中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次根式（專項(xiàng)訓(xùn)練）（解析版）

專題10二次根式

一、單選題

1.（2021?珠海市九洲中學(xué)九年級(jí)）在函數(shù)y=Y手中自變量x的取值范圍是（）

A.x>-lB.x<-lC.x>lD.x>-l

【答案】D

【分析】

由題意直接根據(jù)二次根式的性質(zhì)即被開方數(shù)大于或等于0,可以求出x的范圍.

【詳解】

解：由函數(shù)y=Y乎有意義可得，

x+1>0,解得xN-1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個(gè)方面考慮：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變

量可取全體實(shí)數(shù)；當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方

數(shù)非負(fù).

2.（2021?內(nèi)蒙古九年級(jí)）下列計(jì)算中，正確的是（）

A.）,/=a'B.（?！猙）-=+2ab—b~C.x?,x,=x*D.-x/^2,s/3=-\[s

【答案】A

【分析】

分別根據(jù)幕的乘方、積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)累的乘法，二次根式的乘法逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】

解：A.（a2>）-a3=a6-a3=a9,因此A選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；

B.（a-b）2=a2-2ab+b2,因此B選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；

242+46

C.x-x=x=x,因此C選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；

D.6.忑=叵忑=a,因此D選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了哥的乘方、積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)基的乘法，二次根式的乘法等知識(shí)，熟練掌握各

運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

3.（2021?重慶字水中學(xué)九年級(jí)）估計(jì)a+Ax七的值應(yīng)在（）

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間.

【答案】C

【分析】

先化簡(jiǎn)龍+辰《,再估算無理數(shù)病的值即可解題.

【詳解】

解：V8+V36x=272+^36x1=2V2+V18=272+372=572

5A/2=V50,V49<V50<V64

7<y/50<8

即說+病xg介于7和8之間，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次根式的乘法、合并同類二次根式等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

4.（2021?廈門市第九中學(xué)九年級(jí)）下列二次根式中能與行合并的是（）

A.yfsB.^9C.3D.J12

【答案】D

【分析】

化為最簡(jiǎn)二次根式，然后根據(jù)同類二次根式的定義解答.

【詳解】

A.a=2母,不能與公合并，故該選項(xiàng)不符合題意；

B.亞=3,不能與百合并，故該選項(xiàng)不符合題意；

C.3,不能與百合并，故該選項(xiàng)不符合題意；

D.V12=25/3,能與百合并，故該選項(xiàng)符合題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是同類二次根式的定義，掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.一般地，把幾個(gè)二次根

式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.

5.（2021?重慶北培?西南大學(xué)附中九年級(jí)）在函數(shù)>=立二中，自變量x的取值范圍是（）

x-2

A.x>-lB.x>-\C.xN-1且xw2D.x>-l且"2

【答案】C

【分析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0,分母不等于0,可以求出X的范圍.

【詳解】

[x+l>0

解：根據(jù)題意得：…，

[x—2w0

解得：x>—l且x#2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個(gè)方面考慮：

（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；

（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；

（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)非負(fù).

6.（2021?廣西南寧十四中九年級(jí)）下列屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.B.y/2C.y/9D.J0.1

【答案】B

【分析】

根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們

把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行分析即可.

【詳解】

A.《=，開方數(shù)是分?jǐn)?shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.也是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；

C.囪=3含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

D,布=后=嚕被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選B

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式，關(guān)鍵是掌握最簡(jiǎn)二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因

式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

7.（2021?湖南九年級(jí)期中）若二次根式H分有意義，則》的取值范圍是（）

A.x>3B.x>3C.x<3D.x<3

【答案】B

【分析】

根據(jù)二次根式有意義的條件列式求解即可.

【詳解】

解：?.?二次根式療與有意義

?1-X-3>0,即：x>3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于零.

8.（2021?廣西百色?中考真題）下列各式計(jì)算正確的是（）

A.33=9B.（a-6）-廿

C.2&+3拒=5后D.（202方尸=8.8〃

【答案】C

【分析】

分別根據(jù)有理數(shù)的乘方、二次根式的計(jì)算法則和整式的乘法計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算判斷即可得到答案.

【詳解】

解：A、3三27,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、（a-Z?）2=a2-2ab+b2,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、2a+3也=5也，此選項(xiàng)正確；

D、（2a%y=8a43,此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次根式的加法運(yùn)算和整式的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵在于熟練的掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

9.（2021?廣西桂林?中考真題）下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.AB."C.D.Ja+b

【答案】D

【分析】

要選擇屬于最簡(jiǎn)二次根式的答案，就是要求知道什么是最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件：1、被開方數(shù)是整數(shù)或整

式；2、被開方數(shù)不能再開方.由被選答案可以用排除法可以得出正確答案.

【詳解】

/、「被開方數(shù)不是整數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、"=2是有理數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、疹=同，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

。、符合最簡(jiǎn)二次根式的定義，是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了滿足是最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件：1、被開方數(shù)是整數(shù)或整式；2、被開方數(shù)不能再開方.

10.（2021?廣西梧州?）下列計(jì)算正確的是（）

A.至=3也B.V2+V3=V5C.逅=有D.（a）占2

2

【答案】D

【分析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)和二次根式的加法法則和除法法則逐一進(jìn)行計(jì)算，從而得出答案；

【詳解】

解：y/12=2-\/3,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

力與。不是同類二次根式，不能合并，選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

=百，選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

（41）2=2,選項(xiàng)D正確;

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵

二、填空題

11.（2021?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）使衣廠有意義的x的取值范圍是

【答案】x>7

【分析】

直接利用二次根式被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，進(jìn)而得出答案.

【詳解】

解：G7有意義，則X-7N0,

解得：x>7.

故答案為：x>7.

【點(diǎn)睛】

］此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵.

12.（2021?遼寧盤錦?）如圖，四邊形48CD為矩形，AB=2道,/D=2也，點(diǎn)尸為邊N8上一點(diǎn).以DP

為折痕將△以尸翻折，點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)4.連結(jié)44',AA'交PD于點(diǎn)”，點(diǎn)0為線段2c上一點(diǎn)，連結(jié)

AQ,MQ,則/。+河。的最小值是________

【答案】472

【分析】

如圖，作點(diǎn)/關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)7,取40的中點(diǎn)R,連接27,QT,RT,RM.想辦法求出RS,RT,求出

的最小值，再根據(jù)a+。河=。河+。4117,可得結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)T,

取ND的中點(diǎn)尺，連接57,QT,RT,RM.

?.?四邊形48。是矩形，

；ZR4T=9O°,

?；AR=DR=6,AT=2AB=46,

：.RT=yjAR2+AT2=#五>+（4后=50,

"A,/關(guān)于。尸對(duì)稱，

■■.AA'LDP,

.-?ZJMD=90°,

,:AR=RD,

:.RM=gAD=也,

■：MT>RT-RM,

■■MT>A42，

??.MT的最小值為4a,

???QA+QM=QT+QM>MT,

.■.QA+QM>4y[2，

.?.QA+QM的最小值為4行.

故答案為：4vL

【點(diǎn)睛】

本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出的最小值，屬于中考?？碱}

型.

13.（2021?四川巴中?中考真題）函數(shù)y=V^7+一1中自變量x的取值范圍是

x+3

[答案1x<2且洋-3

【分析】

根據(jù)被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0列式計(jì)算即可得解.

【詳解】

解：由題意得，2-xNO且x+3聲0,

解得爛2且x#-3.

故答案為：爛2且在-3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù);

（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)非

負(fù).

14.（2021?湖南衡陽?中考真題）若二次根式VT與有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

【答案】侖3

【分析】

利用二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)列不等式，再解不等式即可得到答案.

【詳解】

解：由題意得：x-320,

x>3.

故答案為：x>3.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

15.（2021?青海）觀察下列各等式：①2點(diǎn)=『7］；@3^|=^3+|；③4心=14…根據(jù)以上規(guī)

律，請(qǐng)寫出第5個(gè)等式：

【答案】6那

【分析】

根據(jù)左邊根號(hào)外的因數(shù)與根號(hào)內(nèi)的分子相同，根號(hào)內(nèi)的分母為分子平方與1的差，右邊根號(hào)內(nèi)為左邊根號(hào)

外與根號(hào)內(nèi)兩數(shù)之和，即可找到其中規(guī)律，從而寫出第〃個(gè)等式，再將〃=6代入即可求出答案.

【詳解】

解：猜想第〃個(gè)為:

（〃為大于等于2的自然數(shù)）;

理由如下:

VH>2,

添項(xiàng)得：

2

聞〃/2n-1"4\~n(n3-1)i+n

提取公因式得：

2

聞/In-1'\~n(nV--1)i—+n

分解分子得：

即:

本題考查二次根式的計(jì)算，需要通過觀察分析和尋求規(guī)律、歸納和論證的抽象思維能力，得出一般性的結(jié)

論；解答此題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察、細(xì)致分析，局部找規(guī)律，整體找關(guān)系.

三、解答題

16.(2021?遼寧鞍山?)先化簡(jiǎn)，再求值：-7%*-，其中a=布+2.

【答案】上;，1+逅

【分析】

根據(jù)分式的混合運(yùn)算的運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)為三，再代入求值.

a-2

【詳解】

______3Ya-]

用牛：a2-4Ja2+2a

13Q(Q+2)

Q—2(Q+2)(Q—2)CL—\

a-1Q(Q+2)

(Q+2)(Q—2)Q—1

a

Q—2

當(dāng).+2時(shí)，原*^=$=

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值：先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值.

17.（2021?廣西河池?）計(jì)算：巫+4一|-1￡|+|-V3|.

【答案】3G

【分析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，絕對(duì)值和有理數(shù)的乘方計(jì)算法則求解即可得到答案.

【詳解】

解：VT2+4-'-^j+|-V3

=2V3+---+V3

44

=3^/3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，負(fù)整數(shù)指數(shù)塞，絕對(duì)值和有理數(shù)的乘方計(jì)算法則，解題的關(guān)鍵在于

能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

18.（2021?遼寧錦州?中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：（x-1-義）十二一，其中x=G-2.

x+1X'+x

【答案】X（x+2）,3-2^/3

【分析】

先把括號(hào)內(nèi)的分式通分，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，把各分子和分母因式分解，然后進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，最后代入

求值.

【詳解】

解：原式=三『、理

(x+2)(%一2)*x(x+1)

x+1x-2

=x(x+2).

把尸行-2代入，原式=(73-2)(V3-2+2)=3-273.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

Y—3X—3X

19-(2。"?遼寧盤的)先化簡(jiǎn)，再求值：-IT』其中x=a+4

4

【答案】三，2a

【分析】

先利用平方差公式和完全平方公式對(duì)原式進(jìn)行分解因式化簡(jiǎn)，然后代入值計(jì)算即可得到答案.

【詳解】

解：原j式=xE-3.(Tx-4)r(x+^4)一三x

x+4x_4

x-4x-4x-4

當(dāng)工=及+4時(shí)，

原式=(夜：4)一4=1=23

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了因式分解，分式的化簡(jiǎn)求解，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握因式分解的方法.

20.(2021?貴州遵義?)先化簡(jiǎn)三二1十(《±竺_&),再求值，其中》=0_2.

x-2xx-x

【答案】交.

2

【分析】

根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，把x的值代入計(jì)算即可.

【詳解】

解：原式=:+2)(/2)一色上空

x(x-2)x

x+2x

x(x+2)2

1

x+2

原式―丁V2

當(dāng)x=V2-2時(shí),

V

【點(diǎn)睛】

本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

（1—yA2Y—2—

21.（2021?遼寧阜新市教育服務(wù)中心）先化簡(jiǎn)，再求值：1+一卜二《~?，其中無=拒+「

Ix+\）x+2x+\

【答案】-一->V2+1

x-1

【分析】

分式算式中有加法和除法兩種運(yùn)算，且有括號(hào)，按照運(yùn)算順序，先算括號(hào)里的加法，再算除法，最后代入

計(jì)算即可.

【詳解】

htx(x+11—xA2x—2

原式=---7+----7―o7

1工+1x+1Jx+2x+l

2.2(1)

x+1(x+1)2

2(x+l)2

-----------------

x+12(x-l)

x+1

當(dāng)X=0+1時(shí)，

原式"3"

【點(diǎn)睛】

本題是分式的化簡(jiǎn)求值題，考查了二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的除法等知識(shí)，化簡(jiǎn)時(shí)要注意運(yùn)算順序,

求值時(shí)，最后結(jié)果的分母中不允許含有二次根式.