2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第四講-三角函數(shù)(2大考向)-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第四講-三角函數(shù)(2大考向)-專項(xiàng)訓(xùn)練一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)高考對三角函數(shù)的考查，基礎(chǔ)方面是掌握三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式。重點(diǎn)是三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值等。三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上，高考會側(cè)重綜合推理能力和運(yùn)算能力的考查，體現(xiàn)三角恒等變換的工具性作用，以及會有一些它們在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。這需要同學(xué)熟練運(yùn)用公式，進(jìn)一步提高運(yùn)用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想、換元的思想、方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用。三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)2022·新高考Ⅰ卷，62023·新高考Ⅰ卷，152024·新高考Ⅰ卷，72022·新高考Ⅱ卷，92023·新高考Ⅱ卷，162024·新高考Ⅱ卷，9三角恒等變換2023·新高考Ⅰ卷，82024·新高考Ⅰ卷，42022·新高考Ⅱ卷，62023·新高考Ⅱ卷，72024·新高考Ⅱ卷，13二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)及三角恒等變換。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角恒等變換都結(jié)合了兩角和差的公式，屬于常規(guī)題型，難度一般。Ⅰ卷在考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，結(jié)合了具體函數(shù)圖像的畫法，Ⅱ卷則是考查了零點(diǎn)、對稱性、最值、周期性等基本性質(zhì)。三角函數(shù)的考查應(yīng)關(guān)注：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和角差角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、應(yīng)用三角公式進(jìn)行化簡、求值和恒等變形及恒等證明。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查三角恒等變換中的倍角公式、和差公式、輔助角公式及圖像與性質(zhì)中的對稱性和零點(diǎn)問題。三：試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅰ卷·4）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024新高考Ⅰ卷·7）當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8二、多選題3．（2024新高考Ⅱ卷·9）對于函數(shù)和，下列說法正確的有（

）A．與有相同的零點(diǎn) B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖像有相同的對稱軸三、填空題4．（2024新高考Ⅱ卷·13）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.高考真題練一、單選題1．（2022新高考Ⅰ卷·6）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．32．（2023新高考Ⅰ卷·8）已知，則（

）．A． B． C． D．3．（2022新高考Ⅱ卷·6）若，則（

）A． B．C． D．4．（2023新高考Ⅱ卷·7）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．二、多選題5．（2022新高考Ⅱ卷·9）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線三、填空題6．（2023新高考Ⅰ卷·15）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．7．（2023新高考Ⅱ卷·16）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．

知識點(diǎn)總結(jié)一、三角函數(shù)基本概念1、弧度制（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．2、任意角的三角函數(shù)（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)時(shí)，則，，．（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)P是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則，，三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號＋＋－－＋－－＋＋－＋－記憶口訣INCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF"INET：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．二、同角三角函數(shù)基本關(guān)系1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：；三、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．四、兩角和與差的正余弦與正切①；②；③；五、二倍角公式①；②；③；六、降次（冪）公式知識點(diǎn)四：半角公式七、輔助角公式（其中）．八、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中）函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無對稱中心對稱軸方程無注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個(gè)對稱中心的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；九、與的圖像與性質(zhì)（1）最小正周期：．（2）定義域與值域：，的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-A，A]．（3）最值假設(shè)．①對于，②對于，（4）對稱軸與對稱中心．假設(shè)．①對于，②對于，正、余弦曲線的對稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（?。┲档奈恢茫?、余弦的對稱中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點(diǎn)的位置．（5）單調(diào)性．假設(shè)．①對于，②對于，（6）平移與伸縮由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；方法一：．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負(fù)”（相一期一幅）三角函數(shù)圖像，使之變形．方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．注：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負(fù)”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個(gè)變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少．【三角函數(shù)常用結(jié)論】1、利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化．2、“”方程思想知一求二．3、兩角和與差正切公式變形；．4、降冪公式與升冪公式；．5、其他常用變式．6、拆分角問題：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．7、關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個(gè)重要結(jié)論（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為名校模擬練一、單選題1．（2024·江蘇南通·三模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·山東濟(jì)南·三模）若，則（

）A．1 B． C．2 D．3．（2024·重慶·三模）已知，且，則（）A． B． C． D．4．（2024·浙江·三模）若，則（

）A． B．C． D．5．（2024·河北保定·二模）已知，則（

）A． B． C． D．6．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2024·山東青島·三模）為了得到的圖象，只要把的圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 B．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度C．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 D．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度8．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說法：（1）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱（3）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)（4）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．49．（2024·河北石家莊·三模）已知角滿足，則（

）A． B． C． D．210．（2024·重慶·三模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，則（

）A． B． C． D．11．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（

）A． B． C． D．12．（2024·江西九江·三模）若，則（

）A． B． C． D．13．（2024·江蘇宿遷·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間B．是的一個(gè)對稱中心C．在上值域?yàn)镈．將的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位后所得圖象的函數(shù)解析式為14．（2024·黑龍江·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．15．（2024·河北·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則周期的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題16．（2024·山東威海·二模）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減B．將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對稱C．在上有兩個(gè)零點(diǎn)D．17．（2024·云南昆明·三模）已知函數(shù)的最小正周期大于，若曲線關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則下列說法正確的是（

）A． B．是偶函數(shù)C．是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn) D．在單調(diào)遞增18．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為2B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．不等式的解集為D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是19．（2024·湖南衡陽·三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．方程的解為，20．（2024·河南·三模）已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的有（

）A．的圖象可由的圖象平移得到B．在上單調(diào)遞增C．圖象的一個(gè)對稱中心為D．圖象的一條對稱軸為直線21．（2024·廣西欽州·三模）已知函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．若，則D．將的圖象往右平移1個(gè)單位長度后可以得到函數(shù)的圖象22．（2024·河北秦皇島·三模）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)； B．是周期為的周期函數(shù)；C．在上單調(diào)遞增； D．的最小值為.23．（2024·安徽蕪湖·三模）已知，下面結(jié)論正確的是（

）A．時(shí)，在上單調(diào)遞增B．若，且的最小值為，則C．若在上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是D．存在，使得的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱三、填空題24．（2024·全國·二模）已知，則.25．（2024·安徽合肥·三模）已知，則.26．（2023·黑龍江佳木斯·三模）已知，，則．27．（2024·黑龍江·三模）已知，則.28．（2024·江西宜春·三模）已知，且，則．29．（2024·北京·三模）已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則；若圓面恰好覆蓋圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)共3個(gè)，則的取值范圍是.30．（2024·河北衡水·三模）已知是函數(shù)的一條對稱軸，在區(qū)間內(nèi)恰好存在3個(gè)對稱中心，則的取值范圍為．31．（2024·安徽合肥·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)最大值點(diǎn)，則的取值范圍是．32．（2024·江西九江·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.33．（2024·湖北荊州·三模）設(shè)，，，若滿足條件的與存在且唯一，則，參考答案與詳細(xì)解析一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)高考對三角函數(shù)的考查，基礎(chǔ)方面是掌握三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式。重點(diǎn)是三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值等。三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上，高考會側(cè)重綜合推理能力和運(yùn)算能力的考查，體現(xiàn)三角恒等變換的工具性作用，以及會有一些它們在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。這需要同學(xué)熟練運(yùn)用公式，進(jìn)一步提高運(yùn)用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想、換元的思想、方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用。三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)2022·新高考Ⅰ卷，62023·新高考Ⅰ卷，152024·新高考Ⅰ卷，72022·新高考Ⅱ卷，92023·新高考Ⅱ卷，162024·新高考Ⅱ卷，9三角恒等變換2023·新高考Ⅰ卷，82024·新高考Ⅰ卷，42022·新高考Ⅱ卷，62023·新高考Ⅱ卷，72024·新高考Ⅱ卷，13二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)及三角恒等變換。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角恒等變換都結(jié)合了兩角和差的公式，屬于常規(guī)題型，難度一般。Ⅰ卷在考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，結(jié)合了具體函數(shù)圖像的畫法，Ⅱ卷則是考查了零點(diǎn)、對稱性、最值、周期性等基本性質(zhì)。三角函數(shù)的考查應(yīng)關(guān)注：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和角差角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、應(yīng)用三角公式進(jìn)行化簡、求值和恒等變形及恒等證明。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查三角恒等變換中的倍角公式、和差公式、輔助角公式及圖像與性質(zhì)中的對稱性和零點(diǎn)問題。三：試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅰ卷·4）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求的關(guān)系，結(jié)合的值可求前者，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，而，所以，故即，從而，故，故選：A.2．（2024新高考Ⅰ卷·7）當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】畫出兩函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象即可求解【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).故選：C二、多選題3．（2024新高考Ⅱ卷·9）對于函數(shù)和，下列說法正確的有（

）A．與有相同的零點(diǎn) B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖像有相同的對稱軸【答案】BC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)，令，解得，即為零點(diǎn)，令，解得，即為零點(diǎn)，顯然零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，顯然，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對稱軸滿足，的對稱軸滿足，顯然圖像的對稱軸不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題4．（2024新高考Ⅱ卷·13）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.【答案】【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得，再縮小的范圍，最后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【詳解】法一：由題意得，因?yàn)?，，則，，又因?yàn)?，則，，則，則，聯(lián)立，解得.法二：因?yàn)闉榈谝幌笙藿牵瑸榈谌笙藿?，則,，，則故答案為：.高考真題練一、單選題1．（2022新高考Ⅰ卷·6）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A2．（2023新高考Ⅰ卷·8）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?，而，因此，則，所以.故選：B3．（2022新高考Ⅱ卷·6）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.4．（2023新高考Ⅱ卷·7）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因?yàn)?，而為銳角，解得：．故選：D．二、多選題5．（2022新高考Ⅱ卷·9）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時(shí)，，故．對A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．三、填空題6．（2023新高考Ⅰ卷·15）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則有3個(gè)根，令，則有3個(gè)根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.7．（2023新高考Ⅱ卷·16）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．

【答案】【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進(jìn)而求得．【詳解】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因?yàn)?，所以，即，．所以，所以或，又因?yàn)椋?，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．知識點(diǎn)總結(jié)一、三角函數(shù)基本概念1、弧度制（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．2、任意角的三角函數(shù)（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)時(shí)，則，，．（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)P是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則，，三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號＋＋－－＋－－＋＋－＋－記憶口訣INCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF"INET：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．二、同角三角函數(shù)基本關(guān)系1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：；三、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．四、兩角和與差的正余弦與正切①；②；③；五、二倍角公式①；②；③；六、降次（冪）公式知識點(diǎn)四：半角公式七、輔助角公式（其中）．八、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中）函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無對稱中心對稱軸方程無注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個(gè)對稱中心的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；九、與的圖像與性質(zhì)（1）最小正周期：．（2）定義域與值域：，的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-A，A]．（3）最值假設(shè)．①對于，②對于，（4）對稱軸與對稱中心．假設(shè)．①對于，②對于，正、余弦曲線的對稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（?。┲档奈恢茫?、余弦的對稱中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點(diǎn)的位置．（5）單調(diào)性．假設(shè)．①對于，②對于，（6）平移與伸縮由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；方法一：．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負(fù)”（相一期一幅）三角函數(shù)圖像，使之變形．方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．注：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負(fù)”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個(gè)變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少．【三角函數(shù)常用結(jié)論】1、利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化．2、“”方程思想知一求二．3、兩角和與差正切公式變形；．4、降冪公式與升冪公式；．5、其他常用變式．6、拆分角問題：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．7、關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個(gè)重要結(jié)論（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為名校模擬練一、單選題1．（2024·江蘇南通·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】展開并同時(shí)平方，結(jié)合二倍角的正弦公式即可得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】展開得，兩邊同時(shí)平方有，即，解得，故選：B.2．（2024·山東濟(jì)南·三模）若，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由同角的三角函數(shù)和二倍角公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，故選：B3．（2024·重慶·三模）已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二倍角公式化簡和同角三角函數(shù)關(guān)系求出，利用余弦二倍角公式求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，解得或舍，則故選：C4．（2024·浙江·三模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用和差角公式展開，即可得到，再兩邊同除，最后結(jié)合兩角和的正切公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，即，即，兩邊同除可得，所?故選：C5．（2024·河北保定·二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函數(shù)的關(guān)系，解出，再結(jié)合二倍角公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所以．故選：B.6．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由，可得，可得則，因?yàn)椋耘c異號，可得為第二或第四象限，當(dāng)為第二象限角時(shí)，可得；當(dāng)為第四象限角時(shí)，可得.故選：C.7．（2024·山東青島·三模）為了得到的圖象，只要把的圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 B．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度C．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 D．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名，再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】，由誘導(dǎo)公式可知：又則，即只需把圖象向右平移個(gè)單位.故選：A8．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說法：（1）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱（3）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)（4）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于（1），由，所以不是函數(shù)的圖象的對稱中心，所以（1）錯(cuò)誤；對于（2）中，由，所以不是函數(shù)的圖象的對稱軸，所以（2）錯(cuò)誤；對于（3）中，令，可得，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以在內(nèi)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，所以（3）正確；對于（4）中，由，可得，此時(shí)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以（4）錯(cuò)誤.故選：A.9．（2024·河北石家莊·三模）已知角滿足，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】借助對已知化簡，可求出的值，再由可解.【詳解】因?yàn)?，即，所以，整理得，變形得，所?故選：C10．（2024·重慶·三模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由圖像以及題意求出的解析式，從而得，，進(jìn)而依據(jù)它們的角的關(guān)系結(jié)合三角恒等變換公式即可求解.【詳解】由圖可知，由可知，故，又由圖，故由圖，①，由圖，②，又，結(jié)合①②可得，故，所以.故.故選：D.11．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由輔助角公式得，再利用誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式即可求解.【詳解】由得，即，所以，故選：D12．（2024·江西九江·三模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則原等式可化為，化簡后求出即可.【詳解】令，則，所以由，得，即，即，得，所以，故選：C.13．（2024·江蘇宿遷·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間B．是的一個(gè)對稱中心C．在上值域?yàn)镈．將的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位后所得圖象的函數(shù)解析式為【答案】C【分析】化簡函數(shù)由函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換，即可求解.【詳解】由函數(shù)，對于A中，當(dāng)，可得，此時(shí)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對于B中，由，所以函數(shù)的一個(gè)對稱中心為，所以B不正確；對于C中，由，可得，所以，所以，即，所以C正確；對于D中，將的圖象向右平移個(gè)單位，得到，再向下平移一個(gè)單位后所得圖象的函數(shù)解析式為，所以D錯(cuò)誤.故選：C.14．（2024·黑龍江·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件得到，利用的圖象與性質(zhì)，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在區(qū)間恰有3條對稱軸，所以，解得，故選：D.15．（2024·河北·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則周期的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的零點(diǎn)求出零點(diǎn)的表達(dá)式，結(jié)合已知條件，求出的最大值，從而可求周期的最小值．【詳解】，令得，所以，，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，所以，只需且，解得，令得，得，因?yàn)?，所以的取值范圍，所以周期的最小值是，故選：．二、多選題16．（2024·山東威海·二模）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減B．將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對稱C．在上有兩個(gè)零點(diǎn)D．【答案】BCD【分析】由可知的圖象關(guān)于對稱，可判斷AB；整體代入法求出函數(shù)零點(diǎn)即可判斷C；求出，結(jié)合周期可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對稱，所以在上不單調(diào)，A錯(cuò)誤；對于B，由上知，的圖象關(guān)于對稱，所以的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對稱，B正確；對于C，由得函數(shù)的零點(diǎn)為，令，解得，所以，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)，C正確；對于D，因?yàn)?，，，所以因?yàn)榈淖钚≈抵芷?，所以，D正確.故選：BCD17．（2024·云南昆明·三模）已知函數(shù)的最小正周期大于，若曲線關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則下列說法正確的是（

）A． B．是偶函數(shù)C．是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn) D．在單調(diào)遞增【答案】ABC【分析】由最小正周期大于，關(guān)于點(diǎn)中心對稱，可知，對于，直接代入函數(shù)解析式求解即可；對于，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；對于，通過求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為，求得的值，并判斷左右兩端函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于，通過求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求解.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷诖笥冢?，即，又關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，對于，，故正確；對于，，由且是全體實(shí)數(shù)，所以是偶函數(shù)，故正確；對于，，令得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故正確；對于，由，，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)在上不單調(diào)，故不正確.故選：.18．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為2B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．不等式的解集為D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是【答案】BCD【分析】對于A，由正弦函數(shù)的性質(zhì)直接求解，對于B，由，可求出對稱軸方程判斷，對于C，由求解即可，對于D，先由求出的遞增區(qū)間，再由為函數(shù)增區(qū)間的子集可求出的取值范圍.【詳解】對于A，的最大值為，故A錯(cuò)誤；對于B，令，得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C，不等式可化為，則，解得，因此原不等式的解集為，故C正確；對于D，由，，解得.因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，故D正確.故選：BCD19．（2024·湖南衡陽·三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．方程的解為，【答案】ABD【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出周期及、、，進(jìn)而求出解析式，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對于B，由，所以，因?yàn)椋瑒t，則，因?yàn)?，則，所以，故B正確；對于C，，由，得，而，即時(shí)，沒有意義，故C錯(cuò)誤；對于D，，則，方程，得，即，即，所以或，因?yàn)椋?，所以或，解得或，故D正確.故選：ABD.20．（2024·河南·三模）已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的有（

）A．的圖象可由的圖象平移得到B．在上單調(diào)遞增C．圖象的一個(gè)對稱中心為D．圖象的一條對稱軸為直線【答案】BD【分析】先由輔助角公式和周期公式計(jì)算得到，由圖象平移的性質(zhì)可得A錯(cuò)誤；由整體代入結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得B正確；代入可得C錯(cuò)誤；整體代入結(jié)合余弦函數(shù)對稱軸的性質(zhì)可得D正確；【詳解】，因?yàn)樽钚≌芷跒?，所以，所以，A：由以上解析式可得的圖象不可由的圖象平移得到，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，故B正確；C：，故C錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為最小值，所以圖象的一條對稱軸為直線，故D正確；故選：BD.21．（2024·廣西欽州·三模）已知函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．若，則D．將的圖象往右平移1個(gè)單位長度后可以得到函數(shù)的圖象【答案】AD【分析】對于A，利用周期公式直接計(jì)算判斷，對于B，將代入函數(shù)驗(yàn)證，對于C，由求出，再將代入函數(shù)計(jì)算，對于D，根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律分析判斷.【詳解】對于A，的最小正周期為正確.對于B，因?yàn)椋缘膱D象不關(guān)于直線對稱，錯(cuò)誤.對于C，由，得，所以，C錯(cuò)誤.對于D，將的圖象往右平移1個(gè)單位長度后可以得到函數(shù)的圖象，D正確.故選：AD22．（2024·河北秦皇島·三模）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)； B．是周期為的周期函數(shù)；C．在上單調(diào)遞增； D．的最小值為.【答案】AD【分析】利用偶函數(shù)的定義可判定A，利用周期的定義可判定B，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判定C，根據(jù)周期性及單調(diào)性可判定D.【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故A正確；易知，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，又單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；易知，所以是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，顯然時(shí)，時(shí)，則的最小值為，故D正確.故選：AD23．（2024·安徽蕪湖·三模）已知，下面結(jié)論正確的是（

）A．時(shí)，在上單調(diào)遞增B．若，且的最小值為，則C．若在上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是D．存在，使得的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱【答案】CD【分析】利用把相位看成一個(gè)整體，通過正弦函數(shù)的性質(zhì)，可以做出各選項(xiàng)的判斷.【詳解】對于A，，當(dāng)時(shí)，，而在不單調(diào)，故A是錯(cuò)誤的；對于B，，由的最小值為，則函數(shù)周期為，所以，解得，故B是錯(cuò)誤的；對于C，在上恰有7個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正弦曲線可知，，解得：，故C是正確的；對于D，由的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到：，由它關(guān)于軸對稱，可知：，解得：，當(dāng)時(shí)，，故D是正確的；故選：CD.三、填空題24．（20