2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)11反證法含解析北師大版選修1-2

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(十一)(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．用反證法證明“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角為鈍角”，下列假設(shè)中正確的是()A．有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角B．有三個(gè)內(nèi)角是鈍角C．至少有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角D．沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是鈍角C[“最多有一個(gè)”的反設(shè)是“至少有兩個(gè)”，故選C.]2．下列命題錯(cuò)誤的是()A．三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°B．四面體的三組對(duì)棱都是異面直線C．閉區(qū)間[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)D．設(shè)a，b∈Z，若a，b中至少有一個(gè)為奇數(shù)，則a＋b是奇數(shù)D[a＋b為奇數(shù)?a，b中有一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù)，故D錯(cuò)誤．]3．“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定正確的為()A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D．a(chǎn)，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)D[自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：(1)3個(gè)都是奇數(shù)；(2)2個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)；(3)1個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)；(4)3個(gè)都是偶數(shù)．所以否定正確的是a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)．]4．設(shè)x，y，z都是正實(shí)數(shù)，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a，b，c三個(gè)數(shù)()A．至少有一個(gè)不大于2B．都小于2C．至少有一個(gè)不小于2D．都大于2C[若a，b，c都小于2，則a＋b＋c<6，①而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥6，②明顯①②沖突，所以C正確．]5．用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相沖突，A＝B＝90°不成立；②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；③假設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角A，B，C中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)A＝B＝90°，正確依次的序號(hào)為()A．①②③ B．①③②C．②③① D．③①②D[依據(jù)反證法的步驟，應(yīng)當(dāng)是先提出假設(shè)，再推出沖突，最終否定假設(shè)，從而確定結(jié)論．]二、填空題6．命題“隨意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是__________________．隨意多面體的面沒(méi)有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形[“至少有一個(gè)”的否定是“沒(méi)有一個(gè)”．]7．用反證法證明命題“假如a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是________．eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)[eq\r(3,a)與eq\r(3,b)的關(guān)系有三種狀況：eq\r(3,a)>eq\r(3,b)，eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)和eq\r(3,a)<eq\r(3,b)，所以“eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”的反設(shè)應(yīng)為“eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)”．]8．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是________(填序號(hào))．③[若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②不能推出．若a＝－2，b＝1，則a2＋b2>2，故④不能推出．對(duì)于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個(gè)大于1.反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2沖突，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1.]三、解答題9．已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．[證明]假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和得4b2＋4c2＋4a2－4∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，∴a＝b＝c，這與題設(shè)a，b，c互不相等沖突，因此假設(shè)不成立，從而命題得證．10．已知a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)·b，(1－b)·c，(1－c)·a不能同時(shí)大于eq\f(1,4).[證明]假設(shè)三式同時(shí)大于eq\f(1,4)，即(1－a)·b>eq\f(1,4)，(1－b)·c>eq\f(1,4)，(1－c)·a>eq\f(1,4)，三式相乘得(1－a)·a·(1－b)·b·(1－c)·c>eq\f(1,64).①∵0<a<1，∴1－a>0，∴(1－a)·a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－a＋a,2)))2＝eq\f(1,4).同理可得(1－b)·b≤eq\f(1,4)，(1－c)·c≤eq\f(1,4)，∴(1－a)·a·(1－b)·b·(1－c)·c≤eq\f(1,64).②①與②沖突，因此假設(shè)不成立．∴(1－a)·b，(1－b)·c，(1－c)·a不能同時(shí)大于eq\f(1,4).[實(shí)力提升練]1．有以下結(jié)論：①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的確定值都小于1，用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的確定值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.下列說(shuō)法中正確的是()A．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤B．①與②的假設(shè)都正確C．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯(cuò)誤D．①的假設(shè)錯(cuò)誤；②的假設(shè)正確D[用反證法證題時(shí)確定要將對(duì)立面找準(zhǔn)．在①中應(yīng)假設(shè)p＋q>2，故①的假設(shè)是錯(cuò)誤的，而②的假設(shè)是正確的．]2．已知命題“在△ABC中，A≠B，求證sinA≠sinB”．若用反證法證明，得出的沖突是()A．與已知條件沖突B．與三角形內(nèi)角和定理沖突C．與已知條件沖突且與三角形內(nèi)角和定理沖突D．與大邊對(duì)大角定理沖突C[證明過(guò)程如下：假設(shè)sinA＝sinB，因?yàn)?<A<π，0<B<π，所以A＝B或A＋B＝π.其中A＝B與A≠B沖突；A＋B＝π與三角形內(nèi)角和定理沖突，所以假設(shè)不成立．所以sinA≠sin B．]3．有甲、乙、丙、丁四位歌手參與競(jìng)賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)”，乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”，丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了”，丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)了”，四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是________．丙[因?yàn)橹挥幸蝗双@獎(jiǎng)，所以丙、丁只有一個(gè)說(shuō)的對(duì)，同時(shí)甲、乙中只有一人說(shuō)的對(duì)，假設(shè)乙說(shuō)的對(duì)，這樣丙就說(shuō)的錯(cuò)，丁就說(shuō)的對(duì)，也就是甲也說(shuō)的對(duì)，與甲說(shuō)的錯(cuò)沖突，所以乙說(shuō)的錯(cuò)，從而知甲、丙說(shuō)的對(duì)，所以丙為獲獎(jiǎng)歌手．]4．若實(shí)數(shù)x，y，z滿意x＋y＋z>9，則x，y，z中至少有一個(gè)大于________．3[由x＋y＋z>9知，結(jié)論應(yīng)為x，y，z中至少有一個(gè)大于3.]5．設(shè){an}，{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn＝an＋bn，證明：數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．[證明]假設(shè)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，則(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①因?yàn)閧an}，{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，設(shè)公比分別為p，q，所以aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1bn＋1.代入①并整理，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbneq\b