整式的乘除化簡(jiǎn)求值解答題（4大題型提分練）七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步課堂（北師大版2024）

PAGE1（北師大版）七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第1章整式的乘除》專題整式的乘除化簡(jiǎn)求值解答題題型一先化簡(jiǎn)再直接代入求值1．（2024秋?豐臺(tái)區(qū)期末）求值：（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2），其中x=?1【分析】根據(jù)完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、合并同類項(xiàng)把原式化簡(jiǎn)，把x的值代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣（x2﹣2x+x﹣2）＝x2+2x+1﹣x2+2x﹣x+2＝3x+3，當(dāng)x=?13時(shí)，原式＝3×（【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?舞鋼市期末）運(yùn)用整式乘法公式先化簡(jiǎn)，再求值：（a﹣3b）2﹣（2b﹣a）（a+2b），其中，a＝1，b＝﹣1．【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式、合并同類項(xiàng)把原式化簡(jiǎn)，把a(bǔ)、b的值代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝a2﹣6ab+9b2﹣（4b2﹣a2）＝a2﹣6ab+9b2﹣4b2+a2＝2a2﹣6ab+5b2，當(dāng)a＝1，b＝﹣1時(shí)，原式＝2×12﹣6×1×（﹣1）+5×（﹣1）2＝13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是整式的化簡(jiǎn)求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?涼州區(qū)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+y）2+（3y+x）（3y﹣x），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式、合并同類項(xiàng)法則把原式化簡(jiǎn)，把x、y的值代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝x2+2xy+y2+9y2﹣x2＝2xy+10y2，當(dāng)x＝2，y＝﹣1時(shí)，原式＝2×2×（﹣1）+10×（﹣1）2＝﹣4+10＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題的是整式的化簡(jiǎn)求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?寧鄉(xiāng)市期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+3y）2﹣2x（x+2y）+（x﹣3y）（x+3y），其中x＝﹣1，y＝2．【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x與y的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：（x+3y）2﹣2x（x+2y）+（x﹣3y）（x+3y）＝x2+6xy+9y2﹣2x2﹣4xy+x2﹣9y2＝2xy，當(dāng)x＝﹣1，y＝2時(shí)，原式＝2×（﹣1）×2＝﹣4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．5．（2024秋?紅河縣期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x﹣3y）（3x+4y）﹣（6x2y﹣2xy2+3y3）÷y，其中x＝﹣9，y＝﹣1．【分析】直接利用整式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)進(jìn)而合并同類項(xiàng)，再把已知數(shù)據(jù)可得答案．【解答】解：原式＝6x2+8xy﹣9xy﹣12y2﹣6x2+2xy﹣3y2＝xy﹣15y2，當(dāng)x＝﹣9，y＝﹣1時(shí)，原式＝xy﹣15y2＝﹣9×（﹣1）﹣15×（﹣1）2＝9﹣15＝﹣6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．6．（2024秋?渭源縣期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+a）（1﹣a）+（a﹣2）2+（4a2﹣2a）÷（﹣2a），其中a＝﹣2．【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)把原式化簡(jiǎn)，把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝1﹣a2+a2﹣4a+4﹣2a+1＝﹣6a+6，當(dāng)a＝﹣2時(shí)，原式＝﹣6×（﹣2）+6＝18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．7．（2024?鹽都區(qū)三模）先化簡(jiǎn)，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2．【分析】先根據(jù)完全平方公式、平方差公式將多項(xiàng)式展開，再去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，最后代入值計(jì)算即可．【解答】解：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y）原式＝x2﹣4xy+4y2+4x2﹣y2﹣x2+4xy＝4x2+3y2，當(dāng)x＝﹣1，y＝2時(shí)，原式＝4×（﹣1）2+3×22＝4+12＝16．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的化簡(jiǎn)求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則是關(guān)鍵．8．（2024春?淮安區(qū)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+2x（2﹣x），其中x=?1【分析】先計(jì)算乘法，再合并同類項(xiàng)，然后把x=?1【解答】解：（x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+2x（2﹣x）＝x2﹣6x+9+x2﹣16+4x﹣2x2＝﹣2x﹣7，當(dāng)x=?1原式=?2×(?1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式，與平方差公式，熟練掌握完全平方公式，與平方差公式是解題的關(guān)鍵．9．（2024春?慈利縣期末）先化簡(jiǎn)，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中a=1，b=?1【分析】原式利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，完全平方公式，以及平方差公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把a(bǔ)與b的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：原式＝（a2﹣2ab）+（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣b2）＝a2﹣2ab+a2+2ab+b2﹣a2+b2＝a2+2b2，當(dāng)a＝1，b=?1原式＝1+2×（?12＝1+=3【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則及公式是解本題的關(guān)鍵．10．（2024春?臨淄區(qū)期中）化簡(jiǎn)求值：（1）2（x﹣5）（x+2）﹣（x﹣1）（2x+1），其中x＝﹣2；（2）[（a+3b）（﹣a+3b）﹣（2a﹣3b）2﹣5a（a﹣4b）]÷（2a），其中a＝2，b=?1【分析】（1）先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把x的值代入化簡(jiǎn)后的式子，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用平方差公式，完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算括號(hào)里，再算括號(hào)外，然后把a(bǔ)，b的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）2（x﹣5）（x+2）﹣（x﹣1）（2x+1），＝2（x2﹣3x﹣10）﹣（2x2﹣x﹣1）＝2x2﹣6x﹣20﹣2x2+x+1＝﹣5x﹣19，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，原式＝﹣5×（﹣2）﹣19＝10﹣19＝﹣9；（2）[（a+3b）（﹣a+3b）﹣（2a﹣3b）2﹣5a（a﹣4b）]÷（2a）＝[9b2﹣a2﹣（4a2﹣12ab+9b2）﹣5a2+20ab）÷（2a）＝（9b2﹣a2﹣4a2+12ab﹣9b2﹣5a2+20ab）÷（2a）＝（﹣10a2+32ab）÷2a＝﹣5a+16b，當(dāng)a＝2，b=?12時(shí)，原式＝﹣5×2+16×（＝﹣10+（﹣8）＝﹣18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．題型二先化簡(jiǎn)再整體代入求值1．（2024春?深圳期中）已知x2﹣2x﹣1＝0，求代數(shù)式2（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2的值．【分析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，合并同類項(xiàng)，求出x2﹣2x＝1，最后代入求出答案即可．【解答】解：原式＝2（x2﹣1）﹣（x2+2x+1）＝2x2﹣2﹣x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x﹣3∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，原式＝x2﹣2x﹣3＝1﹣3＝﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．2．（2024秋?大興區(qū)期末）已知a2+a＝1，求代數(shù)式（a+1）2+（a+2）（a﹣2）的值．【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式、合并同類項(xiàng)把原式化簡(jiǎn)，整體代入計(jì)算即可．【解答】解：（a+1）2+（a+2）（a﹣2）＝a2+2a+1+a2﹣4＝2a2+2a﹣3，∵a2+a＝1，∴2a2+2a＝2，則原式＝2﹣3＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?海淀區(qū)期末）已知m2﹣2m﹣1＝0，求（m+2）（m﹣2）﹣2m（3﹣m）的值．【分析】先利用平方差公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，然后把m2﹣2m＝1代入化簡(jiǎn)后的式子中進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（m+2）（m﹣2）﹣2m（3﹣m）＝m2﹣4﹣6m+2m2＝3m2﹣6m﹣4，∵m2﹣2m﹣1＝0，∴m2﹣2m＝1，∴當(dāng)m2﹣2m＝1時(shí)，原式＝3（m2﹣2m）﹣4＝3×1﹣4＝3﹣4＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）已知x2+2x﹣2＝0，求x（x﹣2）+（x+3）2的值．【分析】先化簡(jiǎn)，再利用整體代入的思想解決問(wèn)題．【解答】解：原式＝x2﹣2x+x2+6x+9＝2x2+4x+9，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，∴2x2+4x＝4，∴原式＝4+9＝13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握整式的混合運(yùn)算法則．5．（2024秋?順義區(qū)期末）已知2x2+y2﹣3＝0，求代數(shù)式（x+y）2+x（x﹣2y）的值．【分析】先利用完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，然后把2x2+y2＝3代入化簡(jiǎn)后的式子中進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（x+y）2+x（x﹣2y）＝x2+2xy+y2+x2﹣2xy＝2x2+y2，∵2x2+y2﹣3＝0，∴2x2+y2＝3，當(dāng)2x2+y2＝3時(shí)，原式＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．（2024春?重慶期中）先化簡(jiǎn)，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2﹣（x2﹣5y2）]÷（﹣2x），其中x，y滿足x﹣y＝﹣1．【分析】先利用完全平方公式，平方差公式計(jì)算括號(hào)里，再算括號(hào)外，然后把x，y的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2﹣（x2﹣5y2）]÷（﹣2x）＝[（x2﹣4y2）﹣（4x2﹣4xy+y2）﹣（x2﹣5y2）]÷（﹣2x）＝（x2﹣4y2﹣4x2+4xy﹣y2﹣x2+5y2）÷（﹣2x）＝（﹣4x2+4xy）÷（﹣2x）＝（﹣4x2）÷（﹣2x）+4xy÷（﹣2x）＝2x﹣2y，當(dāng)x﹣y＝﹣1時(shí)，原式＝2（x﹣y）＝2×（﹣1）＝﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，完全平方公式，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．已知，x2+4x﹣4＝0，求3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值．【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后對(duì)式子x2+4x﹣4＝0變形，即可解答．【解答】解：3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）＝3x2﹣12x+12﹣6x2+6＝﹣3x2﹣12x+18，∵x2+4x﹣4＝0，∴x2+4x＝4，∴原式＝﹣3（x2+4x）+18＝﹣3×4+18＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式的化簡(jiǎn)求值的方法．8．先化簡(jiǎn)，再求值：（x+3y）（x﹣3y）﹣（2x﹣y）2﹣y（3x﹣7y），其中x，y滿足x+y＝3，xy＝1．【分析】利用完全平方公式計(jì)算乘方，利用平方差公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算乘法，然后去括號(hào)，合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后利用整體思想代入求值．【解答】解：原式＝（x2﹣9y2）﹣（4x2﹣4xy+y2）﹣3xy+7y2＝x2﹣9y2﹣4x2+4xy﹣y2﹣3xy+7y2＝﹣3x2+xy﹣3y2，∵x+y＝3，xy＝1，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝32﹣2×1＝9﹣2＝7，∴原式＝﹣3（x2+y2）+xy＝﹣3×7+1＝﹣20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解題關(guān)鍵．題型三運(yùn)用完全平方公式的變形求值1．已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，求x2+y2和xy的值．【分析】直接利用完全平方公式計(jì)算，進(jìn)而將x2+y2和xy看作整體求出即可．【解答】解：∵（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，∴x2+y2+2xy＝12，x2+y2﹣2xy＝4，故2（x2+y2）＝16，解得：x2+y2＝8，故4xy＝8，解得xy＝2．綜上所述，x2+y2＝8；xy＝2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．2．（2024秋?十堰期末）已知實(shí)數(shù)m，n滿足m+n＝6，mn＝﹣3．（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；（2）求m2+n2的值．【分析】（1）將原式展開后，再將m+n，mn代入即可求出答案．（2）根據(jù)完全平方公式即可求出答案．【解答】解：（1）因?yàn)閙+n＝6，mn＝﹣3，所以（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2m﹣2n+4＝mn﹣2（m+n）+4＝﹣3﹣2×6+4＝﹣11．（2）m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的乘法，涉及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，完全平方公式，屬于基礎(chǔ)題型．3．（2024秋?江安縣期中）已知x+y＝3，xy＝﹣10，求：（1）（3﹣x）（3﹣y）的值．（2）求x2+3xy+y2的值．【分析】（1）原式利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，把各自的值代入計(jì)算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，把各自的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）∵x+y＝3，xy＝﹣10，∴原式＝9﹣3y﹣3x+xy＝9﹣3（x+y）+xy＝9﹣3×3﹣10＝9﹣9﹣10＝﹣10；（2）∵x+y＝3，xy＝﹣10，∴原式＝（x+y）2+xy＝9﹣10＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式，以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則及公式是解本題的關(guān)鍵．4．（2024秋?青浦區(qū)校級(jí)月考）已知（x+y）2＝4，（x﹣y）2＝16，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）x4+y4．【分析】利用完全平方公式解答各題即可．【解答】解：（1）∵（x+y）2＝4，（x﹣y）2＝16，∴x2+2xy+y2＝4①，x2﹣2xy+y2＝16②，①+②得：2x2+2y2＝20，則x2+y2＝10；（2）由（1）得①﹣②得：4xy＝﹣12，則xy＝﹣3，那么x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝（x2+y2）2﹣2（xy）2＝102﹣2×（﹣3）2＝100﹣18＝82．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式，熟練掌握該公式是解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求：（1）a2+b2的值；（2）4a2﹣3ab+4b2的值．【分析】（1）由題意易得a2（2）由題意可得ab=(a+b)【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13，∴兩式相加可得2（a2+b2）＝30，則a2+b2＝15；（2）兩式相減可得4ab＝4，則ab＝1，那么4a2﹣3ab+4b2＝4（a2+b2）﹣3ab＝4×15﹣3×1＝57．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．6．（2024春?婁星區(qū)校級(jí)期中）已知a﹣b＝6，ab＝﹣7．求：（1）a2+b2的值；（2）（a+b）2+2（a﹣b）2的值．【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，給等式兩邊同時(shí)加2ab，根據(jù)已知條件即可得出答案；（2）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，給等式兩邊同時(shí)加4ab，右邊為a2+2ab+b2，即（a+b）2，根據(jù)已知條件即可得出答案．【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，ab＝﹣7，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝62+2×（﹣7）＝22；（2）∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，a﹣b＝6，ab＝﹣7，∴（a+b）2＝62+4×（﹣7）＝8，∴（a+b）2+2（a﹣b）2＝8+2×62＝80．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方公式的變式應(yīng)用，熟練應(yīng)用完全平方公式的變式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．7．（2024秋?泉州期中）已知代數(shù)式（a+b）2，a2+b2，ab之間存在這樣的等量關(guān)系：（a+b）2＝a2+b2+2ab；根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系，解決下列問(wèn)題；（1）已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；（2）已知（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝52，求x﹣2020的值．【分析】（1）將已知代入完全平方公式，即可解得答案；（2）設(shè)x﹣2020＝a，代入已知可得a2＝25，即得x﹣2020的值為±5．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，a+b＝4，a2+b2＝10，∴42＝10+2ab，∴ab＝3；（2）設(shè)x﹣2020＝a，則x﹣2021＝a﹣1，x﹣2019＝a+1，∴（a﹣1）2+（a+1）2＝52，∴a2﹣2a+1+a2+2a+1＝52，∴a2＝25，∴a＝±5，即x﹣2020的值為±5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式，能熟練運(yùn)用換元法解決問(wèn)題．8．（2023秋?東坡區(qū)校級(jí)期中）已知a+b＝3，ab=5（1）a2+b2；（2）a﹣b；（3）2﹣2b2+6b．【分析】（1）依據(jù)a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）依據(jù)（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）依據(jù)a+b＝3，即可得到b2﹣6b+9＝a2，再根據(jù)2﹣2b2+6b＝2﹣b2﹣（b2﹣6b+9）+9進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×54=（2）（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab=132?（3）原式＝2﹣2b（b﹣3）＝2﹣2b（﹣a）＝2+2ab＝4.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記完全平方公式．9．（2024秋?普陀區(qū)期中）閱讀理解．已知（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，求（a﹣13）2的值．解：由（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，可得[（a﹣13）+1]2+[（a﹣13）﹣1]2＝6．整理得（a﹣13）2+2（a﹣13）+1+（a﹣13）2﹣2（a﹣13）+1＝6．2（a﹣13）2+2＝6得（a﹣13）2＝2．請(qǐng)仿照上述方法，完成下列問(wèn)題：（1）已知（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10，求（a﹣97）2的值．（2）已知（a﹣2024）2＝8，求（a﹣2025）2+（2023﹣a）2的值．【分析】（1）將（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10變形為[（a﹣97）﹣1]2+[（a﹣97）+1]2＝10，然后利用完全平方公式展開并整理成2（a﹣97）2+2＝10，即可求出（a﹣97）2的值；（2）將（a﹣2025）2+（2023﹣a）2變形為[（a﹣2024）﹣1]2+[（a﹣2024）+1]2，然后利用完全平方公式展開并整理成2（a﹣2024）2+2，然后將已知條件代入求值即可．【解答】解：（1）由（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10，可得[（a﹣97）﹣1]2+[（a﹣97）+1]2＝10，整理得（a﹣97）2﹣2（a﹣97）+1+（a﹣97）2+2（a﹣97）+1＝10，2（a﹣97）2+2＝10，得（a﹣97）2＝4；（2）（a﹣2025）2+（2023﹣a）2＝[（a﹣2024）﹣1]2+[（a﹣2024）+1]2＝（a﹣2024）2﹣2（a﹣2024）+1+（a﹣2024）2+2（a﹣2024）+1＝2（a﹣2024）2+2，當(dāng)（a﹣2024）2＝8時(shí)，原式＝2×8+2＝18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．10．（2024春?江都區(qū)校級(jí)期中）完全平方公式經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多數(shù)學(xué)問(wèn)題．例如：若a+b＝3，ab＝1求a2+b2的值．解：因?yàn)閍+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，所以a2+b2＝7．根據(jù)上面的解題思路與方法解決下列問(wèn)題：（1）若a﹣b＝﹣5，ab＝3，則a2+b2＝．（2）若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13求a2+b2的值．（3）已知x2+3x﹣1＝0，求x2【分析】（1）根據(jù)完全平方公式變形即可求解；（2）由題意得到（a+b）2+（a﹣b）2＝30，根據(jù)完全平方公式得出a2+2ab+b2+a2﹣2ab+b2＝30，化簡(jiǎn)即可求解．（3）兩邊同時(shí)除以x得，x?1x=?3【解答】解：（1）∵a﹣b＝﹣5，ab＝3，∴（a﹣b）2＝25，2ab＝6，∴a2﹣2ab+b2＝25，即a2﹣6+b2＝25，∴a2+b2＝31．故答案為：31；（2）∵（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，∴（a+b）2+（a﹣b）2＝30，a2+2ab+b2+a2﹣2ab+b2＝30，2a2+2b2＝30，∴a2+b2＝15；（3）∵x2+3x﹣1＝0，∴x+3?1即x?1(x?1x2∴x2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式變形求值，正確完全平方公式是解題的關(guān)鍵．題型四結(jié)合幾何圖形進(jìn)行計(jì)算求值1．（2023秋?端州區(qū)期末）很多同學(xué)在學(xué)習(xí)整式乘法及乘法公式時(shí)，都是死記硬背計(jì)算公式．為了讓學(xué)生們能更直觀地理解公式，李老師上了一節(jié)拼圖實(shí)驗(yàn)課，她用四張長(zhǎng)為a、寬為b的小長(zhǎng)方形（如圖1），拼成了一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形（如圖2）．觀察圖形，解答下列問(wèn)題：（1）圖2中，陰影部分的面積是；（2）觀察圖1、圖2，請(qǐng)你寫出三個(gè)代數(shù)式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的關(guān)系；（3）應(yīng)用：已知x+y＝7，xy＝10，求值：①（x﹣y）2；②x﹣y．【分析】（1）表示出陰影部分的邊長(zhǎng)即可得答案；（2）用兩種方法表示四個(gè)長(zhǎng)方形面積可得答案；（3）應(yīng)用（2）的結(jié)論，可得答案．【解答】解：（1）陰影部分是邊長(zhǎng)為（a﹣b）的正方形，∴陰影部分的面積是（a﹣b）2，故答案為：（a﹣b）2；（2）由圖可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故答案為：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）①∵x+y＝7，xy＝10，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝72﹣4×10＝9；②x﹣y＝±3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式的幾何背景，完全平方式，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?東城區(qū)期中）如圖1有三種紙片，A種紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為b，寬為a的長(zhǎng)方形，老師用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．（1）觀察圖2的面積關(guān)系，寫出一個(gè)數(shù)學(xué)公式；（2）根據(jù)數(shù)學(xué)公式，解決問(wèn)題：已知a+b＝7，a2+b2＝29，求（a﹣b）2的值．【分析】（1）觀察圖形可知圖2的面積可以看作邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形面積，也可以看成一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形的面積+一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形的面積+2個(gè)長(zhǎng)為b，寬的a的長(zhǎng)方形的面積，然后根據(jù)正方形和長(zhǎng)方形的面積公式進(jìn)行解答即可；（2）先根據(jù)（1）中所求公式和已知條件，求出2ab，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行解答即可．【解答】解：（1）圖2的面積可以看作邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形面積，也可以看成一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形的面積+一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形的面積+2個(gè)長(zhǎng)為b，寬的a的長(zhǎng)方形的面積，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）∵a+b＝7，a2+b2＝29，（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴29+2ab＝72，2ab＝49﹣29＝20，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝29﹣20＝9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方公式和它的幾何背景，解題關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．3．（2023春?郟縣期中）【閱讀材料】我們知道，圖形也是一種重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，而運(yùn)用代數(shù)思想也能巧妙地解決一些圖形問(wèn)題．在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師準(zhǔn)備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片，其中甲種紙片是邊長(zhǎng)為x的正方形，乙種紙片是邊長(zhǎng)為y的正方形，丙種紙片是長(zhǎng)為y，寬為x的長(zhǎng)方形，并用甲種紙片一張，乙種紙片一張，丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個(gè)大正方形．【理解應(yīng)用】（1）觀察圖2，請(qǐng)用兩種不同方式計(jì)算陰影部分的面積，并把得到的等式寫出來(lái)．【拓展升華】（2）利用（1）中的等式解決下列問(wèn)題．已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；（3）若用圖一中的卡片拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為y+3x的正方形，則需要甲型卡片張、乙型卡片張、丙型卡片張．【分析】（1）陰影部分面積可以用大正方形的面積減去兩空白長(zhǎng)方形的面積，也利用直接用兩個(gè)小正方形面積之和來(lái)求，列出等式即可；（2）把a(bǔ)+b＝6兩邊平方，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，把a(bǔ)2+b2＝10代入計(jì)算即可求出ab的值；（3）表示出正方形的面積，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，即可確定出甲、乙、丙三種型號(hào)的卡片數(shù)．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：（x+y）2﹣2xy＝x2+y2；（2）把a(bǔ)+b＝6兩邊平方得：（a+b）2＝36，整理得：a2+b2+2ab＝36，把a(bǔ)2+b2＝10代入得：10+2ab＝36，解得：ab＝13；（3）根據(jù)題意得：（y+3x）2＝y(tǒng)2+6xy+9x2，則需要甲型卡片9張、乙型卡片1張、丙型卡片6張．故答案為：9，1，6．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方式，以及完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．4．（2023秋?龍南市月考）圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2x、寬為2y的長(zhǎng)方形，沿虛線將圖1裁剪成四個(gè)大小相同的長(zhǎng)方形，然后按圖2的方式無(wú)縫隙地拼成一個(gè)正方形．（1）請(qǐng)你用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積方法1：．方法2：．（2）①（x+y）2，（x﹣y）2，xy之間的數(shù)量關(guān)系是；②當(dāng)m+n＝10，mn＝15時(shí)，求（m﹣n）2的值．（3）如圖3，將大小不一的長(zhǎng)方形和正方形無(wú)縫隙地拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為（x+y+z）的正方形，根據(jù)面積的等量關(guān)系，可列式子：．【分析】（1）根據(jù)題意可知，圖2中的陰影部分為正方形，表示出這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，利用正方形的面積公式表示出陰影部分面積即可；圖2中的陰影部分的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，由此即可求解；（2）①根據(jù)（1）中陰影部分面積的不同表示方法可得等式；②利用①中得出的公式直接代入計(jì)算；（3）圖3的面積可以表示為大正方形邊長(zhǎng)的平方，也可以表示為九部分的面積和，據(jù)此得出等式．【解答】解：（1）由圖可得：方法1：（x﹣y）2；方法2：（x+y）2﹣4xy；故答案為：（x﹣y）2，（x+y）2﹣4xy；（2）①由（1）可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy；故答案為：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy；②∵m+n＝10，mn＝15，∴由①可得：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝102﹣4×15＝40；（3）根據(jù)面積的不同計(jì)算方法可得：（x+y+z）2＝x2+xy+xz+xy+y2+yz+xz+yz+z2＝x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz，故答案為：（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式的幾何背景，運(yùn)用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)完全平方公式做出幾何解釋．5．（2023秋?韶關(guān)期末）如圖1，有A型、B型、C型三種不同形狀的紙板，A型是邊長(zhǎng)為a的正方形，B型是邊長(zhǎng)為b的正方形，C型是長(zhǎng)為b，寬為a的長(zhǎng)方形．現(xiàn)用A型紙板一張，B型紙板一張，C型紙板兩張拼成如圖2的大正方形．（1）觀察圖2，請(qǐng)你用兩種方法表示出圖2的總面積：方法1：，方法2：，根據(jù)上面兩種面積表示方法，寫出一個(gè)關(guān)于a，b的公式：；（2）已知圖2的總面積為100，一張A型紙板和一張B型紙板的面積之和為58，求ab的值；（3）用一張A型紙板和一張B型紙板，拼成圖3所示的圖形，如果b﹣a＝3，ab＝28，求圖3陰影部分的面積．【分析】（1）由觀察圖2可得兩種方法表示出圖2的總面積為（a+b）2和a2+2ab+b2，關(guān)于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由題意得，a2+2ab+b2＝100，a2+b2＝58，兩個(gè)等式作差可求得此題結(jié)果；（3）由題意得b22+a【解答】解：（1）用兩種方法表示出圖2的總面積為（a+b）2和a2+2ab+b2，關(guān)于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案為：（a+b）2；a2+2ab+b2；（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由題意得，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝100，a2+b2＝58，∴ab==100?58=42＝21；（3）由題意得圖3中陰影部分的面積為：b22+=b=(a?b把b﹣a＝3，ab＝28，代入得：圖3中陰影部分的面積為：(?3)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式幾何背景的應(yīng)用能力，掌握根據(jù)圖形準(zhǔn)確列式，并靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變式應(yīng)用是關(guān)鍵．6．（2024春?拱墅區(qū)月考）用1張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片，1張邊長(zhǎng)為b的正方形紙片，2張長(zhǎng)和寬分別為a，b的長(zhǎng)方形紙片拼成如圖1所示的大正方形．（1）觀察圖1，試用兩種不同的方法表示圖1中兩個(gè)陰影圖形面積的和（用含a，b的代數(shù)式表示）．代數(shù)式1：；代數(shù)式2：；（2）從（1）中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)用等式表示出來(lái)；（3）利用（2）中得出的結(jié)論解決下面的問(wèn)題：①若a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；②如圖2，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC，BC為邊向兩邊作正方形ACDE與正方形CFGB，若AB＝7，兩正方形的面積和為S1+S2＝25．求圖2中陰影部分的面積．【分析】（1）代數(shù)式1：直接用代數(shù)式表示兩個(gè)正方形的面積和即可；代數(shù)式2：從大正方形中減去兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積即可；（2）由（1）中兩個(gè)代數(shù)式相等可得答案；（3）①a+b＝5，a2+b2＝13，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入即可求出ab的值；②設(shè)正方形ACDE的邊長(zhǎng)為m，正方形CFGB的邊長(zhǎng)為n，由題意可得m+n＝7，m2+n2＝25，根據(jù)m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，求出mn的值，進(jìn)而求出12mn【解答】解：（1）圖1中兩個(gè)陰影部分的面積和，也就是邊長(zhǎng)為a，邊長(zhǎng)為b的正方形的面積和，即a2+b2，圖1中陰影部分的面積和也可以看作從邊長(zhǎng)為a+b的正方形面積減去兩個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形的面積，即（a+b）2﹣2ab，故答案為：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）由（1）中兩個(gè)代數(shù)式所表示的面積相等可得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①∵a+b＝5，a2+b2＝13，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴13＝25﹣2ab，∴ab＝6；②設(shè)正方形ACDE的邊長(zhǎng)為m，正方形CFGB的邊長(zhǎng)為n，由于AB＝7，兩正方形的面積和為S1+S2＝25，即m+n＝7，m2+n2＝25，∵m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，即25＝49﹣2mn，∴mn＝12，∴S陰影部分=12【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．7．（2024春?雅安期末）所謂完全平方式，就是對(duì)于一個(gè)整式A，如果存在另一個(gè)整式B，使A＝B2，則稱A是完全平方式，例如：a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，所以a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2就是完全平方式．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝20，則ab＝；（2）如果x2﹣（k+1）x+9是一個(gè)完全平方式，則k的值為；（3）若x滿足（2024﹣x）2+（x﹣2007）2＝169，求（2024﹣x）（x﹣2007）的值；（4）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝10，AD＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝x，分別以FC，CE為邊在長(zhǎng)方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN．①CF＝，CE＝；（用含x的式子表示）②若長(zhǎng)方形CEPF的面積為32，求圖中陰影部分的面積和．【分析】（1）根據(jù)公式進(jìn)行變形即可求得到答案；（2）利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出k的值；（3）將（2024﹣x）和（x﹣2007）看成一個(gè)整體，利用公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（3）①根據(jù)圖形可以直接得到答案；②根據(jù)長(zhǎng)方形CEPF的面積為32即可得到（10﹣x）（6﹣x）＝32，將（10﹣x）和（6﹣x）看成一個(gè)整體可求得（10﹣x）2+（6﹣x）2，再根據(jù)S陰影＝S正方形CFGH+S正方形CEMN即可得到答案．【解答】解：（1）∵