2021年高中數(shù)學(xué)新人教A版必修第二冊第七章復(fù)數(shù)達(dá)標(biāo)檢測卷 卷一 解析版

此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號考場號座位號復(fù)數(shù)（A）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)滿足的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因?yàn)閿?shù)滿足，所以，可得，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故選A．2．，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，故，故，故，故選B．3．歐拉公式（是自然對數(shù)的底，是虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的．它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．若表示的復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則可以為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)歐拉公式可得，當(dāng)時，，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限；當(dāng)時，，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限；當(dāng)時，，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上；當(dāng)時，，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故選B．4．復(fù)數(shù)的一個立方根是，它的另外兩個立方根是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，的立方根為（其中），當(dāng)時，得；當(dāng)時，得；當(dāng)時，得，故選D．5．若(，是虛數(shù)單位)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知：表示的點(diǎn)在單位圓上，而表示該單位圓上的點(diǎn)到復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)的距離，由圖象可知：的最小值應(yīng)為點(diǎn)到的距離，而，圓的半徑為1，故的最小值為，故選D．6．滿足條件的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（）A．一條直線 B．兩條直線 C．圓 D．橢圓【答案】C【解析】因?yàn)椋?，，因此?fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓，故選C．7．設(shè)是虛數(shù)單位，則的值為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，可得，則，，可得，可得，故選B．8．設(shè)有下面四個命題：若滿足，則；：若虛數(shù)是方程的根，則也是方程的根；：已知復(fù)數(shù)，則的充要條件是；：若復(fù)數(shù)，則．其中真命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對于中，若，設(shè)，則，所以是正確的；對于中，若虛數(shù)是方程的根，則也一定是方程的一個根，所以是正確的；對于中，例如，則，此時，所以不正確；對于中，若，則必為實(shí)數(shù)，所以是正確的，綜上正確命題的個數(shù)為三個，故選C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法，其中正確的是（）A．復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是B．復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是C．若，互為共軛復(fù)數(shù)，則是實(shí)數(shù)D．若，互為共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)它們所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于軸對稱【答案】AC【解析】對于A：復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是，顯然成立，故A正確；對于B：若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則且，故B錯誤；對于C：若，互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)，則，所以是實(shí)數(shù)，故C正確；對于D：若，互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)，則，所對應(yīng)的坐標(biāo)分別為，，這兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，故D錯誤，故選AC．10．下面關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題中，結(jié)論正確的是（）A．若復(fù)數(shù)，則B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若復(fù)數(shù)滿足，則D．若復(fù)數(shù)，滿足，則【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，設(shè)復(fù)數(shù)，則，因?yàn)?，所以，因此，即A正確；B選項(xiàng)，設(shè)復(fù)數(shù)，則，因?yàn)?，所，若，則，故B錯；C選項(xiàng)，設(shè)復(fù)數(shù)，則，因?yàn)?，所以，即，所以；故C正確；D選項(xiàng)，設(shè)復(fù)數(shù)，，則，因?yàn)?，所以，若，能滿足，但，故D錯誤，故選AC．11．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)z滿足，下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱C．復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z在一條直線上D．與z對應(yīng)的點(diǎn)Z間的距離的最小值為【答案】ACD【解析】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，A正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，B錯誤；設(shè)，代入，得，即，整理得，即Z點(diǎn)在直線上，C正確；易知點(diǎn)到直線的垂線段的長度即為、Z之間距離的最小值，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可知，最小值為，故D正確，故選ACD．12．對任意，，，下列結(jié)論成立的是（）A．當(dāng)，時，有B．當(dāng)，時，若，則且C．互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)的模相等，且D．的充要條件是【答案】AC【解析】由復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律知，A正確；取，，滿足，但且不成立，B錯誤；由復(fù)數(shù)的模及共軛復(fù)數(shù)的概念知結(jié)論成立，C正確；由能推出；但推不出，因此的必要不充分條件是，D錯誤，故選AC．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．設(shè)i為虛數(shù)單位，，若，，則_________．【答案】【解析】由題得，，故答案為．14．關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則__________．【答案】2【解析】因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，所以可以看成實(shí)數(shù)，方程可整理成，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件得，解得，故答案為2．15．已知復(fù)數(shù)．（1）若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)___________；（2）若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．【答案】，【解析】（1）是實(shí)數(shù)，則有，解得或．又當(dāng)時，，所以是實(shí)數(shù)時，．（2）z所對的點(diǎn)位于第二象限，則有且，解得，故答案為，．16．復(fù)數(shù)是方程的一個根，那么的值等于________．【答案】【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)是方程的一個根，所以，故答案為．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在復(fù)平面內(nèi)A，B，C三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1，，．（1）求，，對應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）判斷的形狀；（3）求的面積．【答案】（1），，；（2）直角三角形；（3）2．【解析】（1）對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為．（2）由（1）知，，，∴，∴為直角三角形．（3）．18．（12分）設(shè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，且在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸的負(fù)半軸上，且，求的代數(shù)形式．【答案】．【解析】因?yàn)?，設(shè)，，，由題設(shè)知，所以．又，所以，所以．19．（12分）已知復(fù)數(shù)．（1）設(shè)，求的值；（2）求滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），．（2）不等式為，即，即，整理得且，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．20．（12分）已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根b．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若復(fù)數(shù)滿足，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）是方程的實(shí)根，，，解得．（2）設(shè)，由，得，即，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在的連線上時，有最大值或最小值，，半徑，當(dāng)時，有最小值且．21．（12分）對任意一個非零復(fù)數(shù)，定義集合．（1）設(shè)是方程的一個根，試用列舉法表示集合．（2）若集合中只有個元素，試寫出滿足條件的一個，并說明理由．【答案】（1）；（2）見解析．【解析】（1）因?yàn)槭欠匠痰囊粋€根，即，所以或，易知不論還是，都有，所以．（2）不妨取，則，，所以，符合題意（或?。?2．（