浙江省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)與解直角三角形（講解篇）

第29講銳角三角函數(shù)與解直角三角形

1.銳角三角函數(shù)的概念

考試

考試內(nèi)容

要求

在aAABC中，NC=90°,AB=c,BC=a,AC=b.

A

d

BaC

正弦余弦正切C

sink=cosX=tank=

NA的對邊aNA的鄰邊_bNA的對邊a

斜邊一c斜邊一c/人的鄰邊一6

它們統(tǒng)稱為NA的銳角三角函數(shù)

2.特殊角三角函數(shù)值

考試

考試內(nèi)容

要求

三角函數(shù)30°45°60°

57/7a亞也

222

1

COSa亞亞

222

a

tana也14

3

函數(shù)的增減性：(0°〈a〈90。)

(1)sina,的值都隨a增大而增大；

(2)cosa的值隨a增大而減小.

3.解直角三角形

考試

考試內(nèi)容

要求

解直角三在直角三角形中，除直角外，共有5個(gè)元素，即3條邊和2個(gè)銳角.由

角形的定這些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的過程叫做解直角三

義角形.

在a△ABC中，ZC=90°,則:

(1)三邊關(guān)系：a2+b2=c2；

解直角三⑵兩銳角關(guān)系：ZA+ZB=90°；

角形的常

(3)邊與角關(guān)系：sin\=cosQ=-,cos\=

c

用關(guān)系/

ba

cb

(4)sink+cosk—1.

RZa:

(1)已知斜邊和一個(gè)銳角；

解直角三

(2)已知一直角邊和一個(gè)銳角；

角形的題

(3)已知斜邊和一直角邊(如已知c和a)；

目類型

(4)已知兩條直角邊a、b.

三角形面積公式：SA=-1ah=1absir￡.

拓展2

4.解直角三角形的應(yīng)用常用知識

考試

考試內(nèi)容

要求

在視線與水平線所成的角中，

線^視線

仰角和俯角T視線在水平線上方的叫仰角，

水平線

?視線視線在水平線下方的叫俯角.

坡面的鉛直高度h和水平寬

a

度1的比叫做坡面的坡度(或

坡度和坡角I坡比)，記作i=h：1.

坡面與水平面的夾角叫做坡

角，記作a.1=tana,坡度

越大，a角越大，坡面越陡.

t

東北方向

北偏西60°指北或指南方向線與目標(biāo)方

方向角（或方位角）向線所成的小于90。的角叫

V

做方向角.

南偏西4?！溉啄掀珫|25'

考試

考試內(nèi)容

要求

轉(zhuǎn)化思想：

（1）在直角三角形中，求銳角三角函數(shù)值的問題，一般轉(zhuǎn)化為求兩

條邊的問題，這樣就把新知識（求銳角三角函數(shù)值）轉(zhuǎn)化為舊知識

（求直角三角形的邊長），因此不可避免地用到勾股定理.若原題沒

基本有圖形，可以畫出示意圖，直觀地觀察各邊的位置及類型（直角邊

C

思想還是斜邊），再運(yùn)用定義求解.

（2）在解斜三角形時(shí)，通常把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，常見的

方法是作高，通過作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用解直

角三角形的有關(guān)知識解決問題.注意在畫圖過程中考慮一定要周

至IJ,不可遺漏某一種情況.

1.（2017?湖州）如圖,已知在aAABC中,ZC=90°,AB=5,BC=3,則cosB的值

是（）

A

34

4

5-3-

2.（2017?溫州）如圖，一輛小車沿傾斜角為a的斜坡向上行駛13米，已知cosa=—,

則小車上升的高度是（）

45米86米C.6.5米D.12米

3.（2016?寧波）如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動中，小聰在距離旗桿10〃的A處測得

旗桿頂端B的仰角為60°,測角儀高AD為1處則旗桿高BC為〃（結(jié)

果保留根號）.

4.（2017?麗水）如圖是某小區(qū)的一個(gè)健身器材，已知BC=0.15〃，AB=2.70如ZBOD

=70°,求端點(diǎn)A到地面CD的距離（精確到0.1面.（參考數(shù)據(jù)：sin70°心0.94,cos7Q°

孱0.34,tan70°^2.75)

0=0

【問題】如圖，在AABC中，AC=245,BC=2.

(1)若NC=7iYN,求sink；

⑵若NA=30°,求AB；

（3）通過（1）（2）解答，請你總結(jié)解一般三角形的思路，以及解直角三角形的方法.

【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理三角函數(shù)的定義，以及解直角三角形的方法.

類型一銳角三角函數(shù)的概念

例1

?c.

（2015?麗水）如圖，點(diǎn)A為Na邊上的任意一點(diǎn)，作AC_LBC于點(diǎn)C,CDJ_AB于點(diǎn)D,

下列用線段比表示cosa的值，錯(cuò)誤的是（）

BDBCADCD

A___TJ___r-----n___

BCABACAC

【解后感悟】本題是銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊

比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

■變式拓展

1.（1）（2015-山西）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,

則NABC的正切值是（）

亞1

42C

52-

（2）（2015?揚(yáng)州）如圖，若銳角AABC內(nèi)接于。。，點(diǎn)D在。。外（與點(diǎn)C在AB同側(cè)）,

則下列三個(gè)結(jié)論：①s力?NC>s力?ND；②cosNOcosND；③方a〃NC>3z?ND中，正確的

結(jié)論為（）

cD

A.①②D.①③

A/3i

2.在A〃\ABC中，NC=90°,AB=2BC,現(xiàn)給出下列結(jié)論：①5/儂=B-；②cosB=]；

③ta〃A=乎；@tanB=y[3,其中正確的結(jié)論是（只需填上正確結(jié)論的

序號）.

類型二特殊角的三角函數(shù)值

例2式子2cos30°—3n45°~\j（1—tan&O°~尸的值是（）

A.2小一2B.0C.2y[3D.2

【解后感悟】利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算，往往與絕對值、乘方、開方、二

次根式相結(jié)合.準(zhǔn)確地記住一些特殊角的三角函數(shù)值是解決此類題目的關(guān)鍵，所以必須熟記.

■變式拓式

3.(1)(2015?濱江)下列運(yùn)算：57/230°-小—2小,Jl-71,2-2=—4,其中運(yùn)

算結(jié)果正確的個(gè)數(shù)為（）

A,4B.3C,2D.1

（2）計(jì)算6為〃45°—2cos60°的結(jié)果是（)

A.4-73B.4C.5mD.5

(3)在aABC中，若SIT?A—1+(COSB—￡)

2=0,則/C的度數(shù)是（)

A.30°B.45°C.60°D.90°

類型三解直角三角形的幾何應(yīng)用

例3（2015?湖北）如圖，AD是AABC的中線，tan&=^,cosC=乎,AC=，1求:

(DBC的長；

(2)S7/7ZADC的值.

【解后感悟】本題運(yùn)用的是解直角三角形的知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解

題的關(guān)鍵，注意銳角三角函數(shù)的概念的正確應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

■變式拓展

4.⑴（2015?荊門）如圖,在Z\ABC中,NBAC=7?叱,AB=AC,點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn),

DELBC于點(diǎn)E,連結(jié)BD,貝U3A/DBC的值為（）

A.-B.1C.2—yf3D.~

⑵如圖，若AABC和4DEF的面積分別為S1、S2,則（）

17

A.B.Si=-S2C.Si=S2

5.如圖，在4ABC中，ZA=30°，/B=45。，AC=2第，則AB的長為.

類型四解直角三角形中一個(gè)常見的模型

例4（2016?紹興）如圖1,某社會實(shí)踐活動小組實(shí)地測量兩岸互相平行的一段河的寬

度，在河的南岸邊點(diǎn)A處，測得河的北岸邊點(diǎn)B在其北偏東45°方向，然后向西走60〃到

達(dá)C點(diǎn)，測得點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏東60°方向，如圖2.

（1）求NCBA的度數(shù);

⑵求出這段河的寬（結(jié)果精確到1必，備用數(shù)據(jù)鏡5.41,$-1.73）.

B

【解后感悟】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一一方向角問題，正確標(biāo)注方向角、熟

記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵；通過基本圖形與實(shí)際問題的結(jié)合，揭示圖形的基本數(shù)

量關(guān)系，利用方程思想求解.注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

如圖1是基本圖形，若c,D,B在同一直線上，且/ABC=4/,NACB=a,/ADB=

Xx

B，CD=a,AB=x,貝”有x=BD,tan3，x=CB?tana,------——=a,x=

tanatanp

a

111

tanatanB

變式為如圖2,結(jié)論是x=[a[.

?變式拓展_______________

6.（2016?河南）如圖，小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處，測得正前方旗桿頂部

A點(diǎn)的仰角為37°,旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°,升旗時(shí)，國旗上端懸掛在距地面2.25米

處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端，則國旗應(yīng)以多少

米/秒的速度勻速上升？（參考數(shù)據(jù)：sin31°-0.60,cos37°^0.80,taniV"0.75）

類型五解直角三角形的測量問題

例5（2016?黃石）如圖，為測量一座山峰CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和

BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測得坡長AB=800米，BC=200米，坡角ZBAF=30°,

ZCBE=45°.

⑴求AB段山坡的高度EF；

⑵求山峰的高度CF.（m仁1.414,CF結(jié)果精確到米）

【解后感悟】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一一斜坡問題：解題涉及到的量是坡度與

坡角，坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度1的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜

坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=h：1的形式.把坡面與水平面的夾角a叫做坡

角，坡度i與坡角a之間的關(guān)系為：i=tana.

■變式環(huán)式_______________

7.（1）（2016?重慶）某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測量大樹CD高度的綜合實(shí)踐活動，如圖，

在點(diǎn)A處測得直立于地面的大樹頂端C的仰角為36°,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13

米至坡頂B處，然后再沿水平方向行走6米至大樹腳底點(diǎn)D處，斜面AB的坡度（或坡比）i

=1：2.4,那么大樹CD的高度約為(參考數(shù)據(jù)：57/736°^0.59,cos36°?0.81,3〃36

-0.73)()

（2）（2017?紹興）如圖，學(xué)校的實(shí)驗(yàn)樓對面是一幢教學(xué)樓，小敏在實(shí)驗(yàn)樓的窗口C測得

教學(xué)樓頂部D的仰角為18。，教學(xué)樓底部B的俯角為20°,量得實(shí)驗(yàn)樓與教學(xué)樓之間的距

①求/BCD的度數(shù);

②求教學(xué)樓的高BD.（結(jié)果精確到0.10，參考數(shù)據(jù)：tan20°^0.36,加18°^0.32）

類型六解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用

例6如圖，傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘架所成的角

ZBAC,當(dāng)傘收緊時(shí)，結(jié)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，且點(diǎn)A、E、D在同一條直線上，已知部分傘架的

長度如下：（單位：c而

傘架DEDFAEAFABAC

長度363636368686

p

⑴求AM的長；

⑵當(dāng)NBAC=104°時(shí)，求AD的長(精確到1C0).

備用數(shù)據(jù)：57/752°^0.788,cos52°仁0.6157,tar&2°^1.2799.

【解后感悟】本題是解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，解直角

三角形；注意把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

■變式屈式

8.（2015?衢州）如圖，已知“人字梯”的5個(gè)踩檔把梯子等分成6份，從上往下的第

5

二個(gè)踩檔與第三個(gè)踩檔的正中間處有一條60c燈長的綁繩EF,tana=-,則“人字梯”的頂

,?,Z

端離地面的高度人口是（)

AB*D?%

A.144B.18。anC.240cmD.360c0

9.（2017?臺州）如圖是一輛小汽車與墻平行停放的平面示意圖，汽車靠墻一側(cè)0B與墻

MN平行且距離為0.8米，已知小汽車車門寬AO為1.2米，當(dāng)車門打開角度/AOB為40°時(shí),

車門是否會碰到墻？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：s力?40°仁0.64；cos40°?0.77；

?40°^0.84)

10.（2016?臺州）保護(hù)視力要求人寫字時(shí)眼睛和筆端的距離應(yīng)超過30c0,圖1是一位

同學(xué)的坐姿，把他的眼睛B,肘關(guān)節(jié)C和筆端A的位置關(guān)系抽象成圖2的AABC,已知BC=

30cmAC=22c?/ACB=53°,他的這種坐姿符合保護(hù)視力的要求嗎？請說明理由.（參考

數(shù)據(jù)：57/753°?0.8,cos53°^0.6,tan^°^1.3）

【課本改變題】教材母題一一浙教版八下，第82頁

某學(xué)校的校門是伸縮門（如圖1）,伸縮門中的每一行菱形有20個(gè)，每個(gè)菱形邊長為30

厘米.校門關(guān)閉時(shí)，每個(gè)菱形的銳角度數(shù)為60°（如圖2）；校門打開時(shí)，每個(gè)菱形的銳角度

數(shù)從60°縮小為10°（如圖3）.

問：校門打開了多少米？（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：si而。^0.0872,cos5°g

0.9962,s/H0°-0.1736,coslO0?0.9848).

【方法與對策】解應(yīng)用題的基本思路是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為

數(shù)學(xué)問題，只要涉及三角形的實(shí)際問題，把它抽象到解直角三角形中進(jìn)行解答，之后再還原

成實(shí)際問題.這種題型是中考常用的考查方式.

【把一般三角形當(dāng)作直角三角形來解】

如圖，將以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形ABC沿直線BC平移得AA，B，。，使B，

與C重合，連結(jié)A'B,則tanZk'BCZ的值為.

AA'

BC⑺C

參考答案

第29講銳角三角函數(shù)與解直角三角形

【考題體驗(yàn)】

1.A

2.A

3.(10^3+1)

4.作AEJ_CD于E,BF_LAE于F,則四邊形EFBC是矩形，：0D_LCD,ZB0D=70°,

AE〃0D,AZA=ZB0D=70°,在Rt/XAFB中,VAB=2.7,.\AF=2.7Xcos70°~2.7X

0.34=0.918,.*.AE=AF+BC?0.918+0.15=1.068-1.Im,答:端點(diǎn)A到地面CD的距離

是1.Im.

【知識引擎】

BCx

【解析】(1),.?AB2=AC2+BC2,；.AB=4,VsinA=—,.*.sinA=-；⑵作CD_LAB,

ADZ

交AB于點(diǎn)D.；NA=30。，.-.CD=ACsin30°=4,AD=ACcos30°=3,VCDXBD,ABD

=1,.-.AB=AD+BD=4.(3)解一般三角形的思路：一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形；解直角

三角形的方法：利用方程思想，借助勾股定理、三角函數(shù)等關(guān)系求解.

【例題精析】

例1VAC±BC,CDXAB,Za+ZBCD=ZACD+ZBCD,AZa=ZACD,cosa

cos/ACD=*=第=%，只有選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意，故選：C.

DLADAL

例2原式=2X2—1——1)=，^一1—，^+1=0.故選8.

例3

、歷

(1)過點(diǎn)A作AE±BC于點(diǎn)E,VcosC=^~,：.ZC=45°,在7?tAACE中，CE=AC?cosC

=1,.?.AE=CE=1,在放AABE中，.B/唬4，BE=3AE=3,，BC=BE+CE=4；

⑵：AD是AABC的中線，.,.CD=1BC=2,.-.DE=CD-CE=1,VAEXBC,DE=AE,ZADC

=45。，j/ADC邛

例4

(1)由題意得,NBAD=45°,ZBCA=30°,AZCBA=ZBAD-ZBCA=15°；(2)

BD

作BDmA交CA的延長線于D,設(shè)BD=x〃，..ZBCA=3。。，...CDnwkn/x,..ZBAD

60

=45°,；.AD=BD=x,則［5X—X=60,解得*=于薪=30(m+1)弋82,答：這段河的

寬約為82?.

例5(1)作BH±AF于H,如圖，在7?fAABH中，VS77?ZBAH=—,.*.BH=800?s/〃30°

=400〃/.EF=BH=400ffl；答：AB段山坡的高度EF為400米.(2)在七4CBE中，'Zsin

ZCBE=—,CE=200?sin^0=100A/2141.4(?),/.CF=CE+EF=141.4+

n(.V

400仁541?.答：山峰的高度CF約為541米.

例6

(1)由題意,得八41=八￡+D￡=36+36=72(。血.故人11的長為72讖；(2)：AP平分NBAC,

NBAC=104°,.\ZEAD=|zBAC=52°.過點(diǎn)E作EG_LAD于G,：AE=DE=36,；.AG=DG,

AD=2AG.在4AEG中，：/AGE=90°,：.AG=AE?cosZEAG=36?cos520===36X0.6157=

22.1652(caz),/.AD=2AG=2X22.1652^44(CTB).故AD的長約為44M.

【變式拓展】

1.(1)2?②D2.②③④3.⑴2(2)2?⑶〃4.⑴/(2)C5.3+^3

6.在AtZ\BCD中，BD=9米，ZBCD=45°,貝!JBD=CD=9米.在AYZkACD中，CD=9

米，ZACD=37°,貝UAD=CD?tar&V七9X0.75=6.75(米).所以，AB=AD+BD=15.75

米，整個(gè)過程中旗子上升高度是：15.75—2.25=13.5(米)，因?yàn)楹臅r(shí)45s,所以上升速度v

175

=喂=0.3(米/秒).答：國旗應(yīng)以0.3米/秒的速度勻速上升.

45

7.(1)/(2)①過點(diǎn)C作CE_LBD,則有NDCE=18°,ZBCE=20°,AZBCD=ZDCE+

ZBCE=18°+20°=38°；

D

A?

②由題意得：CE=AB=30?,在7?tACBE中，BE=CE?tan2Q°F0.