2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章統(tǒng)計(jì)與概率5.3.1樣本空間與事件學(xué)案新人教B版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE15．3.1樣本空間與事務(wù)考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)事務(wù)了解必定現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象，了解不行能事務(wù)、必定事務(wù)及隨機(jī)事務(wù)數(shù)學(xué)抽象樣本空間理解樣本點(diǎn)的定義，會(huì)求試驗(yàn)中的樣本空間以及事務(wù)A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P93－P97的內(nèi)容，思索以下問題：1．必定現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象是如何定義的？2．事務(wù)分為哪三類？3．樣本點(diǎn)和樣本空間是如何定義的？1．樣本點(diǎn)與樣本空間(1)必定現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)象條件特征必定現(xiàn)象在肯定條件下發(fā)生的結(jié)果事先能確定的現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的結(jié)果事先不能確定的現(xiàn)象(2)樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)中每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果．(3)樣本空間①定義：由全部樣本點(diǎn)組成的集合稱為樣本空間．②表示：樣本空間常用大寫希臘字母Ω表示．2．隨機(jī)事務(wù)(1)假如隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，則隨機(jī)事務(wù)A是Ω的一個(gè)非空真子集．而且：若試驗(yàn)的結(jié)果是A中的元素，則稱A發(fā)生；否則，稱A不發(fā)生．(2)每次試驗(yàn)中Ω肯定發(fā)生，從而稱Ω為必定事務(wù)；又因?yàn)榭占?不包含任何樣本點(diǎn)，因此可以認(rèn)為每次試驗(yàn)中?肯定不發(fā)生，從而稱?為不行能事務(wù)．(3)一般地，不行能事務(wù)、隨機(jī)事務(wù)、必定事務(wù)都可簡(jiǎn)稱為事務(wù)，通常用大寫英文字母A，B，C，…來表示事務(wù)．因?yàn)槭聞?wù)肯定是樣本空間的子集，從而可以用表示集合的維恩圖來直觀地表示事務(wù)，特殊地，只含有一個(gè)樣本點(diǎn)的事務(wù)稱為基本領(lǐng)件．3．隨機(jī)事務(wù)的概率事務(wù)發(fā)生的可能性大小可以用該事務(wù)的概率來衡量，概率越大代表越有可能發(fā)生．事務(wù)A的概率通常用P(A)表示．不行能事務(wù)?的概率規(guī)定為0，必定事務(wù)Ω的概率規(guī)定為1，即P(?)＝0，P(Ω)＝1.對(duì)隨意事務(wù)A，P(A)應(yīng)當(dāng)滿意不等式0≤P(A)≤1．推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)三角形的內(nèi)角和為180°是必定事務(wù)．()(2)“拋擲硬幣三次，三次正面對(duì)上”是不行能事務(wù)．()(3)“下次李歡的數(shù)學(xué)成果在130分以上”是隨機(jī)事務(wù)．()答案：(1)√(2)×(3)√下列現(xiàn)象是必定現(xiàn)象的是()A．一天中進(jìn)入某超市的顧客人數(shù)B．一顧客在超市中購(gòu)買的商品數(shù)C．一顆麥穗上長(zhǎng)著的麥粒數(shù)D．早晨太陽(yáng)從東方升起解析：選D.只有D是在肯定條件下必定發(fā)生的現(xiàn)象，其他三個(gè)每次發(fā)生的結(jié)果不肯定相同．下列事務(wù)：①長(zhǎng)度為3，4，5的三條線段可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形；②經(jīng)過有信號(hào)燈的路口，遇上紅燈；③下周六是晴天．其中，是隨機(jī)事務(wù)的是()A．①② B．②③C．①③ D．②解析：選B.①是必定事務(wù)，②③是隨機(jī)事務(wù)．從a，b，c，d中任取兩個(gè)字母，則該試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝________．答案：{ab，ac，ad，bc，bd，cd}樣本點(diǎn)與樣本空間連續(xù)擲3枚硬幣，視察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)求這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù)；(3)“恰有兩枚正面對(duì)上”這一事務(wù)包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？【解】(1)試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．(2)樣本點(diǎn)的總數(shù)是8.(3)“恰有兩枚正面對(duì)上”包含以下3個(gè)樣本點(diǎn)：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．[變問法]在例題條件下，寫出這個(gè)試驗(yàn)中“恰有一枚正面對(duì)上”這一事務(wù)包含的樣本點(diǎn)．解：“恰有一枚正面對(duì)上”包含3個(gè)樣本點(diǎn)，分別是：(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)．eq\a\vs4\al()確定樣本空間的方法(1)必需明確事務(wù)發(fā)生的條件；(2)依據(jù)題意，按肯定的次序列出問題的答案．特殊要留意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏．一個(gè)盒子中裝有5個(gè)完全相同的球，分別標(biāo)有號(hào)碼1，2，3，4，5，從中一次任取兩球．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)求這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù)；(3)寫出“取出的兩球上的數(shù)字之和是6”的這一事務(wù)中所包含的樣本點(diǎn)．解：(1)Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}．(2)樣本點(diǎn)總數(shù)為10.(3)“取出的兩球上的數(shù)字之和是6”這一事務(wù)所包含的樣本點(diǎn)為(1，5)，(2，4)．事務(wù)類型的推斷推斷下列事務(wù)哪些是必定事務(wù)，哪些是不行能事務(wù)，哪些是隨機(jī)事務(wù)．(1)“拋一石塊，下落”；(2)“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時(shí)，冰溶化”；(3)“某人射擊一次，中靶”；(4)“假如a＞b，那么a－b＞0”；(5)“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”；(6)“導(dǎo)體通電后，發(fā)熱”；(7)“從分別標(biāo)有號(hào)數(shù)1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號(hào)簽”；(8)“某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫”；(9)“沒有水分，種子能發(fā)芽”；(10)“在常溫下，焊錫熔化”．【解】事務(wù)(1)(4)(6)是必定事務(wù)；事務(wù)(2)(9)(10)是不行能事務(wù)；事務(wù)(3)(5)(7)(8)是隨機(jī)事務(wù)．eq\a\vs4\al()要判定某事務(wù)是何種事務(wù)，首先要看清條件，因?yàn)槿N事務(wù)都是相對(duì)于肯定條件而言的．其次再看它是肯定發(fā)生，還是不肯定發(fā)生，還是肯定不發(fā)生．肯定發(fā)生的是必定事務(wù)，不肯定發(fā)生的是隨機(jī)事務(wù)，肯定不發(fā)生的是不行能事務(wù)．下列事務(wù)中的隨機(jī)事務(wù)為()A．若a，b，c都是實(shí)數(shù)，則a(bc)＝(ab)cB．沒有水和空氣，人也可以生存下去C．拋擲一枚硬幣，反面對(duì)上D．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度達(dá)到60℃時(shí)水沸騰解析：選C.A中的等式是實(shí)數(shù)乘法的結(jié)合律，對(duì)隨意實(shí)數(shù)a，b，c是恒成立的，故A是必定事務(wù)．在沒有空氣和水的條件下，人是肯定不能生存下去的，故B是不行能事務(wù)．拋擲一枚硬幣時(shí)，在沒得到結(jié)果之前，并不知道會(huì)是正面對(duì)上還是反面對(duì)上，故C是隨機(jī)事務(wù)．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的條件下，只有溫度達(dá)到100℃，水才會(huì)沸騰，當(dāng)溫度是60℃時(shí)，水是肯定不會(huì)沸騰的，故D是不行能事務(wù)．隨機(jī)事務(wù)的概率做擲紅、藍(lán)兩顆骰子的試驗(yàn)，用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示紅色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示藍(lán)色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的全部可能的結(jié)果；(2)求這個(gè)試驗(yàn)共有多少種不同的結(jié)果；(3)寫出事務(wù)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含的結(jié)果；(4)寫出事務(wù)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同”包含的結(jié)果；(5)記“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于8”為A，記“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同”為B，從直觀上推斷P(A)與P(B)的大?。窘狻?1)這個(gè)試驗(yàn)全部可能的結(jié)果為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．(2)由(1)知這個(gè)試驗(yàn)不同的結(jié)果共有36種．(3)事務(wù)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含的結(jié)果為(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．(4)事務(wù)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同”包含的結(jié)果為(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)．(5)事務(wù)A出現(xiàn)了10次，事務(wù)B出現(xiàn)了6次，故P(A)＞P(B)．eq\a\vs4\al()概率的性質(zhì)(1)范圍：任何事務(wù)A的概率P(A)∈[0，1]．(2)必定事務(wù)的概率P(Ω)＝1.(3)不行能事務(wù)的概率P(?)＝0.(2024·河南鄭州一中期末)下列結(jié)論正確的是()A．事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)的值滿意0＜P(A)＜1B．若P(A)＝0.999，則A為必定事務(wù)C．燈泡的合格率是99%，從一批燈泡中任取一個(gè)，是合格品的可能性是99%D．若P(A)＝0.001，則A為不行能事務(wù)解析：選C.由事務(wù)發(fā)生的概率的基本性質(zhì)，可知事務(wù)A的概率P(A)的值滿意0≤P(A)≤1，故A錯(cuò)誤；必定事務(wù)的概率為1，故B錯(cuò)誤；不行能事務(wù)的概率為0，故D錯(cuò)誤．故選C.1．下列現(xiàn)象：①當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí)，x－|x|＝2；②某班一次數(shù)學(xué)測(cè)試，及格率低于75%；③從分別標(biāo)有0，1，2，3，…，9這十個(gè)數(shù)字的紙團(tuán)中任取一個(gè)，取出的紙團(tuán)是偶數(shù)；④體育彩票某期的特等獎(jiǎng)號(hào)碼．其中是隨機(jī)現(xiàn)象的是()A．①②③ B．①③④C．②③④ D．①②④解析：選C.由隨機(jī)現(xiàn)象的定義知②③④正確．2．下列事務(wù)中，是不行能事務(wù)的是()A．三角形的內(nèi)角和為180°B．三角形中大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊C．銳角三角形中兩內(nèi)角和小于90°D．三角形中隨意兩邊之和大于第三邊解析：選C.銳角三角形中兩內(nèi)角和大于90°.3．同時(shí)投擲兩枚大小相同的骰子，用(x，y)表示結(jié)果，記A為“所得點(diǎn)數(shù)之和小于5”，則事務(wù)A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．3 B．4C．5 D．6解析：選D.有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6個(gè)樣本點(diǎn)．4．甲、乙兩人做出拳嬉戲(錘、剪、布)．(1)寫出樣本空間；(2)寫出事務(wù)“甲贏”；(3)寫出事務(wù)“平局”．解：(1)用(錘、剪)表示甲出錘，乙出剪，其他的樣本點(diǎn)用類似方法表示，則Ω＝{(錘，剪)，(錘，布)，(錘，錘)，(剪，錘)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，錘)，(布，剪)，(布，布)}．(2)記“甲贏”為事務(wù)A，則A＝{(錘，剪)，(剪，布)，(布，錘)}．(3)記“平局”為事務(wù)B，則B＝{(錘，錘)，(剪，剪)，(布，布)}．[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列現(xiàn)象中，是隨機(jī)現(xiàn)象的有()①在一條馬路上，交警記錄某一小時(shí)通過的汽車超過300輛；②若a為整數(shù)，則a＋1為整數(shù)；③放射一顆炮彈，命中目標(biāo)；④檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品還是次品．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選C.當(dāng)a為整數(shù)時(shí)，a＋1肯定為整數(shù)，是必定現(xiàn)象，其余3個(gè)均為隨機(jī)現(xiàn)象．2．有下列事務(wù)：①連續(xù)擲一枚硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)正面朝上；②異性電荷相互吸引；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1℃結(jié)冰；④買了一注彩票就得了特等獎(jiǎng)．其中是隨機(jī)事務(wù)的有()A．①② B．①④C．①③④ D．②④解析：選B.①④是隨機(jī)事務(wù)，②為必定事務(wù)，③為不行能事務(wù)．3．下列事務(wù)是必定事務(wù)的是()A．明天太陽(yáng)從西邊升起B(yǎng)．籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，未投中C．實(shí)心鐵球會(huì)沉入水底D．拋一枚硬幣，正面朝上解析：選C.A是不行能事務(wù)，B是隨機(jī)事務(wù)，C是必定事務(wù)，D是隨機(jī)事務(wù)．4．某校高一年級(jí)要組建數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、航空模型三個(gè)愛好小組，某學(xué)生只選報(bào)其中的2個(gè)，則樣本點(diǎn)共有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選C.該生選報(bào)的全部可能狀況是：(數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī))，(數(shù)學(xué)和航空模型)，(計(jì)算機(jī)和航空模型)，所以樣本點(diǎn)有3個(gè)．5．“連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子，記錄朝上的點(diǎn)數(shù)”，該試驗(yàn)的結(jié)果共有()A．6種 B．12種C．24種 D．36種解析：選D.試驗(yàn)的全部結(jié)果為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36種．6．寫出下列試驗(yàn)的樣本空間：(1)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)足球賽，視察甲隊(duì)競(jìng)賽結(jié)果(包括平局)________；(2)從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，視察其中次品數(shù)________.解析：(1)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)足球賽，視察甲隊(duì)競(jìng)賽結(jié)果(包括平局)可能有三種：勝，平，負(fù)，所以Ω＝{勝，平，負(fù)}．(2)從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，視察其中次品數(shù)可能為0，1，2，3，4，所以Ω＝{0，1，2，3，4}．答案：(1)Ω＝{勝，平，負(fù)}(2)Ω＝{0，1，2，3，4}7．投擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和為8所含的樣本點(diǎn)有______種．解析：樣本點(diǎn)為(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5種．答案：58．從1，2，3，…，10中隨意選一個(gè)數(shù)，這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為________，“它是偶數(shù)”這一事務(wù)包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．解析：從1，2，3，…，10中隨意選一個(gè)數(shù)，所得到的數(shù)可能是從1到10中的隨意一個(gè)數(shù)，所以這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，“它是偶數(shù)”這一事務(wù)包含的樣本點(diǎn)有5個(gè)，分別為2，4，6，8，10.答案：Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}59．一個(gè)盒子中放有5個(gè)完全相同的小球，其上分別標(biāo)有號(hào)碼1，2，3，4，5.從中任取一個(gè)，登記號(hào)數(shù)后放回，再取出1個(gè)，登記號(hào)數(shù)后放回，按依次記錄為(x，y)，試寫出“所得兩球的和為6”所包含的樣本點(diǎn)．解：由圖可直觀地看出，“所得兩球的和為6”包含以下5個(gè)樣本點(diǎn)：(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)．10．指出下列試驗(yàn)的結(jié)果：(1)從裝有紅、白、黑三種顏色的小球各1個(gè)的袋子中任取2個(gè)小球；(2)從1，3，6，10四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)(不重復(fù))作差．解：(1)結(jié)果：紅球，白球；紅球，黑球；白球，黑球．(2)結(jié)果：1－3＝－2，3－1＝2，1－6＝－5，3－6＝－3，1－10＝－9，3－10＝－7，6－1＝5，10－1＝9，6－3＝3，10－3＝7，6－10＝－4，10－6＝4.即試驗(yàn)的結(jié)果為：－2，2，－5，－3，－9，－7，5，9，3，7，－4，4.[B實(shí)力提升]11．拋擲一顆骰子，視察骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若“出現(xiàn)2點(diǎn)”這個(gè)事務(wù)發(fā)生，則下列事務(wù)發(fā)生的是()A．“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)” B．“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”C．“點(diǎn)數(shù)大于3” D．“點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”解析：選B.“出現(xiàn)2點(diǎn)”這個(gè)事務(wù)發(fā)生，因?yàn)?為偶數(shù)，故“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”這一事務(wù)發(fā)生．12．下列現(xiàn)象是必定現(xiàn)象的是()A．某路口單位時(shí)間內(nèi)通過的車輛數(shù)B．n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°C．某同學(xué)競(jìng)選學(xué)生會(huì)主席勝利D．一名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)競(jìng)賽所得的分?jǐn)?shù)解析：選B.A，C，D選項(xiàng)為隨機(jī)現(xiàn)象，B選項(xiàng)為必定現(xiàn)象．13．一袋中裝有10個(gè)紅球，8個(gè)白球，7個(gè)黑球，現(xiàn)在把球隨機(jī)地一個(gè)一個(gè)摸出來，為了保證在第k次或第k次之前能首次摸出紅球，則k的最小值為________．解析：至少需摸完黑球和白球共15個(gè)．答案：1614．同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y，結(jié)果為(x，y)．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)求這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù)