第3章-離散傅里葉變換講解材料

2025/2/101第3章離散傅里葉變換3.1引言3.2周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）3.3離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的性質(zhì)3.4有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換（DFT）3.5離散傅里葉變換的性質(zhì)(1-3)3.6頻域采樣理論3.7DFT的應(yīng)用舉例2025/2/1023.1引言

在第2章中討論了序列的傅里葉變換和Z變換。由于數(shù)字計(jì)算機(jī)只能計(jì)算有限長(zhǎng)離散序列，因此有限長(zhǎng)序列在數(shù)字信號(hào)處理中就顯得很重要，當(dāng)然可以用Z變換和傅里葉變換來研究它，但是，這兩種變換無法直接利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。針對(duì)序列“有限長(zhǎng)”這一特點(diǎn)，可以導(dǎo)出一種更有用的變換：離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform，簡(jiǎn)寫為DFT）。它本身也是有限長(zhǎng)序列。2025/2/103

作為有限長(zhǎng)序列的一種傅里葉表示法，離散傅里葉變換除了在理論上相當(dāng)重要之外，而且由于存在有效的快速算法——快速離散傅里葉變換，因而在各種數(shù)字信號(hào)處理的算法中起著核心作用。有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換（DFT）和周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）本質(zhì)上是一樣的。為了討論離散傅里葉級(jí)數(shù)與離散傅里葉變換，我們首先來回顧并討論傅里葉變換的幾種可能形式，見圖3-1所示。2025/2/1051.連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率————傅立葉變換一個(gè)非周期實(shí)連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)的傅里葉變換，即頻譜Xa(jΩ)是一個(gè)連續(xù)的非周期函數(shù),這一變換對(duì)的示意圖見圖3-1(a)。2025/2/1062.連續(xù)時(shí)間、離散頻率————傅立葉級(jí)數(shù)

一個(gè)周期性連續(xù)時(shí)間信號(hào)xp(t)，其周期為Tp，該信號(hào)可展成傅里葉級(jí)數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為，即xp(t)的傅里葉變換或頻譜Xp(jkΩ)是由各次諧波分量組成的，并且是非周期離散頻率函數(shù)，xp(t)和Xp(jkΩ)的示意圖見圖3-1(b)。其中，離散頻譜相鄰兩譜線之間的角頻率間隔為Ω=2πF=2π/Tp，k為譜諧波序號(hào)。2025/2/1073.離散時(shí)間、連續(xù)頻率————序列的傅立葉變換

非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)經(jīng)過等間隔采樣的信號(hào)（x(nT)），即離散時(shí)間信號(hào)——序列x(n)，其傅里葉變換X(ejω)是以2π為周期的連續(xù)函數(shù)，振幅特性如圖3-1(c)所示。這里的ω是數(shù)字頻率，它和模擬角頻率Ω的關(guān)系為ω=ΩT。若振幅特性的頻率軸用Ω表示，則周期為Ωs=2π/T。

2025/2/1084.離散時(shí)間、離散頻率————離散傅立葉變換比較圖3-1(a)、（b）和(c)可發(fā)現(xiàn)有以下規(guī)律：如果信號(hào)頻域是離散的，表現(xiàn)為周期性的時(shí)間函數(shù)。相反，在時(shí)域上是離散的，則該信號(hào)在頻域必然表現(xiàn)為周期性的頻率函數(shù)。不難設(shè)想，一個(gè)離散周期序列，它一定具有既是周期又是離散的頻譜，其振幅特性如圖3-1(d)所示。

2025/2/109表3-1四種傅里葉變換形式的歸納時(shí)間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期非周期和離散離散和非周期周期和連續(xù)離散和周期周期和離散離散周期延拓連續(xù)非周期

2025/2/1010

下面我們先從周期性序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)開始討論，然后討論可作為周期函數(shù)一個(gè)周期的有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換。2025/2/10113.2周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)設(shè)是一個(gè)周期為N的周期序列，即

r為任意整數(shù)

周期序列不是絕對(duì)可和的，所以不能用Z變換表示，因?yàn)樵谌魏蝯值下，其Z變換都不收斂，也就是2025/2/1012

但是，正如連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)表示一樣，周期序列也可以用離散傅里葉級(jí)數(shù)來表示，該級(jí)數(shù)相當(dāng)于成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列（正弦型序列）之和。也就是說，復(fù)指數(shù)序列的頻率是周期序列的基頻（2π/N）的整數(shù)倍。這些復(fù)指數(shù)序列ek(n)的形式為（3-1）式中,k,r為整數(shù)。2025/2/1013

由式（3-1）可見，復(fù)指數(shù)序列ek(n)對(duì)k呈現(xiàn)周期性，周期也為N。也就是說,離散傅里葉級(jí)數(shù)的諧波成分只有N個(gè)獨(dú)立量，這是和連續(xù)傅里葉級(jí)數(shù)的不同之處（后者有無窮多個(gè)諧波成分），因而對(duì)離散傅里葉級(jí)數(shù)，只能取k=0到N-1的N個(gè)獨(dú)立諧波分量，不然就會(huì)產(chǎn)生二義性。因而可展成如下的離散傅里葉級(jí)數(shù)，即（3-2）式中，求和號(hào)前所乘的系數(shù)1/N是習(xí)慣上已經(jīng)采用的常數(shù)， 是k次諧波的系數(shù)。2025/2/1014下面我們來求解系數(shù)，這要利用復(fù)正弦序列的正交特性，即r=mN,m為整數(shù)其他r

（3-3）

將式（3-2）兩端同乘以 ，然后從n=0到N-1的一個(gè)周期內(nèi)求和，則得到2025/2/1015把r換成k可得（3-4）這就是求k=0到N-1的N個(gè)諧波系數(shù) 的公式。同時(shí)看出 也是一個(gè)以N為周期的周期序列，即2025/2/1016

這和離散傅里葉級(jí)數(shù)只有N個(gè)不同的系數(shù)的說法是一致的?？梢钥闯觯瑫r(shí)域周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域（即其系數(shù)也是一個(gè)周期序列。因而與是頻域與時(shí)域的一個(gè)周期序列對(duì)，式（3-3）與式（3-4）一起可看作是一對(duì)相互表達(dá)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）對(duì)。為了表示方便，常常利用復(fù)數(shù)量WN來寫這兩個(gè)式子。WN定義為（3-5）2025/2/1017使用WN，式（3-4）及式（3-3）可表示為:（3-6）（3-7）式中，DFS［·］表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換，IDFS［·］表示離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。從上面看出，只要知道周期序列一個(gè)周期的內(nèi)容，其他的內(nèi)容也都知道了。所以，這種無限長(zhǎng)序列實(shí)際上只有一個(gè)周期中的N個(gè)序列值有信息。因而周期序列和有限長(zhǎng)序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。2025/2/1018例3-1設(shè)為周期脈沖串（3-8）因?yàn)閷?duì)于0≤n≤N-1， ,所以利用式（3-6）求出 的DFS系數(shù)為（3-9）

在這種情況下，對(duì)于所有的k值均相同。于是，將式（3-9）代入式（3-7）可以得出表示式（3-10）2025/2/1019

例3-2

已知周期序列如圖3-2所示，其周期N=10,試求解它的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。圖3-2例3-2的周期序列（周期N=10）2025/2/1020由式（3-6）（3-11）這一有限求和有閉合形式（3-12）圖3-3圖3-3所示序列的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的幅值2025/2/1021

式（3-6）中的周期序列可看成是對(duì)的第一個(gè)周期x(n)作Z變換，然后將Z變換在Z平面單位圓上按等間隔角2π/N采樣而得到的。令0≤n≤N-1其他n

通常稱x(n)為的主值區(qū)序列，則x(n)的Z變換為（3-13）2025/2/1022把式（3-13）與式（3-6）比較可知（3-14）可以看出，當(dāng)0≤k≤N-1時(shí)，是對(duì)X(z)在Z平面單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣，在此區(qū)間之外隨著k的變化，的值呈周期變化。圖3-4畫出了這些特點(diǎn)。2025/2/1023圖3-42025/2/1024

由于單位圓上的Z變換即為序列的傅里葉變換，所以周期序列 也可以解釋為 的一個(gè)周期x(n)的傅里葉變換的等間隔采樣。因?yàn)椋?-15）比較式（3-15）和式（3-6），可以看出這相當(dāng)于以2π/N的頻率間隔對(duì)傅里葉變換進(jìn)行采樣。（3-16）2025/2/1025

例3-3

為了舉例說明傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)和周期信號(hào)的一個(gè)周期的傅里葉變換之間的關(guān)系，我們?cè)俅窝芯繄D3-3所示的序列。在序列的一個(gè)周期中：0≤n≤4其他（3-17）則的一個(gè)周期的傅里葉變換是（3-18）可以證明，若將ω=2πk/10代入式（3-18），即2025/2/1026圖3-5對(duì)圖3-3所示序列的一個(gè)周期作傅里葉變換的幅值2025/2/1027圖3-6圖3-3和圖3-5的重疊圖，它表明一個(gè)周期序列的DFS系數(shù)等于主值區(qū)序列的傅里葉變換的采樣2025/2/10283.3離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的性質(zhì)

由于可以用采樣Ｚ變換來解釋DFS，因此它的許多性質(zhì)與Ｚ變換性質(zhì)非常相似。但是，由于和兩者都具有周期性，這就使它與Z變換性質(zhì)還有一些重要差別。此外，DFS在時(shí)域和頻域之間具有嚴(yán)格的對(duì)偶關(guān)系，這是序列的Z變換表示所不具有的。設(shè)和 皆是周期為N的周期序列，它們各自的DFS分別為：2025/2/10293.3.1線性（3-19）式中，a和b為任意常數(shù)，所得到的頻域序列也是周期序列，周期為N。2025/2/10303.3.2序列的移位（3-20）（3-21a）或證（3-21b）i=n+m

2025/2/1031由于都是以N為周期的周期函數(shù)，故

由于與的對(duì)稱特點(diǎn)，可以用相似的方法證明式（3-21a）：2025/2/10323.3.3周期卷積如果則或證代入(3-22)2025/2/1033得將變量進(jìn)行簡(jiǎn)單換元，即可得等價(jià)的表示式2025/2/1034

式（3-22）是一個(gè)卷積公式，但是它與非周期序列的線性卷積不同。首先， 和 （或和 都是變量m的周期序列，周期為N，故乘積也是周期為N的周期序列;其次，求和只在一個(gè)周期上進(jìn)行，即m=0到N-1，所以稱為周期卷積。2025/2/1035周期卷積的過程可以用圖3-7來說明，這是一個(gè)N=7的周期卷積。每一個(gè)周期里有一個(gè)寬度為4的矩形脈沖，有一個(gè)寬度為3的矩形脈沖，圖中畫出了對(duì)應(yīng)于n=0,1,2時(shí)的。周期卷積過程中一個(gè)周期的某一序列值移出計(jì)算區(qū)間時(shí)，相鄰的同一位置的序列值就移入計(jì)算區(qū)間。運(yùn)算在m=0到N-1區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，即在一個(gè)周期內(nèi)將 與 逐點(diǎn)相乘后求和，先計(jì)算出n=0,1,…,N-1的結(jié)果，然后將所得結(jié)果周期延拓，就得到所求的整個(gè)周期序列 。2025/2/1036圖3-7兩個(gè)周期序列（N=7）的周期卷積2025/2/1037

由于DFS和IDFS變換的對(duì)稱性，可以證明時(shí)域周期序列的乘積對(duì)應(yīng)著頻域周期序列的周期卷積。即，如果則(3-23)2025/2/10383.4有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換（DFT）3.4.1DFT的定義

上一節(jié)我們討論的周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義，因而它和有限長(zhǎng)序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。本節(jié)將根據(jù)周期序列和有限長(zhǎng)序列之間的關(guān)系，由周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式推導(dǎo)得到有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示，即離散傅里葉變換（DFT）。設(shè)x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N，即x(n)只在n=0到N-1點(diǎn)上有值，其他n時(shí)，x(n)=0。即2025/2/1039

為了引用周期序列的概念，我們把它看成周期為N的周期序列的一個(gè)周期，而把看成x(n)的以N為周期的周期延拓，即表示成:

這個(gè)關(guān)系可以用圖3-8來表明。通常把的第一個(gè)周期n=0到n=N-1定義為“主值區(qū)間”，故x(n)是 的“主值序列”，即主值區(qū)間上的序列。而稱 為x(n)的周期延拓。對(duì)不同r值x(n+rN)之間彼此并不重疊，故上式可寫成(3-24)(3-25)2025/2/1040(3-26)圖3-8主值區(qū)間與主值序列2025/2/1041

用((n))N表示（nmodN），其數(shù)學(xué)上就是表示“n對(duì)N取余數(shù)”，或稱“n對(duì)N取模值”。令0≤n1≤N-1,m為整數(shù)則n1為n對(duì)N的余數(shù)。例如，是周期為N=9的序列，則有：2025/2/1042利用前面的矩形序列RN(n)，式（3-24）可寫成(3-27)

同理，頻域的周期序列也可看成是對(duì)有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓，而有限長(zhǎng)序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列，即:(3-28)(3-29)我們?cè)倏幢磉_(dá)DFS與IDFS的式(3-6)和式(3-7)：2025/2/1043

這兩個(gè)公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行，它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可以得到有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換的定義:0≤k≤N-10≤n≤N-1（3-30）（3-31）2025/2/1044

x(n)和X(k)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換對(duì)。我們稱式(3-30)為x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換(DFT),稱式(3-31)為X(k)的N點(diǎn)離散傅里葉反變換(IDFT)。已知其中的一個(gè)序列，就能惟一地確定另一個(gè)序列。這是因?yàn)閤(n)與X(k)都是點(diǎn)數(shù)為N的序列，都有N個(gè)獨(dú)立值（可以是復(fù)數(shù)），所以信息當(dāng)然等量。此外，值得強(qiáng)調(diào)得是，在使用離散傅里葉變換時(shí)，必須注意所處理的有限長(zhǎng)序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來表示的。換句話說，離散傅里葉變換隱含著周期性。2025/2/1045

例3-4已知序列x(n)=δ(n)，求它的N點(diǎn)DFT。

解單位脈沖序列的DFT很容易由DFT的定義式（3-30）得到：

k=0,1,…,N-1

δ(n)的X(k)如圖3-9。這是一個(gè)很特殊的例子，它表明對(duì)序列δ(n)來說，不論對(duì)它進(jìn)行多少點(diǎn)的DFT，所得結(jié)果都是一個(gè)離散矩形序列。2025/2/1046圖3-9序列δ(n)及其離散傅里葉變換2025/2/1047

例3-5

已知x(n)=cos(nπ/6)R12(n)是一個(gè)長(zhǎng)度N=12的有限長(zhǎng)序列，求它的N點(diǎn)DFT。

解由DFT的定義式（3-30）

利用復(fù)正弦序列的正交特性（3-3）式，再考慮到k的取值區(qū)間，可得2025/2/1048圖3-10有限長(zhǎng)序列及其DFT2025/2/10493.4.3DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系若x(n)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N，對(duì)x(n)進(jìn)行Z變換比較Z變換與DFT，我們看到，當(dāng)時(shí)即（3-32）2025/2/1050

表明是Z平面單位圓上幅角為的點(diǎn)，也即將Z平面單位圓N等分后的第k點(diǎn)，所以X(k)也就是對(duì)X(z)在Z平面單位圓上N點(diǎn)等間隔采樣值，如圖3-11所示。此外，由于序列的傅里葉變換X(ejω)即是單位圓上的Z變換，根據(jù)式（3-33），DFT與序列傅里葉變換的關(guān)系為（3-33）（3-34）2025/2/1051

式（3-33）說明X(k)也可以看作序列x(n)的傅里葉變換X(ejω)在區(qū)間［0,2π］上的N點(diǎn)等間隔采樣，其采樣間隔為ωN=2π/N，這就是DFT的物理意義。顯而易見，DFT的變換區(qū)間長(zhǎng)度N不同，表示對(duì)X(ejω)在區(qū)間［0,2π］上的采樣間隔和采樣點(diǎn)數(shù)不同，所以DFT的變換結(jié)果也不同。圖3-11DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系2025/2/1052例3-7

有限長(zhǎng)序列x(n)為0≤n≤4其余n

求其N=5點(diǎn)離散傅里葉變換X(k)。

解序列x(n)如圖3-12（a）所示。在確定DFT時(shí)，我們可以將x(n)看作是一個(gè)長(zhǎng)度N≥5的任意有限長(zhǎng)序列。首先我們以N=5為周期將x(n)延拓成周期序列，如圖3-12（b），的DFS與x(n)的DFT相對(duì)應(yīng)。因?yàn)樵趫D3-12（b）中的序列在區(qū)間0≤n≤N-1上為常數(shù)值，所以可以得出k=0,±N,±2N,…

其他2025/2/1053

也就是說，只有在k=0和k=N

的整數(shù)倍處才有非零的DFS系數(shù) 值。這些DFS系數(shù)如圖3-12（c）所示。為了說明傅里葉級(jí)數(shù) 與x(n)的頻譜X(ejω)間的關(guān)系，在圖3-12（c）中也畫出了傅里葉變換的幅值|X（ejω)|。顯然，就是X(ejω)在頻率ωk=2πk/N

處的樣本序列。按照式（3-39），x(n)的DFT對(duì)應(yīng)于取 的一個(gè)周期而得到的有限長(zhǎng)序列X(k)。這樣，x(n)的5點(diǎn)DFT如圖3-12（d）所示。k=0,1,2,3,4

k=0k=0,1,2,3,42025/2/1054

圖3-12DFT的舉例說明（a）有限長(zhǎng)序列x(n);（b）由x(n)形成的周期N=5的周期序列;（c）對(duì)應(yīng)于 的傅里葉級(jí)數(shù) 和x(n)的傅里葉變換的幅度特性|X(ejω)|;（d）x(n)的DFTX(k)2025/2/1055圖3-13DFT的舉例說明（a）有限長(zhǎng)序列x(n);（b）由x(n)形成的周期N=10的周期序列;

（c）DFT的幅值2025/2/1056

通過式（3-36）和式（3-37）聯(lián)系起來的有限長(zhǎng)序列x(n)和周期序列之間的差別似乎很小，因?yàn)槔眠@兩個(gè)關(guān)系式可以直接從一個(gè)構(gòu)造出另一個(gè)。然而在研究DFT的性質(zhì)以及改變x(n)對(duì)X(k)的影響時(shí)，這種差別是很重要的。

信號(hào)時(shí)域采樣理論實(shí)現(xiàn)了信號(hào)時(shí)域的離散化，使我們能用數(shù)字技術(shù)在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行處理。而離散傅里葉變換理論實(shí)現(xiàn)了頻域離散化，因而開辟了用數(shù)字技術(shù)在頻域處理信號(hào)的新途徑，從而推進(jìn)了信號(hào)的頻譜分析技術(shù)向更深更廣的領(lǐng)域發(fā)展。2025/2/10573.5離散傅里葉變換的性質(zhì)

本節(jié)討論DFT的一些性質(zhì)，它們本質(zhì)上和周期序列的DFS概念有關(guān)，而且是由有限長(zhǎng)序列及其DFT表示式隱含的周期性得出的。以下討論的序列都是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，用DFT［·］表示N點(diǎn)DFT，且設(shè):DFT［x1(n)］=X1(k)DFT［x2(n)］=X2(k)2025/2/10583.5.1線性式中，a,b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。2025/2/10593.5.2圓周移位

1.定義一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周移位定義為y(n)=x((n+m))NRN(n)（3-37）

我們可以這樣來理解上式所表達(dá)的圓周移位的含義。首先，將x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓得到周期序列;再將加以移位：（3-38）2025/2/1060然后，再對(duì)移位的周期序列 取主值區(qū)間（n=0到N-1）上的序列值，即x((n+m))NRN(n)。所以，一個(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周移位序列y(n)仍然是一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，這一過程可用圖3-14（a）、（b）、（c）、（d）來表達(dá)。。2025/2/1061圖3-14圓周移位過程示意圖2025/2/1062從圖上可以看出，由于是周期序列的移位，當(dāng)我們只觀察0≤n≤N-1這一主值區(qū)間時(shí)，某一采樣從該區(qū)間的一端移出時(shí)，與其相同值的采樣又從該區(qū)間的另一端循環(huán)移進(jìn)。因而，可以想象x(n)是排列在一個(gè)N等分的圓周上，序列x(n)的圓周移位，就相當(dāng)于x(n)在此圓周上旋轉(zhuǎn)，如圖3-14（e）、（f）、(g)所示，因而稱為圓周移位。若將x(n)向左圓周移位時(shí)，此圓是順時(shí)針旋轉(zhuǎn);將x(n)向右圓周移位時(shí)，此圓是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。此外，如果圍繞圓周觀察幾圈，那么看到的就是周期序列2025/2/10633.時(shí)域圓周移位定理設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，y(n)為x(n)圓周移位，即則圓周移位后的DFT為證利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。(3-39)2025/2/1064再利用DFS和DFT關(guān)系這表明，有限長(zhǎng)序列的圓周移位在離散頻域中引入一個(gè)和頻率成正比的線性相移，而對(duì)頻譜的幅度沒有影響。2025/2/1065

3.頻域圓周移位定理

對(duì)于頻域有限長(zhǎng)序列X(k)，也可看成是分布在一個(gè)