中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)題型訓(xùn)練壓軸題08二次函數(shù)與面積最值定值問(wèn)題（六大類型）（原卷版）

壓軸題08二次函數(shù)與面積最值定值問(wèn)題（六大類型）題型一：二次函數(shù)與三角形面積最值問(wèn)題例1．如圖，已知拋物線y=12x2+bx過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）、頂點(diǎn)為B，一次函數(shù)y=12x+2的圖象交y（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）已知P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)為N．①若點(diǎn)N恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；②請(qǐng)直接寫(xiě)出△MHN面積的最大值．題型二：二次函數(shù)與三角形面積等積問(wèn)題例2．如圖，等腰直角三角形OAB的直角頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，直角邊OA，OB分別在y軸和x軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），且AC平行于x軸．（1）求直線AB的解析式；（2）求過(guò)B，C兩點(diǎn)的拋物線y＝﹣x2+bx+c的解析式；（3）拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，試判定OC與BD的大小關(guān)系；（4）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABM的面積與△ABC的面積相等時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．題型三：二次函數(shù)與四邊形面積最值問(wèn)題例3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．已知A（3，0），該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（3）將線段BC平移，使得平移后線段的一個(gè)端點(diǎn)在這條拋物線上，另一個(gè)端點(diǎn)在x軸上，若將點(diǎn)B、C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)D、E，求以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值．題型四：二次函數(shù)與面積分割問(wèn)題例4．已知拋物線y＝x2+4mx+4m2﹣4m﹣3的頂點(diǎn)C在定直線l上．（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；（2）求證：不論m為何值，拋物線與定直線l的兩交點(diǎn)間的距離d恒為定值；（3）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)C在y軸上，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）時(shí)，是否存在直線n滿足以下三個(gè)條件：①n與拋物線相交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且與線段AC交于點(diǎn)P；②∠APN＝2∠ACO；③n將△ABC的面積分成1：2的兩部分．若存在，求出直線n的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型五：二次函數(shù)與面積比問(wèn)題例5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=23x2+bx﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)A（3，0），B（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，作直線（1）填空：b＝；（2）將△AOC平移到△EFG（點(diǎn)E，F(xiàn)，G依次與A，O，C對(duì)應(yīng)），若點(diǎn)E落在拋物線上且點(diǎn)G落在直線AD上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P是第四象限拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H，交AC于點(diǎn)T．若∠CPT+∠DAC＝180°，求△AHT與△CPT的面積之比．題型六：函數(shù)關(guān)系與面積問(wèn)題例6．平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m為常數(shù)，m≠±1）與軸交于定點(diǎn)A及另一點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．（1）當(dāng)點(diǎn)（2，2）在拋物線上時(shí)，求拋物線解析式及點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）如圖1，在（1）的條件下，D為拋物線x軸上方一點(diǎn)，連接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，令△ACP的面積為S，①直接寫(xiě)出S關(guān)于m的解析式及m的取值范圍；②當(dāng)58≤S≤15

一、解答題1．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A(0,6)，B(6,0)，C(?2,0)，點(diǎn)P(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值，面積最大值是多少？2．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于

A（﹣1，0），B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)△PBD與△BDE的面積之比為1：2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；3．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y=?x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A、B，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，直線y=?x+3與x軸交于點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)Mt,0是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)DN=2t，△MNB的面積為154時(shí)，求出點(diǎn)M與點(diǎn)4．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)A(4，0)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖，OP交AB于點(diǎn)C，PD∥BO交AB于點(diǎn)D．記△CPB，△BCO的面積分別為S1，S5．（2023·新疆克孜勒蘇·統(tǒng)考一模）如圖所示，拋物線y=?x2+2x+3的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在直線BC上方的拋物線上有一點(diǎn)M，使得四邊形ABMC的面積最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形ABMC面積的最大值；(3)點(diǎn)E在拋物線上，當(dāng)∠EBC=∠ACO時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．6．（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A?1,0、B4,0，與y軸交于點(diǎn)C0,2．點(diǎn)D為拋物線第四象限一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC、BD(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)S△BCD=S(3)在第（2）問(wèn)的條件下，延長(zhǎng)線段AC、DB交于點(diǎn)E．請(qǐng)判斷△ADE的形狀，并說(shuō)明理由．7．（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，作PE⊥PB交直線CD于點(diǎn)E，設(shè)PA=x，S△PCE(1)求證：DF=EF；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；(3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能否使△PEC為等腰三角形？如果能，請(qǐng)直接寫(xiě)出PA的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．8．（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx+2a<0的圖像與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)、B(2,0)，與(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是二次函數(shù)圖像上位于線段BC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①如圖，連接AC，CP，AP，AP交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作AC的平行線交BC于點(diǎn)Q，將△PEQ與△PCE的面積比S△PEQS△PCE記為a，將△PCE與△ACE的面積比S△PCES△ACE記為②已知點(diǎn)N是y軸上一點(diǎn)，若點(diǎn)N、P關(guān)于直線AC對(duì)稱，求CN的長(zhǎng)．9．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線BC的解析式為y=?x+6，直線BC交x軸和y軸分別于點(diǎn)B和點(diǎn)C，拋物線y=?29x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是第二象限拋物線上的點(diǎn)，連接PB、PC，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PBC的面積為S．求S與t的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出t的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)D在線段OB上，連接PD、CD，∠PDC=45°，點(diǎn)F在線段BC上，EF⊥BC，F(xiàn)E的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)G，交PD于點(diǎn)E，連接CE，若∠GED+∠DCE=180°，DC>DE，S△CDE=15，求點(diǎn)10．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+ca<0與x軸交于A?2,0、B(1)試求拋物線的解析式；(2)直線y=kx+1k>0與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線在第一象限交于點(diǎn)P，與直線BC交于點(diǎn)M，記m=S△CPMS△CDM(3)在（2）的條件下，m取最大值時(shí)，點(diǎn)Q是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q、N，使得以P、D、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形？請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)．11．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，其中A(?4,0)、B(1，0)(1)求拋物線的解析式；(2)連接BM，交線段AC于點(diǎn)D，求SΔADMS(3)連接CM，是否存在點(diǎn)M，使得∠ACO+2∠ACM=90°，若存在，求12．（2023·海南?？凇ず？谑械诰胖袑W(xué)?？级＃┤鐖D①，已知拋物線L:y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0,3，B1,0．過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC(1)求拋物線的關(guān)系式并寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)若動(dòng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)△OPE面積最大時(shí)，求出此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)；(3)若將拋物線向上平移?個(gè)單位，且其頂點(diǎn)始終落在△OAE的內(nèi)部或邊上，寫(xiě)出?的取值范圍；(4)如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸上l的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2023·廣東珠海·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)(1)求拋物線y=?12x(2)點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)連接B和（2）中求出點(diǎn)P，點(diǎn)Q為拋物線上的一點(diǎn)，直線BP下方是否存在點(diǎn)Q使得∠PBQ=45°？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．14．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A?6，0，B0，8，C8，0，點(diǎn)P為線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，C不重合），過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BC交AB于點(diǎn)Q，將(1)當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若△PDQ與△ABC重疊部分面積S與點(diǎn)P橫坐標(biāo)t之間的函數(shù)解析式為S=a(t+6)2(?6<t≤1)?(3)是否存在點(diǎn)P，使得∠BDQ為直角？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+ax+1（a為常數(shù)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2,?7，點(diǎn)Q在拋物線上，其橫坐標(biāo)為m，將此拋物線上P、Q兩點(diǎn)間的部分（包括P、(1)求拋物線的解析式．(2)若點(diǎn)B是拋物線上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為1．過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)C，連結(jié)BC，求△PBC的面積．(3)當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)是圖像G的最高點(diǎn)，且圖像G的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)到x軸的距離和為定值時(shí)，求m的取值范圍．(4)已知點(diǎn)M2m?1,?7、N2m?1,12m+1、E2,12m+116．（2023·廣西賀州·統(tǒng)考一模）如圖1，拋物線y=?x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥y(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用含m的式子表示線段PD的長(zhǎng)；(3)如圖2，連接OP，交線段BC于點(diǎn)Q，連接PC，若△PCQ的面積為S1，△OCQ的面積為S2，則17．（2023·遼寧遼陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A?2,0，B4,0(1)試求拋物線的解析式；(2)直線y=kx+1k>0與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線在第一象限交于點(diǎn)P，與直線BC交于點(diǎn)M，記m=S△CPMS△CDM(3)在（2）的條件下，m取最大值時(shí)，是否存在x軸上的點(diǎn)Q及坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)N，使得P，D，Q，N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的Q點(diǎn)和N點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A1,0，點(diǎn)B?3,0，與y(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)D；(2)如圖1，點(diǎn)Ex,y是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，D重合），EF⊥x軸于F，設(shè)四邊形OFEC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S(3)如圖2，將拋物線y=ax2+bx+3向下平移k個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的頂點(diǎn)為D'，與x軸的交點(diǎn)是A'，B19．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A3,0和點(diǎn)B，對(duì)稱軸是直線x=2，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P在拋物線上（不與(1)當(dāng)a=2時(shí)．①求拋物線的解析式；②點(diǎn)P在直線AC的下