高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）432等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（九大題型）

4．3．2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 4題型一：等比數(shù)列前項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算 4題型二：等比數(shù)列前項(xiàng)和在幾何中的應(yīng)用 6題型三：等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì) 11題型四：遞推公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 13題型五：利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和 18題型六：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用 22題型七：等比數(shù)列中與的關(guān)系 25題型八：等比數(shù)列片段和的性質(zhì) 28題型九：等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和 30

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式推導(dǎo)過(guò)程：（1）利用等比性質(zhì)由等比數(shù)列的定義，有根據(jù)等比性質(zhì)，有所以當(dāng)時(shí)，或．（2）錯(cuò)位相減法等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，由得：所以或．即知識(shí)點(diǎn)詮釋：①錯(cuò)位相減法是一種非常常見和重要的數(shù)列求和方法，適用于一個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列求和問(wèn)題，要求理解并掌握此法．②在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，要注意區(qū)分和．③當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列的兩個(gè)求和公式，共涉及、、、、五個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過(guò)解方程組，便可求出其余兩個(gè)量．知識(shí)點(diǎn)二、等比數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)特征1、與的關(guān)系（1）當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，它可以變形為，設(shè)，則上式可以寫成的形式，由此可見，數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)；（2）當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，則數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)．2、與的關(guān)系當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，它可以變形為設(shè)，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)三、等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)1、等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則；若項(xiàng)數(shù)為，則．2、若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，，…成等比數(shù)列（其中，，…均不為0）．3、若一個(gè)非常數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為等比數(shù)列．【典型例題】題型一：等比數(shù)列前項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算【典例11】（2024·高二·江蘇南京·階段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則.【答案】/【解析】設(shè)公比為，因?yàn)?，所以由得，即，解得，所?故答案為：.【典例12】（2024·高二·福建莆田·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.若，則.【答案】【解析】根據(jù)題意可知是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列；所以可得，即，因此.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和運(yùn)算的技巧（1）在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：、、、、，其中首項(xiàng)和公比為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來(lái)解答．（2）對(duì)于基本量的計(jì)算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元，有時(shí)會(huì)用到整體代換，如，都可看作一個(gè)整體．（3）在解決與前項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先要對(duì)公比或進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．【變式11】（2024·高二·重慶·期中）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，①，②②①得，整理可得，解得，故.故答案為：.【變式12】（2024·高二·江蘇蘇州·階段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．若成等差數(shù)列，則的公比為．【答案】【解析】設(shè)公比為，由題意得，即，所以，故，解得.故答案為：.【變式13】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則．【答案】或【解析】當(dāng)時(shí)，由，所以，當(dāng)時(shí)，由，即，即，解得或.故答案為：或．【變式14】（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的值是.【答案】【解析】由，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以數(shù)列的公比，由中，令，，即，得，所以.故答案為：.題型二：等比數(shù)列前項(xiàng)和在幾何中的應(yīng)用【典例21】（2024·高二·江蘇南京·期末）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2cm，取正方形各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第二個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第三個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，如果這個(gè)作圖過(guò)程可以一直繼續(xù)下去，當(dāng)操作次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，所有這些正方形的面積之和將無(wú)限趨近于常數(shù)．【答案】8【解析】設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，即，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，所以如果這個(gè)作圖過(guò)程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于8，故答案為：8.【典例22】（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖在計(jì)算機(jī)通信、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和網(wǎng)絡(luò)維護(hù)等方面有著重要的作用.某樹形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖如圖所示，圓圈代表節(jié)點(diǎn)，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)，則到第10層一共有個(gè)節(jié)點(diǎn).（填寫具體數(shù)字）【答案】1023【解析】由圖可知，每一層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)組成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以到第10層節(jié)點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是.故答案為：1023.【方法技巧與總結(jié)】此類幾何問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決，要注意步驟的規(guī)范性．【變式21】（2024·陜西西安·一模）在《莊子·天下》中提到：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”，蘊(yùn)含了無(wú)限分割、等比數(shù)列的思想，體現(xiàn)了古人的智慧．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，取正方形各邊的中點(diǎn)、、、，作第二個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)、、、，作第三個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，記第一個(gè)正方形的面積為，第二個(gè)正方形的面積為，，第個(gè)正方形的面積為，則前個(gè)正方形的面積之和為．【答案】【解析】設(shè)第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，由題意可得，且，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，前個(gè)正方形的面積之和為.故答案為：.【變式22】（2024·四川成都·三模）如圖，已知在扇形OAB中，半徑，，圓內(nèi)切于扇形OAB（圓和，，弧AB均相切），作圓與圓，，相切，再作圓與圓，，相切，以此類推.設(shè)圓，圓…的面積依次為，…，那么．【答案】【解析】如圖，設(shè)圓與弧AB相切于點(diǎn)D，圓，圓與OA分別切于點(diǎn)C，E，則，.設(shè)圓，圓，圓，…，圓的半徑分別為，，，…，.因?yàn)?，所?在中，，則，即，解得.在中，，則，即，解得.同理可得，，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.又圓的面積為，所以面積，，，…，構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則.故答案為：.【變式23】（2024·高二·江蘇南通·期中）如下圖所示：一個(gè)正三角形被分成四個(gè)全等的小正三角形，將其中間小正三角形挖去如圖（1）；再將剩余的每一個(gè)正三角形都分成四個(gè)全等的小正三角形，并將中間的小正三角形挖去，得到圖（2）……如此繼續(xù)下去，設(shè)原正三角形邊長(zhǎng)為4，則第5張圖中被挖掉的所有正三角形面積的和為.【答案】【解析】設(shè)第次挖去的正三角形個(gè)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的每一個(gè)正三角形面積為，所以第次挖去的正三角形總面積為，由題知，，即為等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以；設(shè)原正三角形的面積為，由于原正三角形邊長(zhǎng)為4，故.由題知，，即為等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以，所以，由于，故為等比數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為，所以當(dāng)時(shí)，圖中被挖掉的所有正三角形面積的和為故答案為：【變式24】（2024·北京·一模）如圖所示：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，…，如此繼續(xù)下去得到一個(gè)樹形圖形，稱為“勾股樹”．若某勾股樹含有個(gè)正方形，且其最大的正方形的邊長(zhǎng)為，則其最小正方形的邊長(zhǎng)為．【答案】【解析】由題意，正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共得到個(gè)正方形，則有，∴，∴最小正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為.【變式25】（2024·高三·貴州貴陽(yáng)·開學(xué)考試）“康托爾塵?！笔菙?shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：在一個(gè)單位正方形中，首先，將正方形等分成個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，保留靠角的個(gè)小正方形，記個(gè)小正方形的面積和為；然后，將剩余的個(gè)小正方形分別繼續(xù)等分，分別保留靠角的個(gè)小正方形，記所得的個(gè)小正方形的面積和為；……；操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，保留的圖形稱為康托爾塵埃．若，則需要操作的次數(shù)的最小值為．【答案】【解析】是個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形面積之和，所以，是個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形面積之和，所以；是個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形面積之和，所以；所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以即，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，而不成立，，即，所以需要操作的次數(shù)的最小值為次，故答案為：.題型三：等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)【典例31】（2024·高二·江西吉安·期末）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，顯然當(dāng)時(shí)不合題意，則不等于1，則，令，則有，由題意，得.故選：C.【典例32】（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測(cè)）等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，則，矛盾，故設(shè)等比數(shù)列公比為，則，即等比數(shù)列的前項(xiàng)和要滿足，又因?yàn)椋?故選：B【方法技巧與總結(jié)】處理等比數(shù)列前項(xiàng)和有關(guān)問(wèn)題的常用方法（1）運(yùn)用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，要注意公比和兩種情形，在解有關(guān)的方程（組）時(shí)，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元．（2）靈活運(yùn)用等比數(shù)列前項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)．【變式31】（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．3 B．5 C．30 D．45【答案】D【解析】若公比，則，，右邊，等式不成立，故，則，顯然，所以，解得，又因?yàn)?，代入得，所以，故選：D.【變式32】（2024·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．81 B．24 C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，則，又，則，所以，等比數(shù)列的公比，故.故選：C【變式33】（2024·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，則有，解得，，則有，得.故選：D題型四：遞推公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【典例41】（2024·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%，且每年年底賣出100頭牛，設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為，，….（參考數(shù)據(jù)：，，.）(1)寫出一個(gè)遞推公式，表示與之間的關(guān)系；(2)將（1）中的遞推關(guān)系表示成的形式，其中k，r為常數(shù)；(3)求的值（精確到1）.【解析】（1）因?yàn)槟衬翀?chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%，且每年年底賣出100頭牛，所以，且.（2）將化成，因?yàn)樗员容^系數(shù)，可得，解得.所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）由（2）可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，1.08為公比的等比數(shù)列，則.所以.【典例42】（2024·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）某公司從2020年初起生產(chǎn)某種高科技產(chǎn)品，初始投入資金為1000萬(wàn)元，到年底資金增長(zhǎng)50%.預(yù)計(jì)以后每年資金增長(zhǎng)率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費(fèi)資金x萬(wàn)元，余下資金再投入下一年的生產(chǎn).設(shè)第n年年底扣除消費(fèi)資金后的剩余資金為萬(wàn)元.(1)用x表示，，并寫出與的關(guān)系式；.(2)若企業(yè)希望經(jīng)過(guò)5年后，使企業(yè)剩余資金達(dá)3000萬(wàn)元，試確定每年年底扣除的消費(fèi)資金x的值（精確到萬(wàn)元）.【解析】（1）由題意知，，，；（2）由(1)可得，，則，所以，即，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元.故該企業(yè)每年年底扣除消費(fèi)資金為348萬(wàn)元時(shí)，5年后企業(yè)剩余資金為3000萬(wàn)元.【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時(shí)，要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問(wèn)題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的解方程問(wèn)題、解不等式問(wèn)題、還是最值問(wèn)題，然后經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出的結(jié)果，放回到實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出結(jié)論．【變式41】（2024·高二·吉林·期中）冬春季節(jié)是流感多發(fā)期，某地醫(yī)院近30天每天入院治療流感的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}，已知，，且滿足（），則該醫(yī)院30天入院治療流感的共有（

）人A．225 B．255 C．365 D．465【答案】B【解析】直接利用分類討論思想的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，故選：B【變式42】某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為，且在每年年底賣出頭牛．設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為，，，…(1)寫出一個(gè)遞推公式，表示與之間的關(guān)系；(2)將（1）中的遞推公式表示成為的形式，其中，為常數(shù)；(3)求的值（精確到1）．【解析】（1）由題意知，并且．

①（2）將化為．

②比較①②的系數(shù)，可得，解這個(gè)方程組，得，所以，（1）中的遞推公式可以化為．（3）由（2）可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則．所以．【變式43】（2024·高二·甘肅定西·階段練習(xí)）甲、乙、丙、丁四人合資注冊(cè)一家公司，每人出資50萬(wàn)元作為啟動(dòng)資金投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底，資金增長(zhǎng)了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年相同.四人決定從第一年開始，每年年底拿出60萬(wàn)元分紅，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底公司分紅后的剩余資金為萬(wàn)元.(1)求，，并寫出與的關(guān)系式；(2)至少經(jīng)過(guò)多少年，公司分紅后的剩余資金不低于1200萬(wàn)元？（年數(shù)取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）【解析】（1）由題意得，投入生產(chǎn)的啟動(dòng)資金共有萬(wàn)元，，，．（2）由（1）知，而也滿足該式，故.令，所以，因?yàn)椋?，，即．所以至少?jīng)過(guò)7年，公司分紅后的剩余資金不低于1200萬(wàn)元.【變式44】（2024·高二·江西九江·階段練習(xí)）某校高一學(xué)生1000人，每周一次同時(shí)在兩個(gè)可容納600人的會(huì)議室，開設(shè)“音樂(lè)欣賞”與“美術(shù)鑒賞”的校本課程.要求每個(gè)學(xué)生都參加，要求第一次聽“音樂(lè)欣賞”課的人數(shù)為，其余的人聽“美術(shù)鑒賞”課；從第二次起，學(xué)生可從兩個(gè)課中自由選擇.據(jù)往屆經(jīng)驗(yàn)，凡是這一次選擇“音樂(lè)欣賞”的學(xué)生，下一次會(huì)有20%改選“美術(shù)鑒賞”，而選“美術(shù)鑒賞”的學(xué)生，下次會(huì)有30%改選“音樂(lè)欣賞”，用，分別表示在第次選“音樂(lè)欣賞”課的人數(shù)和選“美術(shù)鑒賞”課的人數(shù).(1)若，分別求出第二次，第三次選“音樂(lè)欣賞”課的人數(shù)，；(2)①證明數(shù)列是等比數(shù)列，并用n表示；②若要求前十次參加“音樂(lè)欣賞”課的學(xué)生的總?cè)舜尾怀^(guò)5800，求m的取值范圍.【解析】（1）由已知，且，，因?yàn)?，所以，所以，，所?所以.（2）①由（1）得，所以，因?yàn)?，故，所以?shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，所以，即.②前十次參加“音樂(lè)欣賞”課的學(xué)生的總?cè)舜渭礊閿?shù)列的前10項(xiàng)和，所以，由已知，，又且，所以的取值范圍為且.題型五：利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和【典例51】（2024·高二·黑龍江綏化·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）由，又，∴，故，且，∴是首項(xiàng)、公差均為的等差數(shù)列.（2）由（1），，則，又，∴，則，∴，，則，∴，.【典例52】（2024·高二·湖南·期中）已知數(shù)列是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得或.又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，.（2）由（1）得，，，①，②①②得，.由，化簡(jiǎn)得，對(duì)任意的恒成立.又的最大值為，所以，的取值范圍為.【方法技巧與總結(jié)】錯(cuò)位相減法的適用范圍及注意事項(xiàng)（1）適用范圍：它主要適用于是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（2）注意事項(xiàng)：①利用“錯(cuò)位相減法”時(shí)，在寫出與的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意使兩式交錯(cuò)對(duì)齊，以便于作差，正確寫出的表達(dá)式．②利用此法時(shí)要注意討論公比是否等于1的情況．【變式51】（2024·高二·江蘇蘇州·期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，，，解得，所以.（2）由（1）得，所以，兩式相減得，所以.【變式52】（2024·高三·山東濱州·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為,則∵，∴，解得∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1），得，∴數(shù)列的前項(xiàng)和∴

∴所以【變式53】（2024·高二·河北邯鄲·期末）已知數(shù)列中．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和；【解析】（1）由，得，即，又，有，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.（2）由（1）得，則有，，，①②得，，即.【變式54】（2024·高二·云南保山·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1），又，數(shù)列是首項(xiàng)?公比均為3的等比數(shù)列，，即（2）由（1）得，則，則，兩式相減得，.【變式55】（2024·高二·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知等差數(shù)列的公差，且，，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列前項(xiàng)和為；(3)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）根據(jù)題意，因?yàn)?，，，成等比?shù)列，所以，又，解得，，故；（2）因?yàn)?，所以；?）∵∴①，②，∴①②得∴.題型六：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用【典例61】（2024·高二·上海閔行·期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一段記載：“一百八十九里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)”其大意為：“有一個(gè)人共行走了189里的路程，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達(dá)目的地”則該人第一天行走的路程為里【答案】【解析】由題意可得：此人每天所走的路程組成等比數(shù)列，其中，．可得：，解得,該人第一天行走的路程為96里，故答案為96．【典例62】（2024·高二·湖南長(zhǎng)沙·期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為【答案】3【解析】設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.【方法技巧與總結(jié)】解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟（1）審題——仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意．（2）建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(xué)（數(shù)列）語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)（數(shù)列）問(wèn)題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征．（3）求解——求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解．（4）還原——將所求結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中．【變式61】（2024·廣東茂名·一模）有一座六層高的商場(chǎng)，若每層所開燈的數(shù)量都是下面一層的兩倍，一共開了1890盞，則底層所開燈的數(shù)量為盞.【答案】30【解析】依題意，從下往上每層燈的數(shù)據(jù)構(gòu)成等比數(shù)列，公比，，前6項(xiàng)和，于是，解得，所以底層所開燈的數(shù)量為30盞.故答案為：30【變式62】（2024·高三·江西南昌·專題練習(xí)）某企業(yè)在第年初購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為萬(wàn)元的設(shè)備，的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少，從第年到第年，每年初的價(jià)值比上年初減少萬(wàn)元；從第年開始，每年初的價(jià)值為上年初的.則第年初的價(jià)值.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為120，公差為的等差數(shù)列，故；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故．綜上可得．答案：．【變式63】（2024·高二·廣東廣州·期中）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則該人第一天走的路程為里.【答案】192【解析】設(shè)第一天走里，則每日行走里程構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.由題意得，解得，所以該人第一天走的路程為192里.故答案為：192【變式64】（2024·高二·廣東佛山·階段練習(xí)）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)，一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過(guò)程中傳染的概率決定．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1365人大約需要的天數(shù)為．（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染……）【答案】35【解析】依題意，每一輪傳染，新增感染者數(shù)依次排成一列得等比數(shù)列，，，感染者增加到1365人需要輪傳染，則，解得，所以感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1365人大約需要的天數(shù)為35天.故答案為：35【變式65】（2024·高二·遼寧沈陽(yáng)·期末）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作：再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：...，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長(zhǎng)度之和小于，則操作的次數(shù)的最大值為.【答案】5【解析】記表示第次去掉的長(zhǎng)度，，第2次操作，去掉的線段長(zhǎng)為，第次操作，去掉的線段長(zhǎng)度為，則，由，，所以的最大值為5.故答案為：5.題型七：等比數(shù)列中與的關(guān)系【典例71】（2024·高二·山東棗莊·階段練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．證明：是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；【解析】證明：，時(shí)，，相減可得：，可得．時(shí)，，解得．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為．．【典例72】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式．【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以．又因?yàn)?，所以．又由，知，所以，所以是等比?shù)列．因?yàn)?，所以．【方法技巧與總結(jié)】與的關(guān)系當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，它可以變形為設(shè)，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數(shù)．【變式71】（2024·高二·陜西西安·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（，是不等于0和1的常數(shù)），求證：數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是.【解析】必要性：若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則，即，故；充分性：若，即，且，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則；綜上所述：.∵，是不等于0和1的常數(shù)，則，∴，故數(shù)列為等比數(shù)列；綜上所述：數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是.【變式72】（2024·高二·天津·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，得，所以，當(dāng)時(shí)，所以，即，所以所以即數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，由題意，即所以，所以

設(shè)前項(xiàng)和為所以即

①②①②得：所以.【變式73】（2024·高二·河南洛陽(yáng)·期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1），，，故，即．，令，得到．是等比數(shù)列，公比為3，且，，．（2），，．兩式相減，得，故題型八：等比數(shù)列片段和的性質(zhì)【典例81】（2024·高二·福建·期中）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，所以成等比數(shù)列，由，得，則，所以，所以，所以.故選：B【典例82】（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知在等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】為等比數(shù)列，且，且，公比，，，是公比為的等比數(shù)列，即，，是公比為的等比數(shù)列．，解得或（舍去）.故選：A．【方法技巧與總結(jié)】若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，，…成等比數(shù)列（其中，，…均不為0）．【變式81】（2024·高三·云南昆明·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，，則（

）A．550 B．520 C．450 D．425【答案】D【解析】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得，，，，成等比數(shù)列，則，設(shè)，則，∵等比數(shù)列中，，∴解得，，故，∴，故選：D．【變式82】（2024·高三·重慶北碚·階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，則（

）A．60 B．32 C．15 D．20【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由，可得，因，解得.則.故選：A.【變