陜西省寶雞市2025屆高三上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省寶雞市2025屆高三上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題僅有一個(gè)選項(xiàng)正確.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，,故，故選；C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，則，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.3.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】.而，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.圓的圓心到直線的距離為1，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由配方得，所以圓心為，因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為1，所以，解得.故選：A.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，則，，因?yàn)?，則①，等式①的兩邊同時(shí)除以可得，解得，故選：D.6.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，所以，因?yàn)?，可得，所以，所以，所以，，即?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，因此.故選：B.7.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于、兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)、，若軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則，兩式相減得，則，因?yàn)?，所以，，所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.8.某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產(chǎn)品的銷(xiāo)售額為100萬(wàn)元，則按照計(jì)劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷(xiāo)售總額約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.3937萬(wàn)元 B.3837萬(wàn)元 C.3737萬(wàn)元 D.3637萬(wàn)元【答案】A【解析】設(shè)該公司在2024年，2025年，...，2033年的銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元）分別為.依題意可得，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為90，公比為1.3的等比數(shù)列，則，即，則，故從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷(xiāo)售總額約為3937萬(wàn)元.故選：A.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，給出下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則.C.若，則D.若，則.【答案】AC【解析】對(duì)于A：因?yàn)椋芍谄矫鎯?nèi)存在直線，使得，如圖所示，又因?yàn)?，且，則，所以，因此A正確；對(duì)于B：如圖所示：，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則由線面垂直的判定定理得，故C正確.對(duì)于D：，如圖所示，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，若函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，且最小的零點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.6個(gè)零點(diǎn)之和是6【答案】BD【解析】由函數(shù)的圖像，經(jīng)過(guò)軸翻折變換，可得函數(shù)的圖像，再向右平移1個(gè)單位，可得的圖像，最終經(jīng)過(guò)軸翻折變換，可得的圖像，如圖所示，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，令，因?yàn)楹瘮?shù)最小的零點(diǎn)為，且，故當(dāng)時(shí)，方程gx=0有4所以要使函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，且最小的零點(diǎn)為，則或，由，可得或，設(shè)的四個(gè)根從小到大依次為，由函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，可得所以的所有零點(diǎn)之和是6，故D正確；關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和，由韋達(dá)定理，得，所以B正確，A，C錯(cuò)誤.故選：BD.11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增B.若，且，則函數(shù)的最小正周期為C.若的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為3D.若在上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，若，則，由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增；故A正確；對(duì)于B，若，且，則當(dāng)且僅當(dāng)，故B正確；對(duì)于C，若的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，若的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則，注意到，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為4，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，得到，若在上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)，解得，即的取值范圍為，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)弦長(zhǎng)為，過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線方程為整理圓的方程為：，圓心為，半徑圓心到直線的距離為：則：故答案為：13.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且，若存在兩項(xiàng)使得，當(dāng)時(shí)，則最小值是__________.【答案】4【解析】由，得，兩式相減得，而，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，即，因?yàn)椋瑒t，即，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以最小值是，故答案為：.14.已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則__________.【答案】【解析】因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)為，則，所以曲線在處的切線方程為，即，又切線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，解得，所以，則，解得.故答案為；.四?解答題：本題共5小題，第15題13分，第16?17小題15分，第18?19小題17分，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，已知的半徑是1，點(diǎn)在直徑的延長(zhǎng)線上，，點(diǎn)是上半圓上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，且點(diǎn)與圓心分別在的兩側(cè).（1）若，試將四邊形的面積表示成的函數(shù).（2）求四邊形的面積的最大值.解：（1）由已知：，在中，，由余弦定理知：，所以，，，即；（2）由（1）知，則，所以，當(dāng)，即時(shí)取到最大值.即四邊形的面積的最大值為.16.統(tǒng)計(jì)顯示，我國(guó)在線直播生活購(gòu)物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，下表為年—年我國(guó)在線直播生活購(gòu)物用戶規(guī)模（單位：億人），其中年—年對(duì)應(yīng)的代碼依次為—.年份代碼市場(chǎng)規(guī)模，，，其中參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、、，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.（1）由上表數(shù)據(jù)可知，若用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)估計(jì)年我國(guó)在線直播生活購(gòu)物用戶的規(guī)模（結(jié)果精確到）；（2）已知我國(guó)在線直播生活購(gòu)物用戶選擇在品牌官方直播間購(gòu)物的概率，現(xiàn)從我國(guó)在線直播購(gòu)物用戶中隨機(jī)抽取人，記這人中選擇在品牌官方直播間購(gòu)物的人數(shù)為，若，求的數(shù)學(xué)期望和方差.解：（1）設(shè)，則，因?yàn)?，，，所以，，所以，與的擬合函數(shù)關(guān)系式為當(dāng)時(shí)，，則估計(jì)年我國(guó)在線直播生活購(gòu)物用戶的規(guī)模為億人.（2）由題意知，所以，，，由，可得，因?yàn)?，解得，所以，?17.如圖，在正四棱柱中，.點(diǎn)分別在棱上，.（1）證明：；（2）是在棱上否存在點(diǎn)，使得二面角為，若存在，求出點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）證明：以坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，又不在同一條直線上，.（2）解：假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，使得二面角為，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，化簡(jiǎn)可得，，解得或，或，所以在棱上存在點(diǎn)，使得二面角為，點(diǎn)是線段靠近兩端點(diǎn)的兩個(gè)四等分點(diǎn).18.已知拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交所得線段長(zhǎng)為.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)圓過(guò)，且圓心在拋物線上，是圓在軸上截得的弦.當(dāng)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦的長(zhǎng)是否有定值？說(shuō)明理由；（3）過(guò)作互相垂直的兩條直線交拋物線于、、、，求四邊形的面積最小值.（1）解：由已知，拋物線準(zhǔn)線與橢圓相交線段的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)是，把代入橢圓方程化簡(jiǎn)得，解得.所以拋物線的方程為.（2）解：假設(shè)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)弦的長(zhǎng)為定值，理由如下：設(shè)在拋物線上，可知到軸距離為，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式可知：，由已知，，所以，則在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)弦的長(zhǎng)的定值為.（3）解：若過(guò)點(diǎn)且相互垂直的兩條直線分別與兩條坐標(biāo)軸垂直，則其中與軸重合的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)過(guò)的的兩條直線的方程分別為、，其中，設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)、，由得，，由韋達(dá)定理可得，則，同理可得，所以，四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即四邊形的面積的最小值為.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，則過(guò)點(diǎn)的曲線的切線有幾條?并寫(xiě)出其中一條切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)0,2，所以切線斜率存在，故可設(shè)切線方程為，則，化簡(jiǎn)可得，即，由的判別式知方程有2個(gè)不等實(shí)根且不為1，故有3個(gè)不等的實(shí)根，所以切線有3條，其中一條切點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，故，所以切線方程為.（2），當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以或時(shí)，f