高考數(shù)學第二輪專題思想篇-數(shù)學思想方法的應用

高考第二輪專題數(shù)學新高考2思想一函數(shù)與方程思想函數(shù)思想是指用函數(shù)的觀點、方法去分析問題、轉化問題和解決問題.求數(shù)列中的項或最值、求不等式中的參量、求解析幾何中距離或面積的最值等相關的非函數(shù)問題,往往都可利用函數(shù)思想轉化為函數(shù)問題.方程思想是從問題的數(shù)量關系入手,運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為方程或方程組去分析問題和解決問題.如變量的取值范圍、直線與圓錐曲線的位置關系、數(shù)列中的基本量、二項式系數(shù)等問題.函數(shù)思想與方程思想密切相關:方程f(x)=0的根就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標;y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通過方程進行研究;方程f(x)=a有根,若函數(shù)f(x)的值域為M,則a∈M.函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究,方程思想則是在動中求靜,研究運動中的等量關系.真題示例解法關鍵[2020·全國卷Ⅰ]已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,則sinα= ()A.53B.23C.13用二倍角的余弦公式,將已知方程轉化為關于cosα的一元二次方程,求解得出cosα,再用同角間的三角函數(shù)關系,即可得出結論.答案:A.[2020·浙江卷]已知a,b∈R且ab≠0,對于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,則 ()A.a<0 B.a>0C.b<0 D.b>0令f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),則f(0)=(-a)·(-b)·(-2a-b)=-ab(2a+b)≥0,再對a,b的可能符號進行討論.答案C.[2020·江蘇卷]在平面直角坐標系xOy中,已知P32,0,A,B是圓C:x2+y-122=36上的兩個動點,滿足PA=PB,則△PAB面積的最大值是.

根據(jù)條件得PC⊥AB,再用圓心C到直線AB的距離d表示△PAB的面積,最后利用導數(shù)求最大值.答案:105.[2020·全國卷Ⅰ]已知F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點,A為C的右頂點,B為C上的點,且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知,Bc,b2a,A(a,0),即可根據(jù)斜率公式列出等式求解.答案:2.[2019·江蘇卷]已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列,Sn是其前n項和.若a2a5+a8=0,S9=27,則S8的值是.

由題意首先列出方程組求得首項和公差,然后求解數(shù)列的前8項和即可.答案:16.1.若雙曲線x2m2-y2m2+2=1(m>0)的離心率為2,A.1 B.13 C.2 D.2.已知向量a與b的夾角為π3,且|a|=1,|2a-b|=3,則|b|= (A.3 B.2 C.1 D.33.設F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,P為雙曲線右支上一點,若∠F1PF2=90°,半焦距c=2,S△PA.y=±2x B.y=±2xC.y=±33x D.y=±34.已知等邊三角形ABC內(nèi)接于圓O:x2+y2=1,且P是圓O上一點,則PA·(PB+PC)的最大值是 ()A.2 B.1C.3 D.25.已知曲線C:x=-4-y2,直線l:x=6.若對于點A(m,0),存在C上的點P和l上的點Q使得AP+AQ=0,則m的取值范圍為6.已知正項等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=54,且2a2,12a4,a3成等差數(shù)列,設bn=anan+1(n∈N*),則b1b2…bn取得最小值時的n的值為思想二數(shù)形結合思想數(shù)形結合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系,通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法.數(shù)形結合思想體現(xiàn)了數(shù)與形之間的轉化,它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面.數(shù)形結合的實質(zhì)是把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形語言結合起來,即將代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化.數(shù)形結合思想常用來解決函數(shù)零點、方程根與不等式問題,參數(shù)范圍問題,以立體幾何為模型的代數(shù)問題,解析幾何中的斜率、截距、距離等問題.真題示例解法關鍵[2020·全國卷Ⅱ]設復數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,則|z1-z2|=.

設復數(shù)z1,z2在復平面內(nèi)所對應的點分別為Z1,Z2,根據(jù)復數(shù)的幾何意義用幾何方法計算|z1-z2|.答案:23.[2020·全國卷Ⅰ]已知A,B,C為球O的球面上的三個點,☉O1為△ABC的外接圓,若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為 ()A.64πB.48πC.36πD.32π畫出圖形,由已知可得等邊三角形ABC的外接圓半徑,進而求出其邊長,得出OO1的值,根據(jù)球的截面性質(zhì),求出球的半徑.答案:A.[2020·北京卷]已知正方形ABCD的邊長為2,點P滿足AP=12(AB+AC),則|PD|=;PB·PD=.以點A為坐標原點,建立平面直角坐標系,求得點P的坐標,即可求得|PD|的值,再利用平面向量數(shù)量積的坐標運算求得PB·PD的值.答案:5,-1.[2020·天津卷]已知函數(shù)f(x)=x3,x≥0,-x,x<0.若函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)A.-∞,-12∪(22,+∞)B.-∞,-12∪(0,22)C.(-∞,0)∪(0,22)D.(-∞,0)∪(22,+∞)由g(0)=0,結合已知,將問題轉化為函數(shù)y=|kx-2|與h(x)=f(x)|x|的圖像有3個不同的交點,分k=0,k<0,k>0三種情況,[2020·全國新高考Ⅰ卷]若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是 ()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,畫出函數(shù)f(x)的草圖,得到在相應區(qū)間上的符號,再根據(jù)xf(x-1)≥0分類轉化為對應自變量的不等式,最后求并集得結果.答案:D.1.已知函數(shù)f(x)=|lnx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),則2a+b的取值范圍是 ()A.(22,+∞) B.[22,+∞)C.(3,+∞) D.[3,+∞)2.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),y=f(x)與y=f'(x)的圖像如圖S-1所示,則不等式f(x)>圖S-1A.(0,1)B.1C.43,2D.(23.已知橢圓y29+x25=1的上焦點為F,M是橢圓上一點,點A(23,0),當點M在橢圓上運動時,|MA|+|MF|的最大值為A.12 B.10 C.8 D.44.已知點A為曲線y=x+4x(x>0)上的動點,B為圓(x-2)2+y2=1上的動點,則|AB|的最小值是 (A.3 B.5C.32 D.425.已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的最大值是.

6.向體積為1的正方體密閉容器內(nèi)注入體積為x(0<x<1)的液體,旋轉容器,若液面恰好經(jīng)過正方體的某條體對角線,則液面邊界周長的最小值為.

思想三分類討論思想分類討論思想就是將一個復雜的數(shù)學問題分解成若干個簡單的基礎問題,通過對基礎問題的解答解決原問題的思維策略,實質(zhì)上就是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的策略.使用分類討論思想應明白這樣幾點:一是引起分類討論的原因;二是分類討論的原則,不重不漏,分類標準統(tǒng)一;三是明確分類討論的步驟.常見的分類討論問題有以下幾種:1.由概念引起的分類討論;2.由性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的分類討論;3.由數(shù)學運算引起的分類討論;4.圖形的不確定性引起的分類討論;5.由參數(shù)的變化引起的分類討論.真題示例解法關鍵[2020·全國卷Ⅰ]x+y2x(x+y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A.5B.10C.15D.20用(x+y)5的展開式中含x2y3的項與x相乘,含x4y的項與y2x相乘,即可求得x3y3的系數(shù).答案:[2020·北京卷]已知α,β∈R,則“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的 ()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件根據(jù)充分條件、必要條件的定義以及誘導公式分類討論即可判斷.答案:C.[2019·江蘇卷]從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務,則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是.

先求基本事件的總數(shù),再求選出的2名學生中恰有1名女生和都是女生兩種情況的基本事件數(shù),最后根據(jù)古典概型的概率計算公式得出答案.答案:710[2019·全國卷Ⅰ]甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立,則甲隊以4∶1獲勝的概率是.

分兩種情況討論,應用獨立事件的概率的計算公式求解即可.答案:0.18.1.[2019·浙江卷]在同一直角坐標系中,函數(shù)y=1ax,y=logax+12(a>0且a≠1)的圖像可能是 (ABCD圖S-22.中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個,已知甲同學喜歡牛、馬和猴,乙同學喜歡牛、狗和羊,丙同學對所有的吉祥物都喜歡,現(xiàn)讓甲、乙、丙三位同學依次從中選一個作為禮物珍藏,若各人所選取的禮物都是自己喜歡的,則不同的選法共有 ()A.50種 B.60種C.80種 D.90種3.若直線l:y=(a-1)x-1與曲線y2=ax恰好有一個公共點,則實數(shù)a的值為.

4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn+Sn-1=3n2(n≥2),則an=.

5.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點和點P(2a,b)為某個等腰三角形的三個頂點,思想四轉化與化歸思想轉化與化歸思想是指在研究解決數(shù)學問題時,采用某種手段將問題轉化,使問題得以解決的一種思維策略,其核心是把復雜的問題化歸為容易求解的問題,將較難的問題化歸為較簡單的問題,將未能解決的問題化歸為已經(jīng)解決的問題.常見的轉化與化歸思想的應用具體表現(xiàn)在:將抽象函數(shù)問題轉化為具體函數(shù)問題,立體幾何和解析幾何中一般性點或圖形問題轉化為特殊點或特殊圖形,“至少”或“是否存在”等正向思維受阻問題轉化為逆向思維,空間與平面的轉化,相等問題與不等問題的轉化等.真題示例解法關鍵[2020·全國卷Ⅰ]已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,點A到C的焦點的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p= ()A.2B.3C.6D.9利用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離,建立方程|AF|=xA+p2=12,即可得到答案.答案:C[2020·江蘇卷]已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值是.

根據(jù)條件可得x2=1-y45y2,代入所求,將二元最值問題轉化為一元最值問題,[2020·全國新高考Ⅰ卷]將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項和為.

首先判斷出數(shù)列{2n-1}與{3n-2}項的特征,從而判斷出兩個數(shù)列公共項所構成新數(shù)列的首項以及公差,轉化為等差數(shù)列的求和問題.答案:3n2-2n.[2020·全國卷Ⅰ]已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上的動點,過點P作☉M的切線PA,PB,切點為A,B,當|PM|·|AB|最小時,直線AB的方程為 ()A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0將求|PM|·|AB|的最小值轉化為求|PM|的最小值,求出以MP為直徑的圓的方程,根據(jù)圓系的知識即可求出直線AB的方程.答案:D.根據(jù)三棱錐平面展開圖中前后的不變量,將立體幾何中的關系轉化為平面幾何中的關系,利用勾股定理計算出BC,BD,可得出AE,BF,在△ACE中,利用余弦定理可求得CE,可得出CF,然后在△BCF中利用余弦定理可求得cos∠FCB.答案:-14[2019·江蘇卷]在平面直角坐標系xOy中,P是曲