2024-2025學年新教材高中數(shù)學第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1函數(shù)的概念及其表示3.1.1函數(shù)的概念教學案新人教A版必修第一冊

PAGE1-3.1.1函數(shù)的概念(老師獨具內(nèi)容)課程標準：1.通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依靠關(guān)系的重要數(shù)學模型.2.在此基礎(chǔ)上學習用集合與對應(yīng)的符號語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.3.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求一些簡潔函數(shù)的定義域．教學重點：1.理解函數(shù)的定義，會求一些簡潔函數(shù)的定義域和值域.2.明確函數(shù)的兩個要素，了解同一個函數(shù)的定義，會判定兩個給定的函數(shù)是否是同一個函數(shù)．教學難點：1.對應(yīng)關(guān)系f的正確理解，函數(shù)符號y＝f(x)的理解.2.抽象函數(shù)的定義域.3.一些簡潔函數(shù)值域的求法.【學問導學】學問點一函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，假如對于集合A中的隨意一個數(shù)x，依據(jù)某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有eq\o(□,\s\up4(01))唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作eq\o(□,\s\up4(02))y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做eq\o(□,\s\up4(03))自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的eq\o(□,\s\up4(04))定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做eq\o(□,\s\up4(05))函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的eq\o(□,\s\up4(06))值域．明顯，eq\o(□,\s\up4(07))值域是集合B的子集．留意：(1)兩個非空實數(shù)集間的對應(yīng)能否構(gòu)成函數(shù)，主要看是否滿意三性：隨意性、存在性、唯一性．這是因為函數(shù)概念中明確要求對于非空實數(shù)集A中的隨意一個(隨意性)元素x，在非空實數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對應(yīng)．這三性只要有一個不滿意便不能構(gòu)成函數(shù)．(2)集合A是函數(shù)的定義域，因為給定A中每一個x值都有唯一的y值與之對應(yīng)；集合B不肯定是函數(shù)的值域，因為B中的元素可以在A中沒有與之對應(yīng)的x，也就是說，B中的某些元素可以不是函數(shù)值，即{f(x)|x∈A}?B.(3)在函數(shù)定義中，我們用符號y＝f(x)表示函數(shù)，其中f(x)表示“x對應(yīng)的函數(shù)值”，而不是“f乘x”．學問點二函數(shù)的兩要素從函數(shù)的定義可以看出，函數(shù)有三個要素：eq\o(□,\s\up4(01))定義域、eq\o(□,\s\up4(02))對應(yīng)關(guān)系、eq\o(□,\s\up4(03))值域，由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系確定的，所以確定一個函數(shù)只須要兩個要素：eq\o(□,\s\up4(04))定義域和對應(yīng)關(guān)系．即要檢驗給定的兩個變量(變量均為數(shù)值)之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只要檢驗：(1)定義域和對應(yīng)關(guān)系是否給出；(2)依據(jù)給出的對應(yīng)關(guān)系，自變量x在其定義域中的每一個值是否都有唯一的函數(shù)值y和它對應(yīng)．學問點三區(qū)間的概念(1)設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且a<b.我們規(guī)定：①滿意不等式a≤x≤b的實數(shù)x的集合叫做eq\o(□,\s\up4(01))閉區(qū)間，表示為eq\o(□,\s\up4(02))[a，b]；②滿意不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做eq\o(□,\s\up4(03))開區(qū)間，表示為eq\o(□,\s\up4(04))(a，b)；③滿意不等式a≤x<b或a<x≤b的實數(shù)x的集合叫做eq\o(□,\s\up4(05))半開半閉區(qū)間，分別表示為eq\o(□,\s\up4(06))[a，b)，(a，b]．這里的實數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的eq\o(□,\s\up4(07))端點．實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為eq\o(□,\s\up4(08))(－∞，＋∞)，“∞”讀作“eq\o(□,\s\up4(09))無窮大”，“－∞”讀作“eq\o(□,\s\up1(10))負無窮大”，“＋∞”讀作“eq\o(□,\s\up1(11))正無窮大”．我們可以把滿意x≥a，x>a，x≤b，x<b的實數(shù)x的集合，用區(qū)間分別表示為eq\o(□,\s\up1(12))[a，＋∞)，eq\o(□,\s\up1(13))(a，＋∞)，eq\o(□,\s\up1(14))(－∞，b]，eq\o(□,\s\up1(15))(－∞，b)．(2)區(qū)間的幾何表示在用數(shù)軸表示區(qū)間時，用實心點表示eq\o(□,\s\up1(16))包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心點表示eq\o(□,\s\up1(17))不包括在區(qū)間內(nèi)的端點．(3)含“∞”的區(qū)間的幾何表示留意：(1)無窮大“∞”只是一個符號，而不是一個數(shù)，因而它不具備數(shù)的一些性質(zhì)和運算法則．(2)以“－∞”或“＋∞”為區(qū)間一端時，這一端必需用小括號．學問點四同一個函數(shù)假如兩個函數(shù)的eq\o(□,\s\up4(01))定義域相同，并且eq\o(□,\s\up4(02))對應(yīng)關(guān)系完全一樣，即相同的eq\o(□,\s\up4(03))自變量對應(yīng)的eq\o(□,\s\up4(04))函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．【新知拓展】(1)函數(shù)符號“y＝f(x)”是數(shù)學中抽象符號之一，“y＝f(x)”僅為y是x的函數(shù)的數(shù)學表示，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不肯定是解析式，還可以是圖表或圖象．(2)函數(shù)的概念中強調(diào)“三性”：隨意性、存在性、唯一性，這是因為函數(shù)定義中明確要求是對于非空實數(shù)集A中的隨意一個(隨意性)數(shù)x，在非空實數(shù)集B中都有(存在性)唯一確定(唯一性)的數(shù)y和它對應(yīng)，這“三性”只要有一個不滿意，便不能構(gòu)成函數(shù)．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)值域中的每一個數(shù)都有定義域中的數(shù)與之對應(yīng)．()(2)函數(shù)的定義域和值域肯定是無限集合．()(3)定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定了．()(4)若函數(shù)的定義域中只有一個元素，則值域中也只有一個元素．()(5)對于定義在集合A到集合B上的函數(shù)y＝f(x)，x1，x2∈A，若x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)下列給出的對應(yīng)關(guān)系f，不能確定從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是________．①A＝{1,4}，B＝{－1,1，－2,2}，對應(yīng)關(guān)系：開平方；②A＝{0,1,2}，B＝{1,2}，對應(yīng)關(guān)系：③A＝[0,2]，B＝[0,1]，對應(yīng)關(guān)系：(2)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x是同一個函數(shù)的是________．①y＝eq\r(x2)；②y＝eq\r(3,x3)；③y＝(eq\r(x))2；④s＝t.答案(1)①③(2)②④題型一求函數(shù)的定義域例1求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝eq\f(1,x＋1)；(3)y＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)；(4)y＝eq\f(x＋1,x2－1)；(5)y＝(1－2x)0.[解](1)函數(shù)y＝2x＋3的定義域為{x|x∈R}．(2)要使函數(shù)式有意義，即分式有意義，則x＋1≠0，x≠－1.故函數(shù)的定義域為{x|x≠－1}．(3)要使函數(shù)式有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,1－x≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x≤1，))所以x＝1，從而函數(shù)的定義域為{x|x＝1}．(4)因為當x2－1≠0，即x≠±1時，eq\f(x＋1,x2－1)有意義，所以函數(shù)的定義域是{x|x≠±1}．(5)∵1－2x≠0，即x≠eq\f(1,2)，∴函數(shù)的定義域為eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x≠eq\f(1,2)}.例2已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1,4]，求函數(shù)f(2x＋1)的定義域．[解]已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1,4]，即－1≤x≤4.故對于f(2x＋1)應(yīng)有－1≤2x＋1≤4.∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤eq\f(3,2)，∴函數(shù)f(2x＋1)的定義域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))).例3如圖所示，用長為1m的鐵絲做一個下部為矩形、上部為半圓形的框架(鐵絲恰好用完)，若半圓的半徑為x(單位：m)，求此框架圍成的面積y(單位：m2)與x的函數(shù)關(guān)系式．[解]由題意可得，AB＝2x，eq\o\ac(CD,\s\up15(︵))的長為πx，于是AD＝eq\f(1－2x－πx,2)，∴y＝2x·eq\f(1－2x－πx,2)＋eq\f(πx2,2)，即y＝－eq\f(π＋4,2)x2＋x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x>0，,\f(1－2x－πx,2)>0，))得0<x<eq\f(1,π＋2)，∴此函數(shù)的定義域為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,π＋2))).故所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(π＋4,2)x2＋xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,π＋2))).金版點睛求函數(shù)定義域的基本要求(1)整式：若y＝f(x)為整式，則函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.(2)分式：若y＝f(x)為分式，則函數(shù)的定義域為使分母不為0的實數(shù)集．(3)偶次根式：若y＝f(x)為偶次根式，則函數(shù)的定義域為被開方數(shù)非負的實數(shù)集(特殊留意0的0次冪沒有意義)．(4)幾部分組成：若y＝f(x)是由幾部分數(shù)學式子的和、差、積、商組成的形式，定義域是使各部分都有意義的集合的交集．(5)對于抽象函數(shù)的定義域：①若f(x)的定義域為[a，b]，則f[g(x)]中，g(x)∈[a，b]，從中解得x的解集即f[g(x)]的定義域．②若f[g(x)]的定義域為[m，n]，則由x∈[m，n]可確定g(x)的范圍，設(shè)u＝g(x)，則f[g(x)]＝f(u)，又f(u)與f(x)是同一個函數(shù)，所以g(x)的范圍即f(x)的定義域．③已知f[φ(x)]的定義域，求f[h(x)]的定義域，先由f[φ(x)]中x的取值范圍，求出φ(x)的取值范圍，即f(x)中的x的取值范圍，即h(x)的取值范圍，再依據(jù)h(x)的取值范圍便可以求出f[h(x)]中x的取值范圍．(6)實際問題：若y＝f(x)是由實際問題確定的，其定義域要受實際問題的約束．如：例3中，任何一條線段的長均大于零．eq\a\vs4\al([跟蹤訓練1])(1)若函數(shù)f(x＋1)的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，則函數(shù)f(x－1)的定義域為________；(2)求下列函數(shù)的定義域：①y＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x)；②y＝eq\f(x＋1,|x|－x)；(3)①求函數(shù)y＝eq\r(5－x)＋eq\r(x－1)－eq\f(1,x2－9)的定義域；②將長為am的鐵絲折成矩形(鐵絲恰好用完)，求矩形的面積y(單位：m2)關(guān)于一邊長x(單位：m)的解析式，并寫出此函數(shù)的定義域．答案(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))(2)見解析(3)見解析解析(1)由題意知，－eq\f(1,2)≤x≤2，則eq\f(1,2)≤x＋1≤3，即f(x)的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，∴eq\f(1,2)≤x－1≤3，解得eq\f(3,2)≤x≤4.∴f(x－1)的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)).(2)①要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必需滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－1，,x≤1，))∴函數(shù)的定義域為{x|x≤1，且x≠－1}．②要使函數(shù)有意義，需滿意|x|－x≠0，即|x|≠x，∴x<0.∴函數(shù)的定義域為{x|x<0}．(3)①解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,x－1≥0，,x2－9≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤5，,x≥1，,x≠±3.))故函數(shù)的定義域是{x|1≤x≤5，且x≠3}．②因為矩形的一邊長為x，則另一邊長為eq\f(1,2)(a－2x)，所以y＝x·eq\f(1,2)(a－2x)＝－x2＋eq\f(1,2)ax，定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(a,2))))).題型二已知函數(shù)值求自變量的值例4已知函數(shù)f(x)＝2x2－4，x∈R，若f(x0)＝2，求x0的值．[解]易知f(x0)＝2xeq\o\al(2,0)－4，∴2xeq\o\al(2,0)－4＝2，即xeq\o\al(2,0)＝3.又∵x0∈R，∴x0＝±eq\r(3).金版點睛就本例而言，已知函數(shù)值求自變量的值就是解方程，須要留意：所求的自變量的值必需在函數(shù)的定義域內(nèi)．假如本例中加一個條件“x∈[0，＋∞)”，則x0＝eq\r(3)(－eq\r(3)不符合題意，舍去)．eq\a\vs4\al([跟蹤訓練2])已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，x∈(－∞，0)，若f(x0)＝3.求x0的值．解由題意可得f(x0)＝xeq\o\al(2,0)－2x0.∴xeq\o\al(2,0)－2x0＝3，即xeq\o\al(2,0)－2x0－3＝0.解得x0＝3或x0＝－1.又∵x0∈(－∞，0)，∴x0＝－1.題型三已知自變量的值求函數(shù)值例5已知f(x)＝x2，x∈R，求：(1)f(0)，f(1)；(2)f(a)，f(a＋1)．[解](1)f(0)＝02＝0，f(1)＝12＝1.(2)∵a∈R，a＋1∈R，∴f(a)＝a2，f(a＋1)＝(a＋1)2.金版點睛對于函數(shù)定義域內(nèi)的每一個值，都可以求函數(shù)值(當然函數(shù)值唯一)，本例可以干脆應(yīng)用公式：f(x)＝x2求解，實質(zhì)上就是求代數(shù)式的值，例如f(1)就是當x＝1時，代數(shù)式x2的值，而f(a＋1)就是當x＝a＋1時，代數(shù)式x2的值．eq\a\vs4\al([跟蹤訓練3])已知f(x)＝eq\r(x)＋eq\f(1,x＋1)，求：(1)f(2)；(2)當a>0時，f(a＋1)的值．解(1)f(2)＝eq\r(2)＋eq\f(1,3).(2)易知f(x)的定義域A＝[0，＋∞)，∵a>0，∴a＋1>1，則a＋1∈A，∴f(a＋1)＝eq\r(a＋1)＋eq\f(1,a＋2).題型四求函數(shù)的值域例6求下列函數(shù)的值域：(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝eq\f(2x＋1,x－3)；(4)y＝2x－eq\r(x－1).[解](1)(視察法)因為x∈{1,2,3,4,5}，分別代入求值，可得函數(shù)的值域為{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域為[2,6)．(3)(分別常數(shù)法)y＝eq\f(2x＋1,x－3)＝eq\f(2x－3＋7,x－3)＝2＋eq\f(7,x－3)，明顯eq\f(7,x－3)≠0，所以y≠2.故函數(shù)的值域為(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)(換元法)設(shè)t＝eq\r(x－1)，則x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2(t2＋1)－t＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2＋eq\f(15,8)，由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如右圖)，可得函數(shù)的值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)).金版點睛求函數(shù)值域的原則及常用方法(1)原則：①先確定相應(yīng)的定義域；②再依據(jù)函數(shù)的詳細形式及運算法則確定其值域．(2)常用方法①視察法：對于一些比較簡潔的函數(shù)，其值域可通過視察法得到．②配方法：是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法．③換元法：運用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．對于f(x)＝ax＋b＋eq\r(cx＋d)(其中a，b，c，d為常數(shù)，且ac≠0)型的函數(shù)常用換元法．④分別常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域．eq\a\vs4\al([跟蹤訓練4])求下列函數(shù)的值域：(1)y＝eq\f(x,x＋1)；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；(3)y＝x＋eq\r(x＋1).解(1)∵y＝eq\f(x,x＋1)＝eq\f(x＋1－1,x＋1)＝1－eq\f(1,x＋1)，且eq\f(1,x＋1)≠0，∴函數(shù)y＝eq\f(x,x＋1)的值域為{y|y≠1}．(2)配方，得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5)，∴結(jié)合函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的值域為{y|2≤y<11}．(3)(換元法)設(shè)t＝eq\r(x＋1)，則x＝t2－1，且t≥0，所以y＝t2＋t－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2－eq\f(5,4)，由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象可得函數(shù)的值域為[－1，＋∞).題型五相同函數(shù)的推斷例7下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1C．f(x)＝1，g(x)＝eq\f(x,x)D．f(x)＝x，g(x)＝|x|[解析]A項中，由于f(x)＝x的定義域為R，g(x)＝(eq\r(x))2的定義域為{x|x≥0}，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數(shù)．B項中，函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系都相同，所以它們是同一函數(shù)．C項中，由于f(x)＝1的定義域為R，g(x)＝eq\f(x,x)的定義域為{x|x≠0}，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數(shù)．D項中，兩個函數(shù)的定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，所以它們不是同一函數(shù)．[答案]B金版點睛推斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)的條件(1)推斷兩個函數(shù)是相同函數(shù)的準則是兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同．定義域、對應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個不相同就不是相同函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不肯定是相同函數(shù)．(2)函數(shù)是兩個實數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．另外，在化簡解析式時，必需是等價變形．eq\a\vs4\al([跟蹤訓練5])下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y＝x相同？(1)y＝(eq\r(x))2；(2)y＝eq\r(3,x3)；(3)y＝eq\r(x2)；(4)y＝eq\f(x2,x).解(1)y＝(eq\r(x))2＝x(x≥0)，y≥0，定義域不同且值域不同，所以不相同．(2)y＝eq\r(3,x3)＝x(x∈R)，y∈R，對應(yīng)關(guān)系相同，定義域和值域都相同，所以相同．(3)y＝eq\r(x2)＝|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，))y≥0；值域不同，且當x<0時，它的對應(yīng)關(guān)系與函數(shù)y＝x不相同，所以不相同．(4)y＝eq\f(x2,x)的定義域為{x|x≠0}，與函數(shù)y＝x的定義域不相同，所以不相同．1．下列各圖中，可能是函數(shù)y＝f(x)的圖象的是()答案D解析A，B中的圖象與y軸有兩個交點，即有兩個y值與x＝0對應(yīng)，所以A，B不行能是函數(shù)y＝f(x