陜西省西安市鄠邑區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市鄠邑區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榧?，，所以，故選：B2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，故選：C3.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是（）A B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)方程為，即，所以，即，所以?huà)佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為故選：C4.跑步是一項(xiàng)健康的運(yùn)動(dòng)，可以讓我們的身體更加強(qiáng)壯.某跑步愛(ài)好者堅(jiān)持每天跑步，如圖，這是該跑步愛(ài)好者某周跑步時(shí)長(zhǎng)的折線(xiàn)圖.該跑步愛(ài)好者這周跑步時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)是（）A.25 B.35 C.37.5 D.39【答案】B【解析】將該跑步愛(ài)好者這周的跑步時(shí)長(zhǎng)按從小到大的順序排列為，則該跑步愛(ài)好者這周跑步時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)是35.故選：B.5.某企業(yè)舉辦職工技能大賽，經(jīng)過(guò)層層選拔，最終進(jìn)入決賽.假設(shè)這3名職工水平相當(dāng)，則沒(méi)有獲得這次職工技能大賽第一名的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知最終的排名情況有，共6種，其中符合條件的情況有，共4種，故所求概率.故選：B.6.已知函數(shù)，若，則（）A. B.1 C.-5 D.5【答案】A【解析】設(shè)，則，所以，即，所以.因?yàn)?，所?故選：A7.設(shè)數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為.若，則（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】A【解析】由題意可得，整理得，解得或，而，且數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以不符合題意，所以，則1，故.故選：A.8.如圖，在長(zhǎng)方體中，，異面直線(xiàn)與所成的的余弦值為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】連接，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)椋耘c所成的角為（或其補(bǔ)角）.令，在中，由，得.又，，由余弦定理得，即，解得，所以.故選：C9.已知函數(shù)，對(duì)任意的，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，則整數(shù)的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】由，即，得，設(shè)，則，顯然是上的增函數(shù).因?yàn)?，所以存在，使得，即；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，0，則；令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋裕瑒t，又為整數(shù)，所以.故選：A10.已知為第一象限角，若函數(shù)的最大值是，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得：，則，解得，且為第一象限角，則，故.故選：D.11.已知是邊長(zhǎng)為8的正三角形，是的中點(diǎn)，沿將折起使得二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在三棱錐中，平面，由二面角為，，得是正三角形，令其外接圓圓心為，則，令三棱錐外接球的球心為，球半徑為，則平面，即有，顯然球心在線(xiàn)段的中垂面上，令線(xiàn)段的中垂面交于，則，顯然，于，四邊形是平行四邊形，且是矩形，而，因此，所以三棱錐外接球的表面積.故選：C12.已知雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且的最大值是，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，設(shè)，則.因?yàn)椋?.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，整理得，則，解得.故選：B二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則的最小值是__________.【答案】【解析】畫(huà)出可行域如圖：且，，由，故表示斜率為的直線(xiàn)在軸上的截距，所以當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)，取得最大值，所以取得最小值，最小值為.故答案為：14.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.【答案】【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得，則，又.故答案為：15.在中，在上，且，在上，且.若，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，則.故答案為：16.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】如圖，做出函數(shù)的圖象，設(shè)，則，不妨設(shè)：.則，，從而.因?yàn)?，且，所以，所以，則.故答案為：三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.（1）求的值；（2）若的周長(zhǎng)為18，求的面積.解：（1）因?yàn)?，，所以因?yàn)?，所以，則.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，解?因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為18，所以，解得，則.故的面積為.18.為探究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)抑制作用，將20只小鼠均分為兩組：對(duì)照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）.測(cè)得20只小鼠體重（單位：）如下：對(duì)照組：實(shí)驗(yàn)組：對(duì)照組和實(shí)驗(yàn)組的小鼠體重的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和.（1）求；（2）判斷該藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)是否有顯著的抑制作用（若，則認(rèn)為該藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)有顯著的抑制作用，否則不認(rèn)為有顯著的抑制作用）.解：（1），（2）依題意，，，所以該藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)沒(méi)有顯著的抑制作用.19.如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求點(diǎn)到平面的距離.證明：（1）取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉閳A弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，則，從而四邊形為平行四邊形，故.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?解：（2）作，垂足為，連接.由平面，平面，所以，又平面，所以平面.因?yàn)闉閳A弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，則.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的等邊三角形，所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，則三棱錐的體積.因?yàn)椋?，則.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積.因?yàn)椋?，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.20.已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）直線(xiàn)與橢圓交于（異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，記直線(xiàn)的斜率分別為，且，試問(wèn)直線(xiàn)是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意可得，解得，，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)，設(shè)，因?yàn)椋瑒t，從而，因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以，則，不符合題意;當(dāng)直線(xiàn)的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立，整理得，由題意可知，則，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，將代入上式，得，則，整理得，即，因?yàn)椋?，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).21.已知函數(shù).（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）證明：.解：（1），則，因?yàn)椋郧€(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.證明：（2）的定義域?yàn)?，要證明，只需證.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.設(shè)函數(shù)，則，所以恒成立，從而，故（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分.[選修坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程是.（1）求直線(xiàn)的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值.解：（1）由（為參數(shù)），得，即，則直線(xiàn)的普通方程為.由，得，即，則圓的直角坐標(biāo)方程為.（2）由（1）可知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，則圓心到直線(xiàn)的距離，故點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大