上海市虹口區(qū)2025屆高三上學(xué)期期終學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測試數(shù)學(xué)試卷（一模）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市虹口區(qū)2025屆高三上學(xué)期期終學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測試數(shù)學(xué)試卷（一模）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.已知集合，則_______．【答案】【解析】由，則.故答案為：.2.函數(shù)的定義域是_______．【答案】【解析】函數(shù)的定義域是，所以，解得：或.所以函數(shù)的定義域為：.故答案為：.3.若，則_______．【答案】【解析】因為，所以.故答案為：4.在的二項展開式中，項的系數(shù)為_______．【答案】【解析】二項式的通項公式為，令，可得，所以.故答案為：.5.設(shè)且，則函數(shù)的圖像恒過的定點坐標為_______．【答案】【解析】令，可得恒成立，所以函數(shù)的圖象恒過定點.故答案為：.6.若某圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的側(cè)面積為_______．（結(jié)果保留）【答案】【解析】因為圓錐的底面半徑，高，設(shè)母線為，則，所以該圓錐的側(cè)面積為.故答案為：7.已知非零復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為_______．【答案】【解析】設(shè)，則，因為，，所以，解得或（舍去），所以，則的虛部為.故答案為：8.已知，則的解集是_______．【答案】【解析】因為，設(shè)，則，所以，所以，不等式，即或，解得或，綜上可得的解集.故答案為：9.如圖，已知正三角形ABC和正方形BCDE的邊長均為2，且二面角的大小為，則_______．【答案】【解析】設(shè)分別為的中點，連接，在正三角形ABC中，，，在正方形BCDE中，，，，所以為二面角的平面角，即，.故答案為：.10.雙曲線的左、右焦點分別為和，若以點為焦點的拋物線與在第一象限交于點P，且，則的離心率為_______．【答案】【解析】如圖過P作拋物線準線的垂線，垂足為M，設(shè)，因為是拋物線的焦點，∴∵，∴，在△中，由余弦定理得，∴，即，解得又∵和是雙曲線的左、右焦點，∴，∴.故答案為：.11.2024年10月30日“神舟十九號”載人飛船發(fā)射成功，標志著中國空間站建設(shè)進入新階段．在飛船豎直升空過程中，某位記者用照相機在同一位置以同一姿勢連續(xù)拍照兩次．已知“神舟十九號”飛船船體實際長度為H，且在照片上飛船船體長度為h，比較兩張照片，相對于照片中的同一固定參照物飛船上升了m．假設(shè)該記者連按拍照鍵間的反應(yīng)時間為t，并忽略相機曝光時長，若用平均速度估算瞬時速度，則拍照時飛船的瞬時速度為_______．（用含有H、h、m、t的式子表示）【答案】【解析】設(shè)第二次拍照飛船的實際上升了，所以，解得：，所以拍照時飛船的瞬時速度為：.故答案為：.12.已知項數(shù)為10的數(shù)列中任一項均為集合中的元素，且相鄰兩項滿足．若中任意兩項都不相等，則滿足條件的數(shù)列有_______個．【答案】【解析】由于，可以先將任意排列，再將插入該數(shù)列，但不能在的左邊且與相鄰，共有種，再將插入該數(shù)列，同樣不能在和的左邊且與，相鄰，共有種，再將插入該數(shù)列，同樣不能在，和3的左邊且與相鄰，共有種，以此類推，將插入該數(shù)列，共有種.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號涂黑．13.已知，則“”是“”的（）條件．A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要【答案】C【解析】由題意，，由，即，則或，由，則，所以“”是“”的必要非充分條件．故選：C.14.已知事件和事件滿足，則下列說法正確的是（）．A.事件和事件獨立 B.事件和事件互斥C.事件和事件對立 D.事件和事件互斥【答案】B【解析】因為事件和事件滿足，則一定可以得到事件和事件互斥，但不一定對立，故B正確，C錯誤；因為，當(dāng)，不為時，事件和事件不獨立，故A錯誤；拋擲一枚骰子，記出現(xiàn)點為事件，出現(xiàn)點為事件，則，，顯然事件和事件不互斥，故D錯誤.故選：B15.已知邊長為2的正四面體的內(nèi)切球（球面與四面體四個面都相切的球）的球心為O，若空間中的動點P滿足，則點P的軌跡所形成的幾何體的體積為（）．A. B. C.． D.【答案】A【解析】空間中的動點P滿足，則點P的軌跡是以為鄰邊的平行六面體，將正四面體放入如圖所示的正方體中，則正四面體的內(nèi)切球心O為正方體的中心，設(shè)正方體的棱長為，所以，所以，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，，，，所以，，，，所以，所以，所以以為鄰邊的平行四邊形面積為：，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，，又因為點到平面距離為，以為鄰邊的平行六面體的體積為：.故選：A.16.設(shè)數(shù)列的前四項分別為，對于以下兩個命題，說法正確的是（）．①存在等比數(shù)列以及銳角α，使成立．②對任意等差數(shù)列以及銳角α，均不能使成立．A.①是真命題，②是真命題 B.①是真命題，②是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①是假命題，②是假命題【答案】A【解析】對于①，若，，成等比數(shù)列，即，，則，即，得，在同一坐標系內(nèi)作和的圖象：可知方程，有且只有一解，所以存在等比數(shù)列以及銳角α，使成立，①是真命題；對于②，假設(shè)存在等差數(shù)列以及銳角α，使成立，則必有，當(dāng)時，顯然不成立；當(dāng)時，，，所以，，所以，則，，即，即，因為，所以，，不存在這樣的使得等式成立；當(dāng)時，，，所以，，所以，同理，因為，所以，，不存在這樣使得等式成立；所以②是真命題.故選：A.三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要步驟．17.設(shè)．（1）當(dāng)函數(shù)的最小正周期為時，求在上的最大值；（2）若，且在中，角、、所對的邊長為、、，銳角滿足，，求的最小值．解：（1）因為且函數(shù)的最小正周期為，所以，解得，所以，則，由，則，所以當(dāng)，即時取得最大值.（2）當(dāng)時，，則，因為，所以，則，解得；因為，所以，由余弦定理，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為.18.如圖，已知在四棱柱中，平面，、分別是、的中點．（1）求證：平面；（2）若底面為梯形，，異面直線與所成角為．求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接交于點，連接，，在四棱柱中，四邊形，為平行四邊形，所以為的中點，又、分別是、的中點，所以且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：因為異面直線與所成角為，又，所以即為異面直線與所成角，即，即，又平面，如圖建立空間直角坐標系，則A0,0,0，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.2024年法國奧運會落下帷幕．某平臺為了解觀眾對本次奧運會的滿意度，隨機調(diào)查了本市1000名觀眾，得到他們對本屆奧運會的滿意度評分（滿分100分），平臺將評分分為共5層，繪制成頻率分布直方圖（如圖1所示）．并在這些評分中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖2所示．（1）求圖2中這20名觀眾滿意度評分的第35百分位數(shù)；（2）若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分的概率；（3）已知這1000名觀眾的評分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，求這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差．解：（1）∵，∴第35百分位數(shù)為第兩個數(shù)的平方數(shù)（2）由圖1可知，圖2中有2人，所以從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分設(shè)為事件，所以.（3）由題意可知：落在的頻率為，落在的頻率為，因為這1000名觀眾的評分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，所以，設(shè)這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差分別為，所以，解得：，，解得：.這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差分別為，.20.已知橢圓的左、右焦點分別為，右頂點為，上頂點為，設(shè)為上的一點．（1）當(dāng)時，求的值；（2）若點坐標為，則在上是否存在點使的面積為，若存在，請求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）已知點坐標為，過點和點的直線與橢圓交于另一點，當(dāng)直線與軸和軸均不平行時，有，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由橢圓方程知：，，，則，設(shè)，，解得：，即，由橢圓定義知：.（2）由（1）知：，，；若存在點，使的面積為，則點到直線的距離，，直線方程為：，即，設(shè)平行于直線且到直線的距離為的直線方程為，，解得：或；當(dāng)時，直線方程為，由得：，解得：或，或，點或；當(dāng)時，直線方程為，由得：，方程無解，即直線與橢圓無交點，此時不存在滿足題意的點；綜上所述：存在滿足條件點，點坐標為或.（3）由題意可設(shè)直線，，，由得：，，即，，，設(shè)線段中點為，則，，，又為中點，，，，即，，直線與軸和軸均不平行，，，，整理可得：，，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.21.設(shè)．若函數(shù)滿足恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（1）判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）設(shè)，若函數(shù)具有性質(zhì)，求實數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)的定義域為R，且對任意以及，都有．若當(dāng)時，恒有．求證：函數(shù)對任意實數(shù)a均具有性質(zhì)．（1）解：記，顯然，則其是偶函數(shù).當(dāng)時，，故，所以對恒成立，具有性質(zhì).（2）解：，當(dāng)時嚴格單調(diào)遞增，當(dāng)時嚴格單調(diào)遞減.若，則，函數(shù)在上嚴格單調(diào)遞增，恒成立，此時函數(shù)具有性質(zhì).若，則函數(shù)在上嚴格單調(diào)遞減，