專題01 集合（解析版）

專題01集合目錄題型一：集合的基本概念 4題型二：集合間的基本關(guān)系 10題型三：集合的運算 16題型四：求參數(shù)的取值范圍 21題型五：集合中的新定義問題 24知識點總結(jié)知識點總結(jié)集合的概念(1)集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于兩種，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR注意N為自然數(shù)集(即非負整數(shù)集)，包含0，而N*和N＋的含義是一樣的，表示正整數(shù)集，不包含0.集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號語言Venn圖集合間的基本關(guān)系相等構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的A?B且B?A?A＝B子集集合A中任意一個元素都是集合B中的元素A?B或B?A真子集集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x?AAB或BA結(jié)論任何一個集合是它本身的子集A?A若A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集A?B，B?C?A?C空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集??A?B(B≠?)集合的基本運算并集交集補集圖形表示符號表示A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?UA＝{x|x∈U，且x?A}性質(zhì)A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?AA∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?BA∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)區(qū)分下列集合的表示含義集合{x|f(x)＝0}{x|f(x)>0}{x|y＝f(x)}{y|y＝f(x)}{(x，y)|y＝f(x)}含義方程f(x)＝0的解集不等式f(x)>0的解集函數(shù)y＝f(x)的定義域函數(shù)y＝f(x)的值域函數(shù)y＝f(x)圖象上的點【常用結(jié)論與知識拓展】(1)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．(2)A?(A∪B)，B?(A∪B)．(3)(A∩B)?A，(A∩B)?B.(4)A∩B＝A∪B?A＝B.(5)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?(?UA)?(?UB)?A∩(?UB)＝?.(6)如圖所示，用集合A，B表示圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四個部分所表示的集合分別是A∩B，A∩(?UB)，B∩(?UA)，?U(A∪B)．(7)用card(A)表示有限集合A中元素的個數(shù)．對任意兩個有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).例題精講例題精講集合的基本概念【要點講解】用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型的集合。集合中元素的互異性常常容易忽略，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中元素是否滿足互異性。分類討論的思想方法常用于解決集合問題（2022?長沙模擬）已知集合，，下列選項中均為的元素的是（1）；（2）；（3）；（4），．A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【解答】解：集合，，則，，，，，故選：．（2022秋?宜陽縣校級月考）集合的元素個數(shù)為A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由題意知，，都是16的正整數(shù)因數(shù)，故的取值有：1，2，4，8，16，故集合，2，4，8，，故共有5個元素．故選：．（2022秋?南昌期末）已知集合，，，則中元素的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：因為集合，，，所以當時，，即集合，所以集合中元素個數(shù)為1個，故選：．（2022?道里區(qū)校級四模）已知集合，則中元素的個數(shù)為A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：由橢圓的性質(zhì)得，又，，所以集合，，，，，，，，，，共有11個元素．故選：．（2022?河北模擬）已知集合，2，，，，，則中所含元素的個數(shù)為A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由，2，，，，，當時，，2，滿足集合．當時，，3；滿足集合．當時，，3；滿足集合．共有6個元素．故選：．（2022秋?西安）集合，2，，，3，，，，，則中的元素個數(shù)為A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：因為集合，2，，，3，，，，，所以的值可能為：、、、、、、、、，所以中元素只有：3，4，5，6，7，共5個，故選：．（2022秋?漢濱區(qū)）已知集合，0，1，，，，，則集合中所有的元素之和為A．0 B．2 C． D．【解答】解：，0，1，，，，，①當時，，時，，；時，，滿足條件；②當時，，，滿足條件；③當時，，，滿足條件；④當時，，，滿足條件．從而得到，，，，集合中所有元素之和為．故選：．（2023?濰坊模擬）已知集合，0，，，，則集合中所有元素之和為A．0 B．1 C． D．【解答】解：根據(jù)條件分別令，0，1，解得，又，所以，，所以集合中所有元素之和是，故選：．（2022秋?武陵區(qū)）若關(guān)于的方程的解集中有且僅有一個元素，則實數(shù)的值組成的集合中的元素個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：若，則，解集中有且僅有一個元素，成立；若，△，則．故實數(shù)的值組成的集合中的元素個數(shù)為2．故選：．（2021?江西模擬）已知集合，只有一個元素，則的取值集合為A． B． C．，， D．，【解答】解：只有一個元素，方程只有一個解，①時滿足題意；②時，△，解得，的取值集合為，．故選：．（2023?延邊州二模）已知集合的元素只有一個，則實數(shù)的值為A． B．0 C．或0 D．無解【解答】解：集合有一個元素，即方程有一解，當時，，符合題意，當時，有一解，則△，解得：，綜上可得：或，故選：．（2022秋?山西）已知集合中元素滿足，且，，則A． B． C． D．【解答】解：，，解得，又，，解得，．故選：．（2022?聊城二模）已知集合，1，，，，則集合中元素個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：集合，1，，，，當，，1，2時，，當，，1，2時，，1，2，當，，1，2時，，2，4，集合，1，2，，集合中元素個數(shù)為4．故選：．（2021?麒麟?yún)^(qū)校級模擬）設(shè)集合，0，1，，，，，，，則集合中元素的個數(shù)為A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：當，時，，當，時，，當，時，，當，時，，當，時，，當，時，，當，時，，當，時，，、故，，0，1，2，，即中元素的個數(shù)為6個．故選：．（2022?全國一模）已知集合，3，4，5，，，，，則中所含元素的個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：由，3，4，5，，，，，當時，，5，6，當時，，6，當時，，所以，，，，，，，所以中所含元素個數(shù)為6個．故選：．（2022?全國一模）已知集合，3，4，5，，，，，則中所含元素的個數(shù)為A．3 B．6 C．8 D．10【解答】解：，，，，3，4，5，，當時，，3，2；當時，，2；當時，；故中所含元素的個數(shù)為6，故選：．（2022秋?川匯區(qū)校級期末）已知集合，2，，，，中所含元素的個數(shù)為A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由，2，，，，，當時，，2，滿足集合，當時，，3；滿足集合，當時，，3；滿足集合，共有6個元素．故選：．集合間的基本關(guān)系【要點講解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解；已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系。常用數(shù)軸、Venn圖來直觀解決這類問題。（2023?咸陽模擬）設(shè)集合，則集合的真子集個數(shù)是A．6 B．7 C．8 D．15【解答】解：因為，所以，2，，所以集合的真子集個數(shù)是．故選：．（2023?黃埔區(qū)校級模擬）設(shè)集合，，則集合的真子集個數(shù)為A．8 B．7 C．4 D．3【解答】解：集合，，，1，，則集合中元素個數(shù)為3個，故集合的真子集個數(shù)為．故選：．（2023?烏魯木齊模擬）已知集合滿足，，2，3，，那么這樣的集合的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，，2，3，，要確定集合，只需確定1和4是否放置在其中，共有4種情況，，，，2，，，3，，，2，3，．故選：．（2023?全國二模）下列集合關(guān)系中錯誤的是A．， B．， C． D．，，【解答】解：對于：集合為點集，含有元素，集合，含有兩個元素，，所以不包含于，，故錯誤；對于，，故正確；對于，故正確；對于：因為，，，所以，，，故正確；故選：．（2022秋?阜南縣校級月考）已知集合，，則下列說法正確的是A． B． C． D．【解答】解：集合，，，故選：．（2022?全國四模）已知，，則集合、之間的關(guān)系為A． B． C． D．【解答】解：，且，則，故選：．（2023?重慶模擬）已知集合，，則下列關(guān)系正確的是A． B． C． D．【解答】解：，，，，．故選：．（2022?河南模擬）已知集合，，則A． B． C． D．【解答】解：，，當時，是奇數(shù)，是整數(shù)，．故選．（2023?延慶區(qū)一模）已知集合，，，0，，且，則等于A．1 B．0 C． D．【解答】解：集合，，，0，，且，，．故選：．（2023?香坊區(qū)校級一模）已知集合，，，若，則實數(shù)的取值集合為A．，， B． C． D．，，0，【解答】解：集合，，，若，則實數(shù)的取值集合為，又集合元素具有互異性，的取值集合為．故選：．（2023?湖南模擬）已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍為A． B．， C．， D．，【解答】解：，，，，，則實數(shù)的取值范圍為，．故選：．（2023?北碚區(qū)校級模擬）已知集合，4，，，，若，則實數(shù)組成的集合為A． B．， C．，0， D．，0，1，【解答】解：集合，4，，，，，則，解得或，滿足題意，，解得或1，當時，符合題意，當時，集合不滿足集合元素的互異性，舍去，故實數(shù)組成的集合為，0，．故選：．（2023?大荔縣一模）設(shè)三元集合，則1．【解答】解：依題意，，則，解得，，此時兩個集合都是，0，，符合題意，故．故答案為：1．（2022秋?新北區(qū)校級月考）已知集合，，，，，，若，則．【解答】解：由題意可知，或，當時，無意義，則，故，0，，，，，，，解得或，當時，，0，，，1，，不符合集合的互異性，故，．故答案為：．（2022?海口模擬）已知集合，0，，，若，則實數(shù)A．2 B．1 C．0 D．【解答】解：對于集合，因為△，所以中有兩個元素，且乘積為，又因為，所以，，所以．即．故選：．（2023?鐵嶺模擬）設(shè)，，若，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：，，，．故選：．（2023?2月份模擬）設(shè)集合，3，，，，，．若，，則A． B． C．1 D．3【解答】解：集合，3，，，，，，，，，解得．故選：．（2022?攀枝花模擬）設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．，【解答】解：或，，若，，則實數(shù)的取值范圍是，．故選：．（2022?朝陽區(qū)校級三模）已知集合，，若，則實數(shù)的取值組成的集合是A． B． C．， D．，0，【解答】解：集合，，集合中至多有一個元素，若集合為空集，即時，顯然滿足條件，故成立，若集合非空集，即，此時，若，則，若，則，故的取值集合為，，．故選：．集合的運算【要點講解】集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成人手是解決集合運算問題的前提。有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決。集合之間的運算要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖。（2023?烏魯木齊三模）設(shè)集合，0，1，，，則的子集個數(shù)為A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：因為，所以，，，則集合的元素個數(shù)為2，因此，的子集個數(shù)為．故選：．（2023?全國卷模擬）已知集合，，則A． B． C．或 D．或【解答】解：解得或，故或，解不等式得，故，所以或．故選：．（2023?天津一模）設(shè)全集，，0，1，，集合，，，1，，則A． B．，， C．， D．，1，【解答】解：因為全集，，0，1，，，1，，則，，又因為集合，，因此，，．故選：．（2023?全國三模）設(shè)集合，則A．， B．， C．， D．，【解答】解：，，，．故選：．（2023?合肥三模）已知集合，集合，則集合的元素個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由，消去得，即，解得或（舍去），所以或，即函數(shù)與有兩個交點，又集合，集合，所以，即集合的元素個數(shù)為2個．故選：．（2023?畢節(jié)市模擬）已知集合，，則如圖中陰影部分表示的集合為A． B．， C．，2， D．【解答】解：依題意，，0，1，2，，而陰影部分表示的集合是，又，則，所以，2，．故選：．（2023?吉林模擬）已知全集，集合，，，則下圖陰影部分所對應(yīng)的集合為A． B． C．或 D．【解答】解：由題意知，，則，，由圖可知陰影部分所對應(yīng)的集合為，．故選：．（2022春?下期末）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為A．， B．， C． D．，【解答】解：，，，．故選：．（2023?商洛二模）設(shè)集合，，，．若，則A．， B．， C．， D．，【解答】解：因為，所以，解得，則的解為或，所以，．故選：．（2023?宜章縣模擬）已知集合，，若，則A． B． C．2 D．6【解答】解：因為集合，，且，則有，所以．故選：．（2023?濟寧二模）已知集合，5，，，，若，則A． B． C．2 D．3【解答】解：因為，所以或，當時，即，則，5，，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當時，或，當時，，5，，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當時，，5，，，滿足題意，所以．故選：．（2013?武昌區(qū)校級模擬）若集合，，且，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，，，，則故選：．（2010?項城市校級模擬）已知：，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【解答】解：（1），（2分）若，則，，解得：（5分）（2）若，則①若為空集，則△則；（8分）②若為單元集，則△解得：，將代入方程得：得：即符合要求；（11分）③若，，則（13分）綜上所述，或．（14分）求參數(shù)的取值范圍【要點講解】根據(jù)集合的運算結(jié)果求參數(shù)時，可先把符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言，然后應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法求解。（2023?郴州模擬）已知集合，，，若，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．【解答】解：，，，，，，的取值范圍是：，．故選：．（2023?山西模擬）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：因為，所以，2，3，4，，即，2，3，4，，因為，所以，又，所以，故實數(shù)的取值范圍是，．故選：．（2023?懷仁市校級四模）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C． D．，【解答】解：，，，因為，所以的取值范圍為．故選：．（2023?茂名二模）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．，【解答】解：由已知可得，，因為，所以，即，故選：．（2023?黃山模擬）已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C． D．，【解答】解：因為，所以，又，所以，又，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為，．故選：．（2023?樂山三模）已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：集合，，且，，則實數(shù)的取值范圍是，．故選：．（2023?四川模擬）設(shè)集合，，集合中恰好含有2個元素，則實數(shù)的取值范圍為A． B．， C．， D．，【解答】解：，2，，，因為集合中恰好含有2個元素，所以．故選：．（2023?鐵嶺模擬）設(shè)，，若，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：，，，．故選：．（2023?湖北模擬）已知集合，，若中有且僅有三個整數(shù)，則正數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，，若中有且僅有三個整數(shù)，則只能是，0，1，故，解得．故選：．集合中的新定義問題【要點講解】集合新定義問題的“三定”：一定元素，確定已知集合中所含的元素，利用列舉法寫出所有元素；二定運算，根據(jù)要求及新定義，將所求集合的運算轉(zhuǎn)化為集合的交集、并集與補集的基本運算，或轉(zhuǎn)化為數(shù)的有關(guān)運算；三定結(jié)果，根據(jù)新定義，利用列舉法或描述法寫出所求集合中的所有元素。（2023?五河縣模擬）對于數(shù)集，，定義，，，，，若集合，，則集合中所有元素之和為A． B． C． D．【解答】解：，，或2，，，，3，，，3，4，1，，元素之和為，故選：．（2023?湖北模擬）用（A）表示非空集合中的元素個數(shù)，定義若，，，且，設(shè)實數(shù)的所有可能取值組成的集合是，則等于A．7 B．5 C．3 D．1【解答】解：由題意知，（A），，，（B）或（B），即方程有1個根或3個根，若，則或，若，則或，當時，，（B），符合題意；當時，對應(yīng)的根為0和，若（B），則有以下兩種情況，①當有兩個相等的實數(shù)根時，△，解得，當時，，，，（B），符合題意；當時，，，，（B），符合題意；②當有兩個不相等的實數(shù)根時，則是的一個根，即，無解；綜上所述，，，；故，故選：．（2022?長豐縣校級模擬）若，，定義且，則A．或 B．或 C． D．【解答】解：根據(jù)題意可化簡兩集合為，，，，且，又，，，，，，故選：．課后課后練習(xí)一．選擇題（共12小題）1．（2023?南通二模）已知，為的兩個非空真子集，若，則下列結(jié)論正確的是A．， B．， C．， D．，【解答】解：，，，，錯誤；時，，錯誤；，，錯誤．故選：．2．（2022?渭濱區(qū)校級模擬）設(shè)集合，，，若，則A．或或2 B．或 C．或2 D．或2【解答】解：若，則，，，4，；若，則或，時，，，，；時，（舍，故選：．3．（2023?江西模擬）已知集合，，，，，，若，則A． B．0 C．1 D．2【解答】解：，或，解得，，．故選：．4．（2023?定西模擬）已知集合，，則A． B． C． D．【解答】解：集合，，，，，因此選項正確，選項，，錯誤；故選：．5．（2023?河南模擬）已知集合為英文單詞“”的字母組成的集合，集合為英文單詞“”的字母組成的集合，則集合的子集個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，，，，，，，，，子集的個數(shù)為：．故選：．6．（2023?西寧一模）已知集合，，，則中元素的個數(shù)為A．3 B．4 C．8 D．9【解答】解：集合，，元素：，，，共四個元素，故選：．7．（2021?江西模擬）已知集合，，，若，則符合條件的實數(shù)的值組成的集合為A．， B．， C．，0， D．，【解答】解：當時，滿足要求；當時，或或綜上，，0，．故選：．8．（2023?渝中區(qū)校級一模）已知集合，，，則A．， B． C． D．【解答】解：，，而，滿足，，故，故選：．9．（2023?福建二模）是正整數(shù)集的子集，滿足：，，，并有如下性質(zhì)：若，，則，則的非空子集數(shù)為A．2022 B．2023 C． D．【解答】解：由題意可知：若，，則，，，均屬于，而事實上，若，，中，所以，故，中有正整數(shù)，從而中相鄰兩數(shù)不可能大于等于2，故2，3，，，若，，則有，與矛盾，故，2，，，所以非空子集有個．故選：．10．（2021?石家莊模擬）已知集合，，，，，，，若，則A． B．2 C． D．1【解答】解：，①當時，解得，，②當時，解得，此時，1，，與互異性矛盾，綜上，．故選：．11．（2023?桃城區(qū)校級模擬）已知集合，，則下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．【解答】解：集合