圖形的性質壓軸題（綜合訓練）（原卷版）

專題17圖形的性質壓軸題（綜合）

1.綜合與實踐

“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂

點共圓.該小組繼續(xù)利用上述結論進行探究.

提出問題：

如圖1,在線段/C同側有兩點3,D,連接AB,BC,CD,如果那么

A,B,C,。四點在同一個圓上.

探究展示：

如圖2,作經(jīng)過點C,。的。。，在劣弧NC上取一點E（不與/,C重合），連接

AE,CE,則//EC+/D=180°（依據(jù)1）

/B=ND

：.ZAEC+ZB=18O°

...點/,B,C,￡四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

:.點、B,。在點/,C,￡所確定的。。上（依據(jù)2）

...點B,C,。四點在同一個圓上

反思歸納：

（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：;依據(jù)2：.

（2）如圖3,在四邊形4BCD中，N1=N2,N3=45°,則N4的度數(shù)為.

拓展探究：

（3）如圖4,已知△/2C是等腰三角形，AB=4C,點、D在BCk（不與2C的中點重

合），連接AD.作點C關于AD的對稱點E,連接E8并延長交4。的延長線于尸，連接

AE,DE.

①求證：A,D,B,￡四點共圓；

②若/2=2加，斤的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明

理由.

2.已知△/8C會△￡>￡（；,AB=AC,AB>BC.

(1)如圖1,CB平分/ACD,求證：四邊形N8DC是菱形；

(2)如圖2,將(1)中的△CDE繞點C逆時針旋轉(旋轉角小于/A4C),BC,DE的

延長線相交于點尸，用等式表示N/CE與/EFC之間的數(shù)量關系，并證明；

(3)如圖3,將(1)中的△CDE繞點C順時針旋轉(旋轉角小于N/2C),若/B4D=N

BCD,求/4D8的度數(shù).

圖1圖2圖3

3.閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：

如圖1,ZUBC和都是等邊三角形，點/在?！晟?

求證：以/￡、AD、/C為邊的三角形是鈍角三角形.

【探究發(fā)現(xiàn)】(1)小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC,根據(jù)己知條件，可以證明OC=/E,Z

4DC=120°,從而得出為鈍角三角形，故以/￡、AD、NC為邊的三角形是鈍角

三角形.

請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程.

【拓展遷移】(2)如圖2,四邊形N2CD和四邊形都是正方形，點/在EG上.

①試猜想：以NE、AG,/C為邊的三角形的形狀，并說明理由.

②若/爐+/G2=10,試求出正方形/BCD的面積.

4.在△/8C中，ZBAC=90°,AB=AC,直線/經(jīng)過點力,過點8、C分別作/的垂線，

垂足分別為點。、E.

(1)特例體驗：如圖①，若直線/〃8C,AB=AC=<2,分別求出線段出入CE和

的長；

(2)規(guī)律探究：

(I)如圖②，若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點/旋轉a(0<a<45°),請?zhí)骄烤€段

BD、CE和?！甑臄?shù)量關系并說明理由；

(II)如圖③，若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點/順時針旋轉a(45°<a<90°),與線

段2C相交于點X,請再探線段2。、CE和。E的數(shù)量關系并說明理由；

(3)嘗試應用：在圖③中，延長線段3。交線段NC于點尸，若CE=3,DE=1,求心

BFC-

(1)如圖1,是等邊△48C的中線，點P在的延長線上，^.AP=AC,貝U/NPC

的度數(shù)為.

問題探究

(2)如圖2,在△4BC中，C4=CB=6,NC=120°.過點/作4P〃2C,且4P=2C,

過點尸作直線L8C,分別交N8、8c于點。、E,求四邊形OEC4的面積.

問題解決

(3)如圖3,現(xiàn)有一塊△48C型板材，NNC8為鈍角，ZBAC=45°.工人師傅想用這

塊板材裁出一個△NAP型部件，并要求N24P=15°,AP=AC.工人師傅在這塊板材上

的作法如下：

①以點C為圓心，以C4長為半徑畫弧，交48于點。，連接CD；

②作CD的垂直平分線I,與CD交于點E；

③以點/為圓心，以/C長為半徑畫弧，交直線/于點P,連接/尸、BP,得△/AP.

請問，若按上述作法，裁得的△N5P型部件是否符合要求？請證明你的結論.

6.如圖，已知半徑為5的經(jīng)過x軸上一點C,與y軸交于N、8兩點，連接NM、AC,

NC平分NO/M,AO+CO=6.

(1)判斷。"與x軸的位置關系，并說明理由;

(2)求的長；

(3)連接8M并延長交于點。，連接CD,求直線CD的解析式.

7.如圖，在菱形/BCD中，AB=5,8。為對角線.點E是邊48延長線上的任意一點，連

結。E交2c于點尸，BG平分/CBE交DE于點、G.

(1)求證：NDBG=90；

(2)若加)=6,DG=2GE.

①求菱形N3C。的面積.

②求tanZBDE的值.

(3)若BE=AB,當?shù)拇笮“l(fā)生變化時(0°<ZDAB<]80°),在/￡上找一點

T,使G7為定值，說明理由并求出ET的值.

8.如圖1,在△/2C中，ZABC^45°,4DLBC于點、D,在ZX4上取點E,使。E=OC,

連接3￡、CE.

(1)直接寫出CE與的位置關系；

(2)如圖2,將△AED繞點。旋轉，得到△次E'D(點次、E'分別與點2、E對

應)，連接C￡'、AB',在旋轉的過程中CE'與AB'的位置關系與(1)中的

CE與AB的位置關系是否一致？請說明理由；

(3)如圖3,當ABEr)繞點。順時針旋轉30°時，射線CE'與AB'分別交于點

G、F,若CG=FG,DC=曲,求/夕的長.

且/￡/尸=45°.

(1)當尸時，求證：AE=AF；

(2)猜想BE,EF,DE三條線段之間存在的數(shù)量關系，并證明你的結論;

(3)連接/C,G是C2延長線上一點，GHLAE,垂足為K,交/C于點〃且G8=

請用含。，6的代數(shù)式表示跖的長.

圖1

10.如圖，48為O。的直徑，C為圓上的一點，。為劣弧枕的中點，過點。作。。的切線

與NC的延長線交于點P,與N8的延長線交于點尸，AD與BC交于點E.

(1)求證：BC//PF-,

(2)若O。的半徑為逐，DE=1,求/￡的長度；

(3)在(2)的條件下，求△DCP的面積.

p

cD

11.如圖，平行四邊形48。中，DB=2^3,AB=4,AD=2,動點￡、尸同時從4點出發(fā),

點E沿著/一。一3的路線勻速運動，點廠沿著8-。的路線勻速運動，當點E,F

相遇時停止運動.

(1)如圖1,設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當運動時間

2

為§秒時，設CE與。尸交于點尸，求線段￡尸與CP長度的比值；

(2)如圖2,設點￡的速度為1個單位每秒，點尸的速度為禽個單位每秒，運動時間為

尤秒，△/斯的面積為y,求y關于x的函數(shù)解析式，并指出當x為何值時，了的值最大,

最大值為多少？

(3)如圖3,以在線段N2上且/8=尹3,M為。尸的中點，當點￡、廠分別在線段

AD,上運動時，探究點￡、尸在什么位置能使并說明理由.

E…

'BA

F

圖1

12.如圖，在Rta/BC中，NC=90°,點。在48上，以2。為直徑的O。與/C相切于

點、E,交BC于點F,連接。尸，0E交于點

(1)求證：四邊形EMFC是矩形；

(2)若/￡=遮，。。的半徑為2,求W的長.

c

13.兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起

來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

(1)問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若△/2C和△/DE是頂角相等的等腰三角形，BC,分別是底邊.求證：BD

=CE；

(2)解決問題：

如圖2,若△/C8和均為等腰直角三角形，/ACB=/DCE=9Q°,點、A,D,E

在同一條直線上，CW為中DE邊上的高，連接BE,請判斷N/匹的度數(shù)及線段

CM,AE,BE之間的數(shù)量關系并說明理由.

14.在△48C中，NC=BC,點。在線段上，連接C。并延長至點E,使D￡=CD,過

點、E作EFLAB,交直線48于點尸.

(1)如圖1,若/ACB=120°,請用等式表示/C與即的數(shù)量關系：

1

2

(2)如圖2.若NNC8=90°,完成以下問題：

①當點。，點尸位于點N的異側時，請用等式表示NC,AD,。尸之間的數(shù)量關系，并

說明理由；

②當點。，點尸位于點”的同側時，若DF=1,AD=3,請直接寫出/C的長.

A

15.已知點E在正方形N8CD的對角線/C上，正方形/EEG與正方形/BCD有公共點

A.

2CE

(1)如圖1,當點G在40上，尸在48上，求—的值為多少;