2025廣東《高考總復(fù)習(xí)核按鈕 數(shù)學(xué)》課件 第九章 概率與統(tǒng)計

第九章

概率與統(tǒng)計9.1

隨機抽樣與用樣本估計總體課程標準必備知識自主評價核心考點課外閱讀課時作業(yè)

1.知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑，包括：統(tǒng)計報表和年鑒、社會調(diào)查、試驗設(shè)計、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等.

2.了解總體、樣本、樣本量的概念，了解數(shù)據(jù)的隨機性.

3.通過實例，了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡單隨機抽樣方法：抽簽法和隨機數(shù)法.會計算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總體的關(guān)系.

4.通過實例，了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍，了解分層隨機抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法.結(jié)合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差.

5.在簡單的實際情境中，能根據(jù)實際問題的特點，設(shè)計恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題.

6.能根據(jù)實際問題的特點，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化描述，體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性.

7.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.

8.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（標準差、方差、極差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.

9.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的取值規(guī)律.

10.結(jié)合實例，能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.【教材梳理】

1.簡單隨機抽樣

（1）特點：逐個抽取，且每個個體被抽取的概率______.

（2）常用方法：________和__________.

（3）適用范圍：個體性質(zhì)相似，無明顯層次，且個體數(shù)量較少，尤其是樣本容量較少.相等抽簽法隨機數(shù)法

2.分層隨機抽樣

（1）定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行______________，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為______________，每一個子總體稱為層.在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為__________.

（2）適用范圍：總體可以分層，且層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個體差異較小.

（3）平均數(shù)的計算：各層抽樣比乘____________的和.簡單隨機抽樣分層隨機抽樣比例分配各層平均數(shù)

求極差決定組距與組數(shù)列頻率分布表面積面積的總和小于或等于

平均數(shù)四等份四分位數(shù)第一四分位數(shù)上四分位數(shù)

最多平均值

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

越大越小常用結(jié)論

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.（1）簡單隨機抽樣每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關(guān).

(

)

×（2）在分層隨機抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).

(

)

×

×（4）一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個，中位數(shù)也具有相同的結(jié)論.

(

)

×（5）在頻率分布直方圖中,最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù).

(

)

√

√√√

3.（教材題改編）某班級有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)測試平均成績是92分，如果30名男生的平均成績?yōu)?0分，那么20名女生的平均成績?yōu)開___分.95

4.（教材題改編）一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為_____.14.5

考點一

隨機抽樣例1

【多選題】某學(xué)生社團有男生32名，女生24名，從中隨機抽取一個容量為7的樣本，某次抽樣結(jié)果為：抽到3名男生和4名女生，則下列說法正確的是

(

)

A.這次抽樣可能采用的是抽簽法B.這次抽樣不可能是按性別比例分配的分層隨機抽樣C.這次抽樣中，每個男生被抽到的概率一定小于每個女生被抽到的概率D.這次抽樣中，每個男生被抽到的概率不可能等于每個女生被抽到的概率√√

變式1

為響應(yīng)“強身健體，智慧學(xué)習(xí)”倡議，復(fù)興中學(xué)開展了一次學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測活動.已知高三（2）班有50名學(xué)生，其中男生28人，女生22人，按性別比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為25的樣本.（1）女生應(yīng)抽取____人；11

54.5考點二

用樣本估計總體命題角度1

總體取值規(guī)律的估計

√√√

【點撥】①在頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積就是相應(yīng)的頻率或概率，所有小矩形的面積之和為1.②頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距，并不是頻率，不要和條形圖混淆.

7

（2）（2021年全國甲卷）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如右頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是(

)

√

命題角度2

總體百分位數(shù)的估計例3（1）

“雙減”政策實施后，學(xué)生的課外閱讀增多.某班50名學(xué)生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計如下：借書數(shù)量/本5678910頻數(shù)/人58131194則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是

(

)

A.8

B.8.5

C.9

D.10

√（2）某大型聯(lián)考有16

000名學(xué)生參加，已知所有學(xué)生成績的第60百分位數(shù)是515分，則成績不低于515分的人數(shù)至少有

(

)

A.6

000人

B.6

240人

C.6

300人

D.6

400人

√

變式3（1）

某學(xué)習(xí)小組共有20人，在一次數(shù)學(xué)測試中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，則這個學(xué)習(xí)小組成員該次數(shù)學(xué)測試成績的第70百分位數(shù)是_____.92.5

A.12

B.11

C.10

D.9

√命題角度3

總體集中趨勢的估計例4

【多選題】某校舉辦了迎新年知識競賽，隨機選取了100人的成績整理后畫出的頻率分布直方圖如下，則根據(jù)頻率分布直方圖，下列說法正確的是

(

)

A.中位數(shù)為70

B.眾數(shù)為75C.平均數(shù)為68.5

D.平均數(shù)為70√√√

√

命題角度4

總體離散程度的估計

6050406070807030509040605080805060208070（1）分別求這兩個品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；

（3）果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計算結(jié)果,分析選種哪個品種更合適?并說明理由.

12345678910545533551522575544541568596548536527543530560533522550576536

課外閱讀·社會民生中的數(shù)據(jù)分析

生活生產(chǎn)中處處有數(shù)學(xué)，高考強化數(shù)學(xué)應(yīng)用，關(guān)注社會民生，統(tǒng)計中體現(xiàn)得更為明顯.統(tǒng)計圖表中除了莖葉圖、散點圖、頻率分布直方圖、折線圖外，扇形統(tǒng)計圖、雷達圖、等高條形圖、柱形圖等也是近年高考熱點.難度不高，多與實際生活結(jié)合緊密，考查考生閱讀理解能力及數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)，考查應(yīng)用意識.一般只要仔細讀題、分析，即可解決.

A.從2018年開始，2021年的進出口總額增長率最大B.從2018年開始，進出口總額逐年增大C.從2018年開始，進口總額逐年增大D.從2018年開始，2020年的進出口總額增長率最小√解：顯然2021年相對于2020年進出口總額增加特別明顯，故2021年的增長率最大，A正確.統(tǒng)計圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故B正確.2020年相對于2019年的進口總額減少，故C錯誤.2021年的進出口總額增長率最大，而2020年相對于2019年的增量比2019年相對于2018年的增量小，且計算增長率時前者的分母更大，故2020年的增長率一定最小，D正確.故選C.2.【多選題】人均消費支出是社會需求的主體，是拉動經(jīng)濟增長的直接因素，是體現(xiàn)居民生活水平和質(zhì)量的重要指標.2022年一季度和2023年一季度我國居民人均消費支出分別為6

393元和6

738元，圖1、圖2分別為2022年一季度

和2023年一季度居民人均消費支出構(gòu)成分布圖，則

(

)

√√

【鞏固強化】1.我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人、3歲以下嬰幼兒照護等七項專項附加扣除.某單位老年、中年、青年員工分別有80人、100人、120人，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取30人調(diào)查專項附加扣除的享受情況，則應(yīng)該從青年員工中抽取的人數(shù)為(

)

A.8

B.10

C.12

D.18

√

√

√√

√√

5.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時辰養(yǎng)生法認為子時的睡眠對一天至關(guān)重要（子時是指23點到次日凌晨1點）.相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時間越晚，沉睡時間越少，睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)統(tǒng)計如下圖，則下列說法正確的是

(

)

√

6.有5人進行定點投籃游戲，每人投籃12次.這5人投中的次數(shù)形成一組數(shù)據(jù)，中位數(shù)為10，唯一眾數(shù)為11，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是

(

)

A.9

B.10

C.10.5

D.11

√

5

8.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖.

（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.

【綜合運用】9.【多選題】2022年北京某高校畢業(yè)生中，有本科生2

971人，碩士生2

527人，博士生1

467人，畢業(yè)生總體充分實現(xiàn)就業(yè)，就業(yè)地域分布更趨均勻合理，實現(xiàn)畢業(yè)生就業(yè)率保持高位和就業(yè)質(zhì)量穩(wěn)步提升.如圖，下列說法正確的是

(

)

√√√

10.如圖所示的三個統(tǒng)計圖分別是隨機抽查甲、乙、丙三地的若干個家庭教育年投入（萬元），記A表示眾數(shù)，B表示中位數(shù)，C表示平均數(shù)，則根據(jù)圖表提供的信息，下面的結(jié)論正確的是(

)

√解：由甲地的條形圖，可知家庭教育年投入的中位數(shù)為10萬元，眾數(shù)為10萬元，平均數(shù)為10.32萬元.由乙地的折線圖，可知家庭教育年投入的中位數(shù)為10萬元，眾數(shù)為10萬元，平均數(shù)為9.7萬元.由丙地的扇形圖，可知家庭教育年投入的中位數(shù)為12萬元，眾數(shù)為12萬元，平均數(shù)為12.4萬元.結(jié)合選項，可知C正確.故選C.

946

經(jīng)濟作物質(zhì)量指標區(qū)間甲品種/份26244820乙品種/份28384210

（2）該經(jīng)濟作物按其質(zhì)量指標值劃分等級如下表：質(zhì)量指標值作物等級二級一級特級102050現(xiàn)利用樣本估計總體，試從樣本利潤平均數(shù)的角度分析該村村民種植哪個品種的經(jīng)濟作物獲利更多.

【拓廣探索】

A.50

B.60

C.70

D.80

√第九章

概率與統(tǒng)計9.2

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析課程標準必備知識自主評價核心考點課時作業(yè)

【教材梳理】

相關(guān)關(guān)系散點圖

③正相關(guān)與負相關(guān)：如果從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時,另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)______的趨勢,我們就稱這兩個變量正相關(guān);如果當(dāng)一個變量的值增加時,另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)______的趨勢,則稱這兩個變量負相關(guān).

④線性相關(guān)：一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān)，而且散點落在__________附近，我們稱這兩個變量線性相關(guān).如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量____________或__________.增加減少一條直線非線性相關(guān)曲線相關(guān)

樣本相關(guān)系數(shù)

越強越弱

因變量響應(yīng)變量自變量解釋變量截距參數(shù)斜率參數(shù)隨機誤差

經(jīng)驗回歸方程最小二乘法最小二乘估計

觀測值預(yù)測值

帶狀區(qū)域越窄殘差平方和越小越好越差

3.列聯(lián)表與獨立性檢驗

（1）分類變量與列聯(lián)表.

①分類變量：為了表述的方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機變量稱為__________.分類變量

合計____________合計____________

越大

零假設(shè)

獨立性檢驗

④臨界值表.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8281.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.（1）“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系.

(

)

√（2）經(jīng)驗回歸直線一定過成對樣本數(shù)據(jù)的中心點，且中心相同的樣本點的經(jīng)驗回歸方程一定相同.

(

)

×（3）兩個變量的樣本相關(guān)系數(shù)越小,它們的相關(guān)性越弱.

(

)

×

×

√

1401501701801952324262828

√

√

合計2173222547合計46120

5274

考點一

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性

23452.534.5

√√√

√

12345678910總和0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.60.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

①估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量.

考點二

一元線性回歸模型及其應(yīng)用命題角度1

經(jīng)驗回歸方程及其應(yīng)用

12345672.93.33.64.44.85.25.9

圖1圖2

752.2582.54.512028.67

（1）根據(jù)圖2，比較模型A，B的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由.

解：（1）應(yīng)選擇模型B.理由如下：由于模型B的殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型A的帶狀區(qū)域?qū)挾日?，所以模型B的擬合精度更高，經(jīng)驗回歸方程的預(yù)報精度相應(yīng)越高，故選模型B比較合適.

命題角度2

決定系數(shù)與殘差

345670.570.530.440.360.300.020

√√√

2.22.64.05.35.93.85.47.011.612.2

√√

考點三

獨立性檢驗

性別打籃球合計喜愛不喜愛男生6女生10合計48

0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

性別打籃球合計喜愛不喜愛男生22628女生101020合計321648

變式4

（2022年全國甲卷）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：公司是否準點準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020B21030（1）根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；

0.1000.0500.0102.7063.8416.635

公司是否準點合計準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020260B21030240合計45050500

【鞏固強化】1.下列說法中錯誤的是(

)

√

√

√

√

√6.【多選題】為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，隨機抽取了300名學(xué)生，對他們是否經(jīng)常鍛煉的情況進行了調(diào)查，調(diào)查發(fā)現(xiàn)經(jīng)常鍛煉人數(shù)是不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的2倍，繪制其等高堆積條形圖，如圖所示，則(

)

√√√

對于C，由題意，結(jié)合男生、女生中經(jīng)常鍛煉和不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)，可得如下列聯(lián)表.性別鍛煉的經(jīng)常性合計經(jīng)常不經(jīng)常男10060160女10040140合計200100300

21232527151819200.8

8.（2021年全國甲卷）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：機床等級合計一級品二級品甲15050200乙12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?

0.050.010.0013.8416.63510.828

【綜合運用】9.建筑地基沉降預(yù)測對于保證施工安全、實現(xiàn)信息化監(jiān)控有著重要意義.某工程師建立了四個函數(shù)模型來模擬建筑地基沉降隨時間的變化趨勢，并用決定系數(shù)、誤差平方和、均方根值三個指標來衡量擬合效果.決定系數(shù)越接近1表明模型的擬合效果越好，誤差平方和越小表明誤差越小，均方根值越小越好.依此判斷下面指標對應(yīng)的模型擬合效果最好的是(

)

A.

B.

C.

D.

√解：決定系數(shù)越接近于1，擬合效果越好，比較決定系數(shù)，知可選C，D.由誤差平方和及均方根值都越小，擬合效果越好，知C的擬合效果最好.故選C.

√√

二、四

年份201920202021202220231234523.137.062.1111.6150.8

【拓廣探索】

A.10人

B.11人

C.12人

D.13人√

性別足球合計喜愛不喜愛男性女性合計

第九章

概率與統(tǒng)計9.3

兩個計數(shù)原理、排列與組合課程標準必備知識自主評價核心考點課時作業(yè)

1.通過實例,了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.

2.通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.【教材梳理】

排列排列順序

（2）排列數(shù).定義及表示全排列的概念階乘的概念

組合

（4）組合數(shù).定義及表示組合數(shù)公式乘積式階乘式兩個性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2組合數(shù)

常用結(jié)論

1.解排列組合問題基本策略

（1）相鄰問題捆綁策略,不相鄰問題插空策略.

（2）多排問題單排策略,定位問題優(yōu)先策略.

（3）定序問題消序策略,有序分配分步策略.

（4）多元問題分類策略,交叉問題集合策略.

（5）至少（至多）問題間接策略,選排問題先取后排.

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.（1）在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.

(

)

√（2）在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.

(

)

×（3）所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.

(

)

×

×

×2.某校在藝術(shù)節(jié)期間需要舉辦一場文娛演出晚會，現(xiàn)要從3名教師、4名男學(xué)生和5名女學(xué)生中選出若干人來主持這場晚會（任一人都可主持）.若需要教師、學(xué)生各一人共同主持，則不同的選法有(

)

A.12種

B.15種

C.27種

D.30種

√

√√√4.（教材題改編）由數(shù)字0,1,2,3,4,5,6可以組成______個沒有重復(fù)數(shù)字，并且比5

000000大的正整數(shù).1440

考點一

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

13

ABCDEFGHA.288

B.336

C.576

D.1

680

√

【點撥】解答計數(shù)應(yīng)用問題的總體思路是先分類再分步,注意以下計數(shù)方法的應(yīng)用：①枚舉法,將各種情況一一列舉出來.②轉(zhuǎn)換法,轉(zhuǎn)換問題的角度或轉(zhuǎn)換成其他已知問題.③間接法,先計算其反面情形，再用總數(shù)減去即得.變式1（1）

【多選題】

現(xiàn)有4個興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說法正確的是(

)

A.選1人為負責(zé)人的選法有30種B.每組選1名組長的選法有3

024種C.若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法有335種D.若另有3名學(xué)生加入這4個小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種√√√

（2）某學(xué)校有東、南、西、北四個校門.翻新改造期間，學(xué)校對進入四個校門做出如下規(guī)定：學(xué)生只能從東門或西門進入校園，教師只能從南門或北門進入校園.現(xiàn)有3名教師和4名學(xué)生要進入校園（不分先后順序），請問進入校園的方式共有_____種（用數(shù)字作答）.128

考點二

排列、組合的基本問題例2

【多選題】某學(xué)院學(xué)生會的3名男生和2名女生在社區(qū)參加志愿者活動，結(jié)束后這5名同學(xué)排成一排合影留念，則下列說法正確的是(

)

A.若讓其中的男生甲排在兩端，則這5名同學(xué)共有24種不同的排法B.若要求其中的2名女生相鄰，則這5名同學(xué)共有48種不同的排法C.若要求其中的2名女生不相鄰，則這5名同學(xué)共有72種不同的排法D.若要求其中的1名男生排在中間，則這5名同學(xué)共有72種不同的排法√√√

【點撥】有約束條件的排列問題一般有以下幾種基本類型與方法：①特殊元素優(yōu)先考慮；②對于相鄰問題采用“捆綁法”，整體參與排序后，再考慮“捆綁”部分的排序；③對于不相鄰問題，采用“插空”法，先排其他元素，再將不相鄰元素插入空檔.

組合問題的兩種基本題型及解法.題型解法“含有”或“不含有”某些元素的組合“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取“至少”或“至多”含有幾個元素的組合解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復(fù)與漏解.用直接法分類復(fù)雜時，通?？紤]逆向思維，用間接法處理變式2

【多選題】為響應(yīng)政府部門號召，某紅十字會安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，B，C三地參加健康教育工作，則下列說法正確的是(

)

A.不同的安排方法共有64種B.若恰有一地?zé)o人去，則不同的安排方法共有42種C.若甲必須去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有12種D.若甲、乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有14種√√√

考點三

排列、組合的綜合問題命題角度1

定序問題

A.2

280個

B.2

120個

C.1

440個

D.720個√

變式3

某班10名同學(xué)一起參加數(shù)學(xué)競賽，賽后老師為這10名同學(xué)拍合影留念，前排站4人后排站6人，后來老師決定從后排6人中抽出兩名同學(xué)站到前排，其他同學(xué)的相對順序不變，則調(diào)整方法種數(shù)為(

)

A.150

B.300

C.450

D.225

√命題角度2

分組分配問題例4

（2021年全國乙卷）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有(

)

A.60種

B.120種

C.240種

D.480種

√

變式4

【多選題】2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”有著可愛的外表和豐富的寓意，現(xiàn)有5個不同造型的“冰墩墩”，則下列說法正確的是(

)

A.把這5個“冰墩墩”裝入3個不同的盒內(nèi)，共有129種不同的裝法B.從這5個“冰墩墩”中選出3個分別送給3位志愿者，每人1個，共有60種選法C.從這5個“冰墩墩”中隨機取出3個，共有10種不同的取法D.把這5個“冰墩墩”裝入3個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個，共有150種不同的裝法√√√

命題角度3

有條件限制的選派問題例5

某校從8名青年教師中選派4名分別作為四個學(xué)生社團的指導(dǎo)教師，每個社團各派去1名教師，其中教師甲和乙不能同時參加，甲和丙只能都參加或都不參加，則不同的選派方案有

(

)

A.360種

B.480種

C.600種

D.720種

√

【點撥】常見的“在”與“不在”有限制條件的排列問題就是典型的特殊元素或特殊位置問題，解題原則是誰“特殊”誰優(yōu)先.一是以元素為主解題，二是以位置為主解題，三是用間接法解題.變式5

某班上午有五節(jié)課，分別安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)各一節(jié)課.要求語文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同的排課方法有(

)

A.16種

B.24種

C.8種

D.12種

√【鞏固強化】

A.9

B.8

C.7

D.6

√2.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為(

)

A.6

B.4

C.8

D.10解:列樹狀圖如下.

，共4種.故選B.√3.（2023年新課標Ⅱ卷）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有(

)

√4.（2020年新課標Ⅰ卷）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有

(

)

A.120種

B.90種

C.60種

D.30種

√5.某校選定甲、乙、丙、丁、戊共5名教師去3個邊遠地區(qū)支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必須同地，則不同的選派方案共有(

)

A.27種

B.36種

C.33種

D.30種

√6.【多選題】從1，2，3，4，5，6中任取三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)，則在所組成的數(shù)中(

)

A.偶數(shù)有60個

B.比300大的奇數(shù)有48個C.個位和百位數(shù)字之和為7的數(shù)有24個

D.能被3整除的數(shù)有48個√√√

7.五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數(shù)為

____；五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍（冠軍不并列），則獲得冠軍的可能性有_____種.

1024625

8.（2023年新課標Ⅰ卷）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有____種（用數(shù)字作答）.64

【綜合運用】9.（2023年全國甲卷）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有

(

)

A.120種

B.60種

C.30種

D.20種

√

A.3

B.4

C.6

D.8

√

A.120種

B.720種

C.840種

D.960種

√12.【多選題】某校舉辦詩歌朗誦比賽.該校高三年級準備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加，要求甲、乙、丙這3名同學(xué)中至少有1人參加，且當(dāng)這3名同學(xué)都參加時，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，則下列結(jié)論正確的是(

)

A.若甲、乙、丙三名同學(xué)全參加，則不同的朗誦排列順序有36種B.若甲、乙、丙三名同學(xué)恰有一人參加，則不同的朗誦排列順序有288種C.若甲、乙、丙三名同學(xué)恰有二人參加，則不同的朗誦排列順序有432種D.選派的4名學(xué)生不同的朗誦排列順序有768種√√√

【拓廣探索】13.如圖，某小區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道.（1）圖中有_____個矩形；210

210

第九章

概率與統(tǒng)計9.4

二項式定理課程標準必備知識自主評價核心考點課時作業(yè)1.能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理.2.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.【教材梳理】

1.二項式定理概念二項式系數(shù)通項二項展開式

常用結(jié)論楊輝三角

楊輝三角是二項式系數(shù)組成的三角形數(shù)表（如下），是我國數(shù)學(xué)史上一個偉大成就，教材設(shè)專題“探究”，這里列出一些最基本的結(jié)論.

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.

×（2）二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項.

(

)

×

√

√（5）楊輝三角各行中除1以外的每個數(shù)字，等于其“肩上”兩數(shù)之和.

(

)

√

√

A.7

B.6

C.5

D.4

√

20

考點一

通項公式的應(yīng)用

A.30

B.33

C.34

D.35

√

A.5

B.10

C.15

D.20

√

√考點二

二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項的和命題角度1

二項式系數(shù)和與系數(shù)和

（1）二項式系數(shù)的和；（2）各項系數(shù)的和；（3）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；（4）奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和；

√

√√命題角度2

二項式系數(shù)的最值問題

A.5

B.6

C.7

D.8

√

A.第6項

B.第5項

C.第5，6項

D.第4，5項

√考點三

二項式定理的綜合應(yīng)用

A.0

B.1

C.2

D.3

√

A.0.940

B.0.941

C.0.942

D.0.943

√【鞏固強化】

√

√

A.8

B.7

C.6

D.5

√

√

√

A.31

B.32

C.15

D.16

√

√√

510

【綜合運用】

√

A.1

B.14

C.12

D.25

√√

√

【拓廣探索】

√√√

第九章

概率與統(tǒng)計9.5

隨機事件與概率課程標準必備知識自主評價核心考點課時作業(yè)

1.結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關(guān)系.了解隨機事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算.

2.結(jié)合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.

3.通過實例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機事件概率的運算法則.

4.結(jié)合具體事例，會用頻率估計概率.【教材梳理】

1.有限樣本空間與隨機事件概念定義隨機試驗樣本點樣本空間有限樣本空間試驗基本結(jié)果概念定義隨機事件子集事件基本事件必然事件

不可能事件續(xù)表

2.事件的關(guān)系和運算概念含義符號表示包含相等并事件（和事件）交事件（積事件）互斥（互不相容）互為對立

概率古典概型有限個可能性相等

穩(wěn)定

偽隨機數(shù)1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.（1）事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.

(

)

×（2）兩個事件的和事件發(fā)生是指這兩個事件至少有一個發(fā)生.

(

)

√

×

×

×2.（教材題改編）一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(

)

A.至少有一次中靶

B.兩次都中靶

C.只有一次中靶

D.兩次都不中靶解：射擊兩次中“至多有一次中靶”，即“有一次中靶”或“兩次都不中靶”，與該事件不能同時發(fā)生的是“兩次都中靶”.故選B.√3.【多選題】關(guān)于頻率和概率，下列說法正確的是(

)

√√

4.（2022年全國乙卷）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為___.

考點一

互斥、對立事件的判斷

√√

A.是互斥事件，不是對立事件

B.是對立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是對立事件

D.既不是互斥事件，也不是對立事件解：事件A與事件B不能同時發(fā)生，是互斥事件，他還可以選擇化學(xué)和政治，不是對立事件.故選A.√（2）【多選題】下列結(jié)論正確的是(

)

√√√

考點二

概率的基本性質(zhì)例2

某醫(yī)院要派醫(yī)生下鄉(xiāng)義診，派出醫(yī)生的人數(shù)及其概率如下表所示.人數(shù)012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04（1）求派出醫(yī)生至多2人的概率；（2）求派出醫(yī)生至少2人的概率.

【點撥】求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法.

①直接法.

②間接法（正難則反，特別是“至多”“至少”型問題，用間接法求解較簡單）.

A.0.8

B.0.7

C.0.3

D.0.2

√

√√√考點三

古典概型

√√√

變式3（1）

（2023年全國乙卷）某學(xué)校舉辦作文比賽,共6個主題,每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準備作文,則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為

(

)

√

√（3）（2022年新課標Ⅰ卷）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為(

)

√【鞏固強化】

A.0.5

B.0.1

C.0.7

D.0.8

√2.某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表.投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518

√3.（2023年全國甲卷）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為(

)

√4.（2022年全國甲卷）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為(

)

√5.有5個形狀大小相同的球，其中3個紅球、2個藍球，從中一次性隨機取2個球，則下列說法正確的是(

)

√

6.【多選題】將A，B，C，D這4張卡片分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得一張卡片，則

(

)

√√√

8.某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：賠付金額/元01

0002

0003

0004

000車輛數(shù)/輛500130100150120（1）若每輛車的投保金額均為2

800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；

【綜合運用】

√10.（2022年全國甲卷）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為___.

11.現(xiàn)有小趙、小錢、小孫、小李、小劉5人去北京、上海、廣州三地參加研討會，每人只能去一個城市，每個城市至少去一人，則小趙不去北京的概率為__.

12.某盒中裝有產(chǎn)品10個，其中有7個正品，3個次品.（1）從中不放回地依次抽取3個產(chǎn)品，求取到的次品數(shù)比正品數(shù)多的概率；

0123

【拓廣探索】

√第九章

概率與統(tǒng)計9.6

事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式課程標準必備知識自主評價核心考點課時作業(yè)

1.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義.結(jié)合古典概型，利用獨立性計算概率.

2.結(jié)合古典概型，了解條件概率，能計算簡單隨機事件的條件概率.

3.結(jié)合古典概型，了解條件概率與獨立性的關(guān)系.

4.結(jié)合古典概型，會利用乘法公式和全概率公式計算概率.【教材梳理】

條件概率

常用結(jié)論

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.

×

√

√

√

√

√

A.0.25

B.0.15

C.0.1

D.0.03

√4.（教材題改編）智能化的社區(qū)食堂悄然出現(xiàn)，某社區(qū)有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天隨機地選擇一食堂用餐，如果第一天去食堂A，那么第二天去食堂A的概率為0.6；如果第一天去食堂B，那么第二天去食堂A的概率為0.5.則居民甲第二天去食堂A用餐的概率為_____.0.55

考點一

相互獨立事件例1（1）

（2021年新課標Ⅰ卷）有6個相同的球,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次,每次取1個球,甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則(

)

A.甲與丙相互獨立

B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立

D.丙與丁相互獨立√

①甲、乙、丙三個小組均受到獎勵的概率;②只有甲小組受到獎勵的概率;③受到獎勵的小組數(shù)是2的概率.

【點撥】判斷事件相互獨立，一般用定義判斷.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的主要方法：①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；②正面計算較繁（如求用“至少”表達的事件的概率）或難以入手時，可從其對立事件入手計算.

√√√

①若甲先發(fā)球，求兩人又打了2個球后該局比賽結(jié)束的概率；②若乙先發(fā)球，求兩人又打了4個球后該局比賽結(jié)束，且甲獲勝的概率.

考點二

條件概率

√

A.0.8

B.0.6

C.0.5

D.0.4

√

√√√

考點三

全概率公式的應(yīng)用

A.0.78

B.0.8

C.0.82

D.0.84

√

√

變式3（1）

在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知當(dāng)發(fā)送信號0時，被接收為0和1的概率分別為0.93和0.07；當(dāng)發(fā)送信號1時，被接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的，則接收的信號為1的概率為(

)

A.0.48

B.0.49

C.0.52

D.0.51

√

√√√

【鞏固強化】

A.0.28

B.0.12

C.0.42

D.0.16

√

√

A.0.95

B.0.45

C.0.55

D.0.05

√

√

√

√√√

（1）求任取一個零件是第1臺車床生產(chǎn)出來的次品的概率;（2）求任取一個零件是次品的概率;（3）若取到的零件是次品，求零件是第2臺車床加工的概率.

【綜合運用】

√

√11.【多選題】在國家憲法日來臨之際，某中學(xué)開展“學(xué)憲法、講憲法”知識競賽，一共設(shè)置了7道題目，其中5道是選擇題，2道是簡答題.現(xiàn)要求從中不放回地抽取2道題，則

(

)

√√

12.（2022年新課標Ⅱ卷）在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.

【拓廣探索】

√

第九章

概率與統(tǒng)計9.7

離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征課程標準必備知識自主評價核心考點課時作業(yè)

通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念，理解離散型隨機變量分布列及其數(shù)字特征（均值、方差）.【教材梳理】

隨機變量

有限個一一列舉

分布列

01

…………

數(shù)學(xué)期望期望

加權(quán)平均數(shù)平均水平

…………

標準差

集中分散

常用結(jié)論

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.（1）離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.

(

)

√（2）離散型隨機變量的概率分布列中，各個概率之和可以小于1.

(

)

×（3）均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況，因此它們是一回事.

(

)

×（4）隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量.

(

)

√（5）方差或標準差越小，則偏離均值的平均程度越小.

(

)

√2.5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，則下列可作為隨機變量的是(

)

A.取到產(chǎn)品的件數(shù)

B.取到正品的概率

C.取到次品的件數(shù)

D.取到次品的概率解：A，B，D均是定值，C中可能值為0，1，2，是隨機變量.故選C.√

012

√

01

01

考點一

離散型隨機變量分布列的性質(zhì)

A.4

B.6

C.8

D.12

√

【點撥】①利用“總概率之和為1”“每個概率非負”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值.②利用“離散型隨機變量在某范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.③可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.

01

考點二

求離散型隨機變量的分布列例2

某小組共10人，利用假期參加義工活動.已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.

012

【點撥】離散型隨機變量分布列的求解步驟.明取值明確隨機變量的可能取值有哪些，及每一個取值所表示的意義求概率要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率畫表格按規(guī)范要求形式寫出分布列做檢驗利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確變式2

已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；

200300400考點三

離散型隨機變量的數(shù)字特征命題角度1

均值與方差的性質(zhì)

012

√√√

【點撥】①概率與統(tǒng)計中均值與方差的基本性質(zhì)是一致的.②涉及單調(diào)性、最值等性質(zhì)時,一般構(gòu)造函數(shù)進行研究.

012

√√√

命題角度2

均值與方差的應(yīng)用

2022242628300.10.20.30.10.10.2

【點撥】利用均值、方差進行決策的主要策略：①當(dāng)均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷；②若兩隨機變量均值相同，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策.

（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

0201000.20.320.48

【鞏固強化】

A.甲3勝2負

B.甲4勝1負C.甲3勝2平或甲3勝2負

D.甲4勝1負或3勝2平解：甲3勝2平或4勝1負時,均得3分.故選D.√

012

√

024

√

A.2

B.4

C.6

D.7

√

√6.【多選題】設(shè)離散型隨機變量的分布列為012340.40.10.20.2

√√√

8.在一個不透明袋子中放入除顏色外完全相同的2個白色球和2個黑色球，從中任意取出一個球，若是黑色球，則用2個同樣的白色球替換黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，則把該白色球放回袋子中.（1）求第3次恰好取完兩個黑色球的概率；

234

【綜合運用】

01

√

√

（2）若以最后得分的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，運動員應(yīng)選擇哪個參賽方案?說明你的理由.

0306090

030407090120

【拓廣探索】

√

第九章

概率與統(tǒng)計9.8

二項分布與超幾何分布課程標準必備知識自主評價核心考點課時作業(yè)

1.通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題.

2.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題.【教材梳理】

兩個

相互獨立

超幾何分布常用結(jié)論

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.

√

√

√

√

×

√3.（教材題改編）一箱中裝有6個同樣大小的紅球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的黃球，編號為7，8，9，10.現(xiàn)從箱中任取4個球，下列變量服從超幾何分布的是(

)

解：根據(jù)超幾何分布的定義，可知A，B，D均不合要求，C滿足.故選C.√

√考點一

二項分布

例1

現(xiàn)有4個人去參加某項娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去