高中數(shù)學(xué)四作業(yè)6兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)作業(yè)（二十六）1．若向量a＝(3，m），b＝（2，－1），a·b＝0，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．－eq\f(3，2) B.eq\f（3，2)C．2 D．6答案D解析a·b＝3×2＋m×(－1）＝6－m＝0，∴m＝6。2．若a＝(2,3)，b＝(－4，7）,則a在b方向上的投影為（)A.eq\r（3) B.eq\f（\r（13）,5)C。eq\f(\r（65）,5） D。eq\r（13)答案C解析a在b方向上的投影為｜a|cosθ＝eq\f(a·b，｜b｜）＝eq\f(2×（－4)＋3×7，\r((－4）2＋72））＝eq\f(\r(65）,5).故選C。3．設(shè)a＝(1，－2），b＝（－3，4)，c＝（3，2）,則(a＋2b）·c＝(）A．(－15，12） B．0C．－3 D．－11答案C解析∵a＝(1，－2）,b＝(－3,4），c＝(3，2)，∴(a＋2b)·c＝(1－6，－2＋8)·(3，2)＝－15＋12＝－3.故應(yīng)選C。4．已知a，b為非零向量，且a＝（x1，y1），b＝(x2，y2)，則下列命題中與a⊥b等價(jià)的個(gè)數(shù)為()①a·b＝0；②x1x2＋y1y2＝0；③|a＋b|＝｜a－b|；④a2＋b2＝(a－b）2。A．1 B．2C．3 D．4答案D解析|a＋b|＝|a－b|?|a＋b|2＝|a－b｜2?a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2?a·b＝0，a2＋b2＝(a－b)2?a2＋b2＝a2－2a·b＋b2?a·b＝0.5．已知a＝（4，3），向量b是垂直于a的單位向量，則b等于（)A．（eq\f（3，5），eq\f(4，5))或（eq\f(4，5)，eq\f（3，5)） B．(eq\f(3，5),eq\f（4,5)）或（－eq\f(3,5），－eq\f（4，5)）C．(eq\f(3，5)，－eq\f(4,5）)或(－eq\f（4，5），eq\f（3,5)） D．（eq\f（3，5）,－eq\f（4,5))或(－eq\f（3,5)，eq\f(4,5))答案D解析設(shè)b＝（x，y)，則有eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝1,,4x＋3y＝0.))解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝\f(3，5),,y＝－\f（4，5））)或eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝－\f（3,5）,，y＝\f(4,5)。))6．已知向量a＝(2，t)，b＝（1，2)，若t＝t1時(shí)，a∥b,若t＝t2時(shí)，a⊥b，則（)A．t1＝－4,t2＝－1 B．t1＝－4，t2＝1C．t1＝4,t2＝－1 D．t1＝4，t2＝1答案C7．已知向量a＝(1，2），b＝（－2，－4）,｜c(diǎn)|＝eq\r（5),若(a＋b）·c＝eq\f(5，2)，則a與c的夾角為(）A．30° B．60°C．120° D．150°答案C解析設(shè)c＝（x，y），∵a＋b＝（－1，－2)，且｜a｜＝eq\r(5）,|c|＝eq\r(5），∵（a＋b)·c＝eq\f（5，2),∴（－1，－2)·（x，y）＝eq\f(5,2）?！啵瓁－2y＝eq\f(5,2），∴x＋2y＝－eq\f（5，2)。∴cosθ＝eq\f（a·c，｜a｜｜c(diǎn)｜）＝eq\f（x＋2y，\r（5)·\r（5)）＝－eq\f（1,2)?！?≤θ≤π,∴θ＝eq\f(2π,3），故選C.8．已知點(diǎn)A(1,2），B（3，－2）,點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，則P點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)應(yīng)滿足的關(guān)系式是（）A．x－2y－2＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋1＝0答案A解析設(shè)AB中點(diǎn)為D,則D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0)，eq\o（AB，\s\up6(→））＝(3，－2)－(1，2）＝(2，－4）,eq\o(DP，\s\up6(→）)＝（x,y)－（2，0）＝(x－2,y)．據(jù)題意得eq\o（AB，\s\up6（→))⊥eq\o（DP，\s\up6(→））?！啵?，－4)·（x－2，y)＝0，∴2(x－2）－4y＝0，即x－2y－2＝0.9．已知向量a＝（1,2),b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a）∥b，c⊥（a＋b），則c＝()A．（eq\f(7，9)，eq\f（7，3）） B．(－eq\f（7,3），－eq\f（7，9))C．(eq\f（7,3),eq\f(7,9)) D．（－eq\f(7,9），－eq\f(7,3））答案D解析設(shè)c＝（m,n)，則a＋c＝(1＋m，2＋n)，a＋b＝(3，－1)．由（c＋a）∥b，得2（2＋n)－(－3)(1＋m）＝0,①由c⊥(a＋b），得3m－n＝0.②聯(lián)立①②，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(7，9），,n＝－\f（7，3)）)?！郼＝（－eq\f（7，9），－eq\f（7，3))．10．已知a＝(λ，2）,b＝(－3，5），(1)若a與b的夾角是鈍角,則λ∈________．（2）若a與b夾角是銳角,則λ∈________．答案（1)（eq\f（10,3），＋∞）（2)(－∞，－eq\f（6，5)）∪(－eq\f(6，5），eq\f（10，3）)解析(1）∵a、b的夾角為鈍角,∴a·b＝(λ，2)·（－3,5）＝－3λ＋10.∴－3λ＋10<0，∴λ〉eq\f（10，3）.又當(dāng)反向時(shí)，λ不存在，∴λ∈(eq\f（10,3)，＋∞）．(2)∵a、b夾角為銳角,∴a·b＝｜a｜·｜b｜·cos〈a，b〉>0?！啵?λ＋10〉0,∴λ<eq\f(10，3）.又當(dāng)λ＝－eq\f（6，5)時(shí)，<a，b〉＝0°不合題意．∴λ的范圍為（－∞，－eq\f（6,5）)∪(－eq\f（6，5)，eq\f(10,3）)．11．已知向量a＝(cosα,sinα），b＝(cosβ，sinβ）,且a≠±b，則a＋b與a－b的夾角的大小是________．答案eq\f(π,2）解析解法一(a＋b)·（a－b）＝a2－b2＝|a｜2－|b｜2＝1－1＝0，∴a＋b與a－b的夾角為eq\f（π,2).解法二設(shè)eq\o（OA,\s\up6（→)）＝a＝（cosα,sinα)，eq\o（OB,\s\up6(→））＝b＝(cosβ,sinβ），則｜eq\o（OA,\s\up6（→））｜＝｜eq\o（OB，\s\up6（→））｜＝1?！郺＋b與a－b分別表示以eq\o(OA,\s\up6（→)）,eq\o（OB，\s\up6(→)）為鄰邊的菱形OACB的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量eq\o(OC,\s\up6(→）)，eq\o(BA，\s\up6（→）)，由菱形的對(duì)角線垂直知a＋b與a－b夾角為eq\f（π,2）.12．設(shè)向量a＝(1，2m），b＝（m＋1，1），c＝（2，m）．若（a＋c）⊥b，則｜a｜＝________．答案eq\r（2）解析a＋c＝(3，3m），由（a＋c）⊥b，可得（a＋c)·b＝0，即3(m＋1)＋3m＝0,解得m＝－eq\f(1,2）,則a＝(1，－1)，故|a｜＝eq\r（2)。13．若平面向量b與向量a＝（1，－2)的夾角是180°，且|b|＝3eq\r(5），則b＝________．答案(－3,6)解析a與b共線且方向相反，∴b＝λa(λ＜0)．設(shè)b＝（x,y），則(x，y）＝λ（1，－2），得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝λ，,y＝－2λ。)）由|b|＝3eq\r(5）得x2＋y2＝45,即λ2＋4λ2＝45,解得λ＝－3，∴b＝（－3，6)．?重點(diǎn)班·選做題14．已知ABCD是正方形，A(－1，2)、C（3，6)，求另兩個(gè)頂點(diǎn)B和D的坐標(biāo)．解析設(shè)B(x，y）,由已知可得｜eq\o(AB,\s\up6（→)）|＝eq\f（\r(2），2）|eq\o(AC,\s\up6（→）)|＝eq\f(\r(2)，2)eq\r(42＋42)＝4，∠BAC＝45°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6（→)）＝|eq\o(AB,\s\up6（→）)|｜eq\o（AC,\s\up6(→）)|cos45°＝4×4eq\r（2)×eq\f（\r（2）,2）＝16.又由于eq\o(AB，\s\up6(→）)·eq\o（AC,\s\up6(→）)＝（x＋1，y－2）·（4,4)＝4（x＋1）＋4（y－2）＝16.①又｜eq\o(AB，\s\up6(→))｜＝eq\r（（x＋1）2＋（y－2）2）＝4,得（x＋1）2＋(y－2）2＝16。②由①、②式聯(lián)立解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2）)或eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝－1,，y＝6.)）因此，此正方形另外兩個(gè)頂點(diǎn)B和D的坐標(biāo)分別是（3，2)和（－1,6）．15．已知a＝（1，1)，b＝(0,－2)，當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋b的夾角為120°？解析∵ka－b＝k(1，1)－（0,－2)＝(k，k＋2），a＋b＝(1，－1）,∴｜ka－b｜＝eq\r(k2＋(k＋2）2)，｜a＋b｜＝eq\r(1＋（－1）2）＝eq\r(2），(ka－b)·(a＋b）＝(k，k＋2）·(1，－1)＝k－k－2＝－2。而ka－b與a＋b的夾角為120°，∴cos120°＝eq\f(（ka－b）·（a＋b），|ka－b｜|a＋b｜），即－eq\f（1,2)＝eq\f(－2,\r(2）·\r（k2＋(k＋2）2）).化簡(jiǎn),整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±eq\r(3).1．向量a＝（1，3)，b＝（2，4），c＝a＋λb,d＝λa－b，若c⊥d，則λ的值為（)A。eq\f（1±5\r(2)，7） B.eq\f(5±\r（221），14）C．±1 D．以上A、B、C均不對(duì)答案B解析∵c⊥d，∴c·d＝0.∴（a＋λb)·(λa－b）＝0,即λa2－λb2＋(λ2－1）a·b＝0（＊)．又a2＝1＋9＝10，b2＝4＋16＝20，a·b＝2＋12＝14代入(＊）式得7λ2－5λ－7＝0，∴λ＝eq\f(5±\r(221），14）。2．已知向量a＝(2cosφ，2sinφ),φ∈（eq\f（π,2），π),b＝（0，－1)，則a與b的夾角為（）A。eq\f(3π，2)－φ B。eq\f（π,2)＋φC．φ－eq\f（π，2） D.φ答案A解析設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f（a·b,｜a|｜b|）＝eq\f(－2sinφ,2)＝－sinφ＝cos（eq\f(π，2)＋φ)．∵φ∈（eq\f（π,2)，π)，θ∈［0，π］,∴cosθ＝cos(eq\f（π，2）＋φ)＝cos(eq\f（3π,2）－φ）．∴θ＝eq\f（3π,2）－φ.3．已知a＋b＝2i－8j,a－b＝－8i＋16j，i，j為相互垂直的單位向量，那么a·b＝________．答案－63解析將兩已知等式相加得，2a＝－6i＋8j,所以a＝－3i＋4j。同理將兩已知等式相減得，b＝5i－12j，而i，j是兩個(gè)互相垂直的單位向量,所以a·b＝(－3i＋4j）·(5i－12j)＝－3×5＋4×（－12)＝－63。4．若向量|a|＝1,｜b|＝2，|a－b｜＝2，則｜a＋b|＝________．答案e