圓的基本性質(zhì) 綜合檢測(cè)過關(guān)卷-2024年江蘇中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題19圓的基本性質(zhì)綜合過關(guān)檢測(cè)

（考試時(shí)間：120分鐘，試卷滿分：120分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共6頁，全卷滿分120分?？荚嚂r(shí)間120分鐘?？忌痤}全部答在答題卡上，答在本試卷上無效。

2.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號(hào)是否與本人相符合，再將自己的姓名、

考試證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上。

3.答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答

案。答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡的指定位置，在其他位置答題一律無效。

4.作圖題必須用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑、加粗。

一、選擇題（本題共6小題，每小題2分，共12分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）。

1.已知。。的半徑是2cm,則。。中最長的弦長是（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【答案】D

【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì).根據(jù)圓中最長的弦為直徑，即可求解.

【詳解】解：：。。的半徑是2cm,

.,■OO中最長的弦長直徑是2x2=4cm.

故選：D

2.如圖，線段是。。的直徑，。。_1/3于點(diǎn)石，若4B=8,OE=3,則CE的長是（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】A

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)垂徑定理求出/￡的長是解此題的關(guān)鍵.連接04,

根據(jù)垂徑定理求出/E，再根據(jù)勾股定理求出04,最后根據(jù)線段的和差求解即可.

【詳解】解：如圖，連接

c

???線段CD是。。的直徑，CDLAB于點(diǎn)E,

：.AE=-AB,

2

vAB=S,

AE=4,

???OE=3,

OA=yJOE2+AE2=5,

:.OC=OA=5,

CE=OC+OE=8,

故選：A.

3.如圖所示，四邊形是半圓的內(nèi)接四邊形，45是直徑，）方=也，點(diǎn)￡為CD的中點(diǎn)，連接

0E.若ZADC=130。，則的度數(shù)等于（）

A.65°B.70°C.75°D.80°

【答案】C

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)、圓中弧、弦、角的關(guān)系以及等腰三角形的"三線合一"性質(zhì)等

知識(shí)點(diǎn)，連接OC可得/。8。=50。，進(jìn)而得NCO8=80。，ZAOC=100°；根據(jù)彳g=而得

NAOD=ZCOD=^ZAOC=50°,再求出ZDOE即可求解.

【詳解】解：連接。D、OC,如圖所示:

???/4OC=130。，

NOBC=180°-/ADC=50°

-OB=OC,

ZOCB=ZOBC=50°

NCOB=180。—NOCB-AOBC=80°

??.ZAOC=180°-NCOB=100°

''AD=CD

ZAOD=ZCOD=-ZAOC=50°

2

???點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，OD=OC

/DOE=-ZCOD=25°

2

ZAOE=ZAOD+ZDOE=75°

故選：C

4.下列語句中不正確的有（）

①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直

線都是它的對(duì)稱軸；④長度相等的兩條弧是等弧.

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)依次進(jìn)行判斷即可得.

【詳解】解：①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧也相等；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；

③圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線（或直徑所在的直線）都是圓的對(duì)稱軸；④在同圓或等圓中,

長度相等的兩條弧是等弧；

綜上，①②④錯(cuò)誤，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的性質(zhì).

5.如圖，已知點(diǎn)A在。。外，4B與。。相切于點(diǎn)B,點(diǎn)。在直線/C上，連接8C,若//=38。，貝I」

AACB=()

A.24°B.26°C.28°D.38°

【答案】B

【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、圓周角定理，解題關(guān)鍵是熟記在同圓或等圓中，

同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

連接03,由切線的性質(zhì)知/。氏4=90。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得乙4。8=52。，進(jìn)而利用圓周角定理

即可求解.

【詳解】解：如圖，連接

?.YB與。。相切于點(diǎn)B,

AOBA=90°,

■.■ZA=38°,

ZAOB=52°,

由圓周角定理可知，乙4OB=2NC=52。,

.-.ZC=26°.

故選：B.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，&/\/。8的一條直角邊。6在工軸上，點(diǎn)/的坐標(biāo)為(-6,4)；RfC。。中,

ZCOD=90°,00=6百，/。=30。，連接8C,點(diǎn)M是8C中點(diǎn)，連接將RSCOD以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)

中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段N"的最小值是()

C.25-2D.2

【答案】D

【分析】如圖所示，延長A4到￡,使得NE=”，連接OE,CE,根據(jù)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-6,4)得到BE=8,再

證明/〃是ABCE的中位線，得到=解RMC。。得到0C=6,進(jìn)一步求出點(diǎn)C在以。為圓心,

半徑為6的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)M在線段OE上時(shí)，CE有最小值，即此時(shí)4W有最小值，據(jù)此求出CE的最

小值，即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，延長"4到￡,使得=連接CE,

???RtZUQg的一條直角邊08在x軸上，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-6,4),

AB—4,OB=6,

*'?AE=AB=4,

BE=8,

???點(diǎn)M為5C中點(diǎn)，點(diǎn)/為班;中點(diǎn)，

???/M是的中位線，

???AM=-CE；

2

在RSCOD中，/COD=90。，0D=6出,/。=30。，

巧

OC=—OD=6,

3

,將RtACOA以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，

.??點(diǎn)C在以。為圓心，半徑為6的圓上運(yùn)動(dòng)，

???當(dāng)點(diǎn)M在線段OE上時(shí)，CE有最小值，即此時(shí)有最小值,

OE=UBE2+OB?=10>

??.CE的最小值為10-6=4,

.??/M的最小值為：\cE-2,

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問題，勾股定理，解直角三角形，三角形中位線定理，坐

標(biāo)與圖形等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本題共10小題，每小題2分，共20分。請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）

7.已知。。的半徑是4ctn,則。。中最長的弦長是cm.

【答案】8

【分析】根據(jù)圓的基礎(chǔ)知識(shí)，弦的概念，直徑的概念即可求解.

【詳解】解：已知。。的半徑是4cm,

.??。。中最長的弦長是過圓心的直徑，即是半徑的2倍，

最長的弦長是8cm,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握?qǐng)A的弦，直徑的概念是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在。。中，ODJ./B于點(diǎn)。的長為3cm,則弦的長為.

【答案】61?%/6厘米

【分析】本題考查了垂徑定理.根據(jù)垂徑定理即可求解.

【詳解】解：于點(diǎn)D,的長為3cm,

AB=2AD=6（cm）.

故答案為：6cm.

9.如圖，/、B、C、。是。。上的點(diǎn)，如果4B=CD,ZAOB=70°,那么NCQD=

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦三者的關(guān)系可解答.

【詳解】解：?.?/>=CD,

ZCOD=AAOB=70°,

故答案為：70°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角、弧、弦三者的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，①圓心角相等，②

所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等.

10.如圖，在。。中，弧/5=弧/。，//。8=40。，點(diǎn)。在。。上，連接CDAD,則44OC=.

【分析】本題考查了同圓中等弧所對(duì)的圓心角相等，圓周角定理.熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

如圖，連接。C,則N/OC=NNO8=40。，根據(jù)圓周角定理求解即可.

【詳解】解：如圖，連接OC,

:瀝=祝，

ZAOC=NAOB=40°,

■AC=AC

.-.ZADC=-ZAOC=20°,

2

故答案為：20°.

11.如圖，。。的兩條弦N3和相交于點(diǎn)尸，若弧/C、弧8。的度數(shù)分別為60。、40°,則//PC的度

數(shù)為.

【答案】50。/50度

【分析】本題考查的是圓周角定理、三角形的外角的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理和三角形的外角的性質(zhì)定理是

解題的關(guān)鍵.連接根據(jù)圓周角定理得?.?N/PC=：x（前+元）,再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：連接

NAPC=ZBAD+ZADC=；x?+箱的度數(shù),

ZAPC=1(40°+60°)=50°.

故答案為：50°.

12.如圖，一輛卡車裝滿貨物后，高。米，寬3.2米，若使這輛卡車安全通過隧道（上方是一個(gè)半圓，僅一

輛車通過），則高度。應(yīng)小于米.

【答案】4

【分析】本題考查了垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用,過圓心。作8，48于。，由垂徑定理得到BD=^AB=1.6,

由勾股定理得到。。=1.2,即可求出高度”的取值，根據(jù)題意，畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，/3=3.2米，O8=gx4=2米，

過圓心。作OD_L/8于。，則=米，N0DB=9Q。,

在Rt/^ODB中，OD=yl0B2-BD2=A/22-1.62=1.2米，

.??高度。應(yīng)小于12+2.8=4米，

故答案為：4.

13.如圖，圓。的直徑N8為13cm,弦/C為5cm,的平分線交圓。于點(diǎn)。，則CD的長是

【答案】國cm

2

【分析】本題考查了圓周角的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的對(duì)等關(guān)系，全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)等

知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，首先作。尸入。，交C4的延長線于點(diǎn)尸，作DGLC2于點(diǎn)G,連接ZM,DB,由CD平分

/ACB,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出。尸=OG,由HL證明A4RDgA5G。，得出CF的長，又ACD尸是等腰

直角三角形，從而求出CD的長，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，作。尸八。，交C/的延長線于點(diǎn)尸，作。GJ.C8于點(diǎn)G,連接。/,DB,

D

Z.ACD=ZBCD,

"DF=DG,AD=BD，

***DA=DB,

???ZAFD=ZBGD=90°,

在Rt^ADF和RtABDG,

[AD=BD

[DF=DG9

???Rt—FD會(huì)RLBGQ(HL),

AF-BG,

同理:RGCO/WRLCDG(HL),

:?CF=CG,

vAB是直徑，

.-.Z^CS=90°,

vAC=5cm,AB=13cm,

???BC=^AB1-AC1=12(cm),

:.5+AF=\2-AF,

7

??.AF=~,

2

??.CF』,

???。。平分/4。5,

ZACD=45°,

???△CD尸是等腰直角三角形，

.--C￡)=-1-y^(cm),

故答案為：17近c(diǎn)m.

2

14.如圖，在RtZi/BC中，AB1BC,AB=8,BC=6,尸是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足

ZPAB=ZPBC.則線段CP長的最小值為.

【答案】2V13-4

【分析】由三角形內(nèi)角和定理可求乙4尸3=90。，取N8的中點(diǎn)為O,連接。P,由“斜邊上的中線等于斜邊

的一半"得OP=g/2=4,再由圓的定義可得P的運(yùn)動(dòng)軌跡為以。為圓心，4為半徑的劣而；由圓外定點(diǎn)

到圓上任一點(diǎn)距離最小的條件可得當(dāng)0、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，尸C最小，止匕時(shí)?。=0。-8=。。-4最小,

即可求解.

【詳解】解：,?,4BL8C,

ZABC=90°,

:.NPB4+NPBC=9Q°,

NPAB=ZPBC,

:.NPBA+NP4B=9Q°,

ZAPB=90°,

如圖，取48的中點(diǎn)為O,連接OP,

;.OP=—AB=4,

2

尸是A/BC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

P的運(yùn)動(dòng)軌跡為以。為圓心，4為半徑的劣訪;

，當(dāng)。、尸、C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最小，

止匕時(shí)尸。=。。-0/?=0。一4最小，

如圖，

0C=yJOB2+BC2=742+62=2V13，

.-.PC=2岳-4；

故答案：2萬-4.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓外定點(diǎn)到圓上任一點(diǎn)距離最小值的動(dòng)點(diǎn)問題，勾股定理，直角三角形的特征，理解

最小值的條件“圓外定點(diǎn)與圓心的連線與圓的交點(diǎn)，此時(shí)交點(diǎn)與定點(diǎn)的距離最小"是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，正方形48CD中，48=4,M是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以Q0為直徑的圓與相交于點(diǎn)0,P為

CD上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接/P,PQ,則月尸+尸。的最小值是.

【答案】2V13-2

【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，軸對(duì)稱，正方形的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，勾股定理.

連接C。，以為一條邊在右側(cè)作正方形CZ)即，由是直徑可得NMQC=90。，從而480c=90。，因

此點(diǎn)0在以3c為直徑的。。上運(yùn)動(dòng).易證尸絲AEDP(SAS),得到=從而根據(jù)三角形的三邊關(guān)

系有AP+PQ=EP+PQ2EQ2EO-QO=EO-NO=EN,而EN=EO-ON,利用正方形的性質(zhì)和勾股定

理即可求得KO的長，從而解決問題.

【詳解】連接C。，以為一條邊在右側(cè)作正方形。￡尸，

???MC是直徑，

.-.ZMQC=90°f

ZBQC=180。-ZMQC=90°,

.??點(diǎn)。在以5C為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)該圓為

???四邊形ABCD和四邊形CDEF是邊長相等的正方形，

???AD二ED,ZADP=ZEDP=90°,

?：DP=DP

???"DP%EQP（SAS）,

???AP=EP

連接E。，。0,OE,。石交OO于點(diǎn)N,

AP+PQ=EP+PQ>EQ>EO-QO=EO-NO=EN,

,:AB=A,

；.BC=CF=EF=AB=4,BO=CO=-BC=2

2

?.?在RtAEFO中，。尸=OC+C尸=2+4=6,EF=4,

EO=y/OF2+EF2=V62+42=2舊，

???ON=OC=2,

EN=EO-ON=2713-2,

■■.AP+PQ>EN=2y/i3-2,

即力尸+P。的最小值為2而-2.

故答案為：2岳-2

16.如圖，在。。中將就沿弦/C對(duì)折，交直徑4B于點(diǎn)。，連接并延長與。。交于點(diǎn)E,若點(diǎn)、D為0B

中點(diǎn)，則C笠D的值為_______________.

7

【答案】j

【分析】設(shè)=3。=4。，則43=8”，利用相似三角形的性質(zhì)可求C2OE的長，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接BE,BC,過點(diǎn)C作于凡

E

設(shè)40=8。=4。，貝i]48=8a,

「點(diǎn)D為OB中點(diǎn),

BD=0D=2a,

???ABAC=ACAD,

-CD=BC^

BC=CD,

CHtBD,

BH=DH=a,

???Z3是直徑，

/ACB=90。，

AACB=/BHC=90°,

又???/ABC=/ABC,

:aCBHs-BC,

BH_BC

?,就一IP

2

BC=8。?Q=8/,

/.BC=2也a，

/.BC=CD=2也a，

???NACE=ZABE,ABAC=NBEC,

：.^ACDs@BD,

CDAD

,?訪一正’

._6a

2a~~DE"

DE=3y[ia，

CD_2

?,瓦一§，

故答案為：I'.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定

理，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共11小題，共88分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步歌）O

17.如圖，已知48、為OO的兩條弦，AD=BC^求證：AB=CD.

【答案】見詳解

【分析】本題考查了圓周角定理，同弧所對(duì)的弦是相等的，據(jù)此即可作答.

【詳解】解：???45、。。為OO的兩條弦，AD=BC

t-Ab+BD=BC+BD

???AB=CD

AB=CD

18.如圖，48是。。的直徑，弦CD與N8相交于點(diǎn)￡,ZADC=30°.若/C=5,求直徑4B的長.

【答案】10

【分析】根據(jù)“同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等'可得N45C=N/OC=30。，再利用含30。角的直角三角

形的特征即可求解.

【詳解】解：?.?N4DC=30。，

ZABC=ZADC=30°,

??,8是。。的直徑，

.-.ZACB=90°

■.AB=2AC=10

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓中“弧、弦、角的關(guān)系”等知識(shí)點(diǎn).熟記相關(guān)結(jié)論即可.

19.如圖，已知線段是。。的一條弦.

⑴實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作出圓心。；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

(2)應(yīng)用與計(jì)算：若弦/3=10,圓心。到N3的距離為4,求。。的半徑.

【答案】⑴見解析

(2)741

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖一確定圓心，垂徑定理，勾股定理：

(1)如圖所示，在圓上取一點(diǎn)C,連接BC,分別作8c的垂直平分線，二者交于點(diǎn)。，點(diǎn)。即為所

求;

(2)連接由垂徑定理得到=再由。。=4,即可利用勾股定理得到

0A=ylAD2+OD2=V41.

【詳解】(1)解：如圖所示，在圓上取一點(diǎn)C,連接2C,分別作/A8c的垂直平分線，二者交于點(diǎn)

點(diǎn)0即為所求；

(2)解：如圖所示，連接CM,

???ODLAB,48=10,圓心。到4B的距離為4,

：.AD=-AB=5,0D=4,

2

■■OA=y/AD2+OD2=同，

.?.0。的半徑為

20.如圖①、圖②都是6x6的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)4。均在格點(diǎn)上.圖①、圖②

中的點(diǎn)/在。。上，僅用無刻度的直尺，按下列要求完成畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，并保留作圖

痕跡.

⑴在圖①中畫一個(gè)。。的內(nèi)接正方形N8CD.

(2)在圖②中畫一個(gè)。。的內(nèi)接四邊形/BCD,使該四邊形是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，且點(diǎn)。在該

四邊形內(nèi)部.

【答案】⑴見解析；

(2)見解析

【分析】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案、正方形及圓的性質(zhì)，正確掌握軸對(duì)稱圖形及圓的性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.

（1）直接利用正方形及圓的性質(zhì)，作出圖形即可;

（2）直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，作出圖形即可.

【詳解】（1）如圖所示，正方形/BCD即為所作;

X)

（2）如圖所示，四邊形230即為所作;

產(chǎn)

21.如圖1是博物館展出的古代車輪實(shí)物，《周禮?考工記》記載："......故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六

尺有三寸…."據(jù)此，我們可以通過計(jì)算車輪的半徑來驗(yàn)證車輪類型，請(qǐng)將以下推理過程補(bǔ)充完整.

圖1圖2

如圖2所示，在車輪上取4,8兩點(diǎn)，設(shè)前所在圓的圓心為O,半徑為"Ui.

作弦48的垂線OC,。為垂足，則；.

經(jīng)測(cè)量，/8=90cm,CD=15cm,則cm；用含r的代數(shù)式表示0D=cm.

2

在RtACMD中，由勾股定理可列出關(guān)于廠的方程：r=.解得r=75.

通過換算，車輪直徑約為六尺六寸，可驗(yàn)證此車輪為之輪.(填"兵車"或"田車")

【答案】AB,45,(r-15),452+(r-15)2,兵車

【分析】根據(jù)垂徑定理，進(jìn)行作答即可.

【詳解】解：根據(jù)垂直弦的直徑平分弦可知：AD=\AB,

2

AB=90cm,CD=15cm,

AD=-^AB=45cm,(9Z>=(9C-CZ)=(r-15)cm,

222

.-.r=45+(r-15),

解得:r=T5,

???此車輪為：兵車之輪；

故答案為：AB,45,(r-15),452+(r-15)2,兵車.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理.熟練掌握：垂直于弦的直徑，平分弦，是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在中，以28為直徑的。。與/C相切于點(diǎn)A,與8c相交于點(diǎn)。，尸是8C上一點(diǎn)，且

BA=BF,連接圖,若4C=8,CF=4,求￡>尸的長.

【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得力BC為直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出A4,進(jìn)而求出2C,然后連接

AD,結(jié)合"直徑所對(duì)的圓周角是直角"證明△ABA△C&4,可得登=咨，即可求出8。，最后根據(jù)

CBBA

。尸=3尸得出答案.

【詳解】解：???NB為。。的直徑，。。與/C相切于點(diǎn)A,

ABAC=90°.

???A/BC為直角三角形.

設(shè)BA=BF=x,貝lj8c=8尸+C斤=x+4,

AC=8,

.?.在Rt^4BC中，由勾股定理，得8?+x2=(x+41

解得x=6.

BA=BF=6,BC=6+4=10.

如圖，連接4D,

???AB是。。的直徑,

ZADB=90°,

:"ADB=NCAB=90°.

???AABD=ZCBA,

.-.Z\ABD-Z\CBA,

ABBD6BD

——=——,即nn——=——

CBBA106

??,8。*

1Q12

：.DF=BF-BD=6——=

55

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)和判定,

相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是求線段長的常用方法.

23.如圖所示，48是圓。的一條弦，是圓O直徑，CDJL48垂足為

⑴若/ZOD=48。，求〃OS的度數(shù)；

⑵若45=2⑺，ED=2,求圓。的半徑長.

【答案】⑴〃。5的度數(shù)是48。；

(2)圓。的半徑長為日.

4

【分析】本題考查了勾股定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)垂徑定理可得益=而，從而可得4400=480。=48。，即可解答；

(2)根據(jù)垂徑定理可得/￡=；/8=近，然后設(shè)圓。的半徑長為小再在Rt^/OE中，利用勾股定理進(jìn)行

計(jì)算即可解答.

【詳解】(1)解：是圓。的一條弦，ODLAB,

??AD=BD，

:.ZAOD=ZBOD=4S0,

，/DO臺(tái)的度數(shù)是48。；

(2)解：是圓。的一條弦，ODLAB,

:.AE=-AB=yIl,

2

設(shè)圓。的半徑長為「，

在RtZUOE中，AO2=OE2+AE2,

11

：.r=—,

4

???圓。的半徑長為

4

24.如圖，是。。的直徑，C是弧的中點(diǎn)，的切線8。交/C的延長線于點(diǎn)。，￡是。8的中點(diǎn),

CE的延長線交切線AD于點(diǎn)尸，/尸交OO于點(diǎn)“，連接8”.

⑴求證：AC=CD

(2)若。2=2,求28的長

【答案】⑴證明見解析

⑵拽

5

【分析】(1)連接OC,先根據(jù)圓心角定理可得2/OC=90。，再根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得90。，從

而可得乙43。=ZAOC,根據(jù)平行線的判定可得OC〃BD,然后根據(jù)相似三角形的判定證出V/OC:MABD,

ArOA1

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得n=彳=彳，由此即可得證；

ADAB2

(2)連接。C,先根據(jù)三角形全等的判定定理證出VBE尸三VO￡C,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

BF=OC=2,再利用勾股定理可得4尸=2若，然后根據(jù)相似三角形的判定證出VHFH:YAFB,根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)即可得.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC,

由圓的性質(zhì)得：AB=WA,

???45是。。的直徑，。是弧43的中點(diǎn),

ZAOC=90°f

QAD是OO的切線，

ZABD=90°,

/ABD=ZAOC,

OCPBD,

-X/AOC:MABD,

.AC_OA

,?茄一花—2'

:.AC=CD.

(2)解：如圖，連接。C,

D

01

AB

F

?「OB=2,

AB=2OB=4,OC=OB=2,

???E是08的中點(diǎn)，

/.BE=0E,

在△BEF和△OEC中，

ABEF=ZOEC

<BE=OE,

ZEBF=ZEOC=90°

:VBEFWOEC(ASA),

：.BF=OC=2,

AF=ylAB2+BF2=275，

???是。。的直徑，

ZAHB=ZBHF=90°,

在△瓦方和中，

'/BFH=ZAFB

[ZBHF=ZABF=90°，

:VBFH:YAFB,

BHBF口口BH2

---=---,即—-=—/=，

ABAF42V5

解得8〃=述.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角定理、圓周角定理、圓的切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟

練掌握各定理和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

25.如圖1,直徑為26cm的量角器與直尺下邊沿CD相切于點(diǎn)P,量角器直徑43平行ER￡尸=24cm,O

為48的中點(diǎn)，連接。尸交EF于點(diǎn)G.

圖1圖2

⑴填空：圖1中，ZAOP=.

（2）求直尺的寬度尸G.

⑶如圖2,將量角器繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在直尺上邊沿時(shí)，N/OE的度數(shù)為〃。，量角器與

直尺下邊沿CD仍然相切于點(diǎn)尸,。為前上的點(diǎn)，連接若求扇形。尸。的面積.（用含"的代

數(shù)式表示）

【答案】（1）90。

(2)GP=8cm；

_169m7

⑶S通cm2.

720

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，扇形的面積公式.

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解；

（2）連接OE,利用垂徑定理求得OG的長，進(jìn)一步計(jì)算即可求解；

（3）利用垂徑定理求得/尸OE=/P。尸，得到NPOb=90。-；〃，再得到/尸。。=（〃，利用扇形面積公式

即可求解.

【詳解】（1）解：??,直徑48平行EF,EF//CD,

：.AB//CD,

???。。與CO相切于點(diǎn)尸，

OP±CD,

：.OP1AB,

.?.//OP=90°,

故答案為：90°；

（2）解：連接OE,

由題意得0尸，￡尸，

：.EG=-EF=\2,

2

■.■OP=OE=-x26=U,

2

■OG=yj0E2-EG2=5，

...GP=13-5=8(cm)；

(3)W：-OP1EF,

■■EP=PF^

ZPOE=ZPOF,

ZPOE=ZPOF=1(180°-Z^(9E,)=90O-|H

OQLAB,

AQOB=90°,

ZPOQ=90°-ZPOB=g〃，

12

—Yl'7ir1(c

.?.2169m?/2\.

S~=----------=---------cm

°PQ3607201'

26.如圖1,在銳角A/BC中，4B=AC,圓。為A/BC的外接圓.

⑴求證：CM平分/A4c.

⑵如圖2,點(diǎn)E在弧上，CE分別與CM,BA交于點(diǎn)F,G,且CF=BE.

①求證：BGLEF；

②若E尸=2,CF=3,求圓。的半徑.

③如圖3,連接30并延長交/C于。，交CE于H,若DH=OH,求cos/民4c的值.

【答案】⑴見解析

(2)①見解析；②巫;③克

24

【分析】(1)證明△408絲△/OC,即可得出CM平分/A4C；

(2)①連接昉，證明△/昉三ZX/C/，推出=尸，即可求證；②連接并延長交。。于“，

D/~?2I—_

連接CM,根據(jù)一=sinZBMC=sinABEG=-V2,即可求出半徑的長；③延長AD交。。于連接

BM3

CM,利用相似三角形的性質(zhì)和判定即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接。8、0C,

???OA^OA,OB=OC,AB=AC,

.-.AAOB^AAOC(SSS),

.?"BAO=ACAO,

.?.CM平分/8/C；

(2)解：①如圖所示，連接M,

???AF=AF,NBAF=NG4F,AB=AC,

；.AABF知ACF(SAS),

ZACF=AABF,BF=CF,

XvZACF=ZABE,BE=CF

???ZABE=ZABF,BE=BF,

BG工EF；

②如圖所示，連接3。并延長交。。于“，連接CW則/3CM=90。,

EF=2,CF=3,

EG=FG=\,BF=CF=3,

???BG=2V2,BC=2&,

RC2

——=sin/BMC=sin/BEG=-y/2,

BM3

:.BM=3拒,即半徑為辿；

2

③延長BD交。。于連接CM,

???ADAO=NOAB=NABO,ZADO=ABDA,

:.AADOSABDA,

ADDO口口

—,HPAD92=