北京大學清華大學歷年強基計劃招生考試數(shù)學真題及答案解析

北京大學2020年強基計劃招生考試數(shù)學試題

一、選擇題共20小題;在每小題的四個選項中，只有一項符合題目要求,請把正確選項的代號

填在表格中,選對得5分,選錯或不選得0分.

1.正實數(shù)x,y,z,滿足x^yNz和x+y<2(z+o)),則?+三的最小值等于()

37

(A)-(B)-(C)1(D)前三個答案都不對

48

2.在(2019x2020)2⑼的全體正因數(shù)中選出若干個,使得其中任意兩個的乘積都不是平方數(shù),

則最多可選因數(shù)個數(shù)為()

(A)16(B)31(C)32(D)前三個答案都不對

3.整數(shù)列瓜}(同滿足為=以=4,且對任意mN2有吊-4向產(chǎn)(2)=2計1,則22儂的

個位數(shù)字是()

(A)8(B)4(C)2(D)前三個答案都不對

4.設a,b,c,d是方程{+2{+3/+4工+5=()的4個復根，則

a-\b-\c-\0數(shù)的值為(

-----+------+------+)

〃+2/7+2c+2d+2

(A)-4(B)-3(C)3(D)前三個答案都不對

5.設等邊三角形ABC的邊長為1,過點C作以AB為直徑的圓的切線交AB的延長線弓點

D,AD>BD,則三角形BCD的面積為()

6五一4也-363>/2-2>/3〃一人依山心…-…

(A)——(B)——-——(C)——-——(D)前二個答案都不對

161616

6.設x,y,z均不為不，其中〃為整數(shù)，已知

411(7+2—同,411(3+2—y),411(工+)，一2)成等差數(shù)列，則依然成等差數(shù)列的是()

(A)siiir,siny,sinz(B)cos^,cos>j,cosz

(C)tanx,tany,tanz(D)前三個選項都不對

7.方和19x+93y=4A>，的整數(shù)解個數(shù)為()

(A)4(B)8(C)16(D)

8.從圓f+y2=4上的點向橢圓C:5+)，2=1引切線，兩個切點間的線段稱為切點弦、則橢

圓C內(nèi)不與任何切點弦相交的區(qū)域面積為()

(A)-(B)-(C)-(D)前三個選項都不對

234

9.使得5x+12jH?a(x+y)對所有正實數(shù)x,y都成立的實數(shù)a的最小值為()

(A)8(B)9(C)10(D)前三個答案都不對

10..設P為單位立方體ABCO—4耳上的一點，則P\+PC.的最小值為()

(A)J2+夜(B)12+20(C)2--(D)前三個答案都不對

2

11.數(shù)列{a'}”.滿足q=1,。2=9且對任意〃21布〃“+2=4。向一3?！币?0,其

()

(A)28(B)35(C)47(D)前三個答案都不對

x2v2

12.設直線)，=3工+〃7與橢圓一+—=1交于A.B兩點,0為坐標原點，則三角形OAB面積

2516

的最大值為()

(A)8(B)10(C)12(D)前三個答案都不對

13.正整數(shù)〃稱為理想的,若存在正整數(shù)YAK1使得C：T，C：，C產(chǎn)構(gòu)成等差數(shù)列，其

中C：=，/〃;為組合數(shù)，則不超過2020的理想數(shù)個數(shù)為()

k!(〃一攵)！

(A)40(B)41(C)42(D)前三個答案都不對

14.在^ABC中，NA=150。，D,,D2,...,D2O2O依次為邊BC上的點，且

-1)，‘

BDI=D1D2=D2D3=...=Z>20I9D2000—%000j設

/BAR=a,,ZD,AZZ=4，…/。劃94。2。，。=?2o2o，則=%二%即火⑶的值為

sina2sina4sina2O2O

)

1(B)—(C)—!=(D)前三個答案都不對

loio20202V21

15.函數(shù)J3+2>/5COS文。cos?4+J5-2\/5COS4+COS20+4siif9的最大值為()

(A)V2+V3(B)2V2+5/3"(C)V2+2V3(D)前三個答案都不對

16.方程Jx+5-4>/r^+Jx+2-2Vm=1的實根個數(shù)為()

(A)1(B)2(C)3(D)前三個答案都不對

17.凸五邊形ABCDE的對角線CE分別與對角線BD和AD交于點F和G,已知

BF:FD=5:4,AG:GD=1:1,CF:FG:GE=2:2:3,S皿和SABF分別為$CFD和

..ABE的面積，則S.cR)：S『BE的值等于()

(A)8:15(B)2:3(C)11:23(D)前三個答案都不對

18.設均為不超過1Q0的正整數(shù),則有有理根的多項式/(x)=V+px+鄉(xiāng)的個數(shù)為

()

(A)99(B)I33(C)I5O(D)前三個答案都不對

19.滿足對任意nNl有。的=2"-3可且嚴格遞增的數(shù)列｛4｝面的個數(shù)為()

(A)0(B)l(C)無窮多個(D)前三個答案都不對

20.設函數(shù)/(乂?、?^^+二一+二一，其中x,y,z均為正實數(shù)，則有()

x+yy+zz+x

A../■既有最大值也有最小值BJ有最大值但無最小值

CJ有最小值但無最大值D.前三個答案都不對

北京大學2020年強基計劃招生考試數(shù)學試題

一、選擇題共20小題;在每小題的四個選項中，只有一項符合題目要求,請把正確選項的代號

填在表格中,選對得5分,選錯或不選得0分.

1.正實數(shù)x,y,z,滿足x之yNz和x+y<2(z+(o),則@+三的最小值等于

37

(A)-(B)-(C)1(D)前三個答案都不對

48

【解析】因為x+y<2(w+z)，且z2,x+丁””

則

wz卬x+y-2wwxw1x1y-x

—+—>—+:-----=—+-------+—=—+—+VV-

xyx2yx2yy22y2xy

N二+L=y=二+2+==二+二之加」

2y2xy2y2x2yy22

當且僅當工=也)，，>=叫x+y=2(w+z)時，等號成立，選D

2.在(2019x2020『⑼的全體正因數(shù)中選出若干個,使得其中任意兩個的乘枳都不是平方數(shù),

則最多可選因數(shù)個數(shù)為

(A)I6(B)31(C)32(D)前三個答案都不對

【解析】S^(2O19x2O2O)202'=24042X52021xlOl2021X3202'X673202,,

可以選取最小質(zhì)數(shù)235.101,673,那么剩下的單個質(zhì)因數(shù)的偶數(shù)次方出現(xiàn)的最多只能選取一

個，

不放選22，再進行組合，再5個因數(shù)里面分別選取2個,3個,4個,5個則一共有32個，則最多可

以選取32個，故選C

3.整數(shù)列{/}(，叫滿足a,=l,a2=4,且對任意m22有*-=2〃—，則a2O2O的個位

數(shù)字是

(A)8(B)4(C)2(D)前三個答案都不對

【解析】因為=2°T，則-”2=2"

因此：2。：—2%。向=匕「2%%+2,則ZqaaM/Zqi+a"j"*

-、，7…,2a?+a?2a?.+.2a.+a.

因為：ai=a,a^+2,則%=14故一&———=—————=—!——-=4

-4川%生

則q+1:4?！耙?%，欲求個位數(shù)字，則需要讓?！蹦?0.

其結(jié)果為1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4,0,???

從生開始周期為24,則〃2020的個位數(shù)字是8,所以選A

4.設a,b,c,d是方程/+2/+3/+4工+5=0的4個復根，則

ci—1b—\c-\d—\jw,..r-o

----+-----+-----+-----數(shù)的值為

a+2b+2c+2d+2

(A)-4(B)-3(C)3(D)前三個答案都不對

【解析】由題意可得

s=a+〃+c+d=-2,

p=ab+ac+adbe+bd+cd=3

q=cibc+abd+acd+bed=-4

r=abed=5

.a-\b—\c-1d-\

設n=+++

ma+2/?+2c+2d+2

則加=4-3------+------+------+-------

、。+2匕+2c+2d+2

只需要一!一十1I

a+2b+2c+2d+2

則

1111_Z(〃+2)(c+2)(d+2)_q+32+12s+4〃16

^+2+~b+2+7+2+~d+2~(o+2)3+2)(c+2)(d+2)-r+16+2”4p+8s~~9

164

故〃=4一，二一一,所以選A

33

5.設等邊三角形ABC的邊長為1,過點C作以AB為直徑的圓的切線交AB的延長線與點

D,AD>BD,則三角形BCD的面積為

6五-3c40-363&-2G以一人田山

(A)-----------------(B)-----------------(C)-----------------(D)前二個答案都不對

161616

【解析】如圖所示，其中OE=OB=L,CO=昱、CE=也

222

從而可得型二型，^0D=—^]0D=—

OCCE44

故S.BCD=3近；:Q，所以選C

16

6.設x,y,z均不為+14，其中女為整數(shù)，已知

I2)

$m()，+2-力,5抽(%+2—丁),5m(犬+)，一2)成等差數(shù)列，則依然成等差數(shù)列的是

(A)siiu,siny,sinz(B)cos^,cosj,cosz

(C)tanx,tany,tanz(D)前三個選項都不對

【解析】因為2sin(x+z-y)=sin(y+z-x)+sin(x+y—z)=2sinycos(x-z)

貝ijsin(x+z)cosy-cos(x+z)siny=sinycos(x-z)

則sin(x+z)cosy=siny[cos(x+z)+cos(x-z)]=2sinycosxcosz

則tanx+tanz=2tany,所以選C

7.方和19x+93y=4xy的整數(shù)解個數(shù)為

(A)4(B)8(C)16(D)前三個選項都不對

【解析】因為：19x+93y=4"，，M(4x-93)(4y-19)=93xl9=3xl9x31

因為：4%-93三3(mod4),4>>-19=l(mod4)

,4x-93=3,19,31,1767,-1,-57,-93,-589

則《

4)，—19=??

所以有8組，所以選B

2

2

8.從圓f+丁=4上的點向橢圓C：y+y=l引切線，兩個切點間的線段稱為切點弦.則橢

圓C內(nèi)不與任何切點弦相交的區(qū)域面積為

47T7T

(A)-(B)-(C)-(D)前三個選項都不對

234

【解析】如圖所示，設點A(2cosa2sin。)

則BC直線方程為cos<9x+2sin<9-y=l

由于.+￡=14在點(祀os6,加in。)的切線方程為也戶+學2=1

則a=\,b=—,

2

由此8$夕匯+25后")=1為橢圓的cos〃j+2sin，?y=1切線系方程

2

由橢圓d+4y=1的面積可得7rab=p所以選A

9.使得5x+12j^對所有正實數(shù)x,y都成立的實數(shù)a的最小值為

(A)8(B)9(C)10(D)前三個答案都不對

［解析］5x+l2y［xy=5x+12^/TLV?—<(5+6m)x+—y,

人u/62

令5+6〃？=—,m=—

m3

則5/+12j^<9(/+y),則”+12^^《9,則。29,所以選B

io..設P為單位立方體ABCD-AB?/上的一點，則孥+PC1的最小值為

(A)42+白(B)V2+272(。2-孚①)前三個答案都不對

【解析】最小值為0,所以選D

11.數(shù)列{《,}“.滿足4=1,。2=9且對任意布an+2=4alt+i-3an-20,其

(A)28(B)35(C)47(D)前三個答案都不對

【解析】因為4+2=4%「3%-20,則可+2-。田一1()=3(。向-4-1())

故4川-?！?10-2x3”,則〃23時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列

可求得見=13,%=5,當〃25時，alt<0,則S〃的最大值為怎=28,所以選A

x2v2

12.設直線)，=3x+〃?與橢圓=+—=1交于A.B兩點Q為坐標原點，則三角形OAB面積

的最大值為

(A)8(B)10(C)12(D)前三個答案都不對

【解析】聯(lián)立方程可得可得24lx2+150//IV+25/H2-400=0

則

AB二廂.,_司二版J。'魯茨,d=^,S=gAB"=3j-2(241——2)wiO

故面積的最大值為1(),所以選B

13.正整數(shù)〃注3稱為理想的,若存在正整數(shù)1W女工〃一1使得C,>,C：,C”構(gòu)成等差數(shù)列淇

中C：二,「"，、為組合數(shù)，則不超過2020的理想數(shù)個數(shù)為

%!(〃_4)!

(A)40(B)41(C)42(D)前三個答案都不對

【解析】由題意可得C：T，C：，C：M構(gòu)成等差數(shù)列

則2C：=C*-1+/,化簡可得可得/_(必+1)〃+-2=0

整理以k為未知量的方程方程方程4*一4〃攵+〃2一〃-2=0,則+2

2

則n+2為完全平方數(shù)，則〃+2=〃/,則442m23

n-xln+2m2-m-2(加一2)(〃z+l)

若女=一-——=----------=------八——因為相一2,根+1奇偶性相反

222

故對于任意44>/??>3都滿足題意

同理同理k=〃+可力="十，-2=+,因為6+2,m一1奇偶性相反

222

故對于任意44>m>3都滿足題意

綜上：滿足題意得有42個，所以選C

14.在ZiABC中，NA=I5()。，D,,D2,--,D2O2O依次為邊BC上的點，且

BD|=DR=22=.?二。2019。2000=。20000，設

/八.八,一，八Sina】sina,:???sin

/BAD1=a],ND]AD、=%,ZD2()I9AD,O2O=a^20,則二——J~----：~必的值為

sina2sina4sina2O2O

(A)-------(B)-------(C)—(D)前三個答案都不對

101020202而

【解析】不妨設不妨設Z4D.C=4，BD,=m

inAD,mAD,因此：幽二里史.，同理：*=領咆

則nl：-----=―L,------=——L

。]

sinsinBsina:sin/72sin%sin四sintz,sin/?4

sin8?sina”2i/nsinB_202//nsinB_BC-sinB_CE_1

因此:,所以選D

sin/2020AC~2021AC-2021AC-2021AC-4042

15.函數(shù)J3+2\/5COS0+COS20+>/5-2GCOS0+COS2O+dsin?0的最大值為

(A)V2+V3(B)20+6,(C)0+26(D)前三個答案都不對

【解析】已知當夕=生時，/(-|=3+>/3>V2+V3

2⑴

因為/(g)=6+cos0+,5-2x/^cosl+cos?。+4sin?。、

下面證明/(。)(&+2百=及+不一cose)J^二詬cos6+cos2e+4sin2。

兩訪平方即證即證4sin2。+2A/2COS0<2瓜

因為4sin沿+20cos844sin，+2\/2cos0=2幾sin(夕+°)W2#

兩個等號不同時成立，所以4sin2e+2"x)s9<2?,所以選D

16.方程而三不忘T+=1的實根個數(shù)為

(A)1(B)2(C)3(D)前三個答案都不對

【解析】由題意“網(wǎng)JI7T-2|+|J7TT-4=I

當1?&斤(2時，上式恒為1,所以選D

17.凸五邊形ABCDE的對角線CE分別與對角線BD和AD交于點F和G,已知

BF:FD=5:4,AG:GD=1:1,CF:FG:GE=2:2:3,S?cv-1mL/和S八櫥DLi分別為/CFD和

_ABE的面積，則SCFD:S,、BE的值等于0

(A)8:15(B)2:3(C)ll:23(D)前三個答案都大對

【解析】如圖所示，延長CF=CM

則根據(jù)比例可得BE//MD

E

則需=

G因為G為AD的中點，因此

14

5

AO=OG2-5BEMD=OE

22Q

則OE=—BE不妨設SABF=5則SAOE==4，因此S、cFD=4x-=-因此

53

scro:SWE=8:15斯以選A

18.設〃國均為不超過100的正整數(shù)，則有有理根的多項式++q的個數(shù)為

(A)99(B)133(C)150(D)前三個答案都不對

【解析】因為/(另=X5+px+q有有理根，則有理根必小于0

...m口/.m5pni?

設/二---，且(，幾〃A)=1,則mil——z------+q=0

nITn

則qn5=m5+pmn4，顯然〃|〃z,因為(zn,〃)=1,則〃=1,故q=+mp

因為4="P+nip<100,故1W機W2

當〃z=l時，q=\-\-p<100,所以lWqW99,共99組

當m=2時，夕=32+2〃《100,所以共34組

綜上所述：滿足條件的共133組，故選BB

19.滿足對任意n>1有。,川=2"-3〃”且嚴格遞增的數(shù)列｛2｝向的個數(shù)為

(A)0(B)l(。無窮多個(D)前三個答案都不對

【解析】因為-=2〃—34，則翳=—黑+；

則4弋+,一|).(一3)”

則,,.a,-1——1=——5a--

2向5212畤T

22

當“二一時，滿足嚴格遞增，當4。一時，會出現(xiàn)正負交替，不滿足，所以選B

55

20.設函數(shù)/(元)，,2)=^^+^^+二一,其中X,)"均為正實數(shù)，則有()

x+yy+zz+x

AJ既有最大值也有最小值BJ有最大值但無最小值

CJ有最小值但無最大值D.前三個答案都不對

■小fEdxyzx+zy+xz+y.

【解析】因為s=-----+，一+-----<---------+—-----+-----:—=2

x+yy+zz+xx+y+zy+z+xz+x+y

當x=O,z=l,yf”時，s-2,故無最大值

h口x>zxyz.

而且s=------+—+------>----------+——-——+-----------=1

x+yy+zz+xx+y+zx+y+z犬+y+z

當x=O,y=l,zf+o。時，5—>1,故無最小值，所以選D

清華大學2020年強基計劃數(shù)學試題解析

1.己知實數(shù)x,y滿足.V2+y2<1,貝I]x2+-y2的最大值為（）

后屈仄

A.1B.—C.-------D.<2

23

答案.B.

簡析1.由AM-GM不等式，得

x2—y2+(5/5+2)—?=-----yX2—y2

V5+2

.上式當x=,-----=^,)，二?時取等號,

V10-4V5V10+4V5

即原式的最大值為—

2

2.設a,b,c為正實數(shù)，若一元二次方程ax2+bx+c=0有實根，則()

A.max{?,Z7,c)>—(a^-b+c)

4

B.max{c?,/?,c)>—(a+b+c)

C.min{a,Z?,c}W—(a+b+c)

4

答案.BCD.

簡析.依題意，有b12>4ac.

由齊次性不妨設a+b+c=\.

(1)首先證明：min(6/,Z?,c)<—(a+b+c).

4

由對稱性不妨設?>c.

則b2>4ac>4c2=>b>2c.

故i=a+b+c>c+2c-c=4c^>c<—.

4

當6Z=C=—,/?=—時，符合題意.

42

即命題得證.

又注意到則選項CD均成立.

43

4

⑵其次證明：max{a,Z?,c}>—(a+b+c).

4

若此一,則命題得證.

9

41

當b=c=—,a=—時，符合題意.

99

45

若b<—,則a+c=\-b>—.

99

2

又注意到b>4acf則

若〃€佶,+8),則命題得證.

(1>54

若ae0,-，此時c>一一a>-,則命題得證.

I9；99

14

又注意到一>一，則選項A不成立.

29

3.己知平面向量a,b,c滿足|a|<2,|b|<l,|a-2b-cKa+2b|z則對所有可能的

c,|c|的()

A.最大值為4夜

B.最大值為2n

C.最小值為0

D.最小值為A/2

答案.AC.

簡析.當alb時，有|a—2b|=|a+2bl.

令c=0,得|c|=0.

由三角不等式，得

|a+2b|>|a-2b-c|>|c|-|a-2b1nle-a-2b|+|a+2bl.

再由Cauchy不等式，得

|c|2<(|a-2b|+|a+2b|)2<2(|a-2b|2+|a+2b|2)=4|a|2+16|b|2<32=>|c|<4V2.

當aJLb,|a|=2|b|=2,且c=a+2b時取等號.

綜上，|c|的最小值為0,最大值為472.

4.在AABC中，AC=1,BC=6,AB=2,設M為45中點，現(xiàn)將AABC沿

CM折起，使得四面體B-ACM的體積為則折起后AB的長度可能為()

A.1B.A/2C.在D.2

答案.BC.

簡析.設點B在底面的肘影為點D,則

JVJ3^/ic.*rj34]23

注意到BD<B,因此滿足題意的點B有兩個.

2

⑴二面角B-MC-A的平面角為鈍角.

由勾股定理，得DM7BM2-BD2=BcD=ylBC?-BD?=叵.

33

在M)MC中，由余弦定理，得

cos/DMC=DM'MCS々Me=15。。.

2DMMC2

則ZAMD=180°-ZAMC-ZDMC=150°.在中，由余弦定理，得

AD2=MA2+MD2-2-MA-MDcos\50°=-.

3

再由勾股定理，得ABuxlAlf+Blf=瓜

(2)二面角B—MC—A的平面角為銳角.

同理，得AB=y/2.

綜上，AB可以等于6或JL

X2V2

5.已知P為橢圓一+乙=1上的動點，且4(1,1),2(1,0),則|PA|+|PQ|的()

43

A.最大值為4+J5

B.最大值為4+J5

C.最小值為4—6

D.最小值為4-75

答案.BD.

簡析.設R(7,0),則|PA|十|PQ|=4+|PA|—|PR|.

注意到-|A/?|<|PA|-|P/?|<|AR\,且|4幻二石.

則|「A|+|PQ|￡|4-石,4+石］.

且當P為射線AR與橢圓的交點時，IPAI+IPQI取到最大值4+不；當P為射

線RA與橢圓的交點時，IPAI+IR2I取到最小值4一百.

2

6.已知分別雙曲線—-/=1的左右頂點，1為該雙曲線上不同于的任

4

意一點，設/JAB=a,〃BA=BNAB的面積為S,則()

A.tan?tan/7為定值

aB

B.tan—tan—為M定值

22

C.S-tan(?+P)為定值

D.S-cot(cr+/?)為定值

答案.AC.

簡析.不妨設點/在第一象限.

記e為雙曲線的離心率，kIAykIH分別表示直線IAJB的斜率，則

e=yj\+kJA-kU{=y]l-tanatanfl=ntanatan/二一；

考慮點1無限趨于點B,則q.

224

此時lan—tan——>0.

22

從而tan4tan2不可能為定值.

22

設則

/c、tanez+tanB4'>y]_16y_4

tan(cr+/)=---------------=-2

1-tanatan/35、x+2x-2j5(4-x)5y'

Q

注意到S=2.y,則S?tan(a+/)=—?.

5

又S-cot(a+/7)=-浮會隨著y的取值不斷變化

從而S-col(a+〃)不可能為定值.

7.設正四棱雉的側(cè)棱與底面所成角為相鄰兩側(cè)面所成角為4，則()

ccos2a

A.COSp=----；-------

cos"a-2

ccos2a-1

B.COS/>=——------

cos-a+1

C.tan—=sina

D.cot—=sina

答案.AD.

簡析.為方便計算，設AB=2,PM=4.

則3M=應，30=20,尸3=3頂.

故sina二迪ma」

33

作BN±PC交PC于點N,連接DN,則0=4BND.

在"BC中，有

BC2

5,二*出=-PCBN=>BN=—

~4~23

在ABND中，由余弦定理，得

0BN2+DN2-BD21門cos2acos2a-l

cosp-----------------------------------=>cosp-=---------,consp-f=---------

2BNDN17cos2cr-2cos2cr+l

再利用萬能公式，得

1-tan2—

_______2=

1722&2

1+tan2—

2

8.設復數(shù)z?z2在復平面內(nèi)對應的點分別為z?z2,o為坐標原點，若

㈤=1,5Z；+Z；—2Z]Z2=0,則'OZj的面積為（）

A.1

B.73

C.2

D.2G

答案.A.

簡析.注意到

則

}$

故

SAOZZI-（㈤憶卜sinarg五=1.

2Vz27

9.在非正MBC中，AC=BC,O,尸分別為AABC的外心和內(nèi)心，點D在邊BC

上，且ODLBP則（）

A.OP>DP

B.OP<DP

C.OP//AC

D.B,O,P,D四點共圓

答案.D.

簡析.角C可以是銳角，也可以是針角.因此選項A,B,C均不正確.

注意到/MOP=NPBN=NPBD,則B,O,P,D四點共圓.

10.使得/?sinl>l+5cosl成立的最小正整數(shù)n等于（）

A.3

B.4

C.5

D.6

答案.C.

簡析.注意到->1,則

3

.冗、”兀7.

nsm—>l+5cos—=>〃>-7=>4.

336

乂則/?>5.

下面證明當〃=5時，原不等式成立，即

5sin1>1+5cos1<^>sin1

利用導數(shù)易證函數(shù)不等式

sinx>^.x,0<x<-

714

7TTF

注意到則

44

事實上，有

而這是顯然的！綜.匕正整數(shù)〃的最小值等于5.

注.亦可考慮如下處理.

構(gòu)造函數(shù)f(x)=5sinx-5cosx,xe

則/(x)在區(qū)間[^0,Ij內(nèi)單調(diào)遞增.

4

注意到l?57.3°>53°^arcsin-,則

(4、

/(I)>/^arcsin—<=>5sinl-5cosl>1.

即當〃二5時，原不等式成立.

[1.1?

—X——y~2-y=1

93，

11.已知實數(shù)x,y,z滿足^y3-^z2-z=\,貝ij)

11?

—z3----x2—X-1

[93

A.(x,y,z)只有1組

B.(x,y,z)有4組

C.x,y,z均為有理數(shù)

D.g汨取

答案.AD.

簡析.易知x,y,z均為正實數(shù).

若x<y,則-x2+X+1<-y2+y+1=>z<x.

33

故z<y,貝ij+z+l+)，+i=),<不，矛盾!

若x>y,同理可導出矛盾！

則x=y,即x=y=z.

注意到(f+l)3—/=3'+3t+l,得

顯然x,y,z為相等的無理數(shù).

2121

12.設實數(shù)內(nèi),看,,叫滿足0?七＜1。,2,,，21）,則的最大值為（）

A.110

B.120

C.220

D.240

答案.C.

簡析.采用調(diào)整法.對于每個確定的將其余固定，則原式關于X,-

是線性函數(shù).注意到線性函數(shù)只會在端點處取到最大值，因此我們僅需考慮七取?；?

的情形.

不妨設玉=々=…=為=0,為+1=xl+2==x2i=\,則

ZZk-^|=2r(21-r)<220.

i=li=l

上式當且僅當r=10或11時取到等號.

注.已知非負實數(shù)內(nèi),工2，均不超過1,記P=2?卻-4

/=|>1

⑴當n為偶數(shù)時，有P的最大值為

(2)當〃為奇數(shù)時，有P的最大值為r-I.

當為=占二???"=0,xM+1=x/J+1=-=xM=1時取等號?

————+1——+2

222

13.在平面直角坐標系中，橫坐標與縱坐標都是整數(shù)的點稱為格點，口所有頂點都是格點的

多邊形稱為格點多邊形.若一個格點多邊形的內(nèi)部有8個格點，邊界上有10個格點，則

這個格點多邊形的面積為()

A.10

B.11

C.12

D.13

答案.C.

14.甲，乙，丙三位同學討論一道數(shù)學競賽題.甲說：“我做錯了”，乙說：“甲做對了”，丙

說：“我做錯了”.老師看過他們的答案并聽了他們的上述對話后說：“你們只有一個人做

對了，只有一個人說錯了”.則根據(jù)以上信息可以推斷出()

A.甲做對了

B.乙做對了

C.丙做對了

D.無法確定誰做對了

答案.D.

20G

15.設復數(shù)z滿足|3z-7i|=3,則三二上一的()

z-1+i

o749

A.最大值為；B.最大值為一C.最小值為一D.最小值為一

3333

答案.AD.

簡析.依題意，有

Z2-2Z+2|(-14-i).(z-l-i)|..

=z=z-1-1.

z-l+i-----------|z-l+i|

注意到

3

(7)

則復數(shù)z在復平面上表示以0,-為圓心,1為半徑的圓周.

I3J

8

故|z-l-i|e-

33

1G.在AABC中，八=90。,八8=1,八C=J5,點P滿足上-+2-十一J

\PA\\PB\\PC\\

則0

A.ZAPC=120°B,ZAPB=120℃.\PB\=2\PA\D.\PC\=2\PB\

答案.ABCD.

簡析.注意到

PAPRPC

++=0=/APB=/BPC=/CPA=120°.

\PA\\PH\|PC|

又/PAB=60?！?PBA=NPBC.

則MPBS\BPC.

HAPPBAB1

故===—.

BPPCBC2

注.利用余弦定理或旋轉(zhuǎn)全等，得PA+PB+PC=@.

cin/7

17.設a、。為銳角，且cos(a+/?)=-——則tana的最大值為()

sinp

叵

A.

4

B.正

3

c.1

D.夜

答案.A.

簡析1.由積化和差公式，得

..小sin(?+2/?)+sin(-cr).sin(?+2/?),1

sina-sin0c°s(a+/7)=——---------------------=>sma=-------------<

233

上式當6?=arcsin-,/?=---arcsin-時取等號.

3423

從而Vana的最大值為—

4

簡析2.注意到

s'”"=cosacos一sinasin夕=tana=----8s尸_sin0cosp

si"sin￡+—2sin2^+cos2P

sinp

再由AM-GM不等式，得

,sinBCQSBYJ2

tana<―/二---=——

272sin2/7cos2P4

6

上式當/?=arctan時取等號.

從而tana的最大值為—

4

18.設袋中裝有編號從0到9的10個球，隨機從中抽取5個球，然后排成一行，構(gòu)成的

數(shù)(0在首位時看成四位數(shù))能被396整除的概率是()

111

A.——B.——C.——D.——

240280315360

選C

19.已知函數(shù)/(x)=ev4-f/(x-l)+/7在區(qū)間［1,3］上存在零點，則a2+b2的最小值

為0

Q，

A.—B.eC.—D.e"

22

答案.D.

,

簡析.設函數(shù)f(x)的零點為tf則a(t-\)+b=-c.

由Cauchy不等式,得

e2f

e2f<f?(r-l)+/?l]2<(fz2+/72)?[(z-1)2+1]=>tz2+Z;2>

產(chǎn)一2f+2

構(gòu)造函數(shù)

e2r

gQ)=,1</<3

t2-2t+2

求其一階導數(shù)，得

2e2z.(z2-3r+3)

g'?)=>0

(z2-2r+2)2

即g?）在區(qū)間［1,3］遞增.

故a2+b2的最小值為g（l）=e2.

20.設數(shù)列｛an｝的前〃項和為S“，若數(shù)列｛《｝滿足：對任意〃￡內(nèi)，存在

機使得S“二q”，則稱｛an｝為T數(shù)列.下列命題中正確的有（）

A.若日〃；2'則｛4｝為T數(shù)列

B.若?！岸?。（其中a為常數(shù)），則｛?！埃秊門數(shù)列

C.若｛2｝,｛1｝均為T數(shù)列，則atl=bfl+cn為等差數(shù)列

D.若｛an｝為等差數(shù)列,則存在兩個T數(shù)列也｝,匕｝,使得%=bn+c”

答案.ABD.

簡析.對于選項A,取）n=n+\即可.

對于選項B,取〃2=〃（〃+1）即可.

2

對于選項C,取bn為選項A中的數(shù)列，%三0（〃三2）,則也｝，七｝均為了數(shù)

列，但｛4｝不是等差數(shù)列.

對于選項D,取d=（2-〃）4，c〃=（〃—l）（4+d）即可.

注.T數(shù)列在2015年清華領軍計劃中曾出現(xiàn)過.

21.已知函數(shù)/"）="