河南省濮陽市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

濮陽市2018屆高三畢業(yè)班第一次模擬考試數(shù)學(xué)(理科)一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則()A.B.C.D.【答案】C【解析】,所以，故選C.2.若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，表示復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則()A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)，，即，即，故選A.3.如圖所示的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2，寬為1，在長(zhǎng)方形內(nèi)撒一把豆子(豆子大小忽略不計(jì))，然后統(tǒng)計(jì)知豆子的總數(shù)為粒，其中落在飛鳥圖案中的豆子有粒，據(jù)此請(qǐng)你估計(jì)圖中飛鳥圖案的面積約為()A.B.C.D.【答案】B【解析】設(shè)飛鳥圖案的面積為，那么，幾，故選B.4.函數(shù)的圖象大致為()A.B.C.D.【答案】C【解析】，所以函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，排除A.D，當(dāng)時(shí)，，排除B，故選C.5.設(shè)，若，則()A.B.C.D.【答案】B【解析】，所以原式等于而，，又因?yàn)?，所以，可求得，那么，那么，故選B.6.設(shè)點(diǎn)是，表示的區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)是區(qū)域關(guān)于直線的對(duì)稱區(qū)域內(nèi)的任一點(diǎn)，則的最大值為()A.B.C.D.【答案】D【解析】如圖畫出可行域，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)間的距離最大，最大距離就是點(diǎn)到直線距離的2倍，聯(lián)立，解得：，點(diǎn)到直線的距離，那么，故選D.7.已知三棱錐中，與是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為()A.B.C.D.【答案】D【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，，連接，點(diǎn)是三棱錐的外接球的球心，因?yàn)槔忾L(zhǎng)都是2，所以，所以在中，，那么外接球的表面積是，故選D.【點(diǎn)睛】立體幾何的外接球中處理時(shí)常用如下方法：1.結(jié)合條件與圖形恰當(dāng)分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)；3.化立體為平面，利用平面幾何知識(shí)求解.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖(其中表示等于除以10的余數(shù))，則輸出的為()A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】時(shí)，第一次進(jìn)入循環(huán)，時(shí)，第二次進(jìn)入循環(huán)，時(shí)，第三次進(jìn)入循環(huán)，，時(shí)，第四次進(jìn)入循環(huán)，，當(dāng)時(shí)，第五次進(jìn)入循環(huán)，時(shí)，第六次進(jìn)入循環(huán)，，由此可知此循環(huán)的周期為6，當(dāng)時(shí)，第2016次進(jìn)入循環(huán)，，所以此時(shí)，退出循環(huán)，輸出的值等于8，故選D.9.某幾何體是由一個(gè)三棱柱和一個(gè)三棱錐構(gòu)成的，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.B.C.D.【答案】A【解析】次三視圖還原為如圖幾何體，長(zhǎng)方體削下去等高的四棱錐，剩下一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱，，故選A.10.已知雙曲線，是左焦點(diǎn)，，是右支上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是()A.4B.6C.8D.16【答案】C【解析】，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故選C.11.已知中，，，成等比數(shù)列，則的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由已知可知，即，，即，，原式等于，設(shè)即原式等于，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)等于0，當(dāng)時(shí)，函數(shù)等于,所以原式的取值范圍是，故選B.【點(diǎn)睛】本題有兩個(gè)難點(diǎn)，一個(gè)是根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)化為，再利用余弦定理求角的取值范圍，二是將轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，本題考查的三角函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)非常全面，而且運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于難題了.12.已知且，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的最小值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】原式等價(jià)于，兩邊取自然對(duì)數(shù)得，令，則時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，與矛盾；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，解得，，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，若，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，矛盾；若，即，當(dāng)時(shí)，遞減，，成立，綜上，，最小值為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立的問題，可以通過變形將不等式整理為需要研究的函數(shù)，比如本題設(shè)，討論的取值范圍，使函數(shù)滿足，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求得函數(shù)的最值.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.正三角形的邊長(zhǎng)為1，是其重心，則________.【答案】【解析】且兩向量的夾角為，即故填：14.的展開式中，的系數(shù)為________.【答案】56【解析】原式其中只可能出現(xiàn)在的展開式中，所以的系數(shù)是,故填：56.15.已知橢圓，和是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為1，，，則橢圓離心率為________________.【答案】【解析】設(shè)周長(zhǎng)為，則，又，則，又，則，故填：.16.先將函數(shù)的圖象上的各點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?其中)，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為____________.【答案】9【解析】在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以有，即由可得，當(dāng)時(shí)，，所以正整數(shù)的最大值是9.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像變換，以及根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)的最值，當(dāng)圖像是先平移再伸縮時(shí)，注意是前的系數(shù)改變，與無關(guān)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即先求的范圍，其是函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的子集，求出的范圍，確定最值......................三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列為遞增數(shù)列，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知，解出，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）可知，求得，，采用錯(cuò)位相減法求和.試題解析：(1)由題意得，所以，時(shí)，，公差，所以，時(shí)，，公差，所以.(2)若數(shù)列為遞增數(shù)列，則，所以，，，所以，，所以，所以.18.為創(chuàng)建國(guó)家級(jí)文明城市，某城市號(hào)召出租車司機(jī)在高考期間至少參加一次“愛心送考”，該城市某出租車公司共200名司機(jī)，他們參加“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.(1)求該出租車公司的司機(jī)參加“愛心送考”的人均次數(shù)；(2)從這200名司機(jī)中任選兩人，設(shè)這兩人參加送考次數(shù)之差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)2.3；(2)答案見解析.【解析】試題分析：（1）人均次數(shù)等于總的“愛心送考”次數(shù)/200；（2）該公司任選兩名司機(jī)，記“這兩人中一人參加1次，另一個(gè)參加2次送考”為事件，“這兩人中一人參加2次，另一人參加3次送考”為事件，“這兩人中一人參加1次，另一人參加3次送考”為事件，“這兩人參加次數(shù)相同”為事件.，根據(jù)事件列式求分布列和數(shù)學(xué)期望.試題解析：由圖可知，參加送考次數(shù)為1次，2次，3次的司機(jī)人數(shù)分別為20，100，80.(1)該出租車公司司機(jī)參加送考的人均次數(shù)為：.(2)從該公司任選兩名司機(jī)，記“這兩人中一人參加1次，另一個(gè)參加2次送考”為事件，“這兩人中一人參加2次，另一人參加3次送考”為事件，“這兩人中一人參加1次，另一人參加3次送考”為事件，“這兩人參加次數(shù)相同”為事件.則，，.的分布列：012的數(shù)學(xué)期望.19.如圖，正方形中，，與交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起得到三棱錐，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若三棱錐的最大體積為，當(dāng)三棱錐的體積為，且二面角為銳角時(shí)，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：（1）要證明線線垂直，一般需證明線面垂直，易證，即平面；（2）是二面角的平面角，根據(jù)，可知，是等邊三角形，平面，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過且平行于的直線為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角.試題解析：(1)依題意易知，，，∴平面，又∵平面，∴.(2)當(dāng)體積最大時(shí)三棱錐的高為，當(dāng)體積為時(shí)，高為，中，，作于，∴，∴，∴為等邊三角形，∴與重合，即平面.以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過且平行于的直線為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∴，，，.設(shè)為平面的法向量，∵，，∴，取，設(shè)是平面的法向量，，，∴，取，∴，設(shè)二面角大小為，∴.【點(diǎn)睛】用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想．兩種思路：(1)選好基底，用向量表示出幾何量，利用空間向量有關(guān)定理與向量的線性運(yùn)算進(jìn)行判斷．(2)建立空間坐標(biāo)系，進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義解釋相關(guān)問題．20.已知點(diǎn)在拋物線上，是拋物線上異于的兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn).(1)證明：直線過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)作直線的垂線，求垂足的軌跡方程.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)得到拋物線方程，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用，代入根與系數(shù)的關(guān)系，求得，代入直線方程，得到定點(diǎn)；（2）根據(jù)（1）可知，點(diǎn)的軌跡滿足圓的方程，以為直徑的圓去掉，寫出圓的方程即可.試題解析：(1)點(diǎn)在拋物線上，代入得，所以拋物線的方程為，由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得，得，，由于，所以，即，即.(*)又因?yàn)椋?，代?*)式得，即，所以或，即或.當(dāng)時(shí)，直線方程為，恒過定點(diǎn)，經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線方程為，恒過定點(diǎn)，不合題意，所以直線恒過定點(diǎn).(2)由(1)，設(shè)直線恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓且去掉，方程為.21.已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）由條件可知恒成立，通過參變分離的方法得到恒成立，即轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，即求的取值范圍；（2）根據(jù)條件可知，和，經(jīng)過變形整理為，經(jīng)過換元，可將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可證明.試題解析：(1)由函數(shù)在上是減函數(shù)，知恒成立，.由恒成立可知恒成立，則，設(shè)，則，由，知，函數(shù)在上遞增，在上遞減，∴，∴.(2)由(1)知.由函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，知，則且，聯(lián)立得，即，設(shè)，則，要證，只需證，只需證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則.故在上遞增，，即，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的證明，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的鞥努力，尤其是第二問，利用條件可變形為，這樣通過換元設(shè)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù).22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)過原點(diǎn)的直線分別與曲線交于除原點(diǎn)外的兩點(diǎn)，若，求的面積的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：（1）首先將曲線C的參數(shù)方程化簡(jiǎn)為普通方程，再根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化關(guān)系，，化簡(jiǎn)為曲線的極坐標(biāo)方程；（2），根據(jù)極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求函數(shù)的最大值.試題解析：(1