中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)專題36 中考命題核心元素含45°角的問題的幾種解題思路（原卷版）

專題36含45°角的問題的幾種解題思路（原卷版）模塊一典例剖析+針對訓(xùn)練思路1：套用半角模型常用結(jié)論．模型解讀：常用結(jié)論：如圖①，BM＋DN＝MN；MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；△CMN的周長＝2AB.常用證明方法：如圖②，將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABN′，證明△AMN≌△AMN′.常用結(jié)論：如圖③，BP2＋QD2＝PQ2.常用證明方如圖④，在正方形ABCD中，AD＝a，點M，N分別在BC，CD邊上，且∠MAN＝45°.拓展結(jié)論：(1)BM＋DN＝MN；(2)MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；(3)△CMN的周長＝2a(為定值)；(4)S△ABM＋S△ADN＝S△AMN；(5)eq\f(MN,AB)的最小值為2eq\r(2)－2；(6)S△AMN的最小值為(eq\r(2)－1)a2；(7)S△CMN的最大值為(3－2eq\r(2))a2；(8)BP2＋QD2＝PQ2；(9)△APQ∽△BAQ∽△DPA∽△BPM∽△DNQ；(10)BQ·DP＝AB·AD＝a2(定值)；(11)△APQ∽△ANM(相似比為1∶eq\r(2))；(12)S△AMN＝2S△APQ；(13)P，M，N，Q四點共圓；(14)△AMC∽△AQD(相似比為1∶eq\r(2))；(15)CM·CN＝2BM·DN；(16)MQ⊥AN，NP⊥AM；(17)△APN與△AQM均為等腰直角三角形；(18)A，B，M，Q四點共圓；(19)A，P，N，D四點共圓．法：將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADP′，證明△AQP≌△AQP′.思路2：作垂直，將45°角置于直角三角形中，構(gòu)造等腰直角三角形解決問題．思路3：利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，構(gòu)造直角三角形，解決問題．思路4：利用兩角和或差的正切公式；典例1在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（4，0）、B（﹣6，0），點C是y軸上的一個動點，當(dāng)∠BCA＝45°時，求點C的坐標(biāo)．（盡可能用多種方法解題）針對訓(xùn)練1．（2021春?永嘉縣校級期末）如圖，已知反比例函數(shù)y=k（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（4，5），若在該圖象上有一點P，使得∠AOP＝45°，則點P的坐標(biāo)是2．如圖，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于點D，若BD＝2，CD＝1．求△ABC的面積．

典例2（2022?東莞市校級一模）如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是邊CD、AD上的點，∠EBF＝45°．（1）小聰同學(xué)通過將△BAF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°至△BCG，得到∠EBG＝∠EBF＝45°．①請直接寫出線段CE、EF、AF之間的數(shù)量關(guān)系：（用等式表示）；②若AB＝2，E為CD邊中點，求AF．（2）如圖2，將正方形ABCD改為矩形，且AB＝2，BC＝3，其他條件不變，即：E、F分別是邊CD、AD上的點，∠EBF＝45°．③記EF＝y(tǒng)，CE+AF＝x，試探究y與x之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示）；④當(dāng)BF⊥EF時，求線段EF的長．針對訓(xùn)練1．（2020?泗水縣二模）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，AE、AF分別交BD于M、N，連接EN、EF，有以下結(jié)論：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③當(dāng)AE＝AF時，BEEC=22；④BE+A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．如圖，正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且EG與FH的夾角為45°，若正方形ABCD的邊長為1，F(xiàn)H的長為52，求EG典例3（2022秋?寧化縣月考）（1）如圖1，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，延長CD到點G，使DG＝BE，連結(jié)EF，AG．①判定AE和AG關(guān)系，并證明；②證明：EF＝FG；（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝1，CN＝3，求MN的長．針對訓(xùn)練1．（2020春?太倉市期中）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D，E是斜邊BC上兩點，∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，則△ABC的面積為．

模塊二2023中考押題預(yù)測1．（2021秋?潛江校級月考）如圖，點E和點F是正方形ABCD的邊BC和邊CD上的兩動點，且∠EAF＝45°，有下列結(jié)論：①EF＝BE+DF；②∠AEB＝∠AEF；③BG2+DG2＝2AG2；④如果BE＝CE，那么DF：CF＝1：3；⑤△AFE∽△AGM且相似比是2；其中正確的結(jié)論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023?天河區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，AO＝1，若將AD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接OE，則在D點運動過程中，線段OE的最小值為．3．如圖，點A與點B的坐標(biāo)分別是（1，0）和（5，0），點P是該直角坐標(biāo)系x軸上方的動點，并且滿足∠APB＝45°，滿足條件的點P有多少個？畫出這一些點．4．（2016秋?銅山區(qū)期中）已知：如圖，△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB，點D、E是BC上的兩點，且∠DAE＝45°，△ADC與△ADF關(guān)于直線AD對稱．求證：（1）∠FAE＝∠BAE；（2）CD2+BE2＝DE2．5．（2022??？谀M）如圖①，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，（1）求證：EG＝FH；（2）如果把題目中的“正方形”改為“長方形”，若AB＝3，BC＝4（如圖②），求FHEG（3）如果把題目中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”（如圖③），若正方形ABCD的邊長為2，F(xiàn)H的長為5，求EG的長．6．（2020秋?寧