浙教版九年級數(shù)學下冊同步訓練：解直角三角形（7類題型）（解析版）

第03講解直角三角形（7類題型）

學習目標

課程標準學習目標

1.掌握解直角三角形；

2.掌握解直角三角形的應用一一仰俯角問題；

1.解直角三角形的應用；

3、掌握解直角三角形的應用一一方位角問題；

4、掌握解直角三角形的應用一一坡度、坡角問題；

5、掌握解直角三角形的綜合應用；

思維導圖

知識清單

知識點1：解直角三角形

（1）解直角三角形的定義

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的關(guān)系

①銳角、直角之間的關(guān)系：/A+NB=90°；

②三邊之間的關(guān)系：a2+/=c2；

③邊角之間的關(guān)系：

乙A的對邊a乙A的鄰邊

s\r\A=一,cosA=2ta上等瓷=去

斜邊c斜邊c乙A的令B邊b

（a,b,c分別是NA、NB、NC的對邊）

【即學即練1】

1.（2023上?山東濟寧?九年級濟寧學院附屬中學?？茧A段練習）在RtABC中，ZC=90°,ZB=30°,則cosB

的值為（）

A1R亞

A.D.L?Un

232

【答案】C

【分析】本題主要考查的是銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)定義解題即可.

【詳解】解：如圖：

[aZC=90°,ZB=30°

^\AC=-AB

2

BC=y/AB2-AC2=—AB

2

BC6AB

cosB=cos30°二二-5G

ABf=—

AB2

故選：c.

知識點2：解直角三角形的應用一一仰角、俯角問題

（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角.

（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當圖形中沒有直角三角

形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把

實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決.

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角；

視線

鉛

水

線

平

仰角

垂

俯角

線

、

視線

【即學即練21

2（2023上?湖南邵陽?九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在地面上的點A處測得樹頂8的仰角為a度，若AC=6

米，則樹高為（）

A.6sintz米B.6tana米C.--—米D.―--米

tanacosa

【答案】B

【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵;

過點2作BC，AC于點C,在中根據(jù)AC=6,ZA=a,求出的高度.

【詳解】解:過點8作3c±AC于點C,

在M45c中，

QAC=6,ZA=a,

BC=ACtana=6tana.

故選B.

知識點3:解直角三角形的應用一一方位角問題

（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應度數(shù).

（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在

直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角.

【即學即練3】

3.（2023上?山東泰安?九年級校考階段練習）如圖，某貨船以24海里/時的速度從A處向正東方向的。處航

行，在點A處測得某島C在北偏東60。的方向.該貨船航行30分鐘后到達8處，此時測得該島在北偏東30。

的方向上.則貨船在航行中離小島C的最短距離是（）

A.12海里B.66海里C.12山海里D.24后海里

【答案】B

【分析】過點C作CE人AS,利用=3E,結(jié)合銳角三角函數(shù)，列式計算即可.

【詳解】解：如圖，過點C作CE1AB,

30

由題意，得：ZCA￡=30°,ZCBE=60°,AB=24x—=12,

60

在Rtz\C4E中，AE="=辰￡,

tan30°

在RtZXCBE中，BD=CE=—CE,

tan6003

^AB=AE-BE=V3CE--CE=12,

3

0CE=65/3；

故選B

【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形.

知識點4：解直角三角形的應用一:坡度、坡角問題

（1）坡度是坡面的鉛直高度力和水平寬度/的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，

一般用，?表示，常寫成/'=1：m的形式.

（2）把坡面與水平面的夾角a叫做坡角，坡度，與坡角a之間的關(guān)系為：i=h/l=tana.

（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的

正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題.

應用領(lǐng)域：①測量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等.

【即學即練4】

4.（2023上?山西臨汾?九年級校聯(lián)考階段練習）汾河水庫位于山西省太原市西北婁煩縣境內(nèi)下靜游村至下石

鉛直高度BC

家莊之間.如圖，水庫某段橫截面迎水坡A3的坡度i=1:2（坡度i=),若坡高3c=20m,則

水平寬度AC

坡面AB的長度約為（參考數(shù)據(jù)：＞/2?1.41,73-1.73,^?2.24）

A.28mB.35mC.45mD.67m

【答案】c

【分析】本題考查的是解直角三角形的應用：坡度坡角問題，熟記坡度的概念是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)坡度的概念求出AC,再根據(jù)勾股定理計算，得到答案.

【詳解】解：回迎水坡A3的坡度力=1:2,

,BC1

"AC"25

QBC=20m,

AC=2BC=40m,

由勾股定理得：AB=^BC2+AC2=A/202+402=20辨-45(m),

故選：C.

知識點5:解直角三角形的綜合應用

（1）通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關(guān)測量問.

如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊

的長度，計算出所要求的物體的高度或長度.

（2）解直角三角形的一般過程是：

①將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）.

②根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學問題的答案，再轉(zhuǎn)化得

到實際問題的答案.

【即學即練5】

5.（2023上?山西臨汾?九年級校聯(lián)考階段練習）為慶祝國慶，某校要在如圖所示的五角星中（圖中所有線段

的長度均相等，且NA=NB=NC="=NE=36。），從頂點A開始，沿邊每隔40厘米裝一盞閃光燈，如

果凡?/兩點間的距離為（占-1）米，那么需要安裝閃光燈的盞數(shù)是（參考數(shù)據(jù)：sin18。=與4）

A.30B.40C.50D.60

【答案】C

【分析】此題考查了等腰三角形三線合一性質(zhì)，解直角三角形，連接E7,過點A作根據(jù)等腰三

角形三線合一的性質(zhì)得到NE4M=qNEV=18。，F(xiàn)M=JM=-FJ,然后利用

222

FM

sinNE4M=sinl8o=F代數(shù)求出AF=2,然后求出總長度，進而求解即可.解題的關(guān)鍵是正確作出輔助

AF

線.

【詳解】如圖所示，連接￡/,過點A作

團一AE/是等腰三角形,

回ZA=36°,

11x/s-1

^ZFAM=-ZFAJ=18°,FM=JM,FJ=^~^~,

222

FMr-6一]

[?]sinZ7^4M=sinl8o=——，gpV5-1_，

A.F■=72~—

4AF

解得AF=2米，

0AF=BF=BG=CG=CH=DH=ID=IE=JE=AJ=2米,

SAF+BF+BG+CG+CH+DH+ID+IE+JE+AJ=20^z,

020米=2000厘米，

02000-40=50.

團需要安裝閃光燈的盞數(shù)是50.

故選：C.

題型精講

題型01解直角三角形的相關(guān)計算

1.（22-23下?深圳?模擬預測）如圖，在邊長為6的等邊中，點E在邊AC上自A向C運動，點/在

邊CB上自C向8運動，且運動速度相同，連接3瓦A廠交于點尸，連接CP,在運動過程中，點P的運動路

徑長為（）

71

C.3A/3D.

2

【答案】A

【分析】過點A作。4LAC于A,作OBL3C于3,連接OC,交AB于D,證明RtACO^RtBCO（HL）,

得。4=。3,再證明AACF，&LE（SAS）,可得/4/歸=180。-60。=120。，確定點尸的運動路徑是以點。為

圓心，以Q4為半徑的弧A2,再由弧長公式求解即可.

【詳解】解：如圖，過點A作CM_LAC于A,作于8,連接。C,交A3于。，

ACB是等邊三角形,

：.AC=BC=AB,ZACB=ZCAB=60°,

ZAOB=360°-60°-90°-90°=120°,

_OC=OC,

.'.RtACO絲Rt3co(HL),

/.OA=OB,

???OC是A5的垂直平分線，AD=BD=^AB=3f

在RtZXADO中，ZDAO=30°,

:,OD=AD^n300=43,OA=2OD=2^,

AE=CF,

.-.AACF^BAE(SAS),

:.ZCAF=ZABE,

NC4F+NR4P=60。，

.?.ZABE+NBAP=60。,

/.ZAPB=180。-60°=120°,

???點P的運動路徑是以點。為圓心，以。4為半徑的弧AB,

???點P的運動路徑長為"Ox"'2行=迪萬.

1803

故選：A.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積，動點尸的運動軌跡等知識，確定點尸的運動軌

跡是解本題的關(guān)鍵.

2.(2122下?蕪湖?自主招生)如圖所示，已知乙〃乙〃有，且4與4的距離為2,4與4的距離為L正三角

形ABC的三個頂點分別在4，/4上，則AB=.

【答案】學

【分析】作AH，/?于a.將“A3H繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。到△AC/T,過獷作《的垂線.顯然有為

等邊三角形，AAH'MAH'CN,都是有一個角為30。的直角三角形，所以==勾股

cos3003

定理，即可求解.

【詳解】解：如圖所示作AH于H則AH=2,將-ABH繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。到△AC",過”作4的

垂線，交44分別于點河外，

ElZVlffl/'為等邊三角形，則/HA”'=60。

0ZHW=3O°

SZAHB^ZAH'C^90°,AAMH'=NCNH'=90°

0ZMAH'=90°-ZMH'A=Z.CH'N=30°

^MH'=-AH'=1,H'N=3-1=2

2

回BH=CH'=H'N=迪

cos3003

^\AB2=BH2+AH2

3

故答案為：事.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角

三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

3.(2022秋?廣東深圳?八年級深圳市南山區(qū)荔香學校?？计谥?我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做

頂角正對(sad),如圖①，在＜45。中，AB=AC,頂角A的正對記作sadA,這時sadA=^1^=C容

易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：

(2)對于0。＜A＜180°,/A的正對值sadA的取值范圍是

(3)如圖②，已知sinA=(,其中/A為銳角，試求sadA的值.

【答案】⑴血

(2)0<sadA<2

⑶當

o

【分析】(1)如圖，ZBAC=90,AB=AC,COs45°=—=—,所以sad90°=生=忘.

BC2AB

1

(2)如圖，當點A向8c靠近時，NA增大，逐漸接近180。，腰長A3接近彳BC,相應的sadA=「<2；

2AB

當點A遠離BC時，/A減小，逐漸接近0。，腰長A3逐漸增大，相應的sacL4=H>。；于是0<sadA<2.

AB

(3)如圖，在A3上截取AH=AC,過"作HD_L4C于。，設(shè)7TO=3x,A//=AC=5無，則AD=4無，

DC^AC-AD=x.解RtZJTDC,HC=VlOx,sadA=—=—.

AH5

【詳解】(1)解：如圖，ZBAC=90a,AB=AC,

sad90°=—,

AB

0cos45°=—=—,

BC2

0sad9O0=—=>/2.

AB

(2)解：如圖，點A在BC的中垂線上，當點A向8C靠近時，,A增大，逐漸接近180。，腰長A3接近

2

1

AB>-BC相應的sadA=1^<2；

當點A遠離8C時,-A減小，逐漸接近°。，腰長A3逐漸增大'相應的sadA=^逐漸接近。，sadA=^>。；

團0vsadAv2

（3）解：如圖，在AB上截取AH=AC,過H作HD_LAC于。,

sinA=^^

5AH

22

^HD=3x,AH=AC=5x,貝I」，AD=Y/AH-HD=4x,

'S\DC—AC—AD—5x—Ax=x.

RtAHDC中，HC=y/CD2+HD2=VlOx>

r「VioxVio

團sadA=-C--H--

AH5x5

8

【點睛】本題考查新定義,勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性質(zhì)；添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形是

解題的關(guān)鍵.

題型02解非直角三角形

L（2020?哈爾濱?模擬預測）如圖，在A處測得點尸在北偏東60。方向上，在8處測得點P在北偏東30。方向

上，若AP=66千米，則點AB兩點的距離為（）千米.

C.2D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知，NP4c=30。，AP=6一千米，則根據(jù)三角函數(shù)可求AC、PC,再根據(jù)/PBD=60。,

利用三角函數(shù)可求BC,則AB=AC-3c.

【詳解】解：由題意可知，NP4c=30。，ZPBC=60°,

0AP=6A/3,

ElPC=APsin30°=Jx6石=3指，

2

AC=APCOS60°=6A/3^—=9,

2

K上=羋=3,

tan60°v3

AB=AC-BC=9-3=6,

故選：D.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，掌握銳角三角函數(shù)的定義，正確標注方向角是解題的關(guān)鍵.

3

2.（2019上?成都?期末）如圖，在等腰ABC中，■=4。,3。，4。于點。,《?4=丁貝1]5血/63￡>的值（）

【答案】D

332

【分析】先由cosA=g,易得=由AB=AC可得8=142,進而用勾股定理分別將BD、BC長

CD

用AB表示出來，再根據(jù)sin/C3D=；二即可求解.

3

【詳解】解：SBD1AC,cosA=~,

3

0AZ）=-AB,

回8￡>=JAB2-1|AB）=|AB,

又ElAB=AC,

SCD=AB-AD=^AB,

在RCC中，BC=+CD2=jg=^AB,

-ABr

團sinZCBD=-Y==——，

些AB5

5

故選：D

【點睛】本題主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性質(zhì)和勾股定理以及三角函數(shù)的定義.此題難度適

中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.

3

3.（2324上?哈爾濱?階段練習）在，ABC中，若=屈，tanB=-,AC=3在,則3C=.

【答案】1或13

【分析】過點A作A。于點O,分高AD在三角形內(nèi)部和三角形外部兩種情況進行討論求解.

【詳解】解：過點A作AD/8C于點D,分兩種情況討論:

①當AD在ABC的外部時，如圖：

AD3

團tanBn==—

BD7

團設(shè)AD=3x,B￡）=7x,貝ij：AB=，心+5=病彳=屈，

團x=l,

團AD=3,BD=7,

^CD=yjAC2-AD1=6>

團BC=BD—CD=1；

②當AD在一ABC的內(nèi)部時，如圖:

同法可得：BD=T,CD=6,

0BC=BD+CD=13；

綜上：8C=1或13；

故答案為：1或13.

【點睛】本題考查解非直角三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進

行求解.

題型03構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積

1.（2223下?益陽?期末）如圖，在四邊形A3a>中，ZABC=ZADC=90°,AB=1,BC=9,CD=3,則

四邊形ABCD的面積為（）

C.52D.54

【答案】A

【分析】連接AC,利用勾股定理求出AC,再根據(jù)S3s=S成+S雄進行計算即可求出結(jié)果.

【詳解】解：連接AC,如圖所示

ZABC=90°,AB=7,BC=9

AC=y/AB2+BC2=#+92=5/130

ZADC^90°,CD=3

AD=y]AC2-CD~=V130-32=7121=11

?S=<7+S

一2ABCD21ADC2.ABC

=—xllx3+—x7x9=48

22

四邊形A3CD的面積為48

故選：A.

【點睛】本題主要考查了四邊形面積，解直角三角形的應用，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會巧妙添

加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

2.（2223下?專題練習）如圖，在_MC中，sinB=-,anC=—,AB=3,則AC的長為，_MC

3t2

的面積為.

【分析】過A作AD/3C,如圖所示，在RtZXABD中，sinB=；,AB=3,得至ljAD=1,8。=2也；在RtA4CD

中，tanC=孝，得到CD=V^，由勾股定理得AC=A/L再由三角形面積公式代值求解即可得到

SAABC=g3c.AD=.

【詳解】解：過A作AD/BC,如圖所示:

22

:.AD^ABsinB=l,BD=A/A52-AD2=73-I=2>/2

在RSAGD中，tanC=—,

2

.?.歿=立，即CZ）=￡

DC2

:.BC=BD+CD=3y/2，

由勾股定理得AC=^AD-+CD-=JF+（可=6；

…^AABC—2BC,A?！?，

故答案為：白，述.

2

【點睛】本題考查解非直角三角形問題以及求三角形面積，涉及三角函數(shù)定義、勾股定理及三角形面積公

式，熟練掌握解非直角三角形的方法是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2223上?西安?階段練習）如圖，在四邊形A8CD中，連接AC、8。，ZABD=ZBCD=90°,NA4B=60。，

BC=CD,貝IJtanNACD的值為.

【答案】V3+1

【分析】延長AB,OC交于點E,過點A作AFLCD于點尸，根據(jù)直角三角形邊角關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì),

以及銳角三角函數(shù)的定義，進行計算即可.

【詳解】解：如圖，延長AB、。。相交于點E,過點A作AbLCD于點尸，

D

團NCDB=NCBD=45。，

ZABD=ZBCD=90°,ZDAB=60°,

0ZADB=3OO,

回NAT?=300+45°=75。，

[?]ZZMF=90°-75°=15°,

團NE4B=60。—15。=45。，

0AAFE,ABCD,BCE是等腰直角三角形，

設(shè)則AZ）=2a,BD=BE=&,AE=A5+班=（指+1）〃,

6廠口—母D口r口口_及A口—瓜+近c

團CE-BE-ci,EF-AE------------a，

2222

FEF-EC?FT當

團tanZACD==2=石+1,

FCV2

—a

2

故答案為：V3+1.

【點睛】本題考查解直角三角形.正確的添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟記直角三角形的邊角關(guān)系，是

解題的關(guān)鍵.

題型04仰角俯角問題

1.（2223下?日照?階段練習）如圖，A3是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端B沿水平方向向左走8米

到達點C,沿坡度i=l:2（坡度,=坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點。，再繼續(xù)沿水平方向向左

走40米到達點E（A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)），在E處測得建筑物頂端A的仰角為34。，己知建筑物

底端8與水平面￡>E■的距離為2米，則建筑物A3的高度約是（參考數(shù)據(jù)：sin34°?0.56,cos34°?0.83,

tan34°?0.67）（）

X34°C_B]__

E------

A.27.1米B.30.8米C.32.8米D.49.2米

【答案】C

【分析】延長AB交匹的延長線于尸，作CGLEF于G,首先根據(jù)坡度求出OG,再根據(jù)銳角三角函數(shù)構(gòu)

建方程即可解決問題.

【詳解】解：如圖，延長A3交匹的延長線于尸，作CG，￡F于G,

￡A34°_______

DGF

由題意得：/G=BC=8米，DE=40米，BF=CG=2^z,

在RtACDG中，i=l：2,

.?.￡>G=4米，

在RtAbE中，ZAFE=90°,FE=FG+GD+DE=52米,NE=43。，

AF=FE-tan34°?52x0.67=34.84（米）,

AB=A尸-=34.84—2a32.8（米）；

即建筑物AB的高度約為32.8米.

故選：C.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角、坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角

三角形是解答此題的關(guān)鍵.

2.（2223?一模）安裝了軟件%"的智能手機可以測量物高.其數(shù)學原理是：該軟件通過測量手

機離地面的高度，物體底端的俯角和頂端的仰角即可得出物體高度.如圖，小明測得大樹底端C點俯角a,

頂端。點的仰角夕，點A離地面的高度鉆=。米，則大樹CO的為（）

圖1圖2

A.a(tantz+tan￡)米B.a(sine+sin￡)米

(tana八、”(tan/八、“

C.a\-------+1|米D.a\—+米

Itan￡JItanaJ

【答案】D

【分析】過點A作A￡，CD,垂足為E,由題意得：AB=CE=am,AE=CB,AE//BC,從而可得

NEAC=ZACB=a,然后在Rt^ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，再在RtA4ED中，利用

銳角三角函數(shù)的定義求出。E的長，最后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答.

【詳解】解：過點A作AE_LCD,垂足為E,

圖2

由題意得：AB=CE=am,AE=CB,AE//BC,

Z.EAC=AACB=a,

在中，2C=?-=，一(m),

tanatana

:.AE=BC=-^—(m],

tana

在RtA4E￡>中，NZME="，

/.DE=AE?tan13—--------tan0------------(m),

tanatana

八廠八廠小廠”tan尸(tan/?、/、

DC=DE+CE=a-\----------=a\1H---------(m),

tanaytana)

故選：D.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用一仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助

線是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?湖北襄陽?統(tǒng)考中考真題）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像.某校數(shù)學興趣小組利用

熱氣球開展綜合實踐活動，測量諸葛亮銅像的高度.如圖，在點C處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底

部所在水平面的距離CE為32m,從熱氣球C看銅像頂部A的俯角為45。，看銅像底部5的俯角為63.4。.已

知底座3D的高度為4m,求銅像A3的高度.（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin63.4。。0.89,cos63.4°?0.45,

tan63.4°?2.00,->/2?1.41）

【答案】銅像的高度是14m；

CF

【分析】根據(jù)題意可得——=tan63.4?！?.00,從而求出CG=W=14m,即可求解.

BF

【詳解】解：由題意得：CE=32m,EF=BD=4m,

SCF=CE-EF=28m,

回四邊形3rCG是矩形，

團BG=CF=14m,

團NACG=45。，ZBCG=63.4°,

團ZFBC=ZBCG=63.4°,

CF

團一=tan63.4"2.00,

BF

0BF=14m,

團CG=BF=14m,

回CG=AG=14m,

團AB=5G—AG=14m,

團銅像A3的高度是14m；

【點睛】本題考查解直角三角形的應用，關(guān)鍵是求出CF.

題型05方位角問題

1.（2324上?石家莊?階段練習）如圖，島P位于島。的正西方，P、。兩島間的距離為20（1+6）海里，由

島尸、。分別測得船R位于南偏東60。和南偏西45。方向上，則船R到島P的距離為（)

A.40海里B.40后海里C.406海里D.40面海里

【答案】A

【分析】要求PR的長，需要構(gòu)造直角三角形，作輔助線然后根據(jù)題目中的條件利用特殊角的三

角函數(shù)值求解即可.

【詳解】解：如圖，作R4LPQ于點A,

尸。=20(1+6)海里,？尸少45?,NQPR=30°,ZPAR=ZQAR=90°,

RARA

■-PA=——,QA=——,PR=2RA,

tan30tan45

.?.華+出=20（1+⑸

V31,

T

解得：R4=20海里，

PR=2/M=40海里，

故選：A.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用-方向角問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用特

殊角的三角函數(shù)值進行解答.

2.（2223下?清遠?三模）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45。方向，距離燈塔60nmile的A處，它沿正

北方向航行一段時間后，到達位于燈塔尸的北偏東30。方向上的8處，這時，8處與燈塔尸的距離為

nmile.

【答案】60A/2

【分析】過點尸作PCLAB，垂足為C,先在Rt^APC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出PC的長，然后在

RtACBP中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出3P的長，即可解答.

【詳解】解：過點P作垂足為C,

在RtzXAPC中，AP=60海里，ZAPC=90°-45°=45°,

PC=AP-cos45°=60x=3072（海里），

2

在RtAC5P中，ZBPC=90°-30°=60°,

PC_30V2_/-

/尸-嬴布一丁-60北（海里），

2

3處與燈塔P的距離為60>/2海里，

故答案為：600.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用一方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線

是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?安徽合肥?九年級合肥市第四十八中學校考期末）如圖，某漁船向正東方向以10海里/時的速度

航行，在A處測得島C在北偏東60。方向上，1小時后漁船航行到8處，測得島C在北偏東30。方向上，已

知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁.

（1）2處離島C有多遠？

⑵如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？

⑶如果漁船在8處改為向東偏南15。方向航行，有無觸礁危險（參考數(shù)據(jù)：65732、sin75。a0.966、

cos75°?0.259）

【答案】⑴10海里

⑵有危險

⑶沒有危險

【分析】（1）過C作co垂直AB,通過證明NACB=/C4B=30。，即可求出CB的長；

（2）求出點C到A3的距離是否大于9,如果大于9則無觸礁危險，反之則有；

（3）過點C作CEL族，首先求出/。8石=60。+15。=75。，然后根據(jù)三角函數(shù)求出CE的長，進而比較求

解即可.

【詳解】（1）過C作CO垂直AB,

CO為漁船向東航行到C道最短距離

團在A處測得島C在北偏東的60°

0ZC4B=3O°

又配處測得島C在北偏東30°,

團NCBO=60。，/ABC=120°,

SZACB=ZCAB=30°,

ElA5=3C=10xl=10（海里）；

（2）0CO±AB,NCBO=60°

0ZBCO=30°

S\BO=-BC^5（海里）

2

0CO=y/BC2-BO2=5A/3?8.66（海里）

08.66<9

團如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險；

（3）如圖所示，過點C作CELB/"

根據(jù)題意可得，ZCBE=60°+15°=75°

[?]sinZ.CBE=sin75°=,BP0.966=

BC10

解得C石=9.66（海里）

[219.66>9

回沒有危險.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角度得到鉆=3C,再通過三角函數(shù)計算出相

關(guān)距離.

題型06坡度坡比問題

1.（2223下?廣州?一模）如圖是一個山坡，已知從A處沿山坡前進160米到達8處，垂直高度同時升高80

A.30°B.1:2C.1：A/3D.3:1

【答案】C

【分析】直接利用勾股定理得出AC的長，進而利用坡度的定義得出答案.

【詳解】解：由題意可得：AC=A/1602-802=80-73（米），

則山坡的坡度為：BC:AC=80:80^=1:43,

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理、解直角三角形的應用，正確掌握坡度的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（2223下?太原?一模）我校數(shù)學興趣小組的同學要測量建筑物8的高度，如圖，建筑物。前有一段坡

度為，=1：2的斜坡跳，用測角儀測得建筑物屋頂C的仰角為37。，接著小明又向下走了4指米，剛好到達坡

底E處，這時測到建筑物屋頂C的仰角為45。，A、B、C、D、E、b在同一平面內(nèi)，若測角儀的高度

AB=EF=1.5米，則建筑物8的高度約為（）米.（精確至U0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin37。g0.60,cos37。，0.80,

tan37°?0.75）

【答案】D

【分析】設(shè)CD=x米，延長AB交。E于"，作FNLCD于N,于求出3"=4米，EH=8

米，由矩形的性質(zhì)得出AM=D",AH=DM,FN=DE,EF=DN=L5米,在Rt^CFN中，求出

CN=FN=DE=(x-l?米,AM=D”=(8+x—1.5)米，GW=(x—5.5)米，在Rt一ACN中，由

AM=—CM盥CM，得出方程，解方程即可.

tan37°0.75

【詳解】解：設(shè)CD=x米，延長AB交OE于作RV_LCD于N,4m，8于時，

.?■=4米，即=8米，

四邊形是矩形，四邊形EEDN是矩形，

:.AM=DH,AH=DM,FN=DE,FE=DN=L8米,

在Rt/XCWV中，：NCFN=45。，

：.CN=FN=DE=（x—L5）米,

AM=￡）"=（8+X-1.5）米，CM=（尤-5.5）米，

在RtACM中，.NC4M=37。，

tan37°0.75

x—5.5

8+x—1.5x

0.75

.?.龍馬1.4米，

.?.CDB41.5米,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，解題的關(guān)鍵是學會添加常用的輔助線，構(gòu)造直角三角形解

決問題.

3.（2L22下?江門?模擬預測）如圖，在距某居民樓A3樓底B點左側(cè)水平距離60m的C點處有一個山坡，

山坡8的坡度（或坡比）?=1：0.75,山坡坡底C點到坡頂。點的距離CD=45m,在坡頂。點處測得居民

樓樓頂A點的仰角為28。，居民樓A3與山坡。的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓AB的高度約為（參

考數(shù)據(jù)：sin28°~0.47,cos28°?0.88,tan280~0.53）

【答案】82.1m

【分析】構(gòu)造直角三角形，利用坡比的意義和直角三角形的邊角關(guān)系，分別計算出。E、ECBE、DF、AF,

進而求出AB.

【詳解】如圖，由題意得，ZADF=28°,CD=45,BC=6。,

在RtADEC中，

回山坡8的坡度i=1:0.75,

DE14

°EC0.753'

設(shè)。石=4劉則EC=3x,由勾股定理可得CD=5x,

又CD=45,即5尤=45,

回了=9,

團EC=3x=27,DE—4x=36=FB,

回助=5。+石。=60+27=87=。尸，

在Rt_AD尸中，

AF=tan28°xDF?0.53x87?46.1Im,

團AB=AF+F6=46.n+36P82.1m,

故答案為：82.1m.

【點睛】本題考查解直角三角形、坡比；添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.

題型07解直角三角形的其他應用

L（2022春?云南紅河?八年級統(tǒng)考期末）我國明代有一位杰出的數(shù)學家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里

有一道"蕩秋千"的問題："平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，

終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？"詞寫得很優(yōu)美，其大意是：當秋千靜止在地面上時，秋

千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步（每一步為五尺），秋千的踏板與人一樣高，這個人的

身高為五尺，當然這時秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問這個秋千的繩索有多長？（）

A.14尺B.14.5尺C.15尺D.無法計算

【答案】B

【分析】設(shè)這個秋千的繩索AC=x,得到f=（x-4）2+102,求出尤的值即可.

【詳解】解：設(shè)這個秋千的繩索AC=x,

貝I]AD=AC=x,

BE=FD=5,CE=1,

AB=AC-^-CE—BE=x^-l—5=x—4,

AD2=AB2+BD2,

：.X2=（X-4）2+102,

:.x=14.5,

這個秋千的繩索有14.5尺.

故選B.

【點睛】本題考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?山東東營?九年級東營市勝利第一初級中學?？计谥校橥瓿?綜合與實踐”作業(yè)任務，小明和小

華利用周末一起去郊外放風箏，小明負責放風箏，小華負責測量相關(guān)數(shù)據(jù)，如圖，當小明把風箏放飛到空

中到點尸處時，小華分別在地面測得NPAB=45。，NP3A=30。，45=200米,則風箏的高度PC的長為（）

米（點C在點尸的正下方，A、8、C在地面的同一條直線上）（結(jié)果保留根號）

A.IOOA/2B.100A/2-100C.100石D.100百-100

【答案】D

pc

【分析】設(shè)尸c的長為X米，根據(jù)PCLAB,ZPAB=45°,々班=30。，得出AC=---------=x,

tan45°

pc1-

BC=——=V3x,最后根據(jù)AB=200米，列出求解即可?

tan30°

【詳解】解:設(shè)PC的長為尤米，

SPC1AB,ZPAB=45°,/尸64=30°,

PCPCI-

ElAC=---------=無，BC=------=岳，

tan45°tan30°

團48=200米，

SAC+BC=x+^/3x=200,

用軍得：x=1005/3-100,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角度的三角函數(shù)值，以及

解直角三角形的方法和步驟.

3.（2022春?黑龍江綏化?九年級綏化市第八中學校校聯(lián)考階段練習）松花江斜拉橋是哈爾濱繞城高速公路西

段（瓦盆窯一一秦家）項目的重要組成部分，是我省修建的第一座公路斜拉橋，也是哈爾濱市乃至黑龍江省

的標志性工程.主橋采用雙塔雙索面鋼一混凝土結(jié)合梁斜拉橋，塔墩固結(jié)一體、塔與主梁縱向活動支承，屬

塔墩固結(jié)、塔梁支承式半懸浮體系.大橋索塔為門式塔，橋面以上設(shè)一道上橫梁.全長1268.86m.圖2是

從圖1引申出的平面圖.假設(shè)你站在橋上測得拉索A3與水平橋面的夾角是30。，拉索8與水平橋面的夾

角是60。，兩拉索頂端的距離為2米，兩拉索底端距離為128米，請求出索塔高3〃的長.（結(jié)果精

確到0.1米，若=1.732）

圖1

【答案】109.8米

【分析】設(shè)斯的長為x米，運用三角函數(shù)表示出的長，列出等式算出尤=64-6，即可解答;

【詳解】解：設(shè)的長為x米,

在府CD“中，NCDH=60°,

CH=DH-tanZCDH=x-tan60°=A/3X（米），

BH=CH+BC=（2+氐）米,

在中，NA=30。米,

，歷.BH.2+氐

=（26+3X）米,

tanAtan30°

AH=AD+DH,

2^/3^+3x=x+128，

解得：x=64-\/3，