各高校量子力學(xué)考研試題要點(diǎn)

習(xí)題1

填空題一、

.1.玻爾的量子化條件為

2.除布羅意關(guān)系為

3.用來解萍光電效應(yīng)的愛因斯坦公式為

____________________________________I.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，

_________________________________________________________RQQ，臉(8，w)da內(nèi)出現(xiàn)的

幾率為歸一化波函數(shù),粒子在方向、立體角5.dr

.厚度為.在半徑為的球光內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾為r

.率為______________________________________________________________

6.波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件.為

人c人

d=1月/

..的本征值為為單位矩陣，則算符7.

守恒：中心力場中運(yùn)動(dòng)的粒/8.自由發(fā)f體系,守恒.9.力學(xué)量算符應(yīng)滿足

的兩個(gè)性質(zhì).是

10.厄密算符的本征函數(shù)具.有

____________________________________________________________________________II2dp

C(p,f)

的物理意義為11.設(shè)為歸一化的動(dòng)量表象下的波函數(shù).則

.邑，力=乙,刃=［五亂］=

.:12.:A,B1A,B］=

有共同本征函數(shù)完全系.則28—..如兩力學(xué)總算符

.13.坐標(biāo)和動(dòng)量的測不準(zhǔn)關(guān)系是.14.在

定態(tài)條件下，守恒的力學(xué)量是.15.碰道效應(yīng)是指

.16.量子力學(xué)中,原手的軌道半徑實(shí)際是指口曲=用式玲2（昆。）n,l,m

的取值范困分別為氫原子的波函數(shù)..17

為

?考慮自旋但不考慮自.對氫原子.不考電電子的白旋,能級的簡并度為18

?如再考慮自旋與軌道用動(dòng)量的旋與軌道角動(dòng)址的耦介時(shí),能級的簡并度為

.福合.能級的簡并度為_______________________________________________

\^>XF

.則力學(xué)量算.如在該狀態(tài)下測量力學(xué)量.設(shè)體系的狀態(tài)波函數(shù)為有確定的值19戶I卯〉

.符與態(tài)矢量的關(guān)系為J針⑺覦伊）心力的#（產(chǎn)不戒）T（r）的條件為在態(tài)

20.力學(xué)量算符下的平均值可寫為

?.：算符是格爾伯特空間的21.量子力

獷=J*+J%+c%▼

學(xué)中的態(tài)是格爾伯特空間的V2V3L歹為球諧函數(shù),則系，21.設(shè)粒子處

A

于態(tài)為歸一化波函數(shù).二

的可能值為.數(shù)C的取值為6ft2

.?本征值為出現(xiàn)的幾率為

22.原子躍遷的選擇定則.為

23.自旋角動(dòng)量與自旋磁矩的關(guān)系.為

____［承,今］=//

,24.為泡利算符,則

.尋思1=言學(xué)=

..25.為自旋算符,則

底房]=

26.烏倫貝克和哥怯斯密脫關(guān)于自旋的兩個(gè)基本假設(shè)是

.27.軌道磁矩與軌道角動(dòng)址的關(guān)系是_____________;自旋磁矩與

自旋角動(dòng)量的關(guān)系是...費(fèi)米子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有

27.玻色/所組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有l(wèi)%2（XJ，zJy（己歸一化）.則

Cr=

在態(tài)考慮自旋后,波函數(shù)在自旋空間表示為27.151C?22J

對自旋的平均可表示為:對坐標(biāo)和自旋同時(shí)下.自旋算符

乎/%（”,z]

.求平均的結(jié)果可表示為（已歸一化）,則考慮自旋后,

波函數(shù)在自旋空間式示為.27^^91

「（I當(dāng)『+1%『）心心由二

:的意義為.J-co

Ly&Z24的矩陣分別為和.在和的共同表象中,算符1

0、

-i

0,

A

L>4

求它們的本征值和歸一化本征函數(shù),并將矩陣和對角化.

Axe~Mx>0

材（x）=<

一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是2.0x<0Z>0

,求其中

）粒子的平均動(dòng)量.校子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)：（20）（利用公式方

回0a、

H=0或b

的矩陣表示為3.設(shè)在表象中.\ab

<E°<El

胃1&)=c

分）io其中.試用微擾論求能級二級修正.（2I”

分）在自旋態(tài)…（中.求KM4和含幺和含AB

8是厄密算符.試證明.5也是厄密算符的條件是.對奶.出工X

在動(dòng)量表象中角動(dòng)量6.的矩陣元和的矩陣元.（cosa.cos^,cos/）

.求白旋角動(dòng)量在方向的投影7工=S.cosa+S>cos?+SxCosy

的本征值和所屬的本征函數(shù).IDE的空（可轉(zhuǎn)子處在均勻電場.電偶極矩為8.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

%>=弓0=~F=

分）10中,如果電場很小.用微擾論求轉(zhuǎn)子基態(tài)貨量的二級修正.（J4芯,利用公式

(基態(tài)波函數(shù)c°scv翻=JI((2，/++1)12X—2加/+3v)IF+

(2/-1X22+1)

.證明下列關(guān)系式t9乙,尸」=。（萬/）2=$22,.1[方,￡±]=。

（a后尸=3-2信用）

￡±=&±4￡,/

4.

,21

）為泡利算符..為角動(dòng)量算符.（抹中為動(dòng)量算符“（x）=j[sin丘+5cos嫻丁°

?求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平時(shí).粒子的狀態(tài)為10.設(shè)

均動(dòng)能.A,BAB+BA=0IA1=B2=I.（1（.）求算符為厄密算符,為單一位算符）.n

人人人人

A.BA.B

，2￡0￡、

H=02E0

表象下求尊符A的本征值：（的矩陣去示.2）在02叼

，試求出（1已知體系的哈密頓量）體系能量本征值及相應(yīng)的歸一12.

對角化?并給出時(shí)角化的么正變換矩陣.H2）將化本征矢量.（的粒子在一堆無限深勢阱中運(yùn)動(dòng).

x<0,x>1

0<x<-[co

2

1r（x）=o

—<x<1,

ml3?一質(zhì)量為2b為小量.用微擾法求粒予的能級（近似到一級）.

.證明下列算符的對招關(guān)系.14【五比/（初=2訪/J⑶一1￡±=4±遼?

[Lx,L±]=±i}iL±

）2.

（[A,[A,B]]=O,[B.[A^]]=O[A.B]A.B

與它們的對易式設(shè)算符3..對易，即：[4,自=

證明：

8s3Tpe

"（p）rn

sJ產(chǎn)2義=

?設(shè)有兩個(gè)電子.自旋態(tài)分別152S=Q）及三重態(tài),,證明兩個(gè)

1n1n

=-（l-cos2-）,^=-（l+cos2-）

電子處Ffl旋單態(tài)（2222s=1

人人人人

分）.）的幾率分別為：（20（S*=S*cosa+S>cos￡+&cosy（cosa,cos4，cos/）方

向的投影16.求自旋角動(dòng)量在

分）.20的本征值和所屬的本征函數(shù)（/=|平><乎|P）.由任意一對已歸一化的共翅右矢和左矢

構(gòu)成的投影算符1.試證明（】7/*=力P

什么是塞些效應(yīng),對簡單塞受效應(yīng)，沒有外磁場時(shí)的一條諳線在外磁場中分裂為幾條？7.

8.什么是光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)？產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因是什么？者虎精細(xì)結(jié)構(gòu)后能級的簡并度是多

少？什么是斯塔克效應(yīng)？.9

不同式象之間的變換是一種什么變換？在不同去領(lǐng)中不變的量有哪些？.10

11.量子力學(xué)中如何判斷一個(gè)力學(xué)量是否是守恒量,量子力學(xué)中的守恒量和經(jīng)典力學(xué)的守恒最

定義有什么不同？什么是定態(tài)？定態(tài)有什么性質(zhì)？.12

fit子力學(xué)中的守恒量是如何定義的？守恒量有什么性質(zhì)？.13

簡述力學(xué)量與力學(xué)量算符的關(guān)系？.M

軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量右什么區(qū)別和聯(lián)系？.15

簡述量子力學(xué)的五個(gè)基本假設(shè).16.

簡述量產(chǎn)力學(xué)中的態(tài)疊加蚊理,它反映了什么？17.

什么是光電效應(yīng)？光電效應(yīng)有什么規(guī)律？18.

什么是光電效應(yīng)？愛因斯坦是如何解釋光電效應(yīng)的.19.

簡述波爾的原子理論.為什么說玻爾的原子理論是半經(jīng)典半量廣的.20.

簡述波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋.為什么說波函數(shù)可以完全描述微觀體系的狀態(tài).21.

?.能見的本征態(tài)的疊加汪是能量本征態(tài)嗎？為什么22

原廣的軌道半徑在城戶力學(xué)中是如何解拜的？23.

習(xí)題2

1.1924年.儻布洛意提出物質(zhì)波概念，認(rèn)為任何實(shí)物粒子，如電予、質(zhì)產(chǎn)等，也具有波動(dòng)性，〃的自由粒

子，滿足怏布洛意關(guān)系?對于具有一定動(dòng)量______________________________

2.假設(shè)電子由靜止被150伏電壓加速.求加速后電子的的物質(zhì)波波長：

CCK原子構(gòu)成的足球狀分子）熱運(yùn)動(dòng)所對應(yīng)的物質(zhì)波波長個(gè)團(tuán)簇（由計(jì)算160時(shí).

3.60___________________________________________

???工丫）1/（*）][,以天/（即）/（.丫和分量.計(jì)算對招式為坐標(biāo)的，其中為動(dòng)量算符的函4.m.

數(shù)???????？？？？？?？1、淌足關(guān)系式，求證如果算符5.

Q)

????w????????3⑵

</J22??[(?]??.r]?[xrsin)?(x,求6.設(shè)波函數(shù)必心??//〃?的本證值和本征態(tài)7.求用動(dòng)量能

量算符一二??d?d??ie的本征函數(shù)&試求算符一dx是非簡并的E證明一維束縛定態(tài)方程的能量9.

NK?x)?UU.證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具10.在一推勢場中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢能對原點(diǎn)對稱：有確定的宇

稱11.一粒子在一維勢場Q*??,??,?OaU(x)0?.r???ar??,?中運(yùn)動(dòng).求粒子

的能級和對應(yīng)的波函數(shù)時(shí).粒子的狀態(tài)為12.設(shè)t=02?Msirvk?Jlu:os(x)?4_2求

此時(shí)粒子的動(dòng)量期望值和動(dòng)能期電值一維運(yùn)動(dòng)代子的狀態(tài)是13.

x?0?/xe當(dāng)￡??Kr?,?00當(dāng)x??0?其中.求：(1)粒子

動(dòng)量的幾率分布函數(shù)；(2)粒子的動(dòng)量期里值.a波南數(shù)果粒子的狀態(tài)由中運(yùn)動(dòng)的粒子.勢阱

的真度為.如深14.在一維無限勢阱？M?x(x)?4r(.

描寫，A為歸一化常數(shù).求粒子的幾率分布和能量的期望值

??jr4.rJcos)sin??(x]a[0,.求15.設(shè)粒子處丁范圍在的一維無限深勢阱中狀態(tài)用函數(shù)_______aaa粒子

能盤的可能測量值及相應(yīng)的幾率l〃???e)?(r,,a為第一玻爾軌道半徑).求設(shè)氫原子處在的態(tài)<16.

㈤?ondr的平均值勢能(2)(1)的平均值：由下式給的立方盒戶中運(yùn)動(dòng)，粒子

所受勢能17.質(zhì)量為的一個(gè)粒子在邊長為？？？？？？“?O,O.a;O*?M).“;j，????)HMj，,：試寫出定態(tài)薛定

i?方程，并求系出：？?。訪e，s??統(tǒng)能量本征值和歸一化波函數(shù)：

212??????￥/?我工?及以？氫屋子處丁態(tài)中.問18.______川m“m”333?????,,是否為能量的本

征態(tài)？若是.寫出其本征值.若不是.說明理由：)(i

?????,，)在2(中,測角動(dòng)fit平方的結(jié)果有幾種可能值？相應(yīng)幾率為多少.

P的矩陣去示19.在一維諧振f能量衣繪中寫出坐標(biāo)x和動(dòng)址t=o時(shí),自由粒子波函數(shù)為20.在？2??|

?sinbxb2x?—b?????O.K?2??OXII_b?：振幅應(yīng)的幾率的可能測得值及相子⑴給出在

該態(tài)中粒動(dòng)量?p2/>21?wsin)2b)i(?(?口22?p6)4?M??*bp：???求出

幾率壯大的動(dòng)員值：⑵xl』Idp??b?b?dp)dp(b???[求出發(fā)現(xiàn)粒子在區(qū)間中的幾率：(3)]

g_b》REE反H.現(xiàn)在受到微擾設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)有兩個(gè)能級：的作用,微擾矩陣元21.

wo.????*,2QH為；都是實(shí)數(shù).用擾公式求能St至二級修正值2U“HM?X?(0—維

無限深勢隊(duì)中的粒子受到微擾22.

xa??)??x(20?____?2a??)(Hr?ax??)?a

(?2r(l?)?2o?21?)(??作用,試求基態(tài)能級的一級修正---------2?2g的離子.在

其平衡位置附近作一維簡諧振動(dòng).在光的照射F發(fā)生躍迂.設(shè)入23.具有電荷為？)/(射光的能更為.其

波長較長.求：I原來處「基態(tài)的離子,單位時(shí)間內(nèi)躍迂到第一激發(fā)態(tài)的幾率.②討論躍遷①

?2?l?m?的選擇定則.dr02?0??e?為常(時(shí)處F基態(tài)，時(shí)處「弱電場的諧振R在24.電荷。之中

。教).試求諧振廣處于第一激發(fā)態(tài)的幾率.

25.質(zhì)量為m的粒子處于位勢

00?x?a,0?y?a和0?z?a????yxV,,z?其他?？

??H?bxy中.假設(shè)它又經(jīng)受微擾，試求第一激發(fā)態(tài)能量的一級修正.

26.用試探波函數(shù)11a?x/e??.Xx估計(jì)一維諧提子基態(tài)能量和波函數(shù)A

?HH設(shè)粒子在一維空間中運(yùn)動(dòng).其哈密頓量為表象中的表示為.它在27.E?E??

???o???H.??E?E??ol??l????uEE?E??H.A.求的

本征值和本征態(tài)：??7O?12??1??1???UE?E?E?.???o?l?2??l?????H0t=.試求出t>

o時(shí)的粒子波若?.它在R去象中的表示為時(shí).粒子處于?？oO??cos?Et???t?i0??e?。函數(shù)：

??t?E?isin???28.一個(gè)電荷為的一維諧振于受到弱電場的作用.利用微擾理論求能量至二級修正假

并與共精確結(jié)果比較

?S若28.是電子的自旋算符.求

?????SSSSS=?

(1)…???？SS?(2)

??1?〃?4（S?S）?BS?S的粒子組成的系統(tǒng)由等效哈密頓停符29.二個(gè)白旋_但連2sss54上為常

數(shù).求系統(tǒng)的所有能級是他們的分量.是二個(gè)自旋,描述.其中6930.一體系由三個(gè)全同的玻色子組

成.玻色孑之間無相互作用.玻色子只有兩個(gè)可能的單代子態(tài).問體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的波函數(shù)

怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成？

??????〃?〃/〃/去象中一量戶體系的哈密秘算符31.在oJ）??OAOO4?????????M）O?H/2OO?

.????????0ooooi????ji??i,其中常數(shù)

）用微擾法求體系的能級,精確到二級近似；（1

）式結(jié)果比較）求出體系能量的精確解.并與（13年研士研究生考試試■｛一■子力學(xué)南京大學(xué)

199eO.v??????av??OJDx?右半壁無限高勢皇的一維阱一020分？?aH???FE?的情形F.該系統(tǒng)

是否總存在一個(gè)束縛態(tài)？如果回答是否定的，那么系統(tǒng)中至在。少有一個(gè)束縛態(tài)的存在的充要條件是什么？

??確定的轉(zhuǎn)予.作受碣轉(zhuǎn)動(dòng)，用下述哈密帔量描述：（二）20分一個(gè)取向用角坐標(biāo)和？

2????￡"?2COS/￡A?力￡8?8d??/B是角動(dòng)量平方..式中均為常數(shù)，且和1?加）的分裂.并標(biāo)出

微擾后的零級近似波算符,試用一級微擾論計(jì)算系統(tǒng)的能級（函數(shù).??2?p??"x?態(tài)時(shí)的粒子的動(dòng)

觸分布幾率（三）20分求在一維無限深勢阱中.處「.””試判斷下列諸等式的正誤.如果等式不能成

立，試寫出正確的結(jié)拈（四）2。分AA??????i????????RVrim?/zre?ee?_2??xz>y和分別是

（1）?式中方向的單位矢量.和？:》???????p?????2Px）?pw值（）2?式中,<______

x-x^r?//>>2?p???????/'r??VH,設(shè)）系統(tǒng)的哈密趣算符為是打一化的束縛態(tài)波函數(shù).則

（3n—?2??/p?》??？？？？〉Il）r?r?r??有：??.?22???H//?/7?z.其中中，微擾

哈密頓為（五）20分堿金屬原子處在方向的外磁場

?eB\dV\?????2S//LS?/7L???.

s?N?c2Mrc2??,應(yīng)取什么樣的零級近似波圖當(dāng)外磁場很弱時(shí),那些力學(xué)量算符是運(yùn)動(dòng)枳分（守恒

M）數(shù).能使itt擾計(jì)算比較簡單.為什么？????!〃?/?】/2???lla尸m?e?cosy??注：

?

ta?/!m/4?????iUia??????.IUPPJtl?x?3??.r?lxr?：…？？？?R?xl3?

理檢物理、敕子物理與原子核物理南京大學(xué)1999年碩士研究生考試試選一壯F力學(xué)苗業(yè):

2???J[sinAx(,求此時(shí)動(dòng)量的可能測值和相應(yīng)的。時(shí).粒產(chǎn)的狀態(tài)為一、(2。分)t=幾率，并

計(jì)算動(dòng)量的平均值.的圓周上運(yùn)動(dòng)二、粒f被約束在半徑為r????0的一段眼弧上運(yùn)動(dòng)：(20

分)(a)設(shè)立“路障”進(jìn)一步限制粒子在。咨)?(0?0?。？?()/??m?(2???。求解粒子的能量本征值

和本征函數(shù).的基態(tài).求突然撤去“路障”后.粒子仍然處丁珀(10分)(b)設(shè)粒子處在情形(a)?

低能量態(tài)的幾率是多少向?》,如微擾哈密頓邊長為a的剛性立方勢箱中的電子.具有能址分(20)

三-----------bbxy?H為常數(shù))..試求對能量的一級修正(式中?的本征函數(shù)和本位是白旋角動(dòng)城

算符.求AS/對自旋為12的粒子.S和S(15分)四是實(shí)常數(shù))征值(A和B時(shí).一維自由粒子

波函數(shù)在坐標(biāo)去象和動(dòng)量未象的表示分別是已知t=o(i5分)五、2??)/x/)exp(泳(X)?

Nxcxp[?2?]h(p?p)exp[(p)?c(p?p)?；ooo?bN、、、cp時(shí)粒子坐標(biāo)和動(dòng)域的平均和ix)

都是已知實(shí)常數(shù).試求t=o式中和o????X??p????/??4.表示力學(xué)量算符，的平均值)(值

or?o?/?1?5？2exdx*

aa4o凝聚本物題尤學(xué)等年碩上研究生入學(xué)考試試題一南京大學(xué)200。量產(chǎn)力學(xué)專業(yè):理論物理，

??.v)e?(2：

,狀態(tài)求一維諧振子處在一.

,21/??)分勢能的平均值(7(1)

)(7分(2)動(dòng)能的幾率分布函數(shù))

(7分⑶動(dòng)能的平均值⑵?)rw(???ear：提示t??0?x??”x)?00?x?a中運(yùn)動(dòng)的粒子在一維勢場質(zhì)量為

二.以求,

??Kr?a?o.

)(15分(1)決定束縛態(tài)能級的方程式)

(5分(2)至少存在一個(gè)束縛態(tài)的條件？？”?x?O,?X)r(?c是小的

粒子在一維勢場三面址為M其中中運(yùn)動(dòng).CX?〃?0?xc).(20的實(shí)常數(shù),試用微擾論求準(zhǔn)劃分一

次方的基態(tài)能量1兩個(gè)白旋的非全同粒子系的哈密頓量四._2?????)[2)?

S(H??J[S(10?JS?H求的能量本征值和相應(yīng)的簡并度.(20分)

能級n=2不考慮自旋,z五.(1)設(shè)氫原子處于沿方向的均勻靜磁場在弱磁場情形下求中.

)

分的分裂情況.(10》》E8能級的n=2,如果沿z方向不僅有均勻靜

磁場再用微擾論求,還有均勻靜電場(2)

)

分分裂情況.(9|1200z210??3a提示：

竄京大學(xué)2001年碩士研究生入學(xué)考試試題------量子力學(xué)3b理論物理、、皿■物最

___________________________光學(xué)等________

?h?0h?a?????H,在的粒子處r長度為a的一維無限深勢耕中t=01,有一質(zhì)量為？

0,0?x?a?0”x?0;r?a?????x?描述.求：時(shí)刻.粒子的狀態(tài)由波函數(shù)(20分)Ax(a?x),

0?x?a?i.歸一化常數(shù)A：

2.粒子能量的平均值：

3.t=O時(shí)刻，粒子能量的幾率分布：

4.人藝t>0時(shí)刻的波函數(shù)的級數(shù)表達(dá)式.

，？1??提示，??96〃"”3處?叮?0???。修?匕為正常數(shù).若一能量為E二、名慮勢能為

的一維系統(tǒng).其中的粒子從?。0X?0?x???處入射,其透射系數(shù)和反射系數(shù)各為多少？考慮分)E的所有

可能值.20(卯1??22???7?.曰“’的非的粒子,在T諧振子勢場中運(yùn)動(dòng).在動(dòng)能三、有一質(zhì)量為一

,?22.

il????????_4????￡?2???expL)cx????.相對論極限下，基態(tài)能.基態(tài)波而數(shù)為

a2?2》》????l?E至與分)P的關(guān)系的相對論修正,計(jì)算基態(tài)能級的移動(dòng)考J8T20階.(c為光

速)(一X?四、領(lǐng)化鈉晶體中有些負(fù)離子空穴,每個(gè)空穴束縛一個(gè)電尸.可將這些電f?看成束縛在一個(gè)

尺度為品格常數(shù)的三維無果深勢阱中.晶體處丁室SI,試粗略地估計(jì)被這些電子強(qiáng)烈吸收的電磁波的最長

的波長.（20分）

?iA1a?fmc?197A/eV?mcMeP?0.511.?提示：電子質(zhì)量.品格常數(shù)1/?S的系統(tǒng),五、考

慮自旋2????/SS7?8為實(shí)常數(shù)）1.求算符的本征值和歸一化本征波函數(shù)：（A、比》????S7???

若此時(shí)系統(tǒng)正處在2（20的某一個(gè)本征態(tài)上.求此時(shí)測fit的幾率..結(jié)果為一,2??分）

南京大學(xué)2002年研士研究生入學(xué)考試試題------力學(xué)

l??：cos??sinAx?.rfcr描述.求粒子的動(dòng)量平均值和一、一維自由代子的狀態(tài)由波函數(shù)_220分）

動(dòng)能平均值.（r的胸周上運(yùn)動(dòng)二、粒子被約束在半徑為？？??0的一段圓子在弧上運(yùn)動(dòng),即進(jìn)）1設(shè)立

“路障”一步限制粒。????0,0???。?？＞.求“粒子的能量本征值和本征函數(shù)1????2??,??O2）設(shè)粒

子處在上述情形的基態(tài).現(xiàn)突然撤去“路障”.何撤去“路障”后.粒子仍然處在最低能Ji態(tài)的幾率是篁

少？（20分）提示1在柱坐標(biāo)系下”??“??”"11??2?????”?？？?

22；???????2??????????????laa,?7Vaa?N???的本征函數(shù),對應(yīng)的本征值為是.證明：如果且

三、設(shè)尊符？7??l?N??a?也是.而波函數(shù).那么,波函數(shù)的本征函數(shù),對應(yīng)的本征值為門?71?”??。？

.（2。也是分）的本征函數(shù)，對應(yīng)的本征值為式）,0?xj?a????x，？?.xy?H個(gè)粒子在二維無限深勢

用四、一中運(yùn)動(dòng).設(shè)加上微擾？,e/sm,力ere2??@y?,?Qr分）20,求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的T介能量

修正（.

?》？？1SS?.（20若電子處「或的本征態(tài)，試證在此態(tài)中.的幾率各為取值為五、______廣2_

22分）南京大學(xué)2003年碩士研究生入學(xué)考試試尊一?子力學(xué)V業(yè)：理的物題凝聚態(tài)物理

l??2i????xd?為諧振子的本征振動(dòng)的粒子處尸一雄諧振子勢一，一個(gè)質(zhì)雖為中運(yùn)動(dòng)，2、

l????????????0?ar??cx,0x和.其中于該粒子頻率.如果處態(tài)時(shí)，皿3???cx為特定常敕且分

別為一雄諧振子的基態(tài)和第二激發(fā)態(tài)的能量本征波函數(shù).2T?0.

C,（5分）1）根據(jù)歸一化條件.求特定常數(shù)

???/^/：求52）時(shí)刻粒子所處的狀態(tài)分）（（10分）求測量粒子的能量所能得到的可能值和測到這

些值的幾率：3）

求粒子能量的平均值：（4）5分）

1??門？????上匕?時(shí)刻處于.求粒戶在5）若在時(shí)刻.粒子所處的勢場突然變?yōu)開3??x/的第一激

發(fā)態(tài)的幾率.分）新的勢場（5〃〃.在重力作用下,質(zhì)點(diǎn)在整直平面的無質(zhì)量的繩一端固定，另

一端系質(zhì)點(diǎn)二、一根長為內(nèi)提動(dòng).

1）寫出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的哈密頓量：（10分）

2）在小角近似下求系統(tǒng)的能級；（10分）

3）10（分）求由丁小角近似的謨差而產(chǎn)生的基態(tài)能量的最低階修正.

?〃7的一雄諧振干的基態(tài)為波.本征頻率為函數(shù)為提示：質(zhì)量j?/n1????a???C?x?Cexp?x.

一化常.其中：數(shù)是歸??一立?？

方

/L”??「

2????exprdr.的一維勢皇的粒子從左向右作一維運(yùn)辦穿越了一個(gè)寬度為.箭：度為三、質(zhì)量

為o0忖?。/2???田"八.試求發(fā)生共振透射（即透射系數(shù)為.設(shè)粒子的能量?。/

|x|?a/2?ol）的條件.（30分）

??SS?BS?/S?S〃描述.其中的粒子組成的系統(tǒng)由哈密頓量1/2四、兩個(gè)自旋為⑵

SSAB-是實(shí)和分別是兩個(gè)

粒f的自旋.而和則分別是這兩個(gè)粒子自旋的分量,和

—.

分）30（常數(shù).求讀哈

密鐵址的所有能級..

a?g阱限深縛在寬度為勢的一推五、一個(gè)質(zhì)St為無.帶電荷為粒的子，束2?a/0|r|????xP中

運(yùn)動(dòng).如果在入射光的照射下,該粒子能在不同能級間發(fā)生?2a/?|x|??30分）偶極輻射躍遷,求

躍遷的選擇規(guī)則.（"?，?的長方體盒子中運(yùn)動(dòng),粒子間的相互作用勢能為六、兩個(gè)粒子被束縛在一個(gè)

邊長為？？？？?."?4?，4xxt為實(shí)常和A分別為兩個(gè)粒廣的坐標(biāo)，可以作為微擾，其中M2⑵的一次方.

數(shù).分別就以下兩種情形求體系的或低能量態(tài)的能量,要求準(zhǔn)至A）兩個(gè)粒子為自旋為零的全網(wǎng)玻色

子：15分）（1>

15（即總自旋為D.的全同費(fèi)米子,且這兩個(gè)粒子的自旋平行2）兩個(gè)粒子為自旋為1/2（分）南京

大學(xué)2001年碩士研究生入學(xué)考試試遺一圣子力學(xué)?.回答以下問題：.電子電量為一、己

知電子質(zhì)量為（-。）。5的一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng),請寫出該體系的能級公式：1）一個(gè)電戶被限制在寬度為

（分）。的一維無限深勢耕中運(yùn)動(dòng),不考電電F和電子之間的庫侖2）五個(gè)電子被限制在寬度為分）相

互作用,請寫出該體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的能級公式.（101u???x是3）中運(yùn)動(dòng),其中x一個(gè)電子處

于一維諧振子勢場是諧振廣的本征園頻率._2（5分）電子的坐標(biāo)，請寫出該體系的能級公式.如果

電子在上懣中的一維諧振子勢場中運(yùn)動(dòng).并且假定電子恰好處在某個(gè)能段本征態(tài)4）

上.求電子的坐標(biāo)和動(dòng)量的平均值,這些平均值隨時(shí)間變化么？（10分）10請寫出氣帽子體系的能級

公式和電子的基態(tài)波函數(shù).這里假定原子核是不動(dòng)的?C5）分）ze?l0是電子的徑向坐標(biāo).6）假定氫原

子處「基態(tài).求電子勢能（的平均值,箕中r—r分）？,?？?？?））g,（r?,cos）?（e（sinr.其中二、僚定

電子的波函數(shù)在球坐標(biāo)體系下寫為；?由喇）求角動(dòng)量平方（的可能測量值和相應(yīng)的幾率：10分）r僅

是徑向坐標(biāo)的函數(shù).1?乜<）求角動(dòng)量的的可能測量值和平均值.210分量分）：?？？？？），

sincoscossin,（sin〃?S為從原點(diǎn)指向單位球面上三、代去電/的自旋算符.？???）,（是緯度，是經(jīng)度.

方向上的單位向量.其中5S）,（SSS?”?S的本征值和相應(yīng)的木征波函方向上的投影1）在表象下求自旋

在?數(shù).（10分）

SS會(huì)得到哪咚數(shù)值.相應(yīng)的幾率是多少,假定電干處于2）的某個(gè)本征態(tài),那么測量a

S測量分）的平均值又是多少？的粒子在一維無限深勢阱，敏矩為，無電荷但自旋為四、一

個(gè)質(zhì)址為ml/2??Lr?0;I???（x）KM是粒子的自旋和是正常數(shù).x是粒子的坐標(biāo)，

中運(yùn)動(dòng).其中?」Lf???；??0x?x?0的半空.而在方向的均勻磁場.其大小為B的半空間中有一

沿z算符.現(xiàn)在考慮在方向的均勻磁場.在弱磁場極限F用微擾論找出體系基態(tài)的能級和波函間有一同樣

大小但沿x（微擾只須計(jì)算到被低階，自選空間的波函數(shù)在B能作為弱做場處理的具體條件.數(shù).并指出

30分）Pauli表象下寫出.>（?））??Ca（/?Kr作用.其五.一個(gè)腹址為■的無自旋的粒子在三維情形下

與一個(gè)球?qū)ΨQ勢。的值總小可中C.C為正常數(shù)，r是徑向坐標(biāo)，為了保證該體系至少有一個(gè)束縛態(tài)存在.

試問分）以取多少？CMhl?a?）?P（r是六、一個(gè)質(zhì)量為M的無自旋的粒子受到中心勢的散射,其中

i2)macosh(r/a^dy^0y?ky??)xik?e(tanhy?.在低能極隈F.求常數(shù).已

知方程有解-rcoshtZv分）分波的散射枝面及其角分布.（30粒子能量為E時(shí),s2005

年碩士研究生入學(xué)考試試題一量子力學(xué)南京大學(xué)一、問答迤（5分）1.試述量F態(tài)的

松抑原理.5分）討論自由粒子的波函數(shù)是否一定是平面波？問什么？（？）戊,（2分）、為什么波函數(shù)必

定是復(fù)數(shù)？（5?）（x5分）一維定態(tài)薛定涔方程的解是否也必定是我數(shù)？（3、以下的波函數(shù)是否代表同

一個(gè)量子態(tài),并說明為什么…?？?）?ex,）（xj是實(shí)常數(shù)：、,其中（5分）和⑴-Z?（xe,f）??（M）,

（X是實(shí)函數(shù).（和5分））（2.其中、

?4、為什么力學(xué)獨(dú)尊符410分）應(yīng)是線性厄米算符？（5,為什么全同粒子的波函數(shù)對于粒子

的交換應(yīng)是對稱或反對稱的？（10分）II

?a?0&??知）？的粒子在一維無力深勢阱中運(yùn)動(dòng)，二、質(zhì)量為？II；X?。??。分）20（是

正實(shí)數(shù)，求解定態(tài)薛定律方程.其中

1?”??0;x?x?_n（x）V2的粒子在一維勢場中運(yùn)動(dòng)，勢能為：三、質(zhì)址為.??

?0?;x?）?x（20區(qū)分）為諧振子勢能.求解基態(tài)的能城和酎一化的波函數(shù).其中x>0均勻

分布在球殼表面上.對于以原子，以電子所受R的薄球殼,其電荷。四、設(shè)質(zhì)子是羋徑為）"E（積勢能偏

離質(zhì)子為點(diǎn)粒子模型時(shí)的值為點(diǎn)擾，求氫原子第一激發(fā)態(tài)能量的一級修正2分公式列出后不必計(jì)算）.（20

分）/e??g?A/?S五、中子有內(nèi)嗯磁矩：方向向上極M為中子質(zhì)量.當(dāng)自旋在z,其中g(shù)=L9.

McB.其xM區(qū)域存在恒定磁場化的中子束.沿x軸作一維運(yùn)動(dòng)時(shí).在x<0區(qū)沒有磁場而在e8?g?￡

求解中子的一維散射運(yùn)動(dòng).（20分）方向沿z方向.若陡量2McO?x?aO;?a?x）?為

正常數(shù)）（六、求兩個(gè)關(guān)在一維無窮深勢阱？?；x?0,x?a???xr）（d??l）U（xn?d）（相互作

用的全同中子系統(tǒng)的零級近似中,并以接觸勢工小歸一化波函數(shù)（考慮自旋態(tài)），并以接觸勢為微擾.求

準(zhǔn)到一次方的基態(tài)能延.（20分）

南京大學(xué)1998年碩士研先生考試試愿~~H力學(xué)

?x?0????0?xr??0ar分有半壁無果高勢2的一維阱）《一2O??xF?a?o?E/的情形下,讀系統(tǒng)是否

總存在一個(gè)束縛態(tài)？如果回答是否定的，那么系統(tǒng)中至在。少有一個(gè)束縛態(tài)的存在的充要條件是什么？

??確定的轉(zhuǎn)子.作受礙轉(zhuǎn)動(dòng).用下述哈密核量描述：一個(gè)取向用角坐標(biāo)和（二）20分？

2???2LQ2cosH7ALB??BA??AB咫角動(dòng)呈平方,和.式中均為常數(shù),且/??〉的分裂.并標(biāo)出

微擾后的年級近似波算符.試用一級微擾論計(jì)算系統(tǒng)的能級（函數(shù).

??z?p??lLr?分求在一推無限深勢阱中,處于態(tài)時(shí)的粒子的動(dòng)量分布幾率.（H）20?試判斷下

列諸等式的正誤，如果等式不能成立.試寫出正確的結(jié)果：（四）20分》

初g/??mxe?ee?_2??*切方向的單位矢用.和分別是和（口?式中

7?》?？？？？?p?????px）pp?3x）?式中<2________x_xxoZ?X/

?2?p???????r?rWV?）系統(tǒng)的哈密頓算符為是歸一化的束縛態(tài)波函數(shù).則（3.設(shè)“一

?2??J〃》???????））II/T???r有：?^?22???//?//H?2.其中B方向的外磁場中.

微擾哈密頓為（五〉20分破全屬原子處在夕3???:?》??。51M尸?？？？〃￡?2sS?￡?〃?？

..s?￡?c2d，vc2??.應(yīng)取什么樣的零級近似波函當(dāng)外磁場很弱時(shí)，那

些力學(xué)量算符是運(yùn)動(dòng)枳分（守恒量）數(shù),能使微擾計(jì)算比較簡單,為什么？????!m/?17?2??ll

R?e?cosY??注—?,!？4加/????皿？？？？？？“/。，11?,3??1?皿太

::2"??？？/\tl3x??2府京大學(xué)1999年碩士研究生考試試建一?子力學(xué)4業(yè)：理論物理、粒子物

理與原于鐵4ra

2?/][sin）?4（x.求此時(shí)動(dòng)融的可能測值和相應(yīng)的。時(shí)，粒子的狀態(tài)為（20分）一.t=幾率，并計(jì)

算動(dòng)量的平均值.

二、粒子被約束在半徑為r的圓周上運(yùn)動(dòng)

???0?的一段圓張上運(yùn)動(dòng)：（20分）（a）設(shè)立“路掰”進(jìn)一步限制粒子在o?3??（OO?ok）???為

（???2?。求解N子的能趾本征值和本征函數(shù).

（10分）（b）設(shè)粒子處在情形（a）的基態(tài)，求突然撤去“路障”后.粒子仍然處丁嫌低能屬態(tài)的幾率是多

少？

里3??（20分）三、邊長為a的剛性立方勢箱中的電子，具有能量,如微擾哈密短

zmuhbxyH?為賓啦.（式中.試求對能量的一級修正“15分）四、對自旋為1/2的粒子.S和S

是自旋角動(dòng)量算符.求AS+BS的本征函數(shù)和本.征值（A和B是實(shí)常數(shù)）.

（15分）五.已知t=0時(shí),一推自由N子波函數(shù)在坐標(biāo)表象和動(dòng)所表望的衣示分別是

2??)exp(勿x/?)NYexp(?〃x)(X2?])〃?p()「)p?a?pexp[?b(

：Ooo?、e、N、6p時(shí)粒孑坐標(biāo)和動(dòng)量的平均t>0和式中和t=o都是已知實(shí)常數(shù).試求6

???p??X?????/??/表示力學(xué)量算符(.的平均值){ft..o?i?0alz*?xedx*

a4a0光學(xué)等，凝聚糾甌南京大學(xué)200。年碩士研究生入學(xué)考試試題一屆子力學(xué)專業(yè):理論物理？

i/n?a??x???e?(x)2：

一維諧振子處在狀態(tài).五.

,求2V??)(1)勢能的平均值(7分)(2)動(dòng)能的幾率

分布函數(shù)(7分)(3)動(dòng)能的平均值

(7分如?也叮??？小。提示："?0r???0?(x)而？0?x.

六.質(zhì)量為.中運(yùn)動(dòng)的粒子在一維勢場求??？匕zx??。)決定束縛態(tài)能級的方程式

(15分⑴

)

至少存在一個(gè)束縛態(tài)的條件(5分(2)

??ax?x?0?X)??c是小的粒子在一維勢場其中七質(zhì)量為M中運(yùn)動(dòng),CX?a?0?xc).(20的實(shí)

常數(shù).試用itt擾論求準(zhǔn)到分一次方的基態(tài)能量1兩個(gè)自旋的等全同粒子系的哈密頓蚊A.2?????)]

2?S(1??J[S()//O?Js?H求.(20分)的能量本征值和相應(yīng)的簡

井度，》8能級,在弱磁場倩影下求方向的均勻靜磁場n=2中,不考慮自旋z五.(1)設(shè)區(qū)原子處「沿)

.(10分的分襄情況能級的，再用微擾論求z(2)如果沿方向

不僅有均勻野磁場n=2,還有均勻崢電場)

分分裂情況.(9200z210??31I：

提示、南京大學(xué)2001年碩士研究生入學(xué)考試試題-----?于力學(xué)?業(yè)，理論物至、、款聚態(tài)物理、

______________________________光學(xué)等_________

?j?OK?a?????以.在的一維無跟深勢阱中一、有一質(zhì)量為的粒f處F長度為at=O?a?x?O,O?

Ou?Oh?a?????x?描述.求：（20分）時(shí)刻，粒子的狀態(tài)由波函數(shù)Av（o?x）,0?x?a?5.

歸一化常數(shù)A;

6.粒子能量的平均值：

7.t=O時(shí)刻,粒子能量的幾率分布：

8.人藝t>0時(shí)刻的波函數(shù)的級數(shù)表達(dá)式.

4?1??提示：496〃7?S??I;MRX?0???。/?依為正常數(shù).若一能量為E二、考慮勢能為

的一維系統(tǒng).其中的粒子從?。o.r?o?x???處入射,其透射系數(shù)和反射系數(shù)各為多少？考慮分）E的所有

可能值.（20wl??=???r?x?xl的非三、有一質(zhì)量為中運(yùn)動(dòng).在動(dòng)能的粒子，在一維諧振廣勢場一

_?22t!????????_4????￡?2???xrcxp????.相對論極限下，基態(tài)能.基態(tài)波函數(shù)為_o

02?2??????1?E至與P的關(guān)系的相對論修正,計(jì)算基態(tài)能級的移動(dòng)考慮Tc階.（為光

速）（20分）H四、氯化鈉晶體中有些負(fù)離子空穴，每個(gè)空穴束縛一個(gè)電子.可將這些電子看成束縛

在一個(gè)尺度為品格常數(shù)的三雄無國深勢阱中.晶體處丁室狙.試粗略地估計(jì)被這些電子強(qiáng)烈吸收的電磁波

的坡長的波長.（20分）

<aA1a?Jm?197Me^mc0?.511Mer,c??提示：電子質(zhì)量.品格常數(shù)1?5?的系統(tǒng)，五、考

電白旋_2????/S?B75.B為實(shí)常數(shù)）的本征值和歸一化本征波函數(shù)：求算符3.（A,?????Sr???若

此時(shí)系統(tǒng)正處在結(jié)果為4的某一個(gè)本征態(tài)上.求此時(shí)測量（20的幾率.._,2??分）

南京大學(xué)2002年碩士研究生入學(xué)考試蜀I——■子力學(xué)

1??2COS?匕?sin?xh描述.求粒子的動(dòng)量平均值和六、維自由N子的狀態(tài)由波函數(shù)一一2動(dòng)能平

均值.（20分）

七*粒子被約束在半徑為r的網(wǎng)周上運(yùn)動(dòng)

????0即.動(dòng)在