浙教版八年級數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：圖形的軸對稱、等腰三角形（原卷版）

第08講圖形的軸對稱等腰三角形

看知識點梳理

—＞軸對稱圖形

軸對稱圖形的定義

一個圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，該直線就是它

的對稱軸.

要點：軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合.一個軸對稱圖形的對稱

軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.

二、軸對稱

i.軸對稱定義

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線

對稱（或說這兩個圖形成軸對稱），這條直線叫做對稱軸.折疊后重合的點是對應(yīng)點，也叫做對稱點.

要點：軸對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合.成軸對

稱的兩個圖形一定全等.

2.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系

軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別主要是：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形；軸對稱圖形和

軸對稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形；反過來，

若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關(guān)于這條直線（原對稱軸）對稱.

三、軸對稱與軸對稱圖形的性質(zhì)

軸對稱、軸對稱圖形的性質(zhì)

在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)

角相等.

要點：（1）若兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；

（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.

四、等腰三角形的定義

1.等腰三角形

有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角

叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

如圖所示，在AABC中，AB=AC,則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,/A是頂角，/B、

/C是底角.

2.等腰三角形的作法

己知線段a,b（如圖）.用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

b

作法：1.作線段BC=a；

2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫弧,兩弧相交于點A;

3.連接AB,AC.

△ABC為所求作的等腰三角形.

3.等腰三角形的對稱性

（1）等腰三角形是軸對稱圖形

（2）ZB=ZC

⑶BD=CD,AD為底邊上的中線.

（4）ZADB=ZADC=90°,AD為底邊上的高線.

結(jié)論：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線（底邊上的高線或中線）所在的直線是它的對稱軸.

4.等邊三角形

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三

條對稱軸，每個角的平分線（底邊上的高線或中線）所在的直線就是它的對稱軸.

要點：（1）等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45。，等腰三角形的底角只能為銳角，不能為

1QQO_/人

鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.NA=180°-2ZB,NB=NC=---------.

2

（2）用尺規(guī)作圖時，畫圖的痕跡一定要保留，這些痕跡一般是畫的輕一些，能看清就可以了，題目中

要求作的圖要畫成實線，最后一定要點題，即“xxx即為所求”.

（3）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三

角形.

等邊三角形是中考中常考的知識點，并且有關(guān)它的計算也很常見，因此對于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)要熟記

/?反

于心，比如邊長為a的等邊三角形它的高是面積是2—/.

24

委要倒曷尼幽

例1.下列說法中正確的是（）

①對稱軸上沒有對稱點；②如果AABC與△關(guān)于直線L對稱，那么5Mse=S?B。；③如果線段

AB=A;B,直線L垂直平分A4',則AB和A3關(guān)于直線L對稱；④射線不是軸對稱圖形.

A.②B.①④C.②④D.②③

金2例2.下列說法中，正確的是（）

條公共邊的兩個全等三角形關(guān)于公共邊所在的直線對稱

B.全等三角形是關(guān)于某直線對稱的

C.兩個圖形關(guān)于某直線對稱，則這兩個圖形一定分別位于這條直線的兩側(cè)

D.關(guān)于某直線對稱的兩個三角形是全等三角形

3.等腰三角形的對稱軸是（

A.底邊上的中線B.頂角平分線C.底邊上的高D.底邊的垂直平分線

4.列四個圖案中，不是軸對稱圖案的是（）

A.

例5.有下列圖形：角，線段，直角三角形，等邊三角形，長方形.其中一定是軸對稱圖形的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

6.如圖，AABC中，。點在上，將。點分別以A8、AC為對稱軸，畫出對稱點￡、F,

并連接AE、AF.根據(jù)圖中標(biāo)示的角度，求NE4F的度數(shù)為何？（）

C.129°D.134°

F例

7.如圖，將△ABC沿直線OE折疊后，使得點3與點A重合.已知AC=10cm,△ADC的周

長為34cm,則8C的長為（）

C.24cmD.44。%

8.如圖,△ABC與VAB'C'關(guān)于直線MN對稱，尸為初V上任一點（尸不與AA共線），下列

A.AAA'P是等腰三角形B.垂直平分A4'

C.A47/CC,D.AP±AC

m例%等邊三角形是特殊的.

三角形，因此它也是圖形，有..條對稱軸.

'.例10.等腰三角形的一腰上的中線將三角形的周長分成9和15兩部分，則該等腰三角形的腰長是

，跟蹤酬瀛

一、單選題

1.下列圖案中是軸對稱圖形的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.如圖，若AABC與AA'3'C'關(guān)于直線對稱，BB'交MN于點、0,則下列說法中不一定正確的是（）

A.AC=AC'B.AB//B'CC.AAA.MND.BO=BO

3.如圖，點尸在銳角—AOB的內(nèi)部,連接OP,OP=3,點尸關(guān)于。4、所在直線的對稱點分別是4、

鳥，則片、鳥兩點之間的距離可能是（）

A.8B.7C.6D.5

4.如圖，AC是四邊形ABC。的對稱軸，若AD〃BC,則下列結(jié)論中正確的有（）

@AB//CD；?AB=CD；?AB=BC；?AO=OC.

A.①②③④B.①②③C.②③④D.②③

5.如圖，RbASC中，NC=90。，NA=38。，點。在48上，且點。與點B關(guān)于直線/對稱，則NACD的

度數(shù)為（）

A.10°B.14°C.38°D.52°

6.等腰三角形的周長為12cm,其中一邊長為3cm,則其腰長為（）

A.3cmB.3cvw或4.5C7?ZC.4.5cmD.以上都不對

7.若等腰三角形有一個角等于50。，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)是（）

A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°

8.如圖，AD是AABC的中線，E是AD上一點，BE交AC于F,若BE=AC,BF=9,CF=6,則AF的長

度為（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

9.如圖，在AABC中，/C=90°,點A關(guān)于BC邊的對稱點為A,點3關(guān)于AC邊的對稱點為9，點C關(guān)

于A3邊的對稱點為C',則AABC與AAB'C的面積之比為（)

D-I

10.如圖所示，ZMON=45°,點尸為NMON內(nèi)一點，點尸關(guān)于OM、ON對稱的對稱點分別為點＜、P2,連

接。尸、。斗尸片、尸鳥、PXP2,4G分別與OM、ON交于點A2,連接"、BP,則NAPB的度數(shù)為（）

M.

A.45°B.90°C.135°D.150°

二、填空題

11.等邊三角形的邊長為a,則它的周長為,等邊三角形共有條對稱軸.

12.等腰三角形周長為35,其中兩邊長之比為3：1,則底邊長為.

13.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60。，那么這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為.

14.如圖所示，點P為/AO3內(nèi)一點，分別作出尸點關(guān)于0408的對稱點6、P2,連接《巴交于M，

交OB于N,月鳥=15,則APMN的周長為

15.已知等腰三角形的底邊長為6,一條腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另外一部分

長2,則三角形的腰長是.

16.如圖，在△ABC中，AC=BC,/B=42。，點。是邊A8上一點，點8關(guān)于直線C￡＞的對稱點為當(dāng)

BZ)〃AC時，則NBCZ)的度數(shù)為.

17.定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形若等腰AA8C是“倍

長三角形"，底邊BC的長為3,則腰A8的長為.

18.如圖，點P是/A03內(nèi)一點，點尸關(guān)于。4的對稱點為C,點P關(guān)于。3的對稱點為連結(jié)CO交

0A,08于點M和點N,連結(jié)PM、PN.若ZAOB=70。，則N7WPN的大小為度.

A

三、解答題

19.如圖所示的每個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，指出它的對稱軸.

(1)(2)(3)(4)(5)

20.燕子風(fēng)箏的骨架如圖所示，它是以直線L為對稱軸的軸對稱圖形.已知/1=/4=45。，求/2和N5

21.(1)已知等腰三角形的一邊等于2cm,另一邊等于4cm,求它的周長；

(2)一個等腰三角形的周長為18,若腰長的3倍比底邊的2倍多6,求各邊長;

(3)一個等腰三角形的周長為20cm,一邊長為6cm,求其它兩邊的長；

(4)一個等腰三角形的周長為12cm,一邊與另一邊的差是3cm,求三邊的長；

(5)等腰三角形的腰長是整數(shù)，周長是8,求它的各邊長.

22.已知一個等腰三角形的周長為24cm.

(1)若一條邊的長為10cm,求其余兩條邊的長；

(2)若一條邊的長為4cm,求其余兩條邊的長.

23.如圖，點尸為N493內(nèi)一點，分別作出點尸關(guān)于。4,OB的對稱點片，鳥，連接勺鳥，交。4于點

交OB于點、N,則APMN的周長等于圖中哪一條線段的長？說明理由.

24.已知等腰三角形一腰上的中線將這個三角形的周長分為9cm和15cm的兩個部分，求這個等腰三角形底

邊的長.

25.已已知a、b、c為△ABC的三邊長，且6、c滿足(6-5)2+(c-7)2=0,a為方程|。-3|=2的解，求△A8C

的周長，并判斷△ABC的形狀.

26.如圖，點。在4c上，AB=AC,.你能在圖中找到幾個等腰三角形？分別說出每個等腰三

角形的腰、底邊和頂角.

27.如圖，AABC的頂點A,B,C都在小正方形的頂點上，利用網(wǎng)格線按下列要求畫圖.

(1)畫△ABC］，使它與44SC關(guān)于直線/成軸對稱；

(2)在直線/上找一點P,使點P到點A,點8的距離之和最短；

(3)在直線/上找一點。使點。到邊AC,3c的距離相等.

28.如圖，AABC與/關(guān)于直線對稱，其中/C=90。，AC=8cm,DE=10cm,BC=6cm.

\M

AD

BE

IN

(1)連接A￡),線段AD與MN的關(guān)系是什么？

(2)求NF的度數(shù)；

⑶求^ABC的周長和ADEF的面積.

29.如圖，AABC和AADE關(guān)于直線對稱，8C與。E的交點/在直線MN上.

(1)圖中點C的對應(yīng)點是點,/B的對應(yīng)角是；

⑵若DE=5,BF=2,則B的長為；

⑶若/8AC=108°,ZBAE=30°,求/EAF的度數(shù).

30.【定義】如圖1,0M平分/AOB,則稱射線。8,。4關(guān)于OM對稱.

圖1圖2

(1)【理解題意】如圖1,射線08,OA關(guān)于。加對稱且NAOB=45。，

(2)【應(yīng)用實際】如圖2,若/AO8=45。，OP在/A08內(nèi)部，OP,OP/關(guān)于對稱，OP,0P2關(guān)于04對

稱，求NB0P2的度數(shù)；

(3)如圖3,若/AO8=45。，OP在/A0B外部，且0。＜/4。尸＜45。，OP,OP/關(guān)于。2對稱，OP,0P2關(guān)

于。4對稱，求/BOP2的度數(shù)；

(4)【拓展提升】如圖4,若/AOB=45°,OP,。尸/關(guān)于NAOB的02邊對稱，ZA0Pi=4ZB0Pi,求/A。尸

(直接寫出答案).

|］域真題演練、

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一、單選題

1.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）美術(shù)老師寫的下列四個字中，為軸對稱圖形的是（）

美幫。舟加

3.（2007?河南?中考真題）如圖，AABC與關(guān)于直線1對稱，則NB的度數(shù)為（）

C.90°D.100°

4.（2022?山東威海?統(tǒng)考中考真題）圖1是光的反射規(guī)律示意圖.其中，尸。是入射光線，。。是反射光線,

法線KOLMN,NPOK是入射角，/K。。是反射角，ZKOQ=ZPOK.圖2中，光線自點尸射入，經(jīng)鏡面

EF反射后經(jīng)過的點是（）

5.（2022秋.八年級課時練習(xí)）如圖，將AABC沿著過的中點。的直線折疊，使點B落在AC邊上的4處,

稱為第一次操作，