人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊8.6.3平面與平面垂直第2課時課時評價作業(yè)（三十八）含答案

A級基礎(chǔ)鞏固1.若平面α⊥平面β,直線a∥平面α,則()A.直線a⊥平面βB.直線a∥平面βC.直線a與平面β相交D.以上都有可能解析:因為直線a∥平面α,平面α⊥平面β,所以直線a與平面β垂直、相交、平行都有可能.答案:D2.已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,要使n⊥β,則應(yīng)增加的條件是()A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α解析:已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,應(yīng)增加條件n⊥m,才能使得n⊥β.答案:B3.如圖所示,三棱錐P-ABC中,若平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,則()A.PD?平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD與平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC解析:因為PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.因為平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,所以PD⊥平面ABC.答案:B4.如圖所示,沿Rt△ABC的中位線DE將△ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱錐A-BCDE,則平面ABC與平面ACD的關(guān)系是垂直.?解析:因為AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE,所以AD⊥平面BCDE,所以AD⊥BC.因為CD⊥BC,AD∩CD=D,所以BC⊥平面ACD.因為BC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.5.如圖所示,已知平面α,β,α⊥β,在α與β的交線上取線段AB=4cm,AC,BD分別在α和β內(nèi),它們都垂直于交線AB,并且AC=3cm,BD=12cm,求CD的長.解:如圖所示,連接BC.因為α⊥β,α∩β=AB,BD⊥AB,所以BD⊥平面α.因為BC?α,所以BD⊥BC.在Rt△BAC中,BC=AC2+A在Rt△DBC中,CD=BC2+B所以CD長為13cm.B級能力提升6.如圖所示,三棱錐P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B都是定點,則動點C運動形成的圖形是()A.一條線段B.一條直線C.一個圓 D.一個圓,但要去掉兩個點解析:因為平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC?平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.因為BC?平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°,所以動點C運動形成的圖形是以AB為直徑的圓(不含A,B兩點).答案:D第6題圖第7題圖7.如圖所示,空間四邊形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,則AD與平面BCD所成的角是45°.解析:如圖所示,過點A作AO⊥BD于點O.因為平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD,所以∠ADO即為AD與平面BCD所成的角.因為∠BAD=90°,AB=AD,所以∠ADO=45°.8.(2024·廣東廣州模擬)如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1中,△AB1C為正三角形,AB=BC=2,AB⊥BC,點D為AC的中點,平面ABC⊥平面AB1C.(1)若C1D⊥B1C,證明:平面BC1D⊥平面BCC1B;(2)若AA1=CC1=4,記平面ABB1A1與平面BC1D的交線為l,求二面角A1-l-C1的余弦值.(1)證明:因為平面ABC⊥平面AB1C,且平面ABC∩平面AB1C=AC,AB=BC,且點D是AC的中點,所以BD⊥AC,又BD?平面ABC.所以BD⊥平面AB1C,B1C?平面AB1C.所以BD⊥B1C,又C1D⊥B1C,且BD∩C1D=D,BD,C1D?平面BC1D,所以B1C⊥平面BC1D,且B1C?平面BCC1B1.所以平面BC1D⊥平面BCC1B1.(2)解:由題意知,BD=12AC=2,B1D=32AC=6,因為△AB1C是等邊三角形,且點D為AC的中點,則B1D⊥AC.又因為平面ABC⊥平面AB1C,平面ABC∩平面AB1C=AC,B1D?平面AB1C,所以B1D⊥平面ABC.因為BD?平面ABC,所以B1D⊥BD,可得B1B=B1D2+BD2=(6)2+因為B1B=AB1,AD=DB,則B1M⊥AB,DM⊥AB,且B1M∩DM=M,B1M,DM?平面B1DM,則AB⊥平面B1DM.對于梯形ABB1A1,過點A作AD1⊥A1B1,垂足為D1,因為B1M=AB12-AM2=7,則AD1=B1M=7,可得A1D1=AA12-AD12=3,由A1B1=A1D1+B1D1=4,可知ABA1B1=24=12,且A1B1=B1C1=4,A1C1=42,將三棱臺ABC-A1B1C1補成三棱錐G-A1B1C1,則GAGA1=GBGB1=GCGC1=12.設(shè)C1D∩A1G=N,可知l即為直線BN,則NANA1=NDNC1=ADA1C1=14,即NANA+AA1=14,可得NA=43,由NANA1=AMA1B1=14,則B1,M,N三點共線,且NB1=NA12-A1B12=(163)

2-42=1129=473,可知B1N為線段AB的垂直平分線,則NA=NB=43.過點D作DH⊥B1N,垂足為H,過H作HF⊥BN,垂足為F,連接DF.因為AB⊥平面B1DM,DH?平面B1DM,所以DH⊥AB,且B1N∩AB=M,B1N,AB?平面GA1B1,可得DH⊥平面GA1B1,由BN?平面GA1B1,可得DH⊥BN,且DH∩HF=H,DH,HF?平面DHF,所以BN⊥平面DHF,由DF?平面DHF,可得DF⊥BN,可知二面角A1-l-C1的平面角為∠DFH.因為B1D⊥平面ABC,由DM?平面ABC,所以B1D⊥DM,在Rt△B1DM中,B1D=C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.探索性問題如圖所示,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF=90°,AD=3,EF=2.(1)求證:AE∥平面DCF;(2)當(dāng)AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為60°?(1)證明:如圖所示,過點E作EG⊥CF于點G,連接DG.由題意,得四邊形BCGE為矩形.因為四邊形ABCD為矩形,BE∥CF,所以AD∥EG,AD=BC=EG,所以四邊形ADGE為平行四邊形,所以AE∥DG.因為AE?平面DCF,DG?平面DCF,所以AE∥平面DCF.(2)解:如圖所示,過點B作BH⊥FE,交FE的延長線于點H,連接AH.因為平面ABCD⊥平面BEFC,AB⊥BC,平面ABCD∩平面BEFC=BC,AB?平面ABCD,所以AB⊥平面BEFC.因為BH⊥EF,所以AH⊥EF,所以∠AHB為二面角A-EF