中考數(shù)學二輪復習壓軸大題突破訓練專題18 轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想在壓軸題中的應用（原卷版）

專題18轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想在壓軸題中的應用轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學壓軸題中應用比較廣泛，例如在幾何壓軸題中，多應用轉(zhuǎn)化思想，具體表現(xiàn)為利用平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、全等等圖形變換或者等量變換將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知問題，將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。 （2022·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；（2）證明△BAD∽△CAE，進而得出結(jié)果；（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進而得出結(jié)果；②在①的基礎(chǔ)上得出∠ACE＝∠ABD，進而∠BFC＝∠BAC，進一步得出結(jié)果．【答案】(1)見解析(2)(3)①；②【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，；（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，；②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．（2022·山東濰坊·中考真題）【情境再現(xiàn)】甲、乙兩個含角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足O處，將甲繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接，如圖③所示，交于E，交于F，通過證明，可得．請你證明：．【遷移應用】延長分別交所在直線于點P，D，如圖④，猜想并證明與的位置關(guān)系．【拓展延伸】小亮將圖②中的甲、乙換成含角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接，如圖⑥所示，其他條件不變，請你猜想并證明與的數(shù)量關(guān)系．證明，即可得出結(jié)論；通過，可以求出，得出結(jié)論；證明，得出，得出結(jié)論；【答案】證明見解析；垂直；【詳解】證明：，，，，，，；遷移應用：，證明：，，，，，，，；拓展延伸：，證明：在中，，在中，，，由上一問題可知，，，，．本題考查旋轉(zhuǎn)變換，涉及知識點：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、等角的余角相等，解題關(guān)鍵結(jié)合圖形靈活應用相關(guān)的判定與性質(zhì)．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當與重合時，連接，若，求的長；②如圖3，當時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．（1）過點C作CH⊥BD于H，可得四邊形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，進而可判斷△BCD的形狀，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求解．（2）①過點E作于點H，AC，BD均是直線l的垂線段，可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理即可求解．②連接，根據(jù)，得，即是等邊三角形，把旋轉(zhuǎn)得，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一般得到，則可得，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求證結(jié)論．【答案】(1)等腰三角形，(2)①；②見解析【詳解】（1）解：過點C作CH⊥BD于H，如圖所示：∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，∴四邊形ABHC是矩形，∴AC=BH，又∵BD=2AC，∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，∴的形狀為等腰三角形，∵AC、BD都垂直于l，∴，∴△AOC∽△BOD，，即，，故答案為：等腰三角形，．（2）①過點E作于點H，如圖所示：∵AC，BD均是直線l的垂線段，∴，∵是等邊三角形，且與重合，∴∠EAD=60°，∴，∴，∴在中，，，又∵，，∴，∴，AE=6在中，，又由（1）知，∴，則，∴在中，由勾股定理得：．②連接，如圖3所示：∵，∴，∵由（1）知是等腰三角形，∴是等邊三角形，又∵是等邊三角形，∴繞點D順時針旋轉(zhuǎn)后與重合，∴，又∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴．本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理的應用，熟練掌握三角形相似的判定及性質(zhì)和勾股定理的應用，巧妙借助輔助線是解題的關(guān)鍵．1．（2022·山東濟寧·?？级＃┤鐖D1，正方形對角線、交于點，、分別為正方形邊、上的點，交于點，且，為中點．(1)請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系(2)若將繞點旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立請證明；若不成立，請說明理由；(3)若，為中點，繞點旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出點與點的最大距離______．2．（2022·湖北省直轄縣級單位·?？家荒＃┤鐖D1，在中，，過點A作直線，使，過點B作于點N，過點C作于點M．(1)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：；(3)如圖2，連接交于點G，若，，求的長．3．（2021·北京·一模）在正方形中，點E在射線上（不與點B、C重合），連接，，將繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)如圖1，點E在邊上．①依題意補全圖1；②若，，求的長；(2)如圖2，點E在邊的延長線上，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．（2021·安徽·統(tǒng)考三模）已知：在中，，，且點，分別在矩形的邊，上．(1)如圖，當點在上時，求證：；(2)如圖，若是的中點，與相交于點，連接，求證：；(3)如圖，若，，分別交于點，，求證：5．（2022·江蘇揚州·校考三模）在矩形中，，【問題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，E為邊上的一個點，連接，過點C作的垂線交于點F，試猜想與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【類比探究】(2)如圖2，G為邊上的一個點，E為邊延長線上的一個點，連接交于點H，過點C作的垂線交于點F，試猜想與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【拓展延伸】(3)如圖3，點E從點B出發(fā)沿射線運動，連接，過點B作的垂線交射線于點F，過點E作的平行線，過點F作的平行線，兩平行線交于點H，連接，在點E的運動的路程中，線段的長度是否存在最小值？