中考數(shù)學二輪培優(yōu)題型訓練壓軸題16圓與相似三角函數(shù)的計算與證明問題（原卷版）

16圓與相似三角函數(shù)的計算與證明問題例1．（2023?利辛縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點D是AB的中點，以CD為直徑作⊙O，⊙O分別與AC，BC交于點E，F(xiàn)，過點F作⊙O的切線FG，交AB于點G．（1）求證：∠A＝∠BFG；（2）求FG的長．例2．（2023?金牛區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑作⊙O，交AB邊于點D，點E是邊AC的中點，直線ED、BC交于點F．（1）求證：直線DE是圓O的切線；（2）若BC＝6，sin∠A=35，求線段例3．（2023?工業(yè)園區(qū)校級模擬）如圖，銳角△ABC中∠A的平分線交BC于點E，交△ABC的外接圓于點D、邊BC的中點為M．（1）求證：MD垂直BC；（2）若AC＝5，BC＝6，AB＝7．求BDAD（3）作∠ACB的平分線交AD于點P，若將線段MP繞點M旋轉180°后，點P恰好與△ABC外接圓上的點P'重合，則tan∠BAC＝．例4．（2023?寧波一模）如圖1，AC為?ABCD的對角線，△ABC的外接圓⊙O交CD于點E，連結BE．（1）求證：∠BAC＝∠ABE．（2）如圖2，當AB＝AC時，連結OA、OB，延長AO交BE于點G，求證△GOB∽△GBA．（3）如圖3，在（2）的條件下，記AC、BE的交點為點F，連結AE、OF．①求證：BG2﹣GF2＝GF?EF．②當EFFG=791．（2023?碑林區(qū)校級三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑作⊙O，交AB邊于點D，在CD上取一點E，使BE=CD，連接DE作射線CE交AB邊于點（1）求證：∠A＝∠ACF；（2）若AC＝8，cos∠ACF=45，求BF及2．（2023?新?lián)釁^(qū)三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且∠ODB＝∠AEC．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，且sin∠BAE=35，求3．（2023?達州一模）如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，P為BC延長線上一點，∠PAC＝∠B，AD為⊙O的直徑，過C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判斷直線PA與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）求證：AG2＝AB?AF．4．（2023春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC．（1）在AC上取點E，使得AD2＝AB?AE（用直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，連接EO、OD，若∠BAC＝60°，求sin∠DEO的值．5．（2023?長春一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點O在AB上，以點O為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB分別交于點D、E，且∠CBD＝∠A．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若AD：AO＝5：3，BC＝4，則BD的長為．6．（2023?雁塔區(qū)校級四模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切線，AD與BC相交于點E，與⊙O相交于點F，連接BF．（1）求證：BD＝BE；（2）若DE＝2，BD=5，求AE7．（2023?碑林區(qū)校級四模）如圖，AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，且AC＝AB，連接CB交⊙O于點D，E為AC的中點，連接BE交⊙O于點F，連接AD，CF，DF，AF．（1）求證：CE2＝EF?EB；（2）若DF＝1，求AF的長．8．（2023春?江寧區(qū)校級月考）我們知道，對于線段a，b，c，如果a2＝b?c，那么線段a叫做線段b和c的比例中項．（1）如圖1，直線l與⊙O相切于點A，B是l上一點，連接OB，C是OB上一點．若⊙O的半徑r是OB與OC的比例中項，請用直尺和圓規(guī)作出點C．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，A是⊙O1外一點，以O1A為直徑的⊙O2交⊙O1于點B，C，O1A與BC交于點D，E為直線BC上一點（點E不與點B，C，D重合），作直線O1E，與⊙O2交于點F．若⊙O1的半徑是r，求證：r是O1E與O1F的比例中項．9．（2023?歷城區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，且CD=BD，過點D的切線EF交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F，連結AD，OE交于點（1）求證：AE⊥EF；（2）若DGAG=23，⊙10．（2023?嶗山區(qū)一模）【問題提出】如圖1，△ABC為⊙O內(nèi)接三角形，已知BC＝a，圓的半徑為R，探究a，R，sin∠A之間的關系．【解決問題】如圖2，若∠A為銳角，連接BO并延長交⊙O于點D，連接DC，則∠A＝∠D，在△DBC中，BD為⊙O直徑，BC＝a，所以BD＝2R，∠BCD＝90°．所以在Rt△DBC中建立a，R，sinD的關系為．所以在⊙O內(nèi)接三角形△ABC中，a，R，sinA之間的關系為．類比銳角求法，當∠A為直角和鈍角時都有此結論．【結論應用】已知三角形△ABC中，∠B＝60°，AC＝4，則△ABC外接圓的面積為．11．（2023?蚌山區(qū)校級二模）如圖，AB為半圓O的直徑，四邊形ABCD為平行四邊形，E為BC的中點，BF平分∠ABC，交AE于點F．（1）求證：BE＝EF；（2）若AB＝10，BF=210，求AD12．（2023?義烏市校級模擬）如圖，AB是圓O的直徑，PB，PC是圓O的兩條切線，切點分別為B，C．延長BA，PC相交于點D．（1）求證：∠CPB＝2∠ABC．（2）設圓O的半徑為2，sin∠PBC=23，求13．（2022秋?巴彥縣期末）已知AB、CD是圓O中的兩條弦，AB⊥CD，垂足為E，連接BC、BD、OC．（1）如圖1．求證：∠OCB＝∠ABD；（2）如圖2，過點A作AF⊥BD于F，AF交CD于G，求證：CE＝GE；（3）如圖3，在（2）的條件下連接BG，若BG恰好經(jīng)過圓心O，若圓O的半徑為5，sin∠D=45，求14．（2022?渠縣二模）如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，在CD上有點N滿足CN＝CA，AN交圓O于點F，過點F的AC的平行線交CD的延長線于點M，交AB的延長線于點E．（1）求證：EM是圓O的切線；（2）若sin∠M=35，AN＝310，求圓（3）在（2）的條件下，直接寫出MF的長度．15．（2022?通遼）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O為圓心，OB的長為半徑的圓交邊AB于點D，點C在邊OA上且CD＝AC，延長CD交OB的延長線于點E．（1）求證：CD是圓的切線；（2）已知sin∠OCD=45，AB＝45，求16．（2021?裕華區(qū)二模）如圖1～圖3，在?ABCD中，AB＝5，AD＝10，tan∠A=43，點M在BC邊上，BM＝2，半圓O與邊AD交于點P（靠近A的交點），直徑（1）在半圓運動過程中，BP的最小值是，此時AP＝；（2）如圖1，若OM⊥AD，求證：①圓心O在邊AD上；②圓O與AB相切；（3）當sin∠Q=58時，直接寫出點Q到直線BC17．（2023?長沙模擬）如圖1，在⊙O中，AB為直徑，點C在圓上，tan∠A=815，AB=172，D是AB上一動點（與點A、B不重合），DE平分∠CDB交邊BC于點E，EF⊥（1）當點D與圓心O重合時，如圖2所示，則DE＝；（2）若CD2＝CE?CB，試探究△BDE與DEF有何面積關系，并證明；（3）當△CEF與△ABC相似時，求cos∠BDE的值．18．（2023春?倉山區(qū)校級期中）已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，直徑AC與BD交于E點，BD平分∠ADC．（1）如圖1，若AD＝BD，求證：DC＝DE；（2）如圖2，作△BAM≌△BCD，使得M、D在AB的兩側（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），若tan∠CAD=34，求19．（2023?姑蘇區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點F，點E在⊙O外，作直線AE，且∠EAC＝∠D．（1）求證：直線AE是⊙O的切線；（2）若∠BAC＝30°，tan∠BAD=32，CF＝7．求圓的半徑20．（2023春?香坊區(qū)校級月考）已知：AB為⊙O的