n2,m2+n2,2mn（m>n,m、〃是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；

知識點四、勾股定理的逆定理

如果三角形的三條邊長a，b,c,滿足〃+匕2=,2,那么這個三角形是直角三角形.

特別說明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.

知識點五、如何判定一個三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如c）.

（2）驗證與/+〃是否具有相等關(guān)系.若02=4+。2,則4ABC是/C=90°的直角三角形；若

則aABC不是直角三角形.

特別說明：當(dāng)時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)。2+匕2>。2時，此三角形為銳角三角形，其中c

為三角形的最大邊.

知識點六、互逆命題

如果兩個命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個叫原命題，則另一個叫做它的

逆命題.

特別說明：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯誤；正確的命題我們稱為

真命題，錯誤的命題我們稱它為假命題.

重要題型

【考點一勾股樹（數(shù)）問題】

例題：下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.5,12,13D.-

345

【答案】C

【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊

的平方.

【詳解】解：A、22+32^42,不能構(gòu)成直角三角形，不合題意；

B、52+42^62,不能構(gòu)成直角三角形，不合題意；

C、52+122=132,能構(gòu)成直角三角形，符合題意；

。、三邊長;，；，:都不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不合題意；

故選：C.

【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知ABC的三邊滿足

a2+b2=c2,則ABC是直角三角形.

【變式訓(xùn)練】

1.我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組

數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.7,8,9D.6,8,10

【答案】D

【分析】根據(jù)“勾股數(shù)”的定義，逐項判斷，即可求解.

【詳解】解：A、22+32^42,不是“勾股數(shù)”，故本選項不符合題意；

B、42+52^62,不是“勾股數(shù)”，故本選項不符合題意；

C、72+82^92,不是“勾股數(shù)”，故本選項不符合題意；

D、62+82=102,是“勾股數(shù)”，故本選項符合題意；

故選：D

【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義：若。涉，。滿足/+廿=。2的三個正整數(shù)，稱為

勾股數(shù).

2.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.a=0.3,b=0.4,c=0.5B.a=2,b=2,c=2-\/2

C.a=4,b—5,c=6D.a=5,6=12,c—13

【答案】D

【詳解】解：A、0.3,0.4,0.5都不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；

B、2&不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；

C、52+42^62,不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)，不符合題意；

D、52+122=13\能構(gòu)成直角三角形，故是勾股數(shù)，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查勾股數(shù)的定義：滿足〃+廿=。2且a、b、。為整數(shù)，則縱6、c為勾股數(shù).

【考點二用勾股定理解三角形】

例題：（2023上?河南南陽?八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在ABC中，ZC=90°,AD是,BAC的平分線,

DE上AB于點、E,CD=4,BD=8,求BE的長.

【答案】4/

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等以及勾股定理.

根據(jù)角平分線的性質(zhì)可先求出DE的長，8。的長已知，根據(jù)勾股定理可求出解.

【詳解】解:AD是的平分線，DE_LAB于E,ZC=90°,

:.DE=CD=4.

5D=8,

BE=y/BD2-DE2=V82-42=4百?

【變式訓(xùn)練】

1.直角三角形的兩直角邊分別為6cm和8cm,則斜邊上的高為cm.

74

【答案】4.8##y

【分析】根據(jù)勾股定理可求出斜邊.然后由于同一三角形面積一定，可列方程直接解答.

【詳解】解：直角三角形的兩條直角邊分別為6由,82m,

，斜邊為癡苒=10(?

設(shè)斜邊上的高為心

則直角三角形的面積為gx6x8=gxio/z,

解得：h=4rfi?,

這個直角三角形斜邊上的高為4山？.

故答案為:4.8：.

【點睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及直角三角形的面積的求法，正確利用三角形面積得出其高的長是

解題關(guān)鍵.

2.長方形ABCD中，長AB=12,寬4?=5,點尸為直線。上一點，當(dāng)△ACP為等腰三角形時，AP=.

【答案】13或后或5屈

【分析】分三種情況畫圖，①當(dāng)AP=AC時，②當(dāng)CP=C4=13時，③當(dāng)CP"=C4=13時，利用勾股定理即可

解決問題.

【詳解】解：分三種情況畫圖，如圖，

AB=n,BC=AD=5,ZABC=90°,

:.AC=y/AB2+BC2=13-

①當(dāng)AP=AC時，

AP=13；

②當(dāng)C產(chǎn)=G4=13時，

/CD=12,

：.DP=I,

AP'=VAC2+DP'2=V52+l2=726;

③當(dāng)CP"=C4=13時，

DP"=DC+CP"=12+13=25,

AP"=4DP"2+AD2=A/252+52=5A/26.

綜上所述：當(dāng)△ACP為等腰三角形時，”=13或或5岳.

故答案為：13或屈或5國.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論思想.

3.(2023上?浙江金華?八年級校考階段練習(xí))如圖，在一ABC中，NC=9O。，CO=3.6,BD=6.

(2)若N1=N2,求AC的長.

【答案】(1)AC=4.8

(2)AC=7.2

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)，熟練掌

握以上知識點并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

(1)由等角對等邊可得陋=①)=6,再由勾股定理進(jìn)行計算即可；

(2)由角平分線的性質(zhì)可得CD=DE=3.6,證明RtACD也RtAED(HL)得到AC=CE,再由勾股定理進(jìn)

行計算即可.

【詳解】⑴解：Z2=ZB,

AD=BD=6,

,ZC=90°,8=3.6,

AC=-]AD2-CD2=招-36=4.8；

(2)解：如圖，過點。作DEIAB于點E,

CD=DE=3.6,

在RtAACD和RtAAED中，

[CD^DE

\AD=AD'

.'.RtACD^RtAED（HL）,

:.AC=CE,

在中，BE=\lBD2-DE2=y162-3.62=4.8-

在RtZ^ACB中，AC2=AB2-BC2,即AC?=（AE+EB）?-（CD+DB?,

AC2=（AC+4.8）2-（3.6+6）2,

解得：AC=1.2.

【考點三以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】

例題：如圖，以Rt^ABC的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形.若AB=幣,則圖中陰影部分的面積

為.

【答案】7

【分析】先用直角三角形的邊長表示出陰影部分的面積，再根據(jù)勾股定理可得：AB2=AC2+BC2,進(jìn)而可將

陰影部分的面積求出.

222222

【詳解】解：Saai=^AC+|fiC+|AB=|（AC+BC+AB）,

AB2=AC2+BC2=7,

:.AB2+AC2+BC2=14,

S陰影=—xl4=7,

故答案是：7.

【點睛】本題考查了勾股定理的知識，要求能夠運(yùn)用勾股定理證明三個等腰直角三角形的面積之間的關(guān)系.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知直角三角形ABC的周長為24,且陰影部分的面積為24,則斜邊A3的長為

【答案】10

【分析】根據(jù)陰影部分面積等于以AC，為直徑的半圓面積之和加上ABC的面積減去以為直徑的半

圓面積進(jìn)行求解即可.

【詳解】解；,??直角三角形ABC的周長為24,

AB+AC+BC=24,AC2+BC2=AB2,

/?AC2+BC2-AB2=0,

???陰影部分的面積為24,

!(AC2+BC2-AB2)+1AC-BC=24

ACBC=48

.(AC+BC}2-AC2-BC2(24-AB)2-AB2

--ACBC=i-------------------------------=----------------------=48，

22

AB=10,

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，二ABC中，ZACB=9Q°,以它的各邊為邊向外作三個正方形，面積分別為耳，邑，53,已知耳=6,

【答案】8

【分析】由勾股定理得出4。2+8。2=回2,得出SI+S?=S3,得出S2=S3-S],即可得出結(jié)果.

【詳解】解：：NACB=90。，

/?AC2+BC2=AB2,

/.Sl+S2=S3,

：.S2=S3-SX=14-6=8；

故答案為：8.

【點睛】本題考查了勾股定理、正方形面積的計算；熟練掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面積關(guān)

系是解決問題的關(guān)鍵.

【考點四勾股定理的證明方法】

例題:如圖，將兩個全等的直角三角形按照如下的位置擺放，使點A,E，D在同一條直線上，ZA=ZD=90°,

AE-CD-a,AB=ED=b,BE=CE=c.

B

(1)填空：NBEC=。，根據(jù)三角形面積公式，可得BEC的面積=；根據(jù)割補(bǔ)法，由梯形的面

積減去陰影部分的面積，可得3EC的面積=.

(2)求證：a2+b2=c2.

【答案】(1)90,1c2,1c2

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

(2)用兩種不同的方法表示梯形ABCD的面積，計算化簡后，即可得出片+/=°2.

【詳解】(1)解：AE=CD=a,AB=ED=b,BE=CE=c,

BAE沿EDC(SSS),

:.ZABE=ZDEC,

.■ZABE+ZAEB^90°,

/.Zz4￡B+ZDEC=90°,

/.ZBEC=90°,

.?一BEC的面積=；3E-CE=gc2

由梯形的面積減去陰影部分的面積，可得..班。的面積

*22

——(Q+Z?)(Q+b)—2x—cib——(Q2+2ab+/??)—ah——(a2+Z7+ab—ab=-c,

故答案為：90,

(2)證明：Rt_ABE咨RtADEC,

:.ZAEB=ZDCE,BE=EC=c,

Z￡>=90°,

ZDCE+ZDEC=90°f

ZAEB+ZDEC=90°f

ZBEC=90°f

班e是等腰直角三角形,

+

S梯形ABC。=S氐A(chǔ)BE+S&CDERt.BEC，

(AB+CD)A。A/.ABEDDCBEEC

2——2—十—2—十―2—

(a+b)(a+b)_"baca

2222

片+2ab+b2_c2+2ab

—,

22

a2+b2=c2.

【點睛】本題考查了梯形，勾股定理的證明，用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積是解決問題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個小正方形拼成

一個大正方形（如圖2）.

圖1圖3

（1）利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：:

（2）用圖1這樣的兩個直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足AE=3C=,DE=AC=b,AD=AB=c,

ZAED=ZACB9Q0,求證（1）中的定理結(jié)論；

（3）如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)CE=/n,HG=，求正方形3。心的面積.（用機(jī)，n

表示）

【答案】⑴。2=片+〃

（2）見解析

m2+n"2

（）~2~

【分析】（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；

（2）由四邊形ABCD的面積兩種計算方式列出等式，即可求解；

（3）分別求出a,b,由勾股定理可求解.

【詳解】（1）解：???大正方形的面積=02,大正方形的面積=4x；xb+^b-af,

C2=4X—x6txZ7+（Z?-af,

??.c2=a2+b2,

故答案為：c2=a2+b2;

（2）證明：如圖：連接BD,

圖3

■:RtAABCgRtAZME,

ZADE=ZBAC,

：.ZDAE+ZADE=90°=ZDAE+ZBAC,

：.ZDAB=90°,

S四邊形ABCD=：/+；〃(/?一〃),S四邊形Ass=2x^Z?+^-Z?(Z?-a),

=

~+5Q(b-a)2x—cib+-Z?(b-a),

々2+〃.

(3)解：由題意可得：CE=CD+DE,GH=AG-AH,

:?m=a+b,n=b-a,

.m—n7m+n

??(X—,b

22

."B…=2'

正方形如&的面積為十

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是

解題的關(guān)鍵.

【考點五勾股定理的實際應(yīng)用】

例題：如圖，一個長為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端A距地面的垂直高度為8米，梯子的頂端下滑2

米后到達(dá)E點，底端也水平滑動2米嗎？試說明理由.

【答案】梯子的頂端下滑2米后，底端將水平滑動2米，理由見解析.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)題意兩次運(yùn)用勾股定理即可解答.

【詳解】解：由題意可知，AB=10m,AC=8m,AE=2m,

在RtAASC中，由勾股定理得：

BC=VAB2-AC2=V102-82=6m，

當(dāng)B滑到D時，DE=AB=Wm,

CE=AC-AE=8-2=6m；

在RtACOE中，

CD=y/DE2-CE2=A/102-62=8>

BD=CD-BC=8-6=2m.

答：梯子的頂端下滑2米后，底端將水平滑動2米.

【點睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.學(xué)過《勾股定理》后，李老師和“幾何小分隊”的隊員們到操場上測量旗桿AB高度，得到如下信息：①

測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長2米（如圖1）；②當(dāng)將繩子拉直時，測得此時拉繩子

的手到地面的距離。為1米，到旗桿的距離CE為9米（如圖2）.根據(jù)以上信息，求旗桿的高度.

【答案】旗桿AB的高度為13米.

【分析】設(shè)回=無，在Rt.ACE中根據(jù)勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)=根據(jù)題意得：

在Rt_ACE中，AC2=AE2+CE2,

即：（了+2）2=（尤一1）2+92,

解得：x=13.

答：旗桿的高度為13米.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的相關(guān)知識并在直角三角形中正確運(yùn)用是解題的

關(guān)鍵.

2.如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船.河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動到E,

同時小船從A移動到B,且繩長始終保持不變.回答下列問題：

⑴根據(jù)題意可知：ACBC+CE.（填“<”或“=”）

⑵若CF=8米，AF=15米，AB=9米，求小男孩需向右移動的距離.

【答案】（1）=

（2）小男孩需向右移動的距離為7米

【分析】（1）根據(jù)繩長始終保持不變即可解答；

（2）首先理解題意，明確小男孩需向右移動的距離是哪條線段的長，然后利用勾股定理即可求解.

【詳解】（1）；AC的長度是男孩未拽之前的繩子長，（BC+CE）的長度是男孩拽之后的繩子長，繩長始終

保持不變，

AC=BC+CE,

故答案為：=;

（2）：CF=8米，AF=15米，

...在Rt^CM中，由勾股定理得：AC=>JAF2+CF2=A/152+82=17（米），

VBF=AF-AB=15-9=6（米），

...在Rt^CFB中，由勾股定理得：BC=\JCF2+BF2=V82+62=10（米），

由（1）得：AC=BC+CE,

，CE=AC—BC=17—10=7（米），

.??小男孩需向右移動的距離為7米.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3.臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它在以臺風(fēng)中心為圓心，一定長度為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的

破壞力.如圖，監(jiān)測中心監(jiān)測到一臺風(fēng)中心沿監(jiān)測點2與監(jiān)測點A所在的直線由東向西移動，已知點C為

一海港，且點C與A,B兩點的距離分別為3006"、400km,且/ACB=90。，過點C作CELAB于點E,以

臺風(fēng)中心為圓心，半徑為260歷"的圓形區(qū)域內(nèi)為受影響區(qū)域，臺風(fēng)的速度為25h〃//i.

（1）求監(jiān)測點A與監(jiān)測點B之間的距離；

⑵請判斷海港C是否會受此次臺風(fēng)的影響，若受影響，則臺風(fēng)影響該海港多長時間？若不受影響，請說明

理由.

【答案】⑴500粒

（2）受影響，臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為8小時

【分析】（1）利用勾股定理求出A3即可；

（2）利用三角形面積得出CE的長，進(jìn)而得出海港C是否受臺風(fēng)影響；若受影響，利用勾股定理得出小以

及DF的長，進(jìn)而得出臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間.

(1)

解：在RtAABC中，AC=300癡，BC=400km,

AB=yJAC2+BC2=V3002+4002=500（km），

答：監(jiān)測點A與監(jiān)測點B之間的距離為500初i；

（2）

解：海港C受臺風(fēng)影響，

理由：ZACB=90°,CEYAB,

S.z.wRdr=-2AC-BC=2-CEAB,

/.300?400=500CE,

.：CE=240kmf

以臺風(fēng)中心為圓心周圍260km以內(nèi)為受影響區(qū)域，

???海港C會受到此次臺風(fēng)的影響，

以。為圓心，260切?長為半徑畫弧，交于￡）,F,

則DE=EF=26Qkm時，正好影響。港口，

在RtACDE中，

ED=7CD2-CE2=72602-2402=100（^），

二DF=2QObn,

.,臺風(fēng)的速度為25千米/小時，

.-.200?25=8（小時）.

答：臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為8小時.

【點睛】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用

勾股定理解答.

4.如圖，是一塊長、寬、高分別是6cm,4cm和3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A

處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點8處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑是多少？

B

【答案】V85cm

【分析】將長方體展開成平面圖形，分三種情況，利用勾股定理進(jìn)行求解，確定最短路徑即可.

【詳解】解：如圖1,當(dāng)爬的長方體的長是(4+6)=10,寬是3時，AB=7102+32=^/^b9(azz).

如圖2,當(dāng)爬的長方體的長是(3+6)=9,寬是4時，AB=y/^耨=回(cm).

4

63

圖2

如圖3,爬的長方體的長是(3+4)=7,寬是6時，AB=y/l2+62=^5(cm).

6

43

圖3

7109>^>^5,

它需要爬行的最短路徑是屈cm.

【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是將長方體展開成平面圖形，利用勾股定理求出最短路徑.

【考點六用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】

例題：木工師傅為了讓直尺經(jīng)久耐用，常常在直尺的直角頂點與斜邊之間加一根小木條，如左圖所示，右

圖為其示意圖.若N54C=90。，線段AB的長為15。小線段AC的長為205?，試求出小木條AD的最短長

度.

直角頂點直角邊AC

【答案】12cm

【分析】根據(jù)垂線段最短，所以當(dāng)AD/3C時，AD最短，利用勾股定理和等積法進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：4c=90。，

二ABC是直角三角形，

???BC2=AC2+AB2,

AB=15cm,AC=20cm,

/.BC=25cm,

要使得小木條A。最短，則此時AD上3C,

SZMVIlDic=2-ADBC=2-ABAC,

即gADx25=；xl5x20,

AD=12cm.

【點睛】本題考查勾股定理.熟練掌握垂線段最短，是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.現(xiàn)有一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊員決定用消防車上的云梯救人，已知消防車高3m,云梯最多只能伸長到10m,

救人時云梯伸至最長如圖，云梯先在A處完成從9m高處救人后，然后前進(jìn)到8處從12m高處救人.

（2）①求消防車在A處離樓房的距離（AD的長度）;

②求消防車兩次救援移動的距離（A3的長度）.（精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)石。1.73,Vi0?3.16,V19?4.36）

【答案】（l）DAf=3米，3笈=10米

（2）①消防車在A處離樓房的距離為8m；②消防車兩次救援移動的距離約為3.6m

【分析】（1）根據(jù)題意，可得消防車的高為DM的長，再根據(jù)題中圖形，可得云梯的長為88,的長.

（2）①根據(jù)題意，可得AO的長，再根據(jù)勾股定理，即可得到消防車在A處離樓房的距離.②根據(jù)題意，

可得的長，再根據(jù)勾股定理，可得到的長，然后根據(jù)=即可算出消防車兩次救援移動

的距離.

【詳解】（1）根據(jù)題意，可得消防車的高為的長，

DM=3m；

根據(jù)題中圖形，可得云梯的長為的長，

二BB'=10m.

故答案為：3；10.

（2）①由題意得DM=3m,A4'=10m,AM=9m,

：.A'D=AM-DM=9-3=6（m）,

在Rt/\AA!D中，AD=Y/AA'2-A'D2=A/102-62=8（m）,

即消防車在A處離樓房的距離為8m；

②由題意得DM—3m,BB'=10m,BM=12m,

B'D=B'M-DM=12-3=9（m）

在RfBZD中,

BD=^BB'--B'D-=V102-92=y/19~4.36（m）,

/.AB=AD-BD=8-4.36~3.6（m）.

即消防車兩次救援移動的距離約為3.6m.

【點睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合思想，勾股定理等知識點，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解本題的關(guān)鍵.

2.如圖，城心公園的著名景點8在大門A的正北方向，游客可以從大門A沿正西方向行至景點C,然后

沿筆直的賞花步道到達(dá)景點&也可以從大門A沿正東方向行至景點D,然后沿筆直的臨湖步道到達(dá)大門A

的正北方的景點￡,繼續(xù)沿正北方向行至景點3（點A,2,C,E在同一平面內(nèi)），其中AC=500米，BC=1300

米，AD=600米，3E=400米.

(1)求A,2兩點的距離；

(2)為增強(qiáng)游客的瀏覽體驗，提升公園品質(zhì)，將從大門A修建一條筆直的玻璃廊橋AF與臨湖步道。E交匯于

點R且玻璃廊橋AF垂直于臨湖步道DE,求玻璃廊橋AF的長.

【答案】(1)A8兩點的距離為1200米

(2)玻璃廊橋AF的長為480米

【分析】(1)在RdABC中，利用勾股定理可得AB的長；

(2)在MAAZJE中，首先利用勾股定理求出DE的長，再根據(jù)面積法求出的長即可.

【詳解】(1)解：由題意，BA1CD,

...在Rt—ABC中，AB=ylBC2-AC2-

?.?3C=1300米，AC=500米，

AB=V13002-5002=1200(米)?

答：A,8兩點的距離為1200米.

(2)?.?3E=400米，

:.AE=AB—3E=1200—400=800(米).

.?.在近△ADE中，DE=>jAE2+AD2-

AD=600米,

'DE=A/8002+6002=1000（米）.

AFLDE,

SL.AA.LnfFc,^-2AFDE=-2ADAE.

.yADAE600x800

..Ar—-----------=-------------=480（米）.

DE1000

答：玻璃廊橋AF的長為480米.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，面積法求垂線段的長，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【考點七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】

例題：如圖所示，已知ABC中，于。，AC=2,3C=1.5,DB=0.9.

(1)求CO的長；

(2)判斷.ABC的形狀，并說明理由.

【答案】⑴1.2

(2)直角三角形，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)垂直定義可得/64=/83=90。，然后在RtBCD中，利用勾股定理進(jìn)行計算即可解

答；

(2)先在中，利用勾股定理可求出AD的長，從而求出54的長，然后利用勾股定理的逆定理證

明，ABC是直角三角形，即可解答.

【詳解】(1)解：CDLAB,

ZCDA=ZCDB=90°,

8c=1.5,￡>3=0.9,

:.CD=y]BC2-DB2=V1.52-0.92=1.2,

，CD的長為1.2；

(2)AA5c是直角三角形，

理由：在Rt^CZM中，AC=2,CD=1.2,

AD=VAC2-co2=M-i爰=i.6>

AB=AD+BD=2.5,

AC2+BC2=4+2.25=6.25,AB2=625,

AC2+BC2=AB2,

：.ABC是直角三角形.

【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，ADJ.BC,垂足為。，且AD=4,3D=8.點E從B點沿射線8C向右以2個單位/秒的速度勻

⑵當(dāng)t=5時，判斷的形狀，并說明理由.

【答案】⑴當(dāng)f=g時，AE=AF；

(2)_ABE是直角三角形，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)題意可得：砥=2人再根據(jù)線段中點的定義可得=M==從而可得上=8-f,

DE=27,由等腰三角形的性質(zhì)得=則建立方程即可解答；

(2)當(dāng)7=5時，BE=2f=l。,DE=2,然后分別在放和?ADE中，利用勾股定理求出AB?和鉆2,

最后利用勾股定理的逆定理證明.43E是直角三角形，即可解答.

【詳解】(1)解：由題意得：BE=2t,

為BE的中點，

BF=EF=-BE=t,

2

VAD=4,BD=8,

：.DF=BD-BF=8-t,DE=BE-BD=2t-8,

VADIBC,AE=AF,

:.DE=DF,

即2t-8=8-tf

解得：f若,

,當(dāng)仁與時，AE=AF;

(2)解：―ABE是直角三角形，

理由：當(dāng)7=5時，BE=2t=10,

：.DE=BE—BD=10—8=2,

在RtAD3中，AB2=AD2+BD2=42+82=80,

在RjADE中，AE2=AD2+DE2=42+22=20,

AB2+AE2=100,BE2=102=100,

-■?AB2+AE2^BE2,

???,ABE是直角三角形.

【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，以及勾股定

理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

2.已知°,6,(:滿足卜一詢+揚(yáng)一105+25+卜-如『=0.

⑴求。，瓦C的值;

(2)試問以6,c為邊能否構(gòu)成直角三角形？請說明理由.

【答案】⑴a=2夜，b=5,c=3y[2

(2)不能構(gòu)成直角三角形，見解析

【分析】(1)利用幾個非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個非負(fù)數(shù)都等于零，確定a,b,c的值即可；

(2)根據(jù)勾股定理得逆定理直接判斷即可得解；

【詳解】(1)vL-Vs|+yjb2-l0b+25+(c-V18)2=0,

a—y/s=0,(。-5)~=0,c—A/TS=0,

*'?a=2A/2>b=5,c=3A/2;

(2)：(2忘了+(30y?52,

不能構(gòu)成直角三角形.

【點睛】本題主要考查非負(fù)數(shù)和為零的性質(zhì)及勾股定理逆定理，熟練掌握非負(fù)數(shù)和為零的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【考點八在網(wǎng)格中判斷直角三角形】

例題：如圖，正方形網(wǎng)格的每個小方格邊長均為1,ABC的頂點在格點上.

B

(1)直接寫出AB=,BC=,AC=:

(2)判斷..ABC的形狀，并說明理由；

(3)直接寫出AC邊上的高=.

【答案】(1)如，2y/13,病

(2)ABC是直角三角形，理由見解析

⑶,朝

OJ

【分析】(1)利用勾股定理，進(jìn)行計算即可解答；

(2)利用勾股定理的逆定理，進(jìn)行計算即可解答;

(3)利用面積法，進(jìn)行計算即可解答.

【詳解】(1)解：由題意得：

AB=A/22+32=V13>

BC=A/42+62=2713，

AC=V82+12=A/65>

故答案為：y/13,2而，??；

(2)解：ABC是直角三角形，

理由："：AB2+BC2=65,AC?=65,

/.AB2+BC2=AC2,

.ABC是直角三角形；

(3)設(shè)AC邊上的高為兒

Me的面積=LAC-/7='AB-BC,

22

???AC/i=ABBC,

A765/2=713x2^/13,

??.〃二竺病，

65

故答案為：^A/65.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都為1,點A8,C,。均在格點上.

(1)求四邊形A3CD的面積,

(2)/BCD是直角嗎？為什么？

【答案】⑴言29

(2)是直角，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格中圖形，用大正方形面積減去四個頂點處的直角三角形面積和一個正方形面積即可

得到答案；

(2)由圖，連接3D,分別在網(wǎng)格中利用勾股定理計算出三條線段長，利用勾股定理的逆定理驗證即可得

到答案.

【詳解】(1)解：由網(wǎng)格圖可知，四邊形ABCD的面積為5x5-；xlx5-|xlx4xlx2-；x2x4-l

29

=T;

(2)解：/BCD是直角，

理由如下：連接8。，如圖所示:

/.BD2=32+42=25,BC2=22+42=20,CO2=l2+22=5,

BC2+CD2=BD-,

△BCD是直角三角形，N3CD是直角.

【點睛】本題考查網(wǎng)格中求四邊形面積及勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握網(wǎng)格中求圖形面積的方

法及網(wǎng)格中利用勾股定理求線段長的方法是解決問題的關(guān)鍵.

2.如圖，在7x7網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,點4L3),C(2,l).

(1)建立平面直角坐標(biāo)系；

(2)判斷-ABC的形狀，并說明理由；

(3)在x軸上找一點P,當(dāng)PA+PC最小時，此時尸點坐標(biāo)是.

【答案】(1)詳見解析

(2)八4。3是直角三角形，詳見解析

7

(3)(-,0)

【分析】(1)根據(jù)A、C兩點坐標(biāo)確定平面直角坐標(biāo)系即可；

(2)根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；

(3)作點C關(guān)于x軸的對稱點C',連接AC'交x軸于點尸，直線AC的解析式，可得點尸坐標(biāo).

【詳解】(1)如圖，平面直角坐標(biāo)系如圖所示：

⑵"AC=A/12+22=V5>BC=BC=A/22+42=2A/5>AB=A/32+42=5>

/.AC2+BC2=AB2,

：.ZAC3=90°,

〃酸是直角三角形;

（3）如圖，點尸即為所求,

,/C(2,l),A(l,3),C'(2,-l),

k+b=3八,k=-4

設(shè)直線AC'的解析式為、=履+萬，則有2-'解得:

。=7

直線AC'的解析式為y=Yx+7,

7

令尸。，可得X=“

7

【點睛】本題主要考查的是軸對稱路徑最短問題，勾股定理以及逆定理等知識，明確A、P、C'在一條直

線上時，私+PC有最小值是解題的關(guān)鍵.

【考點九利用勾股定理的逆定理求解】

例題：如圖，在四邊形A3CD中，AB^AD=5,ZA=60°,BC=13,CD=12.

(1)求/ADC的度數(shù)；

(2)四邊形ABCD的面積為.

【答案】⑴150°

(2)”豆+30

4

【分析】(1)連接3D,根據(jù)已知先證明△ABD是等邊三角形，從而可得3D=AD=6,WB=60。，再利

用勾股定理的逆定理證明△3CD是直角三角形，從而可得/3DC=90。，然后進(jìn)行計算即可解答；

(2)過點8作垂足為E,利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出AE的長，從而利用勾股定理求

出血的長，然后根據(jù)四邊形ABCQ的面積=AWD的面積+4瓦)。的面積，進(jìn)行計算即可解答.

AB=AD=5,AA=60°,

???是等邊三角形，

.\BD=AD=AB=5,ZADB=60°,

BC=13fCD=12,

:.CD2+BD2=BC2,

???△以?是直角三角形，

.\ZBDC=90°,

/.ZADC=ZADB+ZBDC=150°,

「.NA。。的度數(shù)為150。；

ABD是等邊三角形,

:.AE=-AD=-,

22

BE=^AB2-AE2=->/3,

2

，四邊形ABC。的面積=Z\ABD的面積+43DC的面積

=-ADBE+-BDDC

22

15i-1

=—x5x—V3+—xl2x5

222

=生6+30,

4

四邊形ABC。的面積為學(xué)君+30.

【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及

等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在，ABC中，點。是BC邊上一點，連接AD.若AB=10,AC=17,BD=6,A￡)=8求。C的

長.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得到為直角三角形，ZADB=ZADC=90°,再根據(jù)勾股定理求解即

可.

【詳解】解：VAB=10,BD=6,AD=8,

AD2+BD2=AB2,

△AB。為直角三角形，ZADB=90°

：.ZADB=ZADC=90°,

CD=VAC2-AD2=is.

【點睛】此題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是通過勾股定理的逆定理得到△鈿￡>為

直角三角形.

2.如圖，四邊形45CD中，已知AB=1,BC=2,D4=3,DC=2,且NABC=90。.求四邊形ABC。的

面積.

D

【答案】四邊形ABCD的面積為1+君.

【分析】先在Rt^ABC中，利用勾股定理求出AC=7L然后再利用勾股定理的逆定理證明一ACD是直角

三角形，從而可得NACD=90。，最后根據(jù)四邊形ABC。的面積=ABC的面積+4ACD的面積，進(jìn)行計算即

可解答.

【詳解】解：：ZABC=90。，AB=\,BC=2,

AC=yjAB2+BC2=+2?=75，

,**DA=3,DC=2,

/.AC2+C￡>2=（^）2+22=9,AD2=32=9,

：.AC~+CD-=AD-,

_ACD是直角三角形，且NACg。。，

.??四邊形ABC。的面積=.ABC的