微專題51數(shù)列中的存在性問題

微專題51數(shù)列中的存在性問題數(shù)列中的存在性問題一般轉(zhuǎn)化為求不定方程正整數(shù)解的問題，往往涉及數(shù)論、函數(shù)、方程、不等式等知識，蘊含了豐富的數(shù)學思想．本專題對數(shù)列中一些存在性問題進行探究，使學生學會通過研究方程兩邊范圍的策略來解不定方程整數(shù)解的問題.例題：已知an＝2n，是否存在正整數(shù)p，q，r(p<q<r)，使得ap，aq，ar成等差數(shù)列？并說明理由．變式1已知an＝2n，是否存在三個互不相等正整數(shù)p，q，r，且p，q，r成等差數(shù)列，使得ap－1，aq－1，ar－1成等比數(shù)列？并說明理由．變式2已知an＝n＋eq\r(2)，是否存在正整數(shù)p，q，r(p<q<r)，使得ap，aq，ar成等比數(shù)列？并說明理由．

串講1已知數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且滿足an2＝S2n－1，令bn＝eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,an·an＋1)))，數(shù)列{bn}的前n項和{bn}為Tn.(1)求數(shù)列{an}的通項公式及數(shù)列{bn}的前n項和Tn；(2)是否存在正整數(shù)m，n(1<m<n)，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值，若不存在，請說明理由．串講2已知數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為An和Bn，且對任意n∈N*，an＋1－an＝2(bn＋1－bn)恒成立．(1)若An＝n2，b1＝2，求Bn；(2)若a1＝2，bn＝2n，是否存在兩個互不相等的整數(shù)s，t(1<s<t)，使eq\f(A1,B1)，eq\f(As,Bs)，eq\f(At,Bt)成等差數(shù)列？若存在，求出s，t的值；若不存在，請說明理由．

(2018·無錫期末)已知數(shù)列{an}滿足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a2)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,an)))＝eq\f(1,an)，n∈N*，Sn是數(shù)列{an}的前n項和．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若ap，30，Sq成等差數(shù)列，ap，18，Sq成等比數(shù)列，求正整數(shù)p，q的值；(3)是否存在k∈N*，使得eq\r(akak＋1＋16)為數(shù)列{an}中的項？若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由．(2018·揚州期末)已知各項都是正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝an2＋an，數(shù)列{bn}滿足b1＝eq\f(1,2)，2bn＋1＝bn＋eq\f(bn,an).(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)設數(shù)列{cn}滿足cn＝eq\f(bn＋2,Sn)，求和c1＋c2＋…＋cn；(3)是否存在正整數(shù)p，q，r(p<q<r)，使得bp，bq，br成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足要求的p，q，r，若不存在，請說明理由．答案：(1)an＝n，bn＝eq\f(n,2n)；(2)eq\f(1,2)－eq\f(1,（n＋1）2n＋1)；(3)存在，p＝1，q＝3，r＝4.或p＝2m＋1－m－1，q＝2m＋1－m，r＝2m＋1.解析：(1)2Sn＝an2＋an①，2Sn＋1＝an＋12＋an＋1②，②－①得2an＋1＝an＋12－an2＋an＋1－an，即(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.1分因為{an}是正數(shù)數(shù)列，所以an＋1－an－1＝0，即an＋1－an＝1，所以{an}是等差數(shù)列，其中公差為1，2分在2Sn＝an2＋an中，令n＝1，得a1＝1，所以an＝n，由2bn＋1＝bn＋eq\f(bn,an)得eq\f(bn＋1,n＋1)＝eq\f(1,2)·eq\f(bn,n)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(bn,n)))是等比數(shù)列，其中首項為eq\f(1,2)，公比為eq\f(1,2)，所以eq\f(bn,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，即bn＝eq\f(n,2n).(注：也可累乘求{bn}的通項．)3分(2)cn＝eq\f(bn＋2,Sn)＝eq\f(n＋2,（n2＋n）2n＋1)，裂項得cn＝eq\f(1,n·2n)－eq\f(1,（n＋1）2n＋1)，所以c1＋c2＋…＋cn＝eq\f(1,2)－eq\f(1,（n＋1）2n＋1).3分(3)假設存在正整數(shù)p，q，r(p<q<r)，使得bp，bq，br成等差數(shù)列，則bp＋br＝2bq，即eq\f(p,2p)＋eq\f(r,2r)＝eq\f(2q,2q)，因為bn＋1－bn＝eq\f(n＋1,2n＋1)－eq\f(n,2n)＝eq\f(1－n,2n＋1)，所以數(shù)列{bn}從第二項起單調(diào)遞減，當p＝1時，eq\f(1,2)＋eq\f(r,2r)＝eq\f(2q,2q)，若q＝2，則eq\f(r,2r)＝eq\f(1,2)，此時無解；7分若q＝3，則eq\f(r,2r)＝eq\f(1,4)，因為{bn}從第二項起遞減，故r＝4，所以p＝1，q＝3，r＝4符合要求，若q≥4，則eq\f(b1,bq)≥eq\f(b1,b4)≥2，即b1≥2bq，不符合要求，此時無解；9分當p≥2時，一定有q－p＝1，否則若q－p≥2，則eq\f(bp,bq)≥eq\f(bp,bp＋2)＝eq\f(4p,p＋2)＝eq\f(4,1＋\f(2,p))≥2，即bp≥2bq，矛盾，11分所以q－p