練素養(yǎng) 等腰三角形中作輔助線的八種常用方法

蘇科版八年級(jí)上第二章軸對(duì)稱圖形練素養(yǎng)等腰三角形中作輔助線的八種常用方法集訓(xùn)課堂

12345678溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評(píng)習(xí)題鏈接【2023·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D，E是AB的中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF，求證：1(1)EF⊥AB；證明：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.又∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD.又∵E是AB的中點(diǎn)，∴DE⊥AB，即EF⊥AB.(2)△ACF為等腰三角形．證明：∵EF⊥AB，AE＝BE，∴EF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF.又∵∠ABD＝∠BAD＝36°，∴∠FAD＝∠FBD＝36°.∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB－∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF為等腰三角形．2如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點(diǎn)D.求證：∠BAC＝2∠DBC.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.∴∠CAE＋∠C＝90°.∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE.∵BD⊥AC，∴∠DBC＋∠C＝90°.∴∠CAE＝∠DBC.

∴∠BAC＝2∠DBC.【點(diǎn)方法】幾何圖形中添加輔助線，往往能把分散的條件集中，使隱蔽的條件顯露，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化．3如圖，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)D，且BE＝CF.求證：DE＝DF.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG∥AC，交BC于點(diǎn)G，∴∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B.∴∠B＝∠EGB.∴BE＝EG.又∵BE＝CF，∴EG＝CF.4【2023·蘇州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬】如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在AC上，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝AD，DG⊥BC于點(diǎn)G.求證：

(1)DB＝DE；證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC，交AB邊于點(diǎn)F.∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°.∵DF∥BC，∴∠AFD＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ACB＝60°.∴∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°.

∴△ADF是等邊三角形．∴AD＝DF＝AF.∴CD＝BF.

∵AD＝CE，∴FD＝CE.又易知∠DFB＝∠DCE＝120°，∴△BFD≌△DCE(SAS)．∴DB＝DE.(2)BG＝EG.證明：∵DB＝DE，DG⊥BC，∴BG＝EG.5如圖，CE，CB分別是△ABC，△ADC的中線，且AB＝AC.求證：CD＝2CE.6如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：BF＝2CD.證明：如圖，延長(zhǎng)BA，CD，交于點(diǎn)E.∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，∴∠CBD＝∠EBD，∠BDC＝∠BDE＝90°.又∵BD＝BD，∴△BDC≌△BDE(ASA)．∴CD＝ED，∴CE＝2CD.∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF.

又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴BF＝CE.

∴BF＝2CD.7【點(diǎn)方法】延長(zhǎng)CB構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)證明．8【2023·南通啟秀中學(xué)模擬】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一點(diǎn)，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求證：BD＋DC＝AB.證明：如圖，延長(zhǎng)BD至E，使BE＝AB，連接CE，AE.∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE為等邊三角形．∴∠AEB＝60°，AB＝AE.又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝