2024屆天津市紅橋區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市紅橋區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】全集，，則，又，所以.故選：D2.設(shè)是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】因?yàn)閍，b都是實(shí)數(shù)，令，，滿(mǎn)足，但，所以，令，，滿(mǎn)足，但，所以，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.3.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象的可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于函數(shù)，有，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，即函?shù)為奇函數(shù)，排除BD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，排除C選項(xiàng).故選：A.4.設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，，所以.故選：C5.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，從該數(shù)列中抽取出一個(gè)以原次序組成的首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，，，，其中，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，故，又，故，即故選：A.6下列命題中①散點(diǎn)圖可以直觀地判斷兩個(gè)變量是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系；②回歸直線(xiàn)就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線(xiàn)；③回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)沒(méi)有什么區(qū)別；④回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn).其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】散點(diǎn)圖可以直觀地判斷兩個(gè)變量是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，①正確；回歸直線(xiàn)可以不經(jīng)過(guò)散點(diǎn)圖中的任何一個(gè)點(diǎn)，②錯(cuò)誤；回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法，獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量是否具有某種關(guān)系的分析，③錯(cuò)誤；回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，④正確，所以正確的命題個(gè)數(shù)為2.故選：B7.分別以正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】B【解析】如圖所示，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，各個(gè)面的中心分別是，，，，，，正方體的中心為，分別以正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為，是由正四棱錐和組成，因?yàn)椋酝饨忧虬霃?，?nèi)切球半徑等于到面的距離，如圖，連接，，，所以是的中位線(xiàn)，由正方體的棱長(zhǎng)為，所以，，所以，同理，在三棱錐中，由等體積法知：，解得：，所以外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.故選：B8.已知圓與中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)相切，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】圓的圓心，半徑，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，則其漸近線(xiàn)方程為，于是，即，因此雙曲線(xiàn)的離心率；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，則其漸近線(xiàn)方程為，于是，即，因此雙曲線(xiàn)的離心率則，所以雙曲線(xiàn)的離心率為或.故選：C9.已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)b，使得方程有兩個(gè)不同解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以函?shù)圖象如圖，當(dāng)時(shí)，的圖象如下，可知不存在實(shí)數(shù)b，使得方程有兩個(gè)不同的解.同理當(dāng)也不滿(mǎn)足.當(dāng)時(shí)，的圖象如下，可知存在實(shí)數(shù)b，使得方程有兩個(gè)不同的解.綜上，要使方程有兩個(gè)不同的解，需．故選：C二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.10.______.【答案】【解析】.故答案為：11.已知二項(xiàng)式，則其展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)___________．【答案】【解析】由題意可知，的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得.所以二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：.12.已知，是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，若，則______.【答案】16【解析】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，又直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，且，所以.故答案為：1613.移動(dòng)支付在中國(guó)大規(guī)模推廣五年之后，成功在10億移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)用戶(hù)中獲得了九成的滲透率，這大約是中國(guó)自寬帶和手機(jī)之后，普及率最高的一項(xiàng)產(chǎn)品，甚至，移動(dòng)支付被視為新時(shí)代中國(guó)的四大發(fā)明之一.近日在一家大型超市進(jìn)行了顧客使用移動(dòng)支付情況的調(diào)查.調(diào)查人員從年齡在20歲到60歲的顧客中隨機(jī)抽取了200人，得到如下數(shù)據(jù):年齡段人數(shù)類(lèi)型使用移動(dòng)支付45402515不使用移動(dòng)支付0102045從這200人中隨機(jī)依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移動(dòng)支付的條件下，第2次抽到的人不使用移動(dòng)支付的概率為_(kāi)_____；在隨機(jī)抽取的200人中對(duì)使用移動(dòng)支付的人群采用分層抽樣的方式抽取25人做進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查，再?gòu)倪@25人中隨機(jī)選出3人頒發(fā)參與獎(jiǎng)，則這3人中恰有1人的年齡在之間的概率是______.【答案】；【解析】使用移動(dòng)支付的有人，不使用移動(dòng)支付的有人.①第1次抽到的人使用移動(dòng)支付的條件下，第2次抽到的人不使用移動(dòng)支付的概率為.②，所以抽取的人中，在之間的有人，在之外的有人，從這25人中隨機(jī)選出3人，這3人中恰有1人的年齡在之間的概率是.故答案為：；14.已知函數(shù)在處取得最大值2，的最小正周期為，則______；在上的單調(diào)遞減區(qū)間是______.【答案】2；【解析】依題意，函數(shù)，則，，解得，又，則，即，因此，當(dāng)時(shí)，，由，解得，于是在上單調(diào)遞減，所以，在上的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：2；15.已知，，，，若存在非零實(shí)數(shù)，使得，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】9【解析】因?yàn)?，，，則，即，且，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.故答案為：9.三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且，，.（1）求角及邊的值；（2）求的值.解：（1）因?yàn)?，由余弦定理得，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，由正弦定理得，即，解得；?）由（1）得，，.17.如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)D是線(xiàn)段的中點(diǎn)，（1）求證：（2）求D點(diǎn)到平面的距離；證明：（1）△ABC中，，，，所以，在直三棱柱中，平面，平面，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，平面，所以．解：?）由（1）知，平面ABC，平面ABC，平面ABC，所以，，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，令，則，設(shè)D到平面的距離為，得．18.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由題意，在等差數(shù)列中，設(shè)公差為,由，得，則，又a3＋2，a4，a5－2成等比數(shù)列，∴7，5＋d，3＋2d成等比數(shù)列，得，即，得d＝2，∴，，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．（2）由題意及（1）得，，在數(shù)列中，，在數(shù)列中，，∴，∴，，兩式相減得．∴19.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為橢圓上任意一點(diǎn)，不在軸上，的面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，求證：直線(xiàn)，的斜率之和為定值，并求出定值.解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，設(shè)到的距離為，因?yàn)椋?，易得?dāng)時(shí)面積取得最大值，所以，因?yàn)椋?，，所以橢圓的方程為；證明：（2）如圖，易知點(diǎn)在橢圓外，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，由得，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?20.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令（），其圖象上任意一點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)，時(shí)，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）依題意，知的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，令，解得．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．（2），，所以，在上恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值．所以（3）當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解．，設(shè)，則令，得；，得，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，，，，所以，或．天津市紅橋區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】全集，，則，又，所以.故選：D2.設(shè)是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】因?yàn)閍，b都是實(shí)數(shù)，令，，滿(mǎn)足，但，所以，令，，滿(mǎn)足，但，所以，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.3.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象的可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于函數(shù)，有，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，即函?shù)為奇函數(shù)，排除BD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，排除C選項(xiàng).故選：A.4.設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，，所以.故選：C5.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，從該數(shù)列中抽取出一個(gè)以原次序組成的首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，，，，其中，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，故，又，故，即故選：A.6下列命題中①散點(diǎn)圖可以直觀地判斷兩個(gè)變量是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系；②回歸直線(xiàn)就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線(xiàn)；③回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)沒(méi)有什么區(qū)別；④回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn).其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】散點(diǎn)圖可以直觀地判斷兩個(gè)變量是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，①正確；回歸直線(xiàn)可以不經(jīng)過(guò)散點(diǎn)圖中的任何一個(gè)點(diǎn)，②錯(cuò)誤；回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法，獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量是否具有某種關(guān)系的分析，③錯(cuò)誤；回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，④正確，所以正確的命題個(gè)數(shù)為2.故選：B7.分別以正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】B【解析】如圖所示，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，各個(gè)面的中心分別是，，，，，，正方體的中心為，分別以正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為，是由正四棱錐和組成，因?yàn)?，所以外接球半徑，?nèi)切球半徑等于到面的距離，如圖，連接，，，所以是的中位線(xiàn)，由正方體的棱長(zhǎng)為，所以，，所以，同理，在三棱錐中，由等體積法知：，解得：，所以外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.故選：B8.已知圓與中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)相切，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】圓的圓心，半徑，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，則其漸近線(xiàn)方程為，于是，即，因此雙曲線(xiàn)的離心率；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，則其漸近線(xiàn)方程為，于是，即，因此雙曲線(xiàn)的離心率則，所以雙曲線(xiàn)的離心率為或.故選：C9.已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)b，使得方程有兩個(gè)不同解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以函?shù)圖象如圖，當(dāng)時(shí)，的圖象如下，可知不存在實(shí)數(shù)b，使得方程有兩個(gè)不同的解.同理當(dāng)也不滿(mǎn)足.當(dāng)時(shí)，的圖象如下，可知存在實(shí)數(shù)b，使得方程有兩個(gè)不同的解.綜上，要使方程有兩個(gè)不同的解，需．故選：C二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.10.______.【答案】【解析】.故答案為：11.已知二項(xiàng)式，則其展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)___________．【答案】【解析】由題意可知，的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得.所以二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：.12.已知，是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，若，則______.【答案】16【解析】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，又直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，且，所以.故答案為：1613.移動(dòng)支付在中國(guó)大規(guī)模推廣五年之后，成功在10億移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)用戶(hù)中獲得了九成的滲透率，這大約是中國(guó)自寬帶和手機(jī)之后，普及率最高的一項(xiàng)產(chǎn)品，甚至，移動(dòng)支付被視為新時(shí)代中國(guó)的四大發(fā)明之一.近日在一家大型超市進(jìn)行了顧客使用移動(dòng)支付情況的調(diào)查.調(diào)查人員從年齡在20歲到60歲的顧客中隨機(jī)抽取了200人，得到如下數(shù)據(jù):年齡段人數(shù)類(lèi)型使用移動(dòng)支付45402515不使用移動(dòng)支付0102045從這200人中隨機(jī)依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移動(dòng)支付的條件下，第2次抽到的人不使用移動(dòng)支付的概率為_(kāi)_____；在隨機(jī)抽取的200人中對(duì)使用移動(dòng)支付的人群采用分層抽樣的方式抽取25人做進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查，再?gòu)倪@25人中隨機(jī)選出3人頒發(fā)參與獎(jiǎng)，則這3人中恰有1人的年齡在之間的概率是______.【答案】；【解析】使用移動(dòng)支付的有人，不使用移動(dòng)支付的有人.①第1次抽到的人使用移動(dòng)支付的條件下，第2次抽到的人不使用移動(dòng)支付的概率為.②，所以抽取的人中，在之間的有人，在之外的有人，從這25人中隨機(jī)選出3人，這3人中恰有1人的年齡在之間的概率是.故答案為：；14.已知函數(shù)在處取得最大值2，的最小正周期為，則______；在上的單調(diào)遞減區(qū)間是______.【答案】2；【解析】依題意，函數(shù)，則，，解得，又，則，即，因此，當(dāng)時(shí)，，由，解得，于是在上單調(diào)遞減，所以，在上的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：2；15.已知，，，，若存在非零實(shí)數(shù)，使得，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】9【解析】因?yàn)?，，，則，即，且，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.故答案為：9.三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且，，.（1）求角及邊的值；（2）求的值.解：（1）因?yàn)?，由余弦定理得，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，由正弦定理得，即，解得；?）由（1）得，，.17.如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)D是線(xiàn)段的中點(diǎn)，（1）求證：（2）求D點(diǎn)到平面的距離；證明：（1）△ABC中，，，，所以，在直三棱柱中，平面，平面，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，平面，所以．解：?）由（1）知，平面ABC，平面ABC，平面ABC，所以，，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，令，則，設(shè)D到平面的距離為