浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：全等三角形壓軸題（七大壓軸母題型歸納）（解析版）

特訓(xùn)01全等三角形壓軸題(七大壓軸母題型歸納)

目錄：

題型1:垂線模型；

題型2：一線三等角模型；

題型3：手拉手模型；

題型4：旋轉(zhuǎn)模型；

題型5：倍長(zhǎng)中線模型；

題型6：截長(zhǎng)補(bǔ)短模型；

題型7：作平行線法、作垂線法。

題型1：垂線模型

1.在△ABC中，/AC8=90。，AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且于。，BELMN于E.

⑴當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：

①AADC2ACEB；

②DE=AD+BE；

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，AD=5,BE=2,求線段。E的長(zhǎng).

【答案】(1)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；

(2)DE=3

【分析】(1)①由已知可知，AD1MN,BE±MN,得到NADC=NCEB=90。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和與平

角性質(zhì)，得至Ij/C4D=/3CE,即可證明△/!￡)(?妾△CEB(A4S)；②根據(jù)八位笫二46￡3,得到AD=CE,

DC=BE,即可證明。E=AZ)+BE.

(2)由已知可知，AD1MN,BELMN,得到NADC=NCEB=90。，再根據(jù)NGW+NACD=90。、

ZACD+ZBCE=90°,得到NC4Z)=/3CE,可證明AWC9△(?￡?,得至IJCE=4),CD=BE,即可求

出長(zhǎng).

【解析】(1)①證明：BE工MN,ZACS=90°

ZADC=ZCEB=ZACB=90°,

ZCAD+ZADC+ZACD=ISO°,

NACD+NACS+N5CE=180。,

:.ZCAD=ZBCE,

在八包。和△CEB中，

/CAD=NBCE

</ADC=/CEB,

AC=BC

:?AADCmACEB(AAS)；

②證明：?:AADC沿ACEB,

：.AD=CE,DC=BE,

：.DE=CE+DC=AD+BE；

(2)證明：9：AD±MN,BE工MN,

：.ZADC=ZCEB=90°,

：.NG4D+ZACD=90。，

ZACB=90°,

：.ZACD-^-ZBCE=90°

：.NCAD=NBCE,

在△ADC和△CEB中，

ZCAD=NBCE

</ADC=/CEB,

AC=BC

AADC^ACEB(A4S),

:?CE=AD=5,CD=BE=2,

：.DE=CE—CD=5—2=3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知準(zhǔn)確找到符合全等的條件是解題關(guān)鍵.

2.已知，A4BC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線根過(guò)點(diǎn)A,且的_Lm于。，CE上m于E,當(dāng)直線機(jī)

繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)?！?B0+C￡.

⑴當(dāng)直線機(jī)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問(wèn)：BD馬DE、C￡的關(guān)系如何？請(qǐng)予證明；

（2）直線機(jī)在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，BD,DE、CE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出，不必證

明）

【答案】（1）DE=BD—CE,證明見(jiàn)解析；

⑵DE=BD+CE,DE=BD-CE,DE=CE-BD.

【分析】（1）利用條件證明且ZkCM,再結(jié)合線段的和差可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)圖，可得&）、DE、CE存在3種不同的數(shù)量關(guān)系；

【解析】（1）證明：如圖2,

*.*BD±m(xù),CE_Lm,

???ZBDA=ZCEA=90°f

：.ZABD+ZZMB=90°.

?：ABAC=90°,

：.ZZMB+ZC4E=90°,

：.ZABD=ZCAE.

在△ABD和VC4E中，

ZBDA=ZCBA

<ZABD=ZCAB,

AB=CA

：.AABD^ACAE（AAS）,

：.AD=CE,BD=AE

?:DE=AE—AD,

：.DE=BD-CE.

（2）直線機(jī)在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，BD、DE、C￡存在3種不同的數(shù)量關(guān)系：DE=BD+CE,

DE=BD-CE,DE=CE-BD.

如圖1時(shí),DE=BD+CE,

如圖2時(shí),DE=BD-CE,

如圖3時(shí),DE=CE-BD,(證明同理)

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等，注意證三角形全等的方法及三角形全等后的性質(zhì).

3.如圖1,ZDAB=90°,于點(diǎn)。，點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)，若DE=AB,DC=AE.

(D判斷CE與BE的關(guān)系是一.

(2)如圖2,若點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)。在的另一側(cè)作COLA。，并保持CZ)=AE,DE=AB,

連接CB,CE,BE,試說(shuō)明(1)中結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)CE=2E且CE_L8E

(2)成立，理由詳見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)已知條件即可證明ACDE-AE4B,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明CE與BE的關(guān)

系為垂直且相等；

(2)根據(jù)已知條件證明ACDEMAEAB,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行等量代換即可得到結(jié)論；

(1)

解：CE=BE且CE_LBE,理由如下：

VCDLAD,：.ZCDE^9Q0,

'：ZDAB=90°,：.ZCDE=NEAB,

在4。￡>￡和4EAB中，

DC=AE

<ZCDE=/EAB

DE=AB

：.\CDE=NEAB,

；.CE=BE,NCED=/EBA,

:ZEBA+ZBEA=90°,

：.ZCED^rZBEA=90°,

：.ZCEB=90°,

：?CE上BE,

；.CE=BE且CELBE,

(2)

解：(1)中結(jié)論成立，理由如下：

9：CDLAD,.\ZCDE=90°,

NZM8=90。，JZCDE=/EAB,

在△。。丘和4E45中，

DC=AE

<ZCDE=/EAB

DE=AB

：.ACDE=AE4B,

:?CE=BE,/CED=NEBA,

*.?/EBA+/BEA=90。,

：.ZCED+ZBEA=90°,

：.ZCEB=90°,

：.CE±BE,

：?CE=BE且CELBE.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握并熟練使用相關(guān)知識(shí)，并注意解題中需注意的事項(xiàng)是

本題的解題關(guān)鍵.

題型2：一線三等角模型

4.在直線加上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)2A，石，在直線加上方有AB=AC,且滿(mǎn)足

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a.

c

(1)如圖1,當(dāng)。=90。時(shí)，猜想線段DEBRCE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)0<a<180。時(shí)，問(wèn)題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明

理由；

(3)應(yīng)用：如圖3,在AABC中，/BAC是鈍角，AB=AC,NBAD<NCAE,NBDA=ZAEC=NBAC,直線m

與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)歹，若BC=3FB,A4BC的面積是12,求A￡B￡>與AACE的面積之和.

【答案】(1)DE=BD+CE

(2)DE=8O+CE仍然成立，理由見(jiàn)解析

(3)△加。與△ACE的面積之和為4

【分析】(1)由NBZM=/BAC=NAEC=90°得到N8AO+/EAC=/BAD+/Z)8A=90°,進(jìn)而得到/。8A

=/EAC,然后結(jié)合AB=AC得證△OBA0ZXEAC,最后得到。E=8Z)+CE；

(2)由/BZM=/BAC=/AEC=a得到NBAZH/EACn/BAO+N。朋=180°-a,進(jìn)而得到/O2A=

ZEAC,然后結(jié)合4B=AC得證△QBA經(jīng)△E4C,最后得至UOE=8D+CE；

(3)由N2AO>NCAE,/BDA=NAEC=/BAC,得出NC4E=NAB。，由A4S證得四△CAE,得

出&ABD=SACEA,再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，得出尸即可得出結(jié)果.

【解析】(1)解：DE=BD+CE,理由如下，

,?ZBDA^/BAC=NAEC=90°,

/.ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA^90°,

：.ZDBA=ZEAC,

'：AB=AC,

：.ADBA^AEAC(AAS),

C.AD=CE,BD=AE,

DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)。石=30+CE仍然成立，理由如下，

???ZBDA=ZBAC=ZAEC=a.

：.ZBAD^-ZEAC=ZBAD+ZDBA^180°-a,

/DBA=ZEAC,

'：AB=AC,

：.ADBA^AEAC(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)解：'：ZBAD<ZCAE,ZBDA=ZAEC=ZBAC,

：.ZCAE^ZABD,

在△AB。和△CAE中，

ZABD=ZCAE

，ZBDA=ZCEA,

AB=AC

：./\ABD^/\CAE(AAS),

:.SAABD=S“CAE,

設(shè)△ABC的底邊BC上的高為九則AAB尸的底邊上的高為h,

.?.%A8C=lBC?/i=12,SiABF=』BF?h,

■:BC=3BF,

：.S^ABF^4,

'：SAABF=S^BDF+S^ABD=SAFBD+SAACE=4,

：.AFBD與△ACE的面積之和為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握全等三角形的判定與性質(zhì).

5.感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1,點(diǎn)A在直線OE上，且/BD4=Na4C=NAEC=90。,

像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱(chēng)為“一線三等角“模型.

圖4

⑴如圖2,RtAABC中，ZACB=90°,CB=。，直線歷經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,過(guò)A作AD_L￡D于點(diǎn)，過(guò)B作跳;_LED

于點(diǎn)E.求證：.BEC當(dāng)VDA.

(2)如圖3,在AABC中，。是8C上一點(diǎn)，ACAD=90°,AC=AD,

ADBA=ADAB,AB=2器,求點(diǎn)C到AB邊的距離.

(3汝口圖4,在YABCD中，E為邊BC上的一點(diǎn)，E為邊AB上的一點(diǎn).若

EF

ADEF=/B,AB=10,BE=6,求——的值.

DE

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)6

⑶”△

DE5

【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)得出NACD=ZEBC,可證明ABECNASI；

(2)過(guò)點(diǎn)。作J0尸，AB于點(diǎn)片過(guò)點(diǎn)C作CE人AB于，交出的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,證明AC4E絲AAD/L由

全等三角形的性質(zhì)可得出CE=AF=g,則可得出答案；

(3)過(guò)點(diǎn)。作DM=DC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,證明ABFES^MED,由相似三角形的性質(zhì)可得出答案.

【解析】(1)證明：：四=90。，/頗+//⑦+N45=180°,

ZBCE+ZACD^180°,

ADVED,BErED,

：.4BEC=ACDA=90°,4EBC+ABCE=90°,

ZACD=/EBC,

在ABEC和ACZM中，

ACDA=ZBEC=90°

<ZACD=NEBC,

CB=CA

：.^BEC^^CDA；

(2)解：過(guò)點(diǎn)。作。尸，AB于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作CE1AB于，交區(qū)4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

圖3

,:ZDBA=ZDAB,

JAD=BD,

AF=BF=-AB=y/3f

2

NC4T>=90。，

JZDAF-^-ZCAE=90°,

ZDAF+ZADF=90°,

：.ZCAE=ZADF,

在VC4E和△"）尸中，

ZCEA=ZAFD=90°

<ZCAE=ZADF,

AC=AD

ACAE=^ADF,

/.CE=AF=5

即點(diǎn)C到AB的距離為6;

(3)過(guò)點(diǎn)。作。M=OC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

圖4

Z.DCM=Z.M,

:四邊形ABCD是平行四邊形，

ADM=CD=AB=10,AB\\CD

：.ZB=ZDCM=ZM,

?：AFEC=4DEF+/LDEC=ZB+ABFE,AB=ADEF,

ZDEC=NBFE,

**?^BFE^^MED,

.EFBE_6_3

??DE-DM-I。-5?

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定

與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：

證：BC=AE.

［模型應(yīng)用］如圖2,/運(yùn)1.至且的=口，BCLCD且3C=CD,請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所

圍成的圖形的面積為.

［深入探究］如圖3,ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接3C,DE,且3CLAF于點(diǎn)EDE

與直線AF交于點(diǎn)G.若BC=21,AF=12,則△ADG的面積為.

【答案】［模型呈現(xiàn)］見(jiàn)解析；［模型應(yīng)用］50；［深入探究］63

【分析】［模型呈現(xiàn)］證明△ABC0AZME,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BC=AE；

［模型應(yīng)用］根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=3G=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=3G=3,根據(jù)梯形

的面積公式計(jì)算，得到答案；

［深入探究］過(guò)點(diǎn)。作。PLAG于尸，過(guò)點(diǎn)E作EQLAG交AG的延長(zhǎng)線于。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,證明A￡(PG絲AEQG,得到PG=G。.，進(jìn)而求出AG,根

據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

［解析］［模型呈現(xiàn)］證明：：/S4D=90°,

ABAC+ZDAE=90°,

?：BC±AC,DEYAC,

：.ZACB=ZDEA=90°,

：.ABAC+ZABC=90°,

：.ZABC=ZDAE,

在AABC和AZME1中,

/ABC=NDAE

<ZACB=ZDAE,

BA=AD

：.AABC知ZME(AAS),

/.BC=AE-

［模型應(yīng)用］解：由［模型呈現(xiàn)］可知，公AEP”ABAGACBG四QCH,

：.AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,

貝US實(shí)線圍成的圖形=：(4+6)x(3+6+4+3)—；x3*6-；*3x6—：*3x4-：x3x4=5°，

乙乙乙乙乙

D

CE

故答案為：50；

［深入探究］過(guò)點(diǎn)。作DPJ_AG于P,過(guò)點(diǎn)E作石AG交AG的延長(zhǎng)線于Q,

由［模型呈現(xiàn)］可知，八AFB'DPA^AFC'EQA,

DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CFf

在△。尸G和△EQG中，

/DPG=ZEQG

</DGP=/EGQ,

DP=EQ

：.△DPG也△石QG(AAS),

.??PG=GQ,

;BC=2L

：.AQ+AP=21,

??.AP+AP+PG+PG=21,

???AG=AP+PG=10.5,

SADO=—x10.5x12=63,

故答案為：63.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，熟記三角形確定的判定定理是解題

的關(guān)鍵.

題型3：手拉手模型

7.如圖，A,B,E三點(diǎn)在同一直線上，AABC,ACL火都是等邊三角形，連接AO,BE,OC■.下列結(jié)

論中正確的是()

^A,CD=xBCE；

②△。尸。是等邊三角形;

③OC平分/4萬(wàn)；

④XBPO義XEDO.

C.①②④D.①②③④

【答案】B

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，逐一判斷即可.

【解析】?「△ABC,△CDE都是等邊三角形，

:?CA=CB,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

：.ZACB+ZPCQ=ZECD-^-ZPCQfNPCQ=60。,

J/ACD=/BCE,

：.AACD名ABCE,

???①的說(shuō)法是正確的；

AACD名ABCE,

：.ZPDC=ZQEC,

VZPCD=ZQCE=60°,CD=CE,

：.LPCD^LQCE,

：.PC=QC,

???△C尸。是等邊三角形；

???②的說(shuō)法是正確的；

'：LPCD^LQCE,

??PD=QE,SAPCD~S^QCEf

B

D

過(guò)點(diǎn)C作CG，P￡>,垂足為G,CHLQE,垂足為以，

；PD?CG=；QE?CE,

CG=CH,

：.OC平分/AOE,

③的說(shuō)法是正確的；

無(wú)法證明△BPO0AE。。.

④的說(shuō)法是錯(cuò)誤的；

故答案為①②③，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的全等與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等

邊三角形的性質(zhì)，靈活進(jìn)行三角形全等的判定，活用角的平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，AABC是一個(gè)銳角三角形，分別以A3、AC為邊向外作等邊三角形△ABD、AACE,連接BE、

CD交于點(diǎn)F,連接AF.

B

(1)求證：AABE烏Z\ADC；

(2)求/硬C的度數(shù)；

(3)求證：AF平分NDFE.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)60°

(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)由△A&D、"。石是等邊三角形，易證4MC=44E,繼而可證△ABE四△AT>C；

(2)由△ABE0△ADC,得至l]/4EB=NACD,進(jìn)一步得到NCEF+NECF=NAEC+NACE=120。，由三角

形內(nèi)角和得到答案；

(3)作AH_L￡?C于點(diǎn)"，AN1BE于■點(diǎn)、N,證明AH=AN,由AH_LDGAN1BE,即可得到結(jié)論.

【解析】(1)證明：?.?人謝、”(后是等邊三角形，

:.DA=AB,AC=AE,ZDAB=ZEAC60°,

ZDAB+ABAC=NEAC+ABAC,

即ZDAC=NBAE,

.?.△ABE絲AADC(SAS)；

(2)W：-.-^ABE^AADC,

:.ZAEB=ZACD,

'：ZAEB+ZCAE=ZACD+/EFC,

:.ZEFC=ZCAE=6O°；

(3)證明：如圖，作AHLZJC于點(diǎn)H,ANLBE于點(diǎn)、N,

B

ZXABE2AADC,

:.ZADC=ZABE,

?：ZAHD=ZANB=90。，AD=AB,

;.AAHD沿AANB(AAS),

\AH=AN,

■.■AHIDC,ANLBE,

;.AF平分/DFE.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角平分性的判定知識(shí)，熟練掌

握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.在"RC中，?B90?,。為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AC,CD的垂直平分線的交點(diǎn)，連接

EC,ED.

EE

(1)如圖1,當(dāng)NB4C=40。時(shí)，則ZAED=°；

(2)當(dāng)NS4c=60。時(shí)，

①如圖2,連接AZ),判斷△AED的形狀，并證明；

②如圖3,直線C尸與瓦>交于點(diǎn)F，滿(mǎn)足NCFD=NC4￡.尸為直線CF上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)尸E-PD的值最大時(shí),

用等式表示PE,PZ)與之間的數(shù)量關(guān)系為，并證明.

【答案】⑴100;

(2)①VADE時(shí)等邊三角形，證明見(jiàn)解析；

@PE-PD=2AB.證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題即可；

(2)①VA￡>E?時(shí)等邊三角形，證明EA=ED,ZAED=60。即可；②結(jié)論：PE—PD=2AB.如圖，作點(diǎn)。關(guān)

于直線CF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接CD',DD',ED'.當(dāng)點(diǎn)尸在即'的延長(zhǎng)線上時(shí)，PE-PD的值最大，此時(shí)

PE—PD=ED,利用全等三角形的性質(zhì)證明E"=AC,可得結(jié)論.

【解析】(1)解：:.點(diǎn)E為線段AC,。的垂直平分線的交點(diǎn)，

EA=EC=ED,

:.NEAC=NECA,ZECD=NEDC,

VZABC=90°,ZBAC=40°,

ZACB=90°-40。=50°,

：.ZACD=180°-50°=130°,

：.ZEAC+ZACD+ZEDC=260°,

：.ZAED=360°-260°=100°,

故答案為：100.

(2)解：①結(jié)論：VADE時(shí)等邊三角形.

理由：???點(diǎn)E是線段AC,8的垂直平分線的交點(diǎn)，

:.EA=EC=ED,

：.ZEAC=ZECA9/ECD=/EDC,

ZABC=90°,ZR4C=60°,

ZACB=90°-60°=30°,

ZACD=180°-30°=150°,

ZEAC+ZACD+ZEDC=300°,

ZAED=360°-300°=60°,

JVADE時(shí)等邊三角形；

②結(jié)論：PE—PD=2AB.

理由：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于直線C廠的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D0,連接CD,DD',ED'.

*.*PE-PD=PE-PU<EU

則，點(diǎn)。在即'的延長(zhǎng)線上時(shí)，PE-PD的值最大，止匕時(shí)正石-尸。=￡/7,

?.?ZCTO+ZCFE=180°,ZCFD=ZCAE,

???ZG4E+ZCFE=180°,

ZACF+ZAEF=180°,

ZAED=6d°,

：.NAC廠=120。，

ZACB=ZFCD=30°f

：.ZDCF=ZFCD=30。,

NDCD=60°,

?：CD=CD',

：.△CD。'時(shí)等邊三角形，

:,DC=DD',ZCDD,=ZADE=60°,

：.ZADC=ZEDDf,

,/DA=DE,

：.AADC^AEDD'(SAS),

AC=ED',

■:?B90?,ZACB=30°,

AC=2AB,

：.PE-PD=2AB.

故答案為：PE—PD=2AB.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的

性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題，屬于中考常考

題型.

10.點(diǎn)。為ULBC外一點(diǎn),ZACB=90°,AC=BC.

圖2

CD=CE,求證：/ADC=/BEC；

(2)如圖2,若NCD8=45。，AE//BD,CELCD,求證：AE=BD；

(3)如圖3,若NADC=15。，CD=y/2,BD=n,請(qǐng)直接用含"的式子表示AO的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)SAS證明VACL^BCE,可得/ADCu/BEC；

(2)延長(zhǎng)0c交AE于尸，連BF,根據(jù)SAS證明△ACE■也△BCF,則=B尸，ZBFC=ZAEC=45°=ZFDB,

結(jié)論得證；

(3)過(guò)點(diǎn)C在上方作CE_LCD,CE=C。，連BE、DE.由(1)知VACE^VBCE,則ZBEC=/4DC=15。,

求出/BED=30。，可求出。及03的長(zhǎng)，則AD可求出.

【解析】(1)證明：?.?"(％=ZACB=90。，

:.NACD=/BCE,

又?.?AC=3C,CE=CD,

.?.△AC。四△BCE(SAS),

：.ZADC=ZBEC.

(2)如圖1,延長(zhǎng)。C交AE于尸，連BF,

圖1

\-AE//BD,

.\ZEFC=ZCDB=45°.

?：ECLCD,ZCEF=ZCFE=45°9

:.EC=CF.

vZACE=ZBCF,AC=BC,

.-.△ACE^ABCF(SAS),

：.AE=BF,ZBFC=ZAEC=45。=NFDB,

：.BF=BD,

AE=BD；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)。在CO上方作CE_LCD,CE=CD,連HE、DE.

設(shè)A。、BE交于點(diǎn)、0,由(1)知△4CZ)名△5CE(SAS),ZBEC=ZADC=15°,

.\ZDOE=ZDCE=90°.

又???ZCED=ZCDE=45°,

DE=41CD=2,ZBED=30。,

OD=—DE=—x2=1,

22

OE=4DE2-OD2=相，OB=yjBD2-OD2=7?2-l，

AD=BE=O8+OE=J"2-i+G.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，含30。角的

直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵，

11.(1)如圖①，已知AABC,以AB、AC為邊向AA5c外分別作等邊△A3。和等邊AlCE,連接CD,

8E.試探究8與BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

問(wèn)題探究：

(2)如圖②，四邊形ABCD中，ZABC=45°,ZCW=90°,AC=AD,AB=2BC=80,求8。的長(zhǎng).

問(wèn)題解決：

(3)如圖③，AABC中，AC=2,BC=3,N4CB是一個(gè)變化的角，以為邊向AABC外作等邊△ABD,

連接CO,試探究，隨著ZACB的變化，CO的長(zhǎng)是否存在最大值？若存在，求出8長(zhǎng)的最大值及此時(shí)ZACB

【答案】(1)CD=BE,理由見(jiàn)解析；(2)120；(3)存在，8的最大值為5,此時(shí)NACB=120。.

【分析】(1)求出=證明△2MC/A3AE(SAS),可得結(jié)論；

(2)如圖②中，以A8為邊向外作等腰直角AABT,證明AZ4C絲△5M>(SAS),推出CT=B。，利用勾股

定理求出CT即可；

(3)存在，如圖③中，以BC為邊向外作等邊才，連接AF,證明ADBC=AABF(SAS),推出。C=A/,

可得結(jié)論.

【解析】解：(1)CD=BE.

理由：：△ABD,AACE都是等邊三角形，

AD=AB,AC^AE,ZDAB=ZCAE=60°,

：.ZDAC=ZBAE,

AD=AB

在△ZMC和中，\ZDAC=ZBAE,

AC=AE

：.ADAC四△54E(SAS),

「?CD=BE；

（2）如圖②中，以AB為邊向外作等腰直角△ABT,AT=AB,連接CT.

圖②

???ZBAT=ZCAD=90°,

：.ZBAD=ZTAC,

AT=AB

在△Z4C和2X5^中，\ZTAC=ZBAD,

AC=AD

：.^TAC^BAD(SAS),

???CT=BD,

ZABT=ZABC=45°f

：.Z7BC=90°,

'：AB=2BC=8Q,

；?BT=8。6，5c=40,

???CT=)302+叱=如2+(80夜＞=120,

???BD=TC=120；

(3)存在.如圖③中，以3c為邊向外作等邊△55,連接AF.

A

圖③

VAABD,△BC尸都是等邊三角形，

BD=BA,BC=BF,NDBA=NCBF=60?,

：.NDBC=ZABF,

BD=BA

在ADBC和AABF中，-/DBC=NABF,

BC=BF

：.ADBC^AABF(SAS),

DC=AF,

：AC=2,CF=BC=3,

：.AF<AC+CF,

：.AF<5,

...當(dāng)A,C,尸共線時(shí)，AF的值最大，最大值為5,

CD的最大值為5,此時(shí)ZACB=120°.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

12.如圖1,B、C、。三點(diǎn)在一條直線上，與BE交于點(diǎn)。，△ABC和△ECQ是等邊三角形.

(1)求證：△AC。0△8CE；

(2)求的度數(shù)；

(3)如圖2,若3、。、。三點(diǎn)不在一條直線上，NBOD的度數(shù)是否發(fā)生改變？(填“改變”或“不改變”)

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)N500=120。

(3)不改變，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)“SAS”證明△ACO之ZiBCE即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得NADC=N5EC,再由三角形的外角性質(zhì)得NAO5=60。，即可求解；

(3)同(1)得：△ACD四△8CE,得出ND4C=NE3C,根據(jù)三角形外角求出NAOE=120。，即可得出答

案.

【解析】(1)證明：?「△ABC和△ECD是等邊三角形，

AZACB=ZECD=60°,BC=AC,EC=CD,

：.ZACB-^ZACE=ZECD+ZACE,

：.ZBCE=ZACD,

在^BCE和△AC。中

BC=AC

IZBCE=ZACD,

CE=CD

：.ABCE^AACD(SAS).

(2)解：VABCE^AACD,

：.ZADC=ZBEC,

???ZAOB=ZEBC+ZADC,

：.ZAOB=NEBC+/BEC=ZDCE=60°f

:ZAOB+ZBOD=180°,

：.ZBOD=120°.

(3)解：不改變，理由如下：

同(1)得：4ACD經(jīng)XBCE(SAS),

:.ZDAC=ZEBC9

ZAOE=ZABO+ZOAB

=ZABO-^-ZDAC+ZBAC

=ZABO+ZEBC+ZBAC

^ZABC+ZBAC

=120°

ZBOD^ZAOE^120°,

即/B。。的度數(shù)不改變.

故答案為：不改變.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角性質(zhì),

證明△AC。絲△BCE是解題的關(guān)鍵.

題型4：旋轉(zhuǎn)模型

13.如圖1,在等腰R/AABC中，NA=9O。，點(diǎn)。、E分別在邊AB、AC上，AD=AE,連接，點(diǎn)M、P、

圖1圖2

(1)觀察猜想：圖1中，線段與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

⑵探究證明：把VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,判斷APW的形狀，并說(shuō)明

理由；

(3)拓展延伸：把VADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4,AB=10,求APMN面積的最大值.

【答案】⑴尸M=PN,PM±PN

(2)APMN是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)利用三角形的中位線定理得出尸=進(jìn)而得出3O=CE,即可得出結(jié)論,

再利用三角形的中位線定理得出PM〃CE,再得出/DPM=/DC4,最后利用互余得出結(jié)論；

(2)先判斷出絲△ACE(S4S),得出3￡>=CE,同(1)的方法得出PN=-BD,即可

一.22

得出PM=PN,同(1)的方法即可得出結(jié)論；

(3)由等腰直角三角形可知，當(dāng)最大時(shí)，APMN面積最大，而8。的最大值是鉆+兌>=14,即可得

出結(jié)論.

【解析】（1）解：??/、N分別為。3C的中點(diǎn),

PN//BD,PN=-BD,

2

??,點(diǎn)尸分別為。瓜。。的中點(diǎn),

VAB=AC,AD=AE,

：.BD=CE,

：.PM=PN,

*：PN//BD,PM//CE,

：.ZDPN=ZADCf/DPM=/DCA,

丁ABAC=90°,

：.ZADC+ZACD=90°,

JZMPN=ZDPM+ZDPN=ADCA+ZADC=90°,

PMA.PN.

故答案為：PM=PN,PMLPN.

(2)解：腦V是等腰直角三角形，理由如下.

由旋轉(zhuǎn)可知，ZBAD=ZCAE,

VAB=AC,AD=AE,

：.AABD^AACE(SAS),

AZABD=ZACEfBD=CE,

由三角形的中位線定理得，PN』D,PM二CE,

22

PM=PN,

???△PMN是等腰三角形，

同(1)的方法可得，PM//CE,PN//BD,

/DPM=/DCE,/PNC=/DBC,

?.?ZDPN=ZDCB+APNC=ZDCB+ZDBC,

:.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC,

=/BCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+Z.DBC=ZACB+AABC,

ZACB+ZABC=90°,

???/MPN=90。,

???△PMN是等腰直角三角形.

(3)解：由(2)可知，APMN是等腰直角三角形，PM=PN=\BD,

,當(dāng)尸朋■最大時(shí)，APMN面積最大，

點(diǎn)。在54的延長(zhǎng)線上，

/.BD^AB+AD^14,

：.PM=1,

22

???5APMW*=|PM=lx7=^.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形的中位線定理，熟練應(yīng)用相關(guān)知

識(shí)是解決本題的關(guān)鍵.

14.在MAA8C中，ZACB=90°,C4=CB,點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接C。，將線段C。繞點(diǎn)C逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段CE,連接

(1)操作發(fā)現(xiàn)

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段AB上時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出與BE的位置關(guān)系為；線段80、AB、E8的數(shù)量關(guān)

系為;

(2)猜想論證

當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2,是點(diǎn)。在射線AB上，如圖3,是點(diǎn)。在射線BA上，請(qǐng)你寫(xiě)出這兩

種情況下，線段8。、AB、破的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；

(3)拓展延伸

若A2=5,BD=7,請(qǐng)你直接寫(xiě)出△AOE的面積.

【答案】(1)A3_L3E,AB=BD+BE；(2)圖2中3E=A5+5。，圖3中，BD=AB+BE,證明見(jiàn)解析；(3)

72或2

【分析】(1)首先通過(guò)&4s證明△ACO之△3CE,然后利用全等三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出答案；

(2)仿照(1)中證明△ACD四△8”,然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(3)首先求出5石的長(zhǎng)度，然后利用?班即可求解.

【解析】解：(1)如圖1中，

ZACB=ZDCE=90°,

：.NACD=NBCE,

\9CA=CB,CD=CE,

：.AACD^ABCE(SAS),

：.AD=BEf/CBE=/A,

?：CA=CB,ZACB=90°,

JZA=ZCBA=45°,

：.ZCBE=ZA=45°,

：.ABE=90°,

AAB±BE,

,

：AB=AD+BD9AD=BE,

；,AB=BD+BE,

故答案為AB=BD+BE.

(2)①如圖2中，結(jié)論：BE=AB+BD.

圖2

理由：VZACB=ZDCE=90°,

：.NACD=NBCE,

*：CA=CB,CD=CE,

：.AACD^ABCE(SAS),

：.AD=BEf

9：AD=AB+BD,AD=BE,

；?BE=AB+BD.

②如圖3中，結(jié)論：BD=AB+BE.

圖3

理由：VZACB=ZDCE=90°,

：.ZACD=ZBCE,

,：CA=CB,CD=CE,

：.AACD^ABCE(SAS)

：.AD^BE,

9：BD=AB+AD,AD=BE,

???BD=AB+BE.

(3)如圖2中，9：AB=5,BD=7,

???3￡=AZ)=5+7=12,

VBE±AD,

SAAED=1-AD-EB=1x12x12=72.

如圖3中，：A8=5,BD=7,

：.BE=AD=BD-AB=1-5=2,

\BELAD,

：.SAAED=--AD-EB=-x2x2=2.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)并分情況討論是關(guān)鍵.

15.如圖，等邊“RC中，OE//3A分別交BC、AC于點(diǎn)。、E.

（1）求證：ACDE是等邊三角形；

A

（2）將ACDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（0。＜6＜360。），設(shè)直線AE與直線8。相交于點(diǎn)尸.

①如圖，當(dāng)0。＜。＜180。時(shí)，判斷N/MB的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由;

②若AB=7,CD=3,當(dāng)B,D,E三點(diǎn)共線時(shí)，求8。的長(zhǎng).

A

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①NAFB的度數(shù)是定值，為60。；②30=5或8.

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，ZBAC=ZABC=ZACB=60°,再由DE/ABA,可得到

ZEDC=ZABC=60°,ZDEC=ZBAC=,從而得至U/￡DC=N￡）￡C=NC,即可求證；

（2）根據(jù)題意，可證得ABC。kAACE,從而得到NC3r＞=NC4E,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。，即可

求解；

（3）分兩種情況討論：當(dāng)B,D,E三點(diǎn)共線，且OE在BC上方時(shí)，當(dāng)B,D,E三點(diǎn)共線，且OE在

BC下方時(shí)，即可求解.

【解析】證明：（1）???△ABC是等邊三角形,

???ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

■:DEUBA,

ZEDC=ZABC=6O°fZDEC=ABAC=f

ZEDC=ZDEC=ZC,

???△CD石是等邊三角形；

(2)解：①NAFB的度數(shù)是定值，理由如下：

*/AABC,ACDE是等邊三角形，

:?BC=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

：.ZBCD=ZACE,

在△BCD和/XACE中，

BC=AC

</BCD=/ACE,

CD=CE

：.^BCD=AACE(SAS),

:.ZCBD=ZCAEf

又?:N1=N2,

???ZAFB=ZACB=60°f

即”中的度數(shù)是定值，為60。；

②當(dāng)B,D,E三點(diǎn)共線，且。石在上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作CFLO石,

A

?「△COE是等邊三角形，CF1DE,

13

DF=-CD=~,

22

在RtACD尸中，由勾股定理得：

CF=y/CD2-DF2=^~,

2

在RtABCF中，BF=y/BC2-CF2=J72-

133

:.BD=BF-FD=--------=5；

22

當(dāng)6,D,E三點(diǎn)共線，且DE在BC下方時(shí).

133

BD=BF+FD=-+-=8,

22

綜上所述，8。=5或8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握相

關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

16.四邊形ABCD是由等邊A4BC和頂角為120。的等腰排成，將一個(gè)60。角頂點(diǎn)放在。處，將60。角

繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該60。交兩邊分別交直線BC、AC于V、N,交直線A3于E、尸兩點(diǎn).

（1）當(dāng)E、F都在線段上時(shí)（如圖1）,請(qǐng)證明：BM+AN=MN-

備用圖

（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊胡的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2）,請(qǐng)你寫(xiě)出線段MB,AN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論；

（3）在（1）的條件下，若AC=7,AE=2A,請(qǐng)直接寫(xiě)出MB的長(zhǎng)為

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）MB=MN+AN.證明見(jiàn)解析；（3）2.8.

【分析】(1)把△O2M繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到△D4Q,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OW=。。，AQ=BM,

ZADQ=ZBDM,然后求出/QDN=/MDN,利用“邊角邊”證明△MNZ)和△QN。全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)

邊相等可得MN=QN,再根據(jù)AQ+AN=QV整理即可得證；

(2)把AIMN繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到AUBP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DN=OP,AN=8P,根據(jù)

尸=90?？芍c(diǎn)尸在上，然后求出NM￡)P=60。，然后利用“邊角邊”證明AMN。和△MP。全等，

根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=MP,從而得證；

(3)過(guò)點(diǎn)加作交4B于G,交DN于H,可以證明△2MG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)

可得8M=MG=BG,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得NQVD=/MN。，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得

ZQND=ZMHN,然后求出NMND=NMHN,根據(jù)等角對(duì)等邊可得然后求出AN=G8,再利用“角

角邊”證明AANE和AGHE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=GE,再根據(jù)8G=AB-AE-GE代入數(shù)據(jù)

進(jìn)行計(jì)算即可求出BG,從而得到BM的長(zhǎng).

【解析】解：(1)證明：把繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到△ZMQ,

貝lj￡>M=OQ,AQ=BM,ZADQ=ZBDM,ZQAD=ZCBD=90°,

...點(diǎn)。在直線C4上，

,/ZQDN=ZADQ+ZADN=ZBDM+NADN=ZABD-ZMDN=120°-60°=60°,

：.ZQDN=ZMDN=60°,

,：在AMND和△QN￡)中，

DM=DQ

-ZQDN=ZMDN,

DN=DN

:AMND沿AQND(SAS),

：.MN=QN,

'：QN=AQ+AN=BM+AN,

：.BM+AN=MN；

(2)：MB=MN+AN.

理由如下：如圖，把ADAN繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到△D8P,

貝|JON=DP,AN=BPf

ZDAN=ZDBP=90°,

???點(diǎn)P在3M上，

,/ZMDP=ZADB-ZADM-ZBDP=120°-ZADM-ZADN=120°-ZMDN=120°-60°=60°,

J/MDP=NMDN=60。,

在二MND和△”尸。中,

DN=DP

<ZMDP=ZMDN,

DM=DM

:?AMND%4MPD(SAS),

:?MN=MP,

■:BM=MP+BP,

:.MN+AN=BM：

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)〃作交AB于G,交。N于H,

0"(3)題圖

???△ABC是等邊三角形，

???△8MG是等邊三角形，

：.BM=MG=BG,

根據(jù)(1)AMNDQAQND可得/QND=/MND,

根據(jù)AC可得NQND=ZMHN,

：.ZMND=ZMHN,

：,MN=MH,

：.GH=MH-MG=MN-BM=AN,

即AN=GH,

???在歷和△G"后中，

ZQND=ZMHN

</AEN=/GEH,

AN=GH

：.AANE^AGHE(AAS),

：.AE=EG=2A,

VAC=7,

：.AB=AC=7f

：.BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8,

:,BM=BG=28

故答案為：2.8

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的

性質(zhì)作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，(3)作平行線并求出AN=GH是解題的關(guān)鍵，也是本題的難

點(diǎn).

題型5：倍長(zhǎng)中線模型

17.小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，如圖1,44BC中，AB=7,AC=5,點(diǎn)D為3C的中點(diǎn)，求AO的取值范圍.小

明發(fā)現(xiàn)老師講過(guò)的“倍長(zhǎng)中線法”可以解決這個(gè)問(wèn)題，所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便

構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法，他的做法是：如圖2,延長(zhǎng)AD到

E,使DE=AD,連接BE,構(gòu)造經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決.請(qǐng)回答：

(2)的取值范圍是」

(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長(zhǎng)中線法最重要的一點(diǎn)就是延長(zhǎng)中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造.參考小明思考

問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖3,在AABC中，為8C邊上的中線，且AD平分NBAC,求證：AB^AC.

【答案】⑴SAS

(2)1<AD<6

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)SAS定理解答；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到虛=AC,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計(jì)算，得到答案;

(3)仿照(1)的作法，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論.

【解析】(1)解：在和ACW中，

BD=CD

，ZBDE=ZCDA

DE=DA

.-.△B￡D=A