浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：定義與命題、證明（解析版）

第02講定義與命題證明

產(chǎn)知識(shí)點(diǎn)梳理

一、定義、命題、基本事實(shí)與定理

1.定義

一般地，能清楚的規(guī)定某一名稱或術(shù)語(yǔ)的意義的句子叫做該名稱或術(shù)語(yǔ)的定義.

2.命題

一般地，判斷某一件事情的句子叫命題.正確的命題叫做真命題；不正確的命題叫做假

命題.

命題通常由條件、結(jié)論兩個(gè)部分組成，條件是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)得到的事項(xiàng).

通常命題可以寫成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”開(kāi)始的部分是條件，”那

么“后面的部分是結(jié)論.

要點(diǎn)：

命題屬于判斷句或陳述句，是對(duì)一件事情作出判斷，與判斷的正確與否沒(méi)有關(guān)系.當(dāng)證

明一個(gè)命題是假命題時(shí)只要舉出一個(gè)反例就可以.

3.基本事實(shí)

人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐后公認(rèn)為正確的命題，作為判斷其他命題的依據(jù)，也可稱為公理.

4.定理

用推理的方法判斷為正確的命題.定理也可以作為判斷其他命題真假的依據(jù).

要點(diǎn)：

滿足以下兩個(gè)條件的真命題稱為定理：

(1)其正確性可通過(guò)公理或其它真命題邏輯推理而得到.

(2)其又可作為判斷其它命題真假的依據(jù).

二、證明

1.證明

從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、基本事實(shí)、定理(包括推論)，一步一步推得結(jié)

論成立，這樣的推理過(guò)程叫做證明.

2.證明表述格式

證明幾何命題時(shí)，表述格式一般如下：

(1)按題意畫出圖形；

(2)分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在“已知”中寫出條件，在“求證”中寫出結(jié)

論；

(3)在“證明”中寫出推理過(guò)程.

要點(diǎn)：

在解決幾何問(wèn)題時(shí)，有時(shí)需要添加輔助線，添輔助線的過(guò)程要寫入證明中，輔助線通常

要畫出虛線.

三、三角形外角的性質(zhì)

三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和。

.下列語(yǔ)句中，不是命題的是()

A.兩點(diǎn)確定一條直線B.垂線段最短

C.同位角相等D.作/A的平分線

【答案】D

【解析】

判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題，以此進(jìn)行判斷.

A.兩點(diǎn)確定一條直線，是一個(gè)真命題；

B.垂線段最短，是一個(gè)真命題；

C.同位角相等，是一個(gè)假命題；

D.作NA的平分線，沒(méi)有判斷的意義，不是命題.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考核知識(shí)點(diǎn)：命題.解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解命題的意義.

、1例2.下列命題是假命題的是（）

A.和為180。的兩個(gè)角互補(bǔ)

B.在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

C.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

D.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等

【答案】D

【解析】

根據(jù)互補(bǔ)的定義，平行線的判定與基本事實(shí)，進(jìn)行判斷.

A、和為180。的兩個(gè)角互補(bǔ)，是真命題；

B、在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，是真命題；

C、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，是真命題；

D、兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，是假命題.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查真假命題的判斷，熟練掌握平行線的判定與基本事實(shí)是解題的關(guān)鍵.

1例3.命題：①對(duì)頂角相等；②平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線平行；③同位角相

等④相等的角是對(duì)頂角；其中假命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】

利用對(duì)頂角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

①對(duì)頂角相等，正確，是真命題；

②在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行，正確，是真命題；

③同位角相等，錯(cuò)誤，是假命題；

④相等的角是對(duì)頂角，錯(cuò)誤，是假命題,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解對(duì)頂角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),

難度較小.

立例4

.把命題“等角的余角相等”改寫成“如果……那么……”的形式，正確的是（）

A.如果兩個(gè)角互余，那么這兩個(gè)角相等B.如果兩個(gè)角相等.那么這兩個(gè)角互為余角

C.如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角的余角也相等D.如果兩個(gè)角互余，那么這兩個(gè)角的余

角相等

【答案】C

【解析】

根據(jù)任何一個(gè)命題都可以寫成“如果…，那么…”的形式，如果后面是題設(shè)，那么后面是結(jié)論,

從而得出答案.

解：命題“等角的余角相等”的題設(shè)是“兩個(gè)角相等”，結(jié)論是“這兩個(gè)角的余角相等”.

故命題”等角的余角相等，，寫成“如果…，那么…”的形式是：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角

的余角相等.

故選擇：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了命題與定理，解答此題的關(guān)鍵是找出原命題的題設(shè)和結(jié)論，此題比較簡(jiǎn)單.

N2,N3中是，A6C外角的是（)

A.Zl.Z2B.Z2,Z3C.Zl.Z3D.Zl.N2,Z3

【答案】C

【解析】

根據(jù)三角形的一條邊的延長(zhǎng)線于另一邊的夾角叫做這個(gè)三角形的外角判斷.

屬于ABC外角的有Nl、Z3.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的外角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵.

、j例6.如圖，在AABC中，ZB=60°,ZA=80°,延長(zhǎng)至點(diǎn)。，則NACD的

大小為（）

【答案】A

【解析】

根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和計(jì)算.

由三角形的外角性質(zhì)可知，ZACD=ZB+ZA=140°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題

的關(guān)鍵.

、：例7.如圖，直線AB〃CD,NA=70。，NC=40。，則NE等于。

A.30°B.40°

C.60°D.70°

【答案】A

VAB//CD,ZA=70°,

：.Z1=ZA=7O°,

VZ1=ZC+ZE,ZC=40°,

ZE=Z1-ZC=70°-40°=30°.

故選A.

.下列句子：①爸爸你去哪兒呢?②舌尖上的中國(guó)；③中國(guó)好聲音是選秀節(jié)目;

④邱波是喀山世錦賽十米跳臺(tái)的冠軍；⑤你不是調(diào)皮搗蛋的壞孩子；⑥奔跑吧兄弟!是命題

的有（只填序號(hào)）.

【答案】③④⑤

【解析】

直接根據(jù)命題的定義進(jìn)行判斷.

①是疑問(wèn)句，沒(méi)有判斷；②沒(méi)有對(duì)事情作出判斷；⑥是祈使句，不含判斷的意思；只有③④⑤

是對(duì)某一件事情作出判斷的語(yǔ)句.

故答案為：③④⑤.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的判斷，熟練掌握命題是對(duì)一件事情作出判斷的語(yǔ)句是解題的關(guān)鍵.

：例9.請(qǐng)寫出命題，，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)和為零，，的逆命題：

【答案】和為零的兩個(gè)數(shù)是互為相反數(shù).

【解析】

兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)

命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.

逆命題是:和是0的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；

故答案為和是0的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論,

而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題

稱為另一個(gè)命題的逆命題，難度適中.

例10.把命題“直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角”改寫成“如果...那么…”的形式是

,這個(gè)命題是（填嗔”或“假”）命題

【答案】如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么它的兩個(gè)銳角互為余角真

【解析】

找出命題中的題設(shè)與結(jié)論即可得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得判斷真假.

命題“直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角”中的題設(shè)是三角形是直角三角形，結(jié)論是它的兩個(gè)銳

角互為余角，

則改寫成：如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么它的兩個(gè)銳角互為余角，

由直角三角形的性質(zhì)得：這個(gè)命題是真命題，

故答案為：如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么它的兩個(gè)銳角互為余角；真.

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題、直角三角形的性質(zhì)，掌握理解命題的概念是解題關(guān)鍵.

士躡蹤就線

一曲舞廝

1.下列句子中，屬于命題的是（）

A.直線和CD垂直嗎？B.過(guò)線段的中點(diǎn)C作的垂線

C.同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，兩直線不平行D.已知片=1,求。的值

【答案】C

【分析】對(duì)一件事情作出判斷的語(yǔ)句叫做命題，根據(jù)定義判斷即可.

【解析】解：A.是問(wèn)句，不是命題，故該選項(xiàng)不符合題意，

B.是作圖，沒(méi)有對(duì)一件事情作出判斷，不是命題，故該選項(xiàng)不符合題意，

C.對(duì)一件事情作出判斷，是命題，故該選項(xiàng)符合題意，

D.沒(méi)有對(duì)一件事情作出判斷，不是命題，故該選項(xiàng)不符合題意，，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了命題的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵.對(duì)一件事情作出判斷的語(yǔ)句叫做

命題，注意，假命題也是命題.

2.下列說(shuō)法是真命題的有（）

①同位角相等；②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；

③過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；④若?！?,b//c,則。〃c.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定以及垂線的定義逐一判斷即可.

【解析】解：①兩直線平行，同位角相等，是假命題；

②同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，是假命題；

③過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行，是假命題；

④若bPc,則"Pc是真命題；

真命題只有1個(gè)，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷命題真假，平行線的性質(zhì)與判定，垂線的定義，熟知相關(guān)知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

3.說(shuō)明“若〃那，則同>葉'是假命題的反例可以是（）

A.a=6,b=5B.a=—5,b=-6

C.a=-6,b=5D.a=6,b=-5

【答案】B

【分析】反例就是要符合命題的題設(shè)，不符合命題的結(jié)論的例子.

【解析】當(dāng)。=-5,b=-6時(shí)，a>b,但I(xiàn)。|<|61.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理，理解反例的概念是解題的關(guān)鍵.

4.能說(shuō)明命題“一個(gè)鈍角與一個(gè)銳角的差一定是銳角”是假命題的反例是（）

A.Zl=91°,Z2=50°B.Z1=89°,Z2=1°

C.Zl=120°,Z2=40°D,Zl=102°,Z2=2°

【答案】D

【分析】分別計(jì)算出各選項(xiàng)角的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解析】解：A、91。-50。=41。是銳角，不符合題意；

B、89。與1。是兩個(gè)銳角，不符合題意；

C、120。-40。=80。是銳角，不符合題意；

D、102。-2。=100。是鈍角，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是命題與定理，熟知反例的定義是解題的關(guān)鍵.要指出一個(gè)命題是假命

題，只要能夠舉出一個(gè)例子，使它具備命題的條件，而不符合命題的結(jié)論就可以了，這樣的

例子叫做反例.

5.如圖，NBCD為ABC的外角，ZA=64°,ZBCD=142°,那么（）

【答案】C

【分析】根據(jù)外角的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【解析】解：：ZA=64°,ZBCD=142°,

ZB=ZBCD-ZA=78°；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角.熟練掌握三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和,

是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，直線機(jī)〃〃，—A的兩邊分別與直線加，”相交.若NA=60。，Nl=140。，則N2

的度數(shù)是（）

A.140°B.120°C.100°D.80°

【答案】D

【分析】利用三角形外角的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)求解.

【解析】解：如圖所示.

ZA=60°,Zl=140°,

Z3=Z1-ZA=8O°,

又，m//n,

：-Z2=Z3=80°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

7.如圖，點(diǎn)。在ABC的邊的延長(zhǎng)線上，且OE〃3C,若NA=32。，ZD=58°,則NC

的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出〃火C,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出即可.

【解析】解：：ND=58。，

ZDBC=58°,

?/NA=32。，

ZC=58°-32°=26°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查三角形外角性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的

關(guān)鍵.

8.如圖，N1,N2,N3的大小關(guān)系正確的是（）

3

A.Z1=Z2+Z3B.2Z2=Z1+Z3C.Z3>Z2>Z1D.Z1>Z2>Z3

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行解題.

【解析】由三角形的外角大于與它不相鄰的每一個(gè)內(nèi)角，可得Nl、N2、N3的大小關(guān)系為:

Z1>Z2>Z3.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知AB〃￡>E,ZB=130°,ZD=110°,則/C的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】利用平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，得出皿G=NCDE=110。，再利

用三角形外角的性質(zhì)即可求出答案.

【解析】如圖所示，延長(zhǎng)AB,8交于點(diǎn)E

VAB//DE,ZCDE=U0°,

：.Z.DFG=ZCDE=110°,

ZBFC=180°-ZDFG=70°,

ZABC=130°,

：.ZC=ZABC-ZBFC=60°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，牢固掌握以上知識(shí)點(diǎn)是做出本題

的關(guān)鍵.

10.如圖，ABC中，AD」BC交BC于點(diǎn)、D,AE平分/BAC交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為8C的

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，/GLAE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,AC的延長(zhǎng)線交FG于點(diǎn)打，連接3G,

下列結(jié)論：

@ZDEA^ZAGH；

②NDAE=；(NABD-ZACE)；

③ZAGH=NBAE+NACB；

④S^AEB''S^AEC=AB:AC.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

G

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】如圖，①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到/DK4=NAG//；②根據(jù)角平分線的定義

^ZEAC=^-ZBAC,由三角形的內(nèi)角和定理得/ZME=90。-NA￡D,變形可得結(jié)論；③根

2

據(jù)三角形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)即刻得到ZAGH=ZBAE+ZACB；④根據(jù)三角形的面積公式

即可得到SA^EB:5AAEC=AB:CA.

?-AD±BC,FG±AE,

:.ZADE=ZAMF=90°,

ZDEA+ZDAE=ZAGH+Z.GAM=90°,

:.ZDEA=ZAGH,故①正確；

②。AE平分NA4C交8C于E,

ZEAC=-ZBAC,

2

ZDAE=90°-ZAED,

=90°-(ZACE+ZEAC),

=90°-(NACE+1ABAC),

=1(180°-2ZACE-ABAC),

=1(ZABD-ZACE),

故②正確；

?-NDAE=NF,ZFDG=ZFME=90°,

:.ZAGH=ZMEF,

ZMEF=ZCAE+ZACB,

ZAGH=ZCAE+ZACB,

ZAGH=ZBAE+ZACB,故③正確；

AE平分NBAC交BC于E,

???點(diǎn)E到AB和AC的距離相等，

S/WEB-SAAEC=AB.AC,故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，三角形外角

的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.下列語(yǔ)句：

①整數(shù)一定是有理數(shù)；

②畫直線A&

③直角都相等；

④如果x=-l,那么x+l>0；

⑤我下次考試能得滿分嗎？

其中是命題的是.(填序號(hào))

【答案】①③④

【分析】根據(jù)命題的定義：判斷一件事情的句子逐一判斷即可.

【解析】解：①整數(shù)一定是有理數(shù)，是命題；②畫直線A3,不是命題；③直角都相等，是

命題；④如果尸-1,那么尤+1>0,是命題；⑤我下次考試能得滿分嗎？不是命題.

綜上，是命題的是：①③④.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的定義，屬于基礎(chǔ)概念題型，熟知命題的定義、熟練掌握基本知

識(shí)是解題的關(guān)鍵.

12.將命題“有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形”改寫成如果…那么...的形式.

【答案】如果一個(gè)三角形有一個(gè)內(nèi)角是直角，那么這個(gè)三角形是直角三角形

【分析】判斷語(yǔ)句中的條件和結(jié)論，將條件放在如果后面，將結(jié)論放在那么后面即可.

【解析】題中“有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形”是條件，“直角三角形”是結(jié)論，所以命題“有一

個(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形”改寫成如果…那么...的形式為：如果一個(gè)三角形有一

個(gè)內(nèi)角是直角，那么這個(gè)三角形是直角三角.

故答案為：如果一個(gè)三角形有一個(gè)內(nèi)角是直角，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的改寫，正確找出條件和結(jié)論是解決本題的關(guān)鍵.

13.判斷命題“若"=4,則。=2”是假命題，需要舉出的反例是.

【答案】當(dāng)。=一2時(shí)，滿足〃=4,但是2

【分析】根據(jù)舉反例的要求舉出滿足題設(shè)，但是不滿足結(jié)論的例子即可.

【解析】解：,當(dāng)。=一2時(shí)，滿足°2=4,但是“力2,

，“若6=4,則。=2”是假命題的反例為：當(dāng)。=一2時(shí)，滿足〃=4,但是。22,

故答案為：當(dāng)。=-2時(shí)，滿足"=4,但是

【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方、命題以及證明，熟知舉反例的要求舉出滿足題設(shè)，但是不滿

足結(jié)論的例子是解題的關(guān)鍵.

14.指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論：

(1)“平行于同一直線的兩條直線互相平行”命題的題設(shè)、結(jié)論.題設(shè)是：，結(jié)論是：

(2)“兩個(gè)負(fù)數(shù)的和是負(fù)數(shù)”命題的題設(shè)、結(jié)論.題設(shè)是：,結(jié)論是：.

(3)“相交的兩條直線一定不平行”命題的題設(shè)、結(jié)論.題設(shè)是：,結(jié)論是：.

(4)“任意兩個(gè)偶數(shù)之差是偶數(shù)”命題的題設(shè)、結(jié)論.題設(shè)是：,結(jié)論是：.

【答案】?jī)蓷l直線平行于同一條直線這兩條直線互相平行有兩個(gè)負(fù)數(shù)

它們的和是負(fù)數(shù)兩條直線相交它們一定不平行有任意兩個(gè)偶數(shù)它們

的差是偶數(shù)

【分析】對(duì)每一個(gè)命題，根據(jù)命題的結(jié)構(gòu)，寫出題設(shè)、結(jié)論即可求解.

【解析】解：(1)“平行于同一直線的兩條直線互相平行”可以改寫成“如果兩條直線平行于

同一條直線，那么這兩條直線互相平行”.

題設(shè)是：兩條直線平行于同一條直線，結(jié)論是：這兩條直線互相平行；

(2)“兩個(gè)負(fù)數(shù)的和是負(fù)數(shù)”可以改寫成“如果有兩個(gè)負(fù)數(shù)，那么它們的和是負(fù)數(shù)”.

題設(shè)是：有兩個(gè)負(fù)數(shù)，結(jié)論是：它們的和是負(fù)數(shù)；

(3)“相交的兩條直線一定不平行”可以改寫成“如果兩條直線相交，那么它們一定不平行”.

題設(shè)是：兩條直線相交，結(jié)論是：它們一定不平行；

(4)“任意兩個(gè)偶數(shù)之差是偶數(shù)”可以改寫成“如果有任意兩個(gè)偶數(shù)，那么它們的差是偶數(shù)”.

題設(shè)是：有任意兩個(gè)偶數(shù)，結(jié)論是：它們的差是偶數(shù)

故答案為兩條直線平行于同一條直線，這兩條直線互相平行；有兩個(gè)負(fù)數(shù)，它們的和是負(fù)數(shù);

兩條直線相交，它們一定不平行；有任意兩個(gè)偶數(shù)，它們的差是偶數(shù).

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理，命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，找題設(shè)和結(jié)論的關(guān)鍵是會(huì)

把命題寫成“如果…那么…”的形式.

15.如圖，在，ABC中，。是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ZB=50°,ZA=70°,則NACZ)=.

【答案】120。/120度

【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和即可求解.

【解析】解：：ZB=50。，ZA=70°,

ZACD=ZB+ZA=50°+70°=120°,

故答案為：120。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于與它

不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.

16.如圖，己知在ABC中，8是邊A3上的高線，CE平分NACD,交A3于點(diǎn)E,

ZACD=46°,則ZAEC的度數(shù)為°.

【分析】由垂直的定義得到NADC=90。，由角平分線的定義求得/ECD=23。，最后利用三

角形的外角性質(zhì)即可求解.

【解析】解：是邊上的高線，

ZADC=90°,

:CE平分/AC。，/ACD=46。，

NECD=-ZACD=23°,

2

ZAEC=90°+23°=113°,

故答案為：113.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，熟記各圖形的性質(zhì)

并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

17.將一把直尺與一塊三角板如圖放置，若4=130。，則N2的度數(shù)為.

【分析】由平行線的性質(zhì)可得/3=/1=130。，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解.

【解析】解：如圖，

由題意得：ZE=90°,AB//CD,

：.N3=4=130。，

,//3是一ABE的外角，

Z2=Z3-ZE=130°-90°=40°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩

直線平行，同位角相等.

18.已知:15C中，ZA=70°,BO是/A3C的角平分線，8是NACB的外角角平分線，

交點(diǎn)為。，則"=

【答案】35

【分析】由角平分線的定義可得“加/DCE3ACE'再由三角形的外角

性質(zhì)可得NACE=NA+NABC,ZDCE^ZCBD+ZD,從而可求解.

【解析】解：；8。是NABC的角平分線，CZ)是NACB的外角角平分線,

ZCBD=-ZABC,ZDCE=-ZACE,

22

?/NACE是sABC的外角，NDCE是ABCD的外角，

ZACE=ZA+ZABC=70°+ZABC,ZDCE=ZCBD+ZD,

：.ZD=ZDCE-ZCBD

=-ZACE-ZCBD

2

=1(70°+ZABC)-ZCBD

=35°.

故答案為：35.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角性質(zhì)：三角形的

外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.

二、解答題

19.寫工下列命題的條件和結(jié)論.

(1)兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

(2)絕對(duì)值等于3的數(shù)是3；

(3)如果/OOE=2NEOH那么。尸是的平分線.

【答案】(1)條件：兩條直線被第三條直線所截；結(jié)論：同旁內(nèi)角互補(bǔ)

⑵條件：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于3；結(jié)論：這個(gè)數(shù)是3

(3)條件：ZDOE=2ZEOF；結(jié)論：OE是NZJOE的平分線

【分析】命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng);

命題常?？梢詫憺椤叭绻敲础钡男问?，如果后面接題設(shè)，而那么后面接結(jié)論.

(1)解：兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的題設(shè)是兩條直線被第三條直線所截,

結(jié)論是同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

(2)解：絕對(duì)值等于3的數(shù)是3的題設(shè)是一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于3,結(jié)論是這個(gè)數(shù)是3；

(3)解：如果NOOE=2/EOR那么。歹是NOOE的平分線的題設(shè)是

結(jié)論是。尸是4DOE的平分線.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，寫出一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論常常改寫成“如果...那

么...”的形式；熟練地掌握命題的組成是解題的關(guān)鍵.

20.把下列命題改成“如果...那么…”的形式.

⑴不相交的兩條直線是平行線

(2)相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角

(3)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條垂線

(4)直角都相等.

【答案】(1)如果兩條直線不相交，那么這兩條直線平行

(2)如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角

(3)如果經(jīng)過(guò)一點(diǎn)，那么有且只有一條直線與已知直線垂直

(4)如果所有的角是直角，那么它們都相等

【分析】(1)根據(jù)命題及其組成即可寫得；

(2)根據(jù)命題及其組成即可寫得；

(3)根據(jù)命題及其組成即可寫得；

(4)根據(jù)命題及其組成即可寫得.

(1)解：不相交的兩條直線是平行線，.??原命題的條件是：“兩條直線不相交”，結(jié)論是：“這

兩條直線平行”，，命題“不相交的兩條直線是平行線”寫成“如果...那么…”的形式為：“如果

兩條直線不相交，那么這兩條直線平行”；

(2)解：相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角，：原命題的條件是：“兩個(gè)角相等“，結(jié)論是：“這兩個(gè)角

是對(duì)頂角”，，命題“相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角”寫成“如果...那么…”的形式為：“如果兩個(gè)角相

等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角”；

(3)解：經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條垂線，???原命題的條件是：“經(jīng)過(guò)一點(diǎn)”，結(jié)論是：“有且只

有一條垂線”，，命題“經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條垂線”寫成“如果…那么...”的形式為：“如果經(jīng)

過(guò)一點(diǎn)，那么有且只有一條直線與已知直線垂直”；

(4)解：直角都相等?原命題的條件是：“所有的直角”，結(jié)論是：“都相等”，命題“直

角都相等”寫成“如果...那么…”的形式為：“如果所有的角是直角，那么它們都相等”.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題的組成，命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，把命題寫成“如果...，那

么...”的形式時(shí)，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面接的部分是結(jié)論.

21.如圖，現(xiàn)有以下三個(gè)條件：①ABUCD,②/B=/C,③ZE=ZF.請(qǐng)你以其中兩個(gè)作為

題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論構(gòu)造命題.

(1)你構(gòu)造的是哪幾個(gè)命題?

（2）你構(gòu)造的命題是真命題還是假命題？若是真命題，請(qǐng)給予證明；若是假命題，請(qǐng)舉出

反例（證明其中的一個(gè)命題即可）.

【答案】（1）可構(gòu)造如下幾個(gè)命題：如果AB//CD,ZB=NC那么4如果

AB//CRN石=/尸，那么4=NC,如果NB=NC,ZE=//，那么AB//CD；（2）證明見(jiàn)

解析.

【分析】（1）分別以其中2句話為條件，第三句話為結(jié)論可寫出3個(gè)命題；

（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)對(duì)3個(gè)命題分別進(jìn)行證明，判斷它們的真假.

【解析】解：（1）有：如果AB//8,N5=NC那么N￡=NF；

如果AB//CD,ZE=ZF,那么N5=NC；

如果N3=NC,N￡=NK那么AB//CD；

（2）如圖：

VAB//CD,

???NB=NCDF,

VZB=ZC,

.\ZC=ZCDF,

???CE〃BF,

AZE=ZF,

???如果ABI/CD,ZB=ZC,那么ZE=/F為真命題;

VAB//CD,

.\ZB=ZCDF,

VZE=ZF,

???CE〃BF,

AZC=ZCDF,

AZB=ZC,

???如果A3//CD,NE=NR那么NB=NC為真命題;

VZE=ZF,

???CE〃BF,

.*.ZC=ZCDF,

*ZB=ZC,

NB=NCDF,

AABCD,

如果NB=NC,/石=//,那么45〃8為真命題.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的

命題稱為假命題；經(jīng)過(guò)推理論證的真命題稱為定理.

22.如圖，現(xiàn)有以下3個(gè)論斷：BD//EC；ND=NC；ZA=ZF.

（1）請(qǐng)以其中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論組成命題，你能組成哪幾個(gè)命題？

（2）你組成的命題是真命題還是假命題？請(qǐng)你選擇一個(gè)真命題加以證明.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【分析】（1）分別以其中兩個(gè)作為條件，第三個(gè)作為結(jié)論依次交換寫出即可；

（2）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)對(duì)（1）題的3個(gè)命題進(jìn)行證明即可判斷其真假.

【解析】解：（1）由3O//EC,ZD=ZC,得到NA="；

由ZA=ZF,得到/D=NC；

由ZA=NF,ZD=ZC,得到3D//EC；

故能組成3個(gè)命題.

（2）由BD//EC,ZD=ZC,得到NA=4,是真命題.理由如下：

BD!/EC,:.ZABD=ZC.

ZD=ZC,：.ZABD=ZD,

ACIIDF,:.ZA=ZF.

由BD//EC,ZA^ZF,得到/D=NC,是真命題.理由如下:

BD!/EC,:.ZABD=NC.

ZA=N產(chǎn)，AC//DF,

:.ND=ZABD,：.ND=NC.

由NA=NF,ZD=ZC,得到瓦）//EC,是真命題.理由如下:

VZA=ZF,AC//DF,:.ZD=ZABD.

/￡>=",:.AABD=AC,

:.BDHEC.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)和平行線的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平

行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.填寫推理的理由.

已知：如圖，CDLAS于點(diǎn)D,于點(diǎn)E,Z1=Z2,DG交AC于點(diǎn)G,EF交BC

于點(diǎn)歹.求證：ZADG=ZB.

CDEF（）.

：.N2=N3（）.

VZ1=Z2（）,

Z1=Z3（）.

DGBC（）.

:.ZADG=NB（）.

【答案】（1）已知

（2）如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行

（3）兩直線平行，同位角相等

（4）已知

（5）等量代換

（6）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

（6）兩直線平行，同位角相等

【分析】根據(jù)已知條件，先判定CD所和0GBC,然后利用平行線的性質(zhì)來(lái)求證.

【解析】CDLAB,EFLAB（已知），

：.CDEF（如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行）.

：.N2=N3（兩直線平行，同位角相等）.

?/Zl=Z2（已知），

/.Z1=Z3（等量代換）.

ADGBC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

：.ZADG=AB（兩直線平行，同位角相等）.

【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.

24.點(diǎn)。為AABC的邊BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，。尸，AB于點(diǎn)E交AC于點(diǎn)￡,ZA=35°,

ZD=40°,求NACD的度數(shù).

【分析】根據(jù)三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系:三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;

及三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180。解答.

【解析】解：于點(diǎn)F,

/DFB=90°

在RfADFB中,/DFB=90°,

：.ZB+ZD=90°

VZ￡)=40o,

NB=50。

■:ZACD是△DFB的外角,ZA=35°,

ZAC￡)=ZB+ZA=50°+35°=85°

【點(diǎn)睛】此題考查三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟記三角形

外角與內(nèi)角的關(guān)系及三角形內(nèi)角和定理.

25.如圖，在AABC中，NA=70。，ZACZ)=30°,C￡)平分/AC2.求：

(1)/2。。的度數(shù).

(2)/8的度數(shù).

【答案】(l)ZBDC=100°

⑵/8=50°

【分析】(1)在AABC中，根據(jù)NA=70。，NAC￡>=30。，由外角的性質(zhì)=

代入即可求出.

(2)根據(jù)角平分線的定義求出NAC8,再利用三角形的內(nèi)角和等于180。列式計(jì)算即可得解.

(1)在AABC中，/3￡^=4+/48,又；/4=70。，ZAC￡>=30°,

.?.ZBDC=70°+30°=100°.

(2)VZACD=30°,CD平分NAC-NACB=2x30°=60°在AABC中，

ZA=70°,ZACB=6Q°：.ZB=180o-70O-60o=50°

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟

練掌握這些性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵.

26.如圖所示，Zl+Z2=180°,/3=NB.

(1)4。與所平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)試判斷與/C的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)平行，見(jiàn)解析

(2)相等，見(jiàn)解析

【分析】(1)由己知條件和三角形外角性質(zhì)推出NBOE+N3=180。，利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，

兩直線平行”即可證明；

(2)利用(1)的結(jié)論，推出DE//BC,利用“兩直線平行，同位角相等”可

得NAED=NC.

【解析】(1)證明：(1)平行；

'：Z1=ZFDE+Z3,Zl+Z2=180°,

Z2+ZFDE+/3=180°,

:/BDE=/2+/FDE,

N2￡)E+/3=180°,

：.AD//EF；

(2)解：NAED=NC；理由如下：

'：AB//EF,

NADE=/3,

VZ3=ZB,

ZADE=ZB,

：.DE//BC,

：.NAED=NC.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度較小，要熟記平

行線的判定定理和性質(zhì).

27.如圖，BP,CP分別平分NASD,NACD,它們交于點(diǎn)P,求證：ZP=^(ZA+ZD).

【答案】見(jiàn)解析

【分析】延長(zhǎng)3尸交AC于點(diǎn)E,設(shè)NPBA=/PBD=x,ZPCA=ZPCD=y,利用三角形

外角的性質(zhì)求出-3PC=x+/A+y,可得x+y=NBPC-NA,同理求出

2/BPC=NA+ND,進(jìn)而可得結(jié)論.

【解析】證明：如圖，延長(zhǎng)第交AC于點(diǎn)E,

設(shè)/PBA=/PBD=x,/PCA=NPCD=y,

NBPC=^BEC+y=x+XA+y,

:.x+y=^BPC-XA,

同理可得"=x+y+ZBPC=2NBPC-ZA,

.,.2NBPC=NA+ND,

:.ZBPC=^(ZA+ZD)

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，角的和差計(jì)算，熟知三角形的一個(gè)外角等于與它不

相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

28.已知：如圖1,點(diǎn)8在PQ上，ZABQ+ZCPQ=ZPCD.

⑴求證AB〃CD；

⑵如圖2,BQ平分/ME,過(guò)點(diǎn)C作CFLBE于點(diǎn)孔

①補(bǔ)全圖形；

②若NPCF=NDCF,設(shè)NABQ=x°,ZCPQ^y0,求x,y之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）①見(jiàn)解析；②y=3x-180

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PK〃鉆，得ZABQ=/1,再根據(jù)/ABQ+NCPQ=/PCD,得出

PK//CD,即可解得.

（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可.

②過(guò)點(diǎn)尸作RW77AB,得到N/LBE=NMAf,根據(jù)已知得NABE=2x。，再由垂直定理得

NCFB=90°,再由NBFM=ZAFB+N2=90°+N2,得至I]N2=2x°-90°,由（1）AB//CD,

可得/2+/3=180。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得/2=（彳。+力，即可解答.

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)P作尸K〃AB.

：.ZABQ=Z1,

?：ZABQ+ZCPQ=/PCD,

Z1+ZCPQ=ZPCD.即NCPK=NPCD,

：.PK//CD,

：.AB//CD.

（2）①補(bǔ)全圖形；

②過(guò)點(diǎn)F作

:.ZABE=ZBFM,

〈BQ平分NABE,ZABQ=x0,

ZABE=2x°.

?；CF1BE,

：.NC必=90。，

ZBFM=ZAFB+Z2=90°+Z2,

???90°+Z2=2x°.

JZ2=2x°-90°f

由(1)知，AB//CD,

,/FM//AB,

：.FM//CD,

.?.Z2+Z3=180°,

ZPCF=Z3,ZPCF+Z3+Z4=360°,

/.Z3=180°-Z4,

???N1+NCPQ=N4,Nl=x。，ZCPQ=y°f

AZ3=180°-(x°+y°),

VZ2+Z3=180°,

??.Z2=(x°+y°),

???Z2=2x°-90°,

y=3x-180.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判斷與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，垂直定理，三角形外角和定理,

熟練掌握作輔助線是解題的關(guān)鍵.

29.如圖1,已知線段A3、。相交于點(diǎn)。，連接AC、BD,則我們把形如這樣的圖形稱

為“8字型”.

BC

A

⑴求證：ZA+NC=N3+NO.

⑵如圖2所示，Zl=130°,貝U/A+/3+NC+/D+/E+/F的度數(shù)為.

⑶如圖3,若，。LB和N3DC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P,且與CD,AB分別相交于點(diǎn)

M,N.

①若ZB=100。，ZC=120°,求/尸的度數(shù).

②若角平分線中角的關(guān)系改成=NCDP=—CDB”,試直接寫出—P與

44

ZB,2C之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)260°

(3)①110。；?4ZP=ZS+3ZC,理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；

(2)利用(1)的結(jié)論，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求解；

(3)①根據(jù)角平分線的定義得到NC4P=Zfl4P,NBDP=NCDP,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理得至|J/C4P+NC=NCDP+/P,ZBAP+ZP=ZBDP+ZB,兩等式相減得到

ZC-ZP=ZP-ZB,BPZP=1(ZC+ZB),然后把NC=120。，N3=100。代入計(jì)算即可;

②與①的證明方法一樣得到4/尸=ZB+3NC.

【解析】(1)證明：在圖1中，有ZA+NC=18(r-ZAOC,ZB+ZD=1800-ZBOD,

'：ZAOC=ZBOD,

：.ZA+NC=NB+N。；

(2)解：如圖2所示,

VZDME=ZA+ZE,N3=NDME+ND,

：.Z\+ZE+ZD=Z'i,

VZ2=Z3+ZF,Zl=130°,

Z3+ZF=Z2=Z1=13O°,

???ZA+ZE+ZD+ZF=130°,

,/ZB+ZC=Z1=13O°,

ZA+Z5+NC+ZD+ZE+N/=260°.

故答案為：260°.

(3)解①以M為交點(diǎn)“8字型”中，有NT+/CDP=，C+/C4P,

以N為交點(diǎn)“8字型”中，有4P+/BAP=4B+/BDP,

：.2ZP+ZBAP+NCDP=ZB+NC+NCAP+ZBDP,

,：AP,。尸分別平分/C4B和N5DC,

ZBAP=ZCAP,ZCDP=ZBDP,

:.2ZP=ZB+ZC,

VZB=100°,ZC=120°,

ZP=|(ZB+ZC)=110°；

(2)4ZP=ZB+3ZC,其理由是:

VZCAP=-ZCAB,ZCDP=-ZCDB,

44

33

???NBAP=-NCAB,NBDP=-NCDB,

44

以M為交點(diǎn)“8字型”中，有NP+/CD尸=/C+/C4P,

以N為交點(diǎn)“8字型”中，有/P+/BAP=/B+NBDP,

NC—NP=ZCDP-ZCAP=；(/CDB-ZCAB)

3

NP-NB=NBDP-ZBAP=-(NCDB-ZCAB)

：.3(/C-/尸)=ZP-ZB,

4NT=4+3NC.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。，三角形外角的性質(zhì)，角平

分線的定義.明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件是解題的關(guān)鍵.

［域真題演練:

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一、單選題

1.（2020.四川雅安?中考真題）下列四個(gè)選項(xiàng)中不是命題的是（）

A.對(duì)頂角相等

B.過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的平行線

C.三角形任意兩邊之和大于第三邊

D.如果a=6,a=c,那么＞=c

【答案】B

【分析】判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題.根據(jù)定義判斷即可.

【解析】解:由題意可知，

A、對(duì)頂角相等，故選項(xiàng)是命題；

B、過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的平行線，是一個(gè)動(dòng)作，故