黃金卷04（上海專用）備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷含答案及解析

試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（上海專用）黃金卷04（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果。1．設(shè)集合，，則.2．已知，則．3．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則.4．若，且，則的最大值為.5．學(xué)校的高三年級(jí)共有500名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，已知，估計(jì)高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為.6．若不等式對(duì)任意都成立，則實(shí)數(shù)的最大值為.7．設(shè)點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線最小的距離為.8．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F在BE上，若，則.9．一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0~9中任選一個(gè)．某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，他任意按最后一位數(shù)字，則不超過2次就按對(duì)的概率為．10．某人去公園郊游，在草地上搭建了如圖所示的簡(jiǎn)易遮陽篷ABC，遮陽篷是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為8的等腰直角三角形，斜邊AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太陽光線與地面成30°角，則當(dāng)遮陽篷ABC與地面所成的角大小為時(shí)，所遮陰影面ABC＇面積達(dá)到最大11．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且與圓在第二象限的交點(diǎn)為，，則橢圓離心率的取值范圍為．12．已知函數(shù)y=fx的表達(dá)式為，若方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，且，則取值范圍是.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號(hào)涂黑.13．已知數(shù)據(jù)，，…，（，）是上海普通職工n個(gè)人的年收入，這n個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，平均數(shù)為y，方差為z，如果加上世界首富的年收入，則這個(gè)數(shù)據(jù)中，下列說法正確的是（

）A．年收入平均數(shù)增加，中位數(shù)一定變大，方差可能不變；B．年收入平均數(shù)增加，中位數(shù)可能不變，方差變大；C．年收入平均數(shù)增加，中位數(shù)可能不變，方差可能不變；D．年收入平均數(shù)增加，中位數(shù)可能變大，方差不變.14．若直線與直線平行，則（

）A． B．0 C．1 D．1或15．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足，則角的范圍是（

）A． B． C． D．16．若無窮數(shù)列滿足：，當(dāng)，時(shí)，（其中表示，，，中的最大項(xiàng)），有以下結(jié)論：①若數(shù)列是常數(shù)列，則；②若數(shù)列是等差數(shù)列，則公差；③若數(shù)列是等比數(shù)列，則公比；④若存在正整數(shù)，對(duì)任意，，都有，則是數(shù)列的最大項(xiàng).則其中的正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求的值；(2)當(dāng)為何值時(shí)最大，并求出此最大值.18、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知臍橙分類標(biāo)準(zhǔn)：果徑80mm～85mm為一級(jí)果，果徑75mm～80mm為二級(jí)果，果徑70mm～75mm或85mm以上為三級(jí)果．某農(nóng)產(chǎn)品研究所從種植園采摘的大量該地臍橙中隨機(jī)抽取1000個(gè)，測(cè)量這些臍橙的果徑（單位：mm），得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)在這1000個(gè)臍橙中，按分層抽樣的方法在果徑70～85mm中抽出9個(gè)臍橙，為進(jìn)一步測(cè)量其他指標(biāo)，在抽取的9個(gè)臍橙中再抽出3個(gè)，①求這9個(gè)臍橙中一級(jí)果，二級(jí)果，三級(jí)果的數(shù)量②求抽到的一級(jí)果個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2)以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率，某顧客從種植園的這批臍橙中隨機(jī)購(gòu)買100個(gè)，其中一級(jí)果的個(gè)數(shù)為，記一級(jí)果的個(gè)數(shù)為的概率為，寫出的表達(dá)式并求出當(dāng)為何值時(shí)，最大？19、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）如圖，在三棱柱中，底面，，，，點(diǎn)，分別為與的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)求與平面所成角的正弦值．20、（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．已知橢圓常數(shù)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)若是橢圓上任意一點(diǎn)，，求的取值范圍；(3)設(shè)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，試探究的面積是否為定值，說明理由．21、（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖?，使得，稱t為的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．(1)求證：為奇函數(shù)；(2)當(dāng)a變化時(shí)，求函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)若存在，，且為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍．

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（上海專用）黃金卷04·參考答案（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）。1、 2、15/0.2 3、4、 5、 6、 7、/ 8、 9、15/0.210、11、12、二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案.13141516BCBC三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17、【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)求解即可；（2）求出，用二次函數(shù)知識(shí)來解題即可．【詳解】（1），則，，故的值為.（2）由（1）知道，，，，由于開口向下，且對(duì)稱軸為.而，則或者時(shí)，最大.．18、【答案】(1)①一級(jí)果4個(gè)，二級(jí)果3個(gè)，三級(jí)果2個(gè)；②；(2)當(dāng)時(shí)，最大【分析】（1）①求出果徑80mm～85mm,75mm～80mm，70mm～75mm的頻率之比，從而求出一級(jí)果，二級(jí)果，三級(jí)果的數(shù)量；②求出的可能取值和對(duì)應(yīng)的概率，得到數(shù)學(xué)期望；（2）得到，從而得到不等式組，求出當(dāng)時(shí)，最大.【詳解】（1）①果徑80mm～85mm,75mm～80mm，70mm～75mm的頻率之比為，故這9個(gè)臍橙中一級(jí)果數(shù)量為個(gè)，二級(jí)果個(gè)，三級(jí)果個(gè)；②的可能取值為，故，，，，故（2）一級(jí)果的頻率為，用頻率代替概率，故，故，令，故，解得，又，故，故當(dāng)時(shí)，最大.19、【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，根據(jù)法向量與向量垂直，即可判斷線面平行；（2）首先求平面的法向量，再代入線面角的向量公式，即可求解.【詳解】（1）證明：直三棱柱中，，以為頂點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系如圖，，，點(diǎn)，分別為與的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，，，，在△中，，平面，且，平面，平面，，且，平面，平面，為平面的一個(gè)法向量，而，，，，又平面，平面；（2）易知，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，，取，則，，即，設(shè)與平面所成角為，則故與平面所成角的正弦值為．20、【答案】(1)；(2)；(3)是定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合離心率公式化簡(jiǎn)計(jì)算；（2）應(yīng)用向量間關(guān)系結(jié)合基本不等式化簡(jiǎn)求范圍即可；（3）應(yīng)用斜率積的公式化簡(jiǎn)得出結(jié)合三角形面積公式結(jié)合點(diǎn)在橢圓上化簡(jiǎn)求值.【詳解】（1）由橢圓方程為，則離心率，又所以；（2）由已知得又點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)可得（3）法一：由已知可得，即，平方可得，又在橢圓上，所以，所以，化簡(jiǎn)可得設(shè)與的夾角為，則，則，所以的面積，故的面積為定值；方法二：由已知，即，①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，則，又在橢圓上，則，所以，此時(shí)；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓，得，則，，則，即，所以，點(diǎn)到直線的距離d=t1+k所以，所以的面積為定值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：面積定值關(guān)鍵是應(yīng)用點(diǎn)在橢圓上代入面積公式化簡(jiǎn)求值即可.21、【答案】(1)證明過程見解析(2)答案見解析(3)【分析】（1）根據(jù)變形得到，從而得到，證明出結(jié)論；（2）由得，令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性和極值情況，從而得到的解的情況，得到答案；（3）由題目條件得到在R上單調(diào)遞減，變形得到，即，由函數(shù)單調(diào)性得到，根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)得到在時(shí)有解，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和最值，從而得到不等式，求出a的取值范圍.【詳解】（1），故，其中，則，其中定義域?yàn)镽，故為奇函數(shù)，（2）由得，令，則令，解得，令?'x<0，解得，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，故當(dāng)時(shí)，無解，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)解；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有不動(dòng)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).（3）當(dāng)時(shí)，，故，所以在上單調(diào)遞減，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性，可得在R上單調(diào)遞減，因?yàn)榇嬖?，即，則，故，則，即，因?yàn)闉楹瘮?shù)一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，所以在時(shí)有解，令，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，且趨向于時(shí)，趨向于，所以只需，即，解得，故a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（上海專用）黃金卷04（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果。1．設(shè)集合，，則.【答案】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，再利用交集的定義求解即得.【詳解】解，得，解得，則，而不等式，即恒成立，則，所以.故答案為：2．已知，則．【答案】15【分析】由誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】，故答案為：3．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則.【答案】【分析】先對(duì)化簡(jiǎn)，然后可求出其共軛復(fù)數(shù)【詳解】，所以共軛復(fù)數(shù)是.故答案為：4．若，且，則的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)基本不等式，即可求解.【詳解】，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故答案為：15．學(xué)校的高三年級(jí)共有500名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，已知，估計(jì)高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為.【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)樵摯慰荚嚨某煽?jī)服從正態(tài)分布，且，所以，所以，因此該年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜忠陨系娜藬?shù)約為.故答案為：6．若不等式對(duì)任意都成立，則實(shí)數(shù)的最大值為.【答案】【分析】由參變量分離法可知，對(duì)任意的恒成立，求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意都成立，則，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，，因此，實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.7．設(shè)點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線最小的距離為.【答案】/【分析】設(shè)，利用點(diǎn)到直線距離公式表示出點(diǎn)P到直線距離，根據(jù)函數(shù)最值即可求解.【詳解】點(diǎn)P在曲線上，設(shè)，則點(diǎn)P到直線l的距離為，當(dāng)時(shí)，.故答案為：.8．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F在BE上，若，則.【答案】【分析】根據(jù)向量平行四邊形法則及線性運(yùn)算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得參數(shù).【詳解】由題意可知，因?yàn)辄c(diǎn)F在BE上，所以，所以，所以，所以.故答案為：9．一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0~9中任選一個(gè)．某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，他任意按最后一位數(shù)字，則不超過2次就按對(duì)的概率為．【答案】15/【分析】分第一次按對(duì)和第二次才按對(duì)，結(jié)合概率公式求解即可.【詳解】“第1次按對(duì)”為事件，“第2次按對(duì)”為事件.則不超過2次就按對(duì)的概率為.故答案為：.10．某人去公園郊游，在草地上搭建了如圖所示的簡(jiǎn)易遮陽篷ABC，遮陽篷是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為8的等腰直角三角形，斜邊AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太陽光線與地面成30°角，則當(dāng)遮陽篷ABC與地面所成的角大小為時(shí)，所遮陰影面ABC＇面積達(dá)到最大【答案】【分析】遮陰影面面積達(dá)到最大即是點(diǎn)到的距離最大，根據(jù)正弦定理表示出點(diǎn)到的距離，即可找出角度取值與面積之間的關(guān)系．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作交AB于D，連接，由題知，因此就是遮陽篷ABC與地面所成的角，因?yàn)椋瑒t求遮陰影面面積最大，即是求最大，又，，設(shè)，，由正弦定理，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)所遮陰影面面積最大，故答案為：11．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且與圓在第二象限的交點(diǎn)為，，則橢圓離心率的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)已知條件及直角所對(duì)的圓周角等于，利用勾股定理、橢圓的定義及橢圓的離心率公式，再利用換元法和構(gòu)造函數(shù)即可求出離心率的取值范圍．【詳解】由以線段為直徑的圓與橢圓在第二象限相交于點(diǎn)，所以半徑，即，且．所以，由于，令，則，則．由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，故，即，滿足，符合題意．所以橢圓離心率的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件及直徑所對(duì)的圓周角等于，利用勾股定理、橢圓的定義及橢圓的離心率公式，再利用換元法和構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可.12．已知函數(shù)y=fx的表達(dá)式為，若方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，且，則取值范圍是.【答案】【分析】判斷函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，畫出函數(shù)的大致圖象，由函數(shù)與有4個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而求出的取值范圍，由利用函數(shù)和換元法并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最小值．【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，函數(shù)與有4個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)的圖象可知，即的取值范圍為：，由函數(shù)的圖象可知：，，且，，，，，，令，，，設(shè)，則，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性其單調(diào)遞增，則，又，設(shè)，，對(duì)稱軸為，則即，即范圍為故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)在軸的交點(diǎn)方程的根函數(shù)與的交點(diǎn).二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號(hào)涂黑.13．已知數(shù)據(jù)，，…，（，）是上海普通職工n個(gè)人的年收入，這n個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，平均數(shù)為y，方差為z，如果加上世界首富的年收入，則這個(gè)數(shù)據(jù)中，下列說法正確的是（

）A．年收入平均數(shù)增加，中位數(shù)一定變大，方差可能不變；B．年收入平均數(shù)增加，中位數(shù)可能不變，方差變大；C．年收入平均數(shù)增加，中位數(shù)可能不變，方差可能不變；D．年收入平均數(shù)增加，中位數(shù)可能變大，方差不變.【答案】B【分析】由于數(shù)據(jù)，，，，是上海普通職工個(gè)人的年收入，如果再加上世界首富的年收入，我們根據(jù)平均數(shù)的意義，中位數(shù)的定義，及方差的意義，分析由于加入后，數(shù)據(jù)的變化特征，易得到答案．【詳解】數(shù)據(jù)，，，，是上海普通職工個(gè)人的年收入，而為世界首富的年收入,則會(huì)遠(yuǎn)大于，，，，，故這個(gè)數(shù)據(jù)中，年收入平均數(shù)大大增大，但中位數(shù)可能不變，也可能稍微變大，但由于數(shù)據(jù)的集中程度也受到比較大的影響，而更加離散，則方差變大故選：B14．若直線與直線平行，則（

）A． B．0 C．1 D．1或【答案】C【分析】根據(jù)直線一般式中平行滿足的系數(shù)關(guān)系，即可求解.【詳解】直線與直線平行，故，解得，故選：C15．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足，則角的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理的推論求得，求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)椋?，故選：B16．若無窮數(shù)列滿足：，當(dāng)，時(shí)，（其中表示，，，中的最大項(xiàng)），有以下結(jié)論：①若數(shù)列是常數(shù)列，則；②若數(shù)列是等差數(shù)列，則公差；③若數(shù)列是等比數(shù)列，則公比；④若存在正整數(shù)，對(duì)任意，，都有，則是數(shù)列的最大項(xiàng).則其中的正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)所給定義得到，即可判斷①；結(jié)合等差數(shù)列的定義推導(dǎo)出有最大值，則不可能遞增，即可判斷②；求出公比，即可判斷③；結(jié)合周期數(shù)列及所給定義判斷④.【詳解】對(duì)于①：若數(shù)列是常數(shù)列，則，所以（），故①正確；②若數(shù)列是等差數(shù)列，則，所以有最大值，因此不可能遞增，所以，故②錯(cuò)誤；③若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則，且，所以，所以或，又因?yàn)?，所以，所以，故③正確；④若存在正整數(shù)，對(duì)任意，，都有，假設(shè)在中最大，則中都是最大，則且，即，所以，所以是數(shù)列的最大項(xiàng)，故④正確.所以正確的有①③④，共個(gè).故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于新定義型問題，解答的關(guān)鍵是理解所給定義，再結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式一一判斷.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求的值；(2)當(dāng)為何值時(shí)最大，并求出此最大值.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)求解即可；（2）求出，用二次函數(shù)知識(shí)來解題即可．【詳解】（1），則，，故的值為.（2）由（1）知道，，，，由于開口向下，且對(duì)稱軸為.而，則或者時(shí)，最大.．18、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知臍橙分類標(biāo)準(zhǔn)：果徑80mm～85mm為一級(jí)果，果徑75mm～80mm為二級(jí)果，果徑70mm～75mm或85mm以上為三級(jí)果．某農(nóng)產(chǎn)品研究所從種植園采摘的大量該地臍橙中隨機(jī)抽取1000個(gè)，測(cè)量這些臍橙的果徑（單位：mm），得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)在這1000個(gè)臍橙中，按分層抽樣的方法在果徑70～85mm中抽出9個(gè)臍橙，為進(jìn)一步測(cè)量其他指標(biāo)，在抽取的9個(gè)臍橙中再抽出3個(gè)，①求這9個(gè)臍橙中一級(jí)果，二級(jí)果，三級(jí)果的數(shù)量②求抽到的一級(jí)果個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2)以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率，某顧客從種植園的這批臍橙中隨機(jī)購(gòu)買100個(gè)，其中一級(jí)果的個(gè)數(shù)為，記一級(jí)果的個(gè)數(shù)為的概率為，寫出的表達(dá)式并求出當(dāng)為何值時(shí)，最大？【答案】(1)①一級(jí)果4個(gè)，二級(jí)果3個(gè)，三級(jí)果2個(gè)；②；(2)當(dāng)時(shí)，最大【分析】（1）①求出果徑80mm～85mm,75mm～80mm，70mm～75mm的頻率之比，從而求出一級(jí)果，二級(jí)果，三級(jí)果的數(shù)量；②求出的可能取值和對(duì)應(yīng)的概率，得到數(shù)學(xué)期望；（2）得到，從而得到不等式組，求出當(dāng)時(shí)，最大.【詳解】（1）①果徑80mm～85mm,75mm～80mm，70mm～75mm的頻率之比為，故這9個(gè)臍橙中一級(jí)果數(shù)量為個(gè)，二級(jí)果個(gè)，三級(jí)果個(gè)；②的可能取值為，故，，，，故（2）一級(jí)果的頻率為，用頻率代替概率，故，故，令，故，解得，又，故，故當(dāng)時(shí)，最大.19、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）如圖，在三棱柱中，底面，，，，點(diǎn)，分別為與的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，根據(jù)法向量與向量垂直，即可判斷線面平行；（2）首先求平面的法向量，再代入線面角的向量公式，即可求解.【詳解】（1）證明：直三棱柱中，，以為頂點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系如圖，，，點(diǎn)，分別為與的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，，，，在△中，，平面，且，平面，平面，，且，平面，平面，為平面的一個(gè)法向量，而，，，，又平面，平面；（2）易知，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，，取，則，，即，設(shè)與平面所成角為，則故與平面所成角的正弦值為．20、（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．已知橢圓常數(shù)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)若是橢圓上任意一點(diǎn)，，求的取值范圍；(3)設(shè)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，試探究的面積是否為定值，說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)是定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合離心率公式化簡(jiǎn)計(jì)算；（2）應(yīng)用向量間關(guān)系結(jié)合基本不等式化簡(jiǎn)求范圍即可；（3）應(yīng)用斜率積的公式化簡(jiǎn)得出結(jié)合三角形面積公式結(jié)合點(diǎn)在橢圓上化簡(jiǎn)求值.【詳解】（1）由橢圓方程為，則離心率，又所以；（2）由