高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修四）第07講第9章解三角形章末測(cè)試卷

第9章解三角形章末測(cè)試卷時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150一、單選題1．在△ABC中，A=60°，a2A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】由余弦定理結(jié)合題意化簡(jiǎn)即可判斷△ABC【詳解】在△ABC中，因?yàn)锳=60°，所以由余弦定理可得，a2所以bc=b2所以b=c，結(jié)合A=60°故選：D.2．如圖所示，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD=A．100m B．1006m C．1206【答案】B【分析】在△ABC中，使用正弦定理得到BC=3002【詳解】在△ABC中，∠BAC=30°所以∠ACB因?yàn)锳B=600m，所以由正弦定理得：AB即600sin45°=BC在Rt△BCD中，∠所以CD=故選：B3．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,CA．等邊三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形【答案】B【分析】利用正弦定理和余弦定理化角為邊可得答案.【詳解】因?yàn)?cosCsinB因?yàn)閏osC=a2+故選：B.4．滿(mǎn)足條件a=4,b=3A．一個(gè) B．兩個(gè) C．不存在 D．無(wú)法判斷【答案】B【分析】利用余弦定理運(yùn)算求解即可判斷.【詳解】因?yàn)閍2=b2+c2所以滿(mǎn)足條件的△ABC故選：B．5．如圖，在扇形OPQ中，半徑OP=2，圓心角∠POQ=π4，A是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，B是半徑OQA．22?2 B．2?1 C．3【答案】B【分析】設(shè)∠AOP=θ，利用正弦定理可表示出OB【詳解】設(shè)∠AOP=θ∵AB//OP，∠POQ=π4在△OAB中，由正弦定理得：OB∴S△OAB∵θ∈0,∴當(dāng)2θ+π4=π2故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查幾何圖形中的面積最值的求解，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笕切蚊娣e表示為關(guān)于變量θ的函數(shù)的形式，結(jié)合三角恒等變換和三角函數(shù)值域的知識(shí)求解得到最值.6．王之渙《登鸛雀樓》：白日依山盡，黃河入海流，欲窮千里目，更上一層樓.詩(shī)句不僅刻畫(huà)了祖國(guó)的壯麗河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得遠(yuǎn)”的哲理，因此成為千古名句.我們從數(shù)學(xué)角度來(lái)思考：欲窮千里目，需上幾層樓？把地球看作球體，地球半徑R=6371km，如圖，設(shè)O為地球球心，人的初始位置為點(diǎn)M，點(diǎn)N是人登高后的位置（人的高度忽略不計(jì)），按每層樓高3m計(jì)算，“欲窮千里目”即弧AM的長(zhǎng)度為500km（參考數(shù)據(jù)：5006371≈0.0785，cos0.0785≈0.9969，A．5800 B．6000 C．6600 D．70000【答案】C【分析】設(shè)∠AOM=θ.由已知可推得，θ≈0.0785，進(jìn)而在Rt△OAN【詳解】設(shè)∠AOM=∠AON=θ由題意可得，θ=顯然，AN⊥OA，則在Rt△OAN所以O(shè)N=所以，MN=所以，需要登上樓的層數(shù)約為19.8×10故選：C.7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將Rt△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Rt△A．2.5 B．2+3 C．3 【答案】C【分析】由題意∠MCP=θ【詳解】由題意CM=1,繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Rt△A′B設(shè)∠MCP則PM∵θ∴P故選：C.8．在△ABC中，若AB=2,AC=3A．3 B．32 C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理得到sinB關(guān)于a【詳解】依題意，不妨設(shè)BC=a，AC=b，AB=由余弦定理得b2=a2+故cosB=4?2所以sin2又因?yàn)镾=故S2當(dāng)a2=4，即a=2時(shí)，S2取得最大值3，此時(shí)a=2所以Smax2=3故選：A.二、多選題9．已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,cA．BB．AC．若CD=6，則△ACDD．若BD=6，則△ACD【答案】ACD【分析】利用兩角和差余弦公式可化簡(jiǎn)已知等式求得cosAcosC=14，利用正弦定理邊化角，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系可構(gòu)造方程求得cosB，進(jìn)而知A正確；將cosB的值代入已知等式可求得A=【詳解】∵cosA∴cosAcosC由b2=ac∴1∴sin2B?cosB∵B∈0,π∵cosA?C=cosB+1∴△ABC為等邊三角形，∴∵A=π在△ACD中，由余弦定理得：C∴AC+AD解得：AC+AD≤43，設(shè)AD=m0<∴S則當(dāng)m=3時(shí)，S△ACD故選：ACD.10．△ABC的內(nèi)角A?BA．若A>BB．若△ABC為鈍角三角形，則C．若A=30°D．若三角形ABC為斜三角形，則tan【答案】ACD【分析】由正弦定理可判斷A，由余弦定理可判斷B，由bsin【詳解】對(duì)于A(yíng)，若A>B，則a>所以，sinA對(duì)于B，若△ABC為鈍角三角形，假設(shè)C則cosC=a對(duì)于C，bsinA=4sin所以△ABC對(duì)于D，因?yàn)閠an(B所以tan因?yàn)閠an(B所以tanB所以tanA故選：ACD11．在△ABCA．A>B是B．若PA?PB=C．若△ABC面積為S，S=D．cos(【答案】ABC【分析】A.根據(jù)三角形的性質(zhì)和正弦定理判斷；B.變形數(shù)量積公式，結(jié)合幾何意義，即可判斷；C.根據(jù)三角形面積公式，和余弦定理求解；D.利用誘導(dǎo)公式和三角形的性質(zhì)，即可判斷.【詳解】A.A>B?a>b，再根據(jù)正弦定理asinB.PA?PB=PB?PC?PB?C.由條件可知，S=14a2+b2?c2D.cos(B故選：ABC12．中國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開(kāi)平方得積．把以上文字寫(xiě)成公式，即S=14c2a2?c2+a2?b22A．△ABC的最短邊長(zhǎng)是2 B．△ABCC．△ABC的外接圓半徑為2213 D．△ABC【答案】BC【分析】依題意設(shè)a=2t，b=3t，c=7t（t【詳解】解：由a:b:c=2:3:7，設(shè)a=2因?yàn)镾△ABC=63，所以63=147因?yàn)閏osC=a2+因?yàn)镃=π3，所以sinC=CD=12CA+故選：BC．三、填空題13．設(shè)α，β是一個(gè)鈍角三角形的兩個(gè)銳角，有①tanαtanβ<1；②sinα【答案】①②③【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和輔助角公式分別對(duì)四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)于鈍角三角形的兩個(gè)銳角α,β，必有對(duì)于①，tanα對(duì)于②，因?yàn)棣?β<90°，所以0°<所以sinα即sinα對(duì)于③，cosα因?yàn)?°<α<90°，所以45°<α所以cosα對(duì)于④，例如α=30°,β=30°而tanα+β2=tan30°=綜上：結(jié)論正確的序號(hào)為①②③，故答案為：①②③.14．已知△ABC，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c【答案】3【分析】由題目條件，根據(jù)正弦定理先推出邊長(zhǎng)關(guān)系，根據(jù)面積相等，求出角平分線(xiàn)長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理，將角平分線(xiàn)表示成一個(gè)量的函數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】對(duì)sinA+sinB=2sin∠ACB用正弦定理，可得a+b=2c=2，設(shè)CD=x，∠ACD=∠DCB=θ，由于2θ為三角形內(nèi)角，則θ∈0,π2，由S△ACD+S△BCD=故答案為：315．已知銳角α,β的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸正方向重合，終邊與單位圓分別交于P、Q兩點(diǎn)，若P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為31010,255，在△ABC中，a、b、c分別為三個(gè)內(nèi)角A、B【答案】?15【分析】由三角函數(shù)的定義得cosα和cosβ的值，根據(jù)C=α+進(jìn)而得C，由tanA=34得sinA和cosA，求出【詳解】因?yàn)镻，Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為31010，255，所以又因?yàn)镃=α+β∈0,π，且cosαcosC=cosα因?yàn)閠anA=34>0，所以sin因?yàn)閍2=λbc即352=故答案為：?116．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，a＝4，3bcosA?acosC=【答案】64281【分析】先由3bcosA?acosC=ccosA結(jié)合正弦定理求得cosA，sinA，再由余弦定理可得b2+c2【詳解】因?yàn)?bcosA則3sinB因?yàn)?<B<π，所以所以cosA=1由余弦定理可得a2=b因?yàn)閎2+c2≥2bc，所以連結(jié)AD，因?yàn)?BD=DC所以12b?DF=2×則S△故答案為：642.四、解答題17．在△ABC中，a=7(1)∠A(2)cosB和b條件①：b?a=1【答案】(1)若選擇①：∠A=(2)若選擇①：cosB=?17，b【分析】選擇①：b?（1）在△ABC中，由a=73c，sinC=33（2）由a=73c，推出0<∠C<π2．由選擇②：ccos（1）在△ABC中，因?yàn)閍=73c，sinC=33（2）因?yàn)閍=73c，推出0<∠C<π2．由【詳解】（1）選擇①：b?在△ABC中，因?yàn)閍=7所以由正弦定理得sinA因?yàn)閎?所以a<所以0<∠A所以∠A選擇②：ccos在△ABC中，因?yàn)閍=7所以由正弦定理得sinA在△ABC中，c所以π2所以∠A（2）選擇①：b?因?yàn)閍=所以a>所以0<∠C因?yàn)閟inC所以cosC所以cosB所以sinB由正弦定理得b437因?yàn)閎?所以b=8選擇②：ccos因?yàn)閍=所以a>所以0<∠C因?yàn)閟inC所以cosC所以cosB所以sinB因?yàn)閏cos所以c=由正弦定理得b5所以b=518．勒洛三角形是由19世紀(jì)德國(guó)工程師勒洛在研究機(jī)械分類(lèi)時(shí)發(fā)現(xiàn)的．如圖1，以等邊三角形ABC的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心、邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形ABC．受此啟發(fā)，某數(shù)學(xué)興趣小組繪制了勒洛五邊形．如圖2，分別以正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)為圓心、對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為半徑，在距離該頂點(diǎn)較遠(yuǎn)的另外兩個(gè)頂點(diǎn)間畫(huà)一段圓弧，五段圓弧圍成的曲邊五邊形就是勒洛五邊形ABCDE．設(shè)正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為1．(1)求勒洛五邊形ABCDE的周長(zhǎng)l1(2)設(shè)正五邊形ABCDE外接圓周長(zhǎng)為l2，試比較l1與l2【答案】(1)5(2)l1【分析】（1）先運(yùn)用正多邊形內(nèi)角和公式求出∠DAC=π5，再利用三角形內(nèi)角和公式求出∠ADC（2）根據(jù)正多邊形性質(zhì)與外接圓的性質(zhì)求出∠AOB=2π【詳解】（1）依題意，因?yàn)槲暹呅蜛BCDE為正五邊形且邊長(zhǎng)為1，所以∠EAB=5?2所以∠EAB=3∠DAC在△DAC中，DC=1，由正弦定理得：DCsin∠所以AC===2cos=2×5所以劣弧DC=所以勒洛五邊形ABCDE的周長(zhǎng)：l1（2）l1如圖所示：作出正五邊形ABCDE外接圓，由（1）知，易得∠AEB所以由圓心角與圓周角的關(guān)系得：∠AOB在△AOB中，AB=1，OA=由余弦定理得：AB即1=2×O因?yàn)閏osπ所以cos2π所以1=2×O所以O(shè)A=所以正五邊形ABCDE外接圓周長(zhǎng)為：l2因?yàn)?+1所以l12?19．已知函數(shù)f((1)求f((2)設(shè)ΔABC的三個(gè)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若f【答案】(1)π(2)(2,4]【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和輔助角公式以及周期公式即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)求解角度A，再由正弦定理和誘導(dǎo)公式以及兩角和與差的正弦公式即可求解.【詳解】（1）函數(shù)f==sin(2函數(shù)fx的最小正周期為π（2）f(所以sin(A因?yàn)锳∈(0,π)所以A=由正弦定理得b=asin所以b====4sin(B因?yàn)锳=所以B∈(0,所以B+所以sin(B+π所以b+c的取值范圍為20．△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD=AC，求【答案】(1)c=4(2)63【分析】(1)由sinA+3cosA(2)過(guò)A作AE⊥BC于E，在△ABCsinB=2114，AE=【詳解】（1）解：因?yàn)閟inA+3又因?yàn)锳∈(0,π)，所以A由余弦定理可得a2即有28=4+c整理得c2解得c=4或c所以c=4（2）解：因?yàn)閍=27，b=2，c又因?yàn)锳D=在△ABC中，由余弦定理可得：所以sinB過(guò)A作AE⊥BC于則有：AE=所以DE=所以BD=所以S△21．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin2(1)求證：tanA(2)若c2?3【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）根據(jù)正弦定理，正弦倍角公式，兩角和的正弦公式即可求解；（2）根據(jù)余弦定理，同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的余弦公式即可進(jìn)一步求解.【詳解】（1）∵sin2Aa=∴2bc由正弦定理，得2sinB∵△ABC中，sin∴2sinB∴sinA∴tanA（2）由c2∴b2由余弦定理，得cosA而△ABC中，sin∴sinA∴tanA由（1）知sinB∵cosBcosB∴cosB22．隨著六安市經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需要，工業(yè)園區(qū)越來(lái)越受到重視，成為推動(dòng)地方經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要工具，工業(yè)園區(qū)可以有效創(chuàng)造和聚集力量，共享資源，克服外部負(fù)面影響，帶動(dòng)相關(guān)產(chǎn)業(yè)發(fā)展，從而有效促進(jìn)產(chǎn)業(yè)集群的形成．已知工業(yè)園區(qū)