2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)試題（人教A版2019）422等差數(shù)列的前n項和公式（九大題型）

4．2．2等差數(shù)列的前n項和公式目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：等差數(shù)列前項和的有關(guān)計算 2題型二：等差數(shù)列前項和的比值問題 3題型三：等差數(shù)列前項和的性質(zhì) 4題型四：等差數(shù)列前項和的最值問題 5題型五：求數(shù)列的前項和 7題型六：等差數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用 9題型七：由等差數(shù)列的前n項和判斷等差數(shù)列 11題型八：等差數(shù)列片段和的性質(zhì) 12題型九：等差數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項和 13【重難點集訓(xùn)】 14【高考真題】 27【題型歸納】題型一：等差數(shù)列前項和的有關(guān)計算1．（2024·高二·廣西南寧·階段練習(xí)）等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列的前9項和為（

）A．54 B．63 C．66 D．72【答案】A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，有，故前9項的和為.故選：A.2．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，已知，，則等于（

）A．13 B．35 C．49 D．63【答案】D【解析】∵為等差數(shù)列，∴，∴.故選：D.3．（2024·高二·福建·期中）已知等差數(shù)列的前項和為，，則（

）A．880 B．220 C．110 D．440【答案】D【解析】因為，所以，故，故選：D.4．（2024·高二·河南漯河·期末）等差數(shù)列中，，則其前100項和為（

）A．5050 B．10010 C．10100 D．11000【答案】C【解析】∵，∴，解得，所以.故選：C.5．（2024·高三·廣西南寧·階段練習(xí)）已知遞增的等差數(shù)列的前項和為，則（

）A．70 B．80 C．90 D．100【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題得，解得，所以.故選：D.題型二：等差數(shù)列前項和的比值問題6．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的前項和為，則，所以是等差數(shù)列．因為，所以的公差為，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：7．（2024·高二·湖南常德·階段練習(xí)）等差數(shù)列的前項和分別為，已知，則的值為【答案】【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得，同理可得，所以，由可得；因此.故答案為：8．（2024·高二·安徽安慶·期中）設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為，，若對任意正整數(shù)都有，則．【答案】【解析】由題意知，，，，∴.故答案為：．9．（2024·高二·四川成都·階段練習(xí)）兩個等差數(shù)列和的前項和分別為、，且，則等于【答案】【解析】根兩個等差數(shù)列和的前項和分別為、，且，所以.故答案為：.題型三：等差數(shù)列前項和的性質(zhì)10．（2024·陜西·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，為其前項和，若，則的值為（

）A．18 B．12 C．10 D．9【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，所以．故選：A．11．（2024·山西臨汾·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．28 B．34 C．40 D．44【答案】D【解析】因為，所以由，可得所以，所以，故選：D12．（2024·西藏林芝·一模）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)等差數(shù)列公式及性質(zhì)可得，所以，所以.故選：D13．（2024·江西吉安·模擬預(yù)測）等差數(shù)列前項和為，，則（

）A．32 B．42 C．52 D．62【答案】C【解析】先求出，再利用可求的值.等差數(shù)列中，∴.從而，，故選：C.題型四：等差數(shù)列前項和的最值問題14．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在等差數(shù)列中，，公差，，前n項和為，若取得最大值，則.【答案】7或8【解析】在等差數(shù)列{an}中，，公差，因為，所以，則，所以，當(dāng)或8時，取得最大值.故答案為：7或815．（2024·高二·福建·期中）若等差數(shù)列滿足，，則當(dāng)時，的前項和最小.【答案】18【解析】由，所以，又，所以，所以當(dāng)時，的前項和最小.故答案為：1816．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，即，又，解得，即該數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，其通項公式為，則當(dāng)滿足時，取得最大值，即，解得，即當(dāng)或時，的最大值為．故答案為：.17．（2024·高二·吉林延邊·期中）已知，記數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的個數(shù)是（）（1）（2）（3）（4）的最小值為A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】因為①，所以②，且，①②兩式相減得：，滿足上式，所以，所以（1）正確；因為，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以（2）錯誤；因為，，所以，所以（3）正確；因為，下面考察函數(shù)的圖像（如圖所示），可知函數(shù)有最低點且在時取最小值，由于，，所以當(dāng)或者取得最小值，即，所以（4）正確.綜上得，（1）（3）（4）正確.故選：C.題型五：求數(shù)列的前項和18．（2024·高三·河北衡水·開學(xué)考試）已知為數(shù)列的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【解析】（1）因為，且，當(dāng)時，，得，整理得：，所以為首項是，公差為的等差數(shù)列，所以.（2）由，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，；所以當(dāng)，，當(dāng)時，，而，所以.19．（2024·高二·遼寧丹東·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】（1）時，，時，，又，所以；（2）由（1），當(dāng)時，，當(dāng)時，，.20．（2024·高二·河南南陽·期中）已知數(shù)列的前項和．(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．【解析】（1）因為，所以時，，當(dāng)時，適合上式，故，所以時，，故數(shù)列是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列；（2），當(dāng)時，，則當(dāng)時，，故.題型六：等差數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用21．（2024·高三·廣東佛山·階段練習(xí)）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第十六題的“物不知數(shù)”問題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二．問物幾何？現(xiàn)有一個相關(guān)的問題：將到這個自然數(shù)中被除余且被除余的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列，則該數(shù)列的項數(shù)為．【答案】【解析】由題知，滿足上述條件的數(shù)列為，該數(shù)列為首項是，公差為的等差數(shù)列，則，解得，故該數(shù)列的項數(shù)為.故答案為：22．（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）《張邱建算經(jīng)》記載：今有女子不善織布，逐日織布同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織布尺．【答案】90【解析】每日織布數(shù)可看作等差數(shù)列，其中，故30天共織布尺.故答案為：9023．（2024·高二·河南平頂山·期末）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中描述了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”.三角垛的最上層（即第一層）有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，從第二層開始，每層球數(shù)與上一層球數(shù)之差依次構(gòu)成等差數(shù)列.現(xiàn)有60個籃球，把它們堆放成一個三角垛，那么剩余籃球的個數(shù)最少為.

【答案】【解析】設(shè)第層有和球，則，，，，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，也適合上式，故，所以這層三角垛的球數(shù)之和為，因為，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時，，剩余球數(shù)為個，當(dāng)時，，所以剩余球數(shù)的最小值為個.故答案為：.24．（2024·高二·安徽·期末）公元前1800年，古埃及的“加罕紙草書”上有這樣一個問題：將100德本（德本是古埃及的重量單位）的食物分成10份，第一份最大，從第二份開始，每份比前一份少德本，求各份的大小.在這個問題中，最小的一份是德本.【答案】【解析】由題意得，將份數(shù)從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，且，，，∴，解得.故答案為：題型七：由等差數(shù)列的前n項和判斷等差數(shù)列25．（2024·高二·江蘇蘇州·期中）已知數(shù)列的前項的和為，且，給出下列四個命題，其中正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．對任意的自然數(shù)都有C．是等差數(shù)列 D．是等差數(shù)列【答案】D【解析】由求出，利用等差數(shù)列的定義，即可判斷A；知求，有公式，即可判斷B；對C，只需求出每一項，用等差數(shù)列定義判斷即可；由求出，即可判斷D．當(dāng)時，；當(dāng)時，，不滿足上式．所以，故A、B錯誤；因為；；；，所以；；，因為，故C錯誤；對D，因為，而當(dāng)時，，故，所以D正確．故選：D26．（2024·高一·安徽合肥·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式；求證：數(shù)列是等差數(shù)列．【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿足，即數(shù)列的通項公式．證明：，當(dāng)時，為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．27．（2024·高二·浙江嘉興·期末）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和為，且滿足，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；【解析】（1））當(dāng)時，，得，當(dāng)時，，又，兩式相減得，，整理得，∵，∴，∴數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列.題型八：等差數(shù)列片段和的性質(zhì)28．（2024·高二·廣東廣州·期末）在等差數(shù)列中，為其前項和，若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．12【答案】C【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，且，，所以根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)可得成等差數(shù)列，所以，所以，解得．故選：C.29．（2024·高二·云南大理·期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．34 B．39 C．42 D．45【答案】B【解析】由成等差數(shù)列，則，即，故.故選：B30．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，，，，則的值為（

）A．16 B．12 C．10 D．8【答案】B【解析】由，得①，因為，，所以，即②，①②兩式相加，得，即，所以，所以，解得.故選：B.31．（2024·高二·山東濰坊·期中）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．54 B．63 C．72 D．135【答案】B【解析】因為是等差數(shù)列，所以，，為等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，所以，解得.故選：B題型九：等差數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項和32．（2024·重慶·二模）已知等差數(shù)列的前30項中奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，則，所以，因為，即，則，等差數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，等差數(shù)列的前30項中奇數(shù)項有15項，所以，得，所以.故選：B33．（2024·高二·湖北·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)記，寫出，并求數(shù)列的通項公式；(2)求的前100項和.【解析】（1）由題意知：，又且，所以，，所以，所以，因為，所以，所以數(shù)列是以0為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以.（2）當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，則，兩式相減得：，因為，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，為奇數(shù)，則，兩式相減得：，因為，所以，所以；所以.34．（2024·高二·陜西榆林·期末）已知數(shù)列滿足，，記.(1)求，；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的前項和.【解析】（1），；（2），所以數(shù)列是首項為19，公差為的等差數(shù)列；（3）.【重難點集訓(xùn)】1．已知數(shù)列，，，且則數(shù)列的前項之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)為奇數(shù)時，，，所以數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列；當(dāng)為偶數(shù)時，，，所以數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列.所以，數(shù)列的前項和為：.故選：B.2．已知數(shù)列的前項和為，且，則的值為（

）A．300 B． C．210 D．【答案】A【解析】若為奇數(shù)，則是偶數(shù)，是奇數(shù)，則，①，②①②得：，所以的奇數(shù)項是首項為，公差為3的等差數(shù)列；所以.故選:A.3．已知若數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知．故選：D．4．我們把各項均為0或1的數(shù)列稱為數(shù)列，數(shù)列在計算機科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．把佩爾數(shù)列（，，，）中的奇數(shù)換成0，偶數(shù)換成1，得到數(shù)列．記的前n項和為，則（

）A．16 B．12 C．10 D．8【答案】C【解析】因為，，，，所以，，，，，，…，可以看出數(shù)列的前20項為，故.故選：C.5．在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取該數(shù)列的項：第一次取1；第二次取2個連續(xù)的偶數(shù)2，4；第三次取3個連續(xù)奇數(shù)5，7，9；第四次取4個連續(xù)的偶數(shù)10，12，14，16；第五次取5個連續(xù)的奇數(shù)17，19，21，23，25；按此規(guī)律取下去，得到一個數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…則這個數(shù)列中第2023個數(shù)是（

）A．3978 B．3980 C．3982 D．3984【答案】C【解析】由題意可得：奇數(shù)次取奇數(shù)個奇數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個偶數(shù)，前n次共取了個數(shù)，且第n次的最后一個數(shù)為，當(dāng)時，，故到第63次取時取了63個奇數(shù)，且前63次共取了2016個數(shù)，即第2016個數(shù)為，∴時，依次為，∴第2023個數(shù)為3982.故選：C.6．已知函數(shù)，且，則等于A．2014 B．2014 C．2019 D．2019【答案】D【解析】若是奇數(shù)，則構(gòu)成等差數(shù)列，則公差則前1009個奇數(shù)項的和若是偶數(shù)，則也構(gòu)成等差數(shù)列，則，公差則前1008個偶數(shù)項和則，故選：D．7．若為等差數(shù)列，為的前項和，，，則當(dāng)（

）時

取最大值.A． B． C． D．【答案】B【解析】因為若為等差數(shù)列，為的前項和，則，因為，則，故，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即數(shù)列為遞減數(shù)列，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，取最大值.故選：B.8．已知等差數(shù)列的前和為，，則（

）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】在中取得，故，所以.故選：A.9．（河南省安陽市第一中學(xué)20242025學(xué)年高二上學(xué)期階段二考試數(shù)學(xué)試題）（多選題）若等差數(shù)列的公差為，首項為，其前項和為，，其中，，，，則下列選項正確的是（

）A． B．C．中的最大項為 D．中的不同數(shù)值有個【答案】ACD【解析】對于選項A：因為，可知.則，可得，即，故A正確；對于選項B：因為，可知等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，所以，故B錯誤；對于選項C：可知，根據(jù)的符號可知：，當(dāng)時，均為正數(shù)，且最大，最小，可知中的最大項為，且為正數(shù)；當(dāng)時，；綜上所述：中的最大項為，故C正確；對于選項D：因為，同理可得：，可知當(dāng)時，中的不同數(shù)值有10個；當(dāng)時，由選項C可知每個值均不同，共有81個；綜上所述：中的不同數(shù)值有個，故D正確；故選：ACD.10．（湖南省部分學(xué)校20242025學(xué)年高二上學(xué)期12月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）（多選題）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．有最小值D．存在正整數(shù)，當(dāng)時，總有【答案】ACD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，對于A選項，，則等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，A對；對于B選項，不妨取，則,此時，數(shù)列不單調(diào)，B錯；對于C選項，若，則對任意的，，則，所以，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的最小值為；若，由，可得，不妨?。ㄆ渲袨椴怀^的最大整數(shù)），則當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，為的最小項，綜上所述，的最小值，C對；對于D選項，若，不妨取，則當(dāng)時，，即；若，由，可得，取，當(dāng)時，，所以，存在正整數(shù)，當(dāng)時，總有，D對.故選：ACD.11．（江蘇省南京、鎮(zhèn)江、徐州等十校聯(lián)盟20242025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）（多選題）記等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為.已知當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，則（

）A．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值B．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值C．若，則當(dāng)或14時，取得最大值D．若，則當(dāng)或14時，取得最大值【答案】ACD【解析】等差數(shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值可得數(shù)列為遞減數(shù)列；且當(dāng)時，，當(dāng)時，；對于A，若，即可得，所以；則，即有，，，以此類推可知，，則當(dāng)時，把數(shù)列中所有的非負數(shù)全部加完，取得最大值，即A正確；對于B，若，即可得，則，即有，，；以此類推可知，，則當(dāng)時，把數(shù)列中所有的非負數(shù)全部加完，取得最大值，即B錯誤；對于C，若，即可得，所以；則，即有，，，以此類推可知，，則當(dāng)或14時，把數(shù)列中所有的非負數(shù)全部加完，，取得最大值，即C正確；對于D，若，可得，由于，可得，即，，，以此類推可知，，則當(dāng)或14時，把數(shù)列中所有的非負數(shù)全部加完，取得最大值，即D正確；故選：ACD12．設(shè)數(shù)列的前項和是，如果它的前項和，那么【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，所以.故答案為：.13．已知數(shù)列滿足，且，則；記的前項和為，則.【答案】【解析】因為，且，則，，，，，，所以，且是以為首項，為公差的等差數(shù)列，是以為首項，為公差的等差數(shù)列，是以為首相，為公差的等差數(shù)列，則.故答案為：；14．已知數(shù)列滿足，在任意相鄰兩項與之間插入個2，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列.記為數(shù)列的前項和，則的值為.【答案】164【解析】由題意得，，，，，，其中，之間插入2個2，，之間插入4個2，，之間插入8個2，，之間插入16個2，，之間插入32個2，，之間插入64個2，由于，，故數(shù)列的前70項含有的前6項和64個2，故.故答案為：164.15．?dāng)?shù)列，，c的取值范圍為．【答案】【解析】因為，則，可知數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得，所以c的取值范圍為.故答案為：.16．已知等差數(shù)列中，，(1)求的通項公式.(2)求數(shù)列的前項和，并求的最大值.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，解得，所以，所以；（2）由（1），，所以當(dāng)或時，取最大值，最大值為.所以，的最大值為.17．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，已知，.(1)求的通項公式；(2)求，并求的最小值及此時的值.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得，所以的通項公式是.（2）由（1）知，所以，當(dāng)時，取最小值.18．已知在數(shù)列中，，記，，，若對于任意，，，構(gòu)成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【解析】（1）根據(jù)題意成等差數(shù)列，∴；整理得，∴數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列．∴．（2）由（1）知，則，記數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，綜上：.19．已知數(shù)列的前項和為，且(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項和為.求.(3)在（2）條件下若都有不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）因為①，當(dāng)時可得，即.當(dāng)時，②由①②得，即，即是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）因為，所以，，兩式相得，，即，則，故.（3）由（2）知，所以有，即，依題意，不等式恒成立，因為隨著n增大而減小，所以，即的取值范圍為.20．在等差數(shù)列中，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和的最小值.【解析】（1）因為，即，又因為，可得，即，則，可得，所以數(shù)列的通項公式.（2）令，解得，可知當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以數(shù)列的前項和的最小值為.21．記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因為，令，解得，且，當(dāng)時，則，可得；當(dāng)時，則，可得；綜上所述：.22．設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．(1)若，求的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【解析】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，，即，解得或（舍去）當(dāng)時，，解得，與矛盾，無解；當(dāng)時，，解得.綜上，.23．已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當(dāng)時，．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此