2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語1.2.1命題與量詞1.2.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定練習(xí)含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE1-1.2.1命題與量詞1最新課程標(biāo)準(zhǔn)：(1)全稱量詞與存在量詞．通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義．(2)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定．①能正確運(yùn)用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定．②能正確運(yùn)用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定.學(xué)問點(diǎn)一命題1．用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以推斷真假的陳述句叫做命題．其中推斷為真的語句叫做真命題，推斷為假的語句叫做假命題．2．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題若原命題為“若p，則q”，則其逆命題是若q，則p；否命題是若綈p，則綈q；逆否命題是若綈q，則綈p.(2)四種命題間的關(guān)系學(xué)問點(diǎn)二全稱量詞和全稱量詞命題全稱量詞全部的、隨意一個(gè)、一切、任給符號(hào)?全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對(duì)M中隨意一個(gè)x，有p(x)成立”，可簡記為“?x∈M，p(x)”學(xué)問點(diǎn)三存在量詞和存在量詞命題存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有些、有的符號(hào)表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”，可用符號(hào)記為“?x∈M，p(x)”eq\x(狀元隨筆)全稱量詞命題與存在量詞命題的區(qū)分(1)全稱量詞命題中的全稱量詞表明給定范圍內(nèi)全部對(duì)象都具有某一性質(zhì)，無一例外，強(qiáng)調(diào)“整體、全部”．(2)存在量詞命題中的存在量詞則表明給定范圍內(nèi)的對(duì)象有例外，強(qiáng)調(diào)“個(gè)別、部分”．學(xué)問點(diǎn)四全稱量詞命題和存在量詞命題的否定1．全稱量詞命題：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，綈p(x)．2．存在量詞命題：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，綈p(x)．eq\x(狀元隨筆)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．[基礎(chǔ)自測]1．下列命題中全稱量詞命題的個(gè)數(shù)是()①隨意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)；②全部的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；③有的正方形不是菱形；④三角形的內(nèi)角和是180°.A．0B．1C．2D．3解析：命題①②含有全稱量詞，而命題④可以敘述為“每一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°”，③是存在量詞命題，故有三個(gè)全稱量詞命題．答案：D2．下列命題中存在量詞命題的個(gè)數(shù)是()①至少有一個(gè)偶數(shù)是質(zhì)數(shù)；②?x∈R，x2≤0；③有的奇數(shù)能被2整除．A．0B．1C．2D．3解析：①中含有存在量詞“至少”，所以是存在量詞命題；②中含有存在量詞符號(hào)“?”，所以是存在量詞命題；③中含有存在量詞“有的”，所以是存在量詞命題．答案：D3．命題“存在實(shí)數(shù)x，使x>1”的否定是()A．對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，都有x>1B．不存在實(shí)數(shù)x，使x≤1C．對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，都有x≤1D．存在實(shí)數(shù)x，使x≤1解析：命題“存在實(shí)數(shù)x，使x>1”的否定是“對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，都有x≤1”．答案：C4．“在△ABC中，若∠C＝90°，則∠A，∠B都是銳角”的否命題為：________.解析：原命題的條件：在△ABC中，∠C＝90°，結(jié)論：∠A、∠B都是銳角.否命題是否定條件和結(jié)論．即“在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角”題型一全稱量詞命題與存在量詞命題的推斷與其真假[經(jīng)典例題]例1推斷下列命題哪些是全稱量詞命題，并推斷其真假．(1)對(duì)隨意x∈R，x2>0；(2)有些無理數(shù)的平方也是無理數(shù)；(3)對(duì)頂角相等；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)對(duì)隨意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．【解析】(1)(3)(5)是全稱量詞命題，(1)是假命題，∵x＝0時(shí)，x2＝0.(3)是真命題．(5)是真命題.正確地識(shí)別命題中的全稱量詞，是解決問題的關(guān)鍵．方法歸納(1)要判定全稱量詞命題是真命題，須要推斷全部的狀況都成立；假如有一種狀況不成立，那么這個(gè)全稱量詞命題就是假命題．(2)要判定存在量詞命題是真命題，只需找到一種狀況成馬上可；假如找不到使命題成立的特例，那么這個(gè)存在量詞命題是假命題．跟蹤訓(xùn)練1指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并推斷真假：(1)若a>0，且a≠1，則對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，ax>0；(2)對(duì)隨意實(shí)數(shù)x1，x2，若x1<x2，則tanx1<tanx2；(3)存在一個(gè)x∈R，使x2＋1<0.解析：(1)(2)是全稱量詞命題，(3)是存在量詞命題．(1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立，∴命題(1)是真命題．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命題(2)是假命題．(3)對(duì)隨意x∈R，x2＋1>0.∴命題(3)是假命題．eq\x(狀元隨筆)推斷一個(gè)命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題，就是推斷這個(gè)命題中是否含有全稱量詞或存在量詞，有些命題的量詞可能隱含在命題之中，這時(shí)要依據(jù)命題含義推斷形式．題型二含有一個(gè)量詞的命題的否定[教材P29例2]例2寫出下列命題的否定，并推斷所得命題的真假：(1)p：?a∈R，一次函數(shù)y＝x＋a的圖像經(jīng)過原點(diǎn)；(2)q：?x∈(－3，＋∞)，x2＞9.【解析】(1)綈p：?a∈R，一次函數(shù)y＝x＋a的圖像不經(jīng)過原點(diǎn)．因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，一次函數(shù)y＝x＋a的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，所以綈p是假命題．(2)綈q：?x∈(－3，＋∞)，x2≤9.因?yàn)閤＝0時(shí)，x2＝0＜9，所以綈q是真命題.先把命題否定，再推斷真假．教材反思全稱量詞命題的否定是一個(gè)存在量詞命題，存在量詞命題的否定是一個(gè)全稱量詞命題，因此在書寫他們的否定時(shí)，相應(yīng)的全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，存在量詞變?yōu)槿Q量詞，同時(shí)否定結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2(1)命題“對(duì)于隨意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A.不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．對(duì)隨意的x∈R，x3－x2＋1>0D．存在x∈R，x3－x2＋1>0(2)命題“?x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是()A．?x∈R，x3－2x＋1≠0B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0C．?x∈R，x3－2x＋1＝0D．?x∈R，x3－2x＋1≠0解析：(1)∵命題“對(duì)于隨意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全稱量詞命題，其否定是對(duì)應(yīng)的存在量詞命題，∴否定命題為：存在x∈R，x3－x2＋1>0.故選D.(2)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，故解除A；由命題的否定要否定結(jié)論，故解除C；由存在量詞“?”應(yīng)改為全稱量詞“?”，故解除B.答案：(1)D(2)D?x∈M，p(x)的否定為?x∈M，綈p(x)．?x∈M，p(x)的否定為?x∈M，綈p(x)．課時(shí)作業(yè)5一、選擇題1．下列語句不是存在量詞命題的是()A．有的無理數(shù)的平方是有理數(shù)B．有的無理數(shù)的平方不是有理數(shù)C．對(duì)于隨意x∈Z,2x是偶數(shù)D．存在x∈R,2x＋1是奇數(shù)解析：A、B、D中含有存在量詞是存在量詞命題，C中含有全稱量詞是全稱量詞命題．答案：C2．推斷下列命題是存在量詞命題的個(gè)數(shù)()①每一個(gè)一次函數(shù)都是增函數(shù)；②至少有一個(gè)自然數(shù)小于1；③存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2＋2x＋2＝0；④圓內(nèi)接四邊形，其對(duì)角互補(bǔ)．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：①④是全稱量詞命題，②③是存在量詞命題．答案：B3．命題“?x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定為()A．?x∈[1,2]，x2－3x＋2>0B．?x?[1,2]，x2－3x＋2>0C．?x∈[1,2]，x2－3x＋2>0D．?x?[1,2]，x2－3x＋2>0解析：由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知，命題“?x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定為“?x∈[1,2]，x2－3x＋2>0”，故選C.答案：C4．已知命題p：?x>0，x＋a－1＝0，若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1)B．(－∞，1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：因?yàn)閜為假命題，所以綈p為真命題，所以?x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，選D.答案：D二、填空題5．下列命題，是全稱量詞命題的是____________；是存在量詞命題的是____________．①正方形的四條邊相等；②有些等腰三角形是正三角形；③正數(shù)的平方根不等于0；④至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù)．解析：①③是全稱量詞命題，②④是存在量詞命題．答案：①③②④6．給出下列四個(gè)命題：①有理數(shù)是實(shí)數(shù)；②有些平行四邊形不是菱形；③對(duì)隨意x∈R，x2－2x>0；④有一個(gè)素?cái)?shù)含有三個(gè)正因數(shù)．以上命題的否定為真命題的序號(hào)是________．解析：寫出命題的否定，易知③④的否定為真命題，或者依據(jù)命題①、②是真命題，③、④為假命題，再依據(jù)命題與它的否定一真一假，可得③④的否定為真命題．答案：③④7．命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．解析：全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題的否定為“?x∈R，|x|＋x2<0”．答案：?x∈R，|x|＋x2<0三、解答題8．用量詞符號(hào)表述下列命題：(1)隨意一個(gè)實(shí)數(shù)乘以－1都等于它的相反數(shù)；(2)對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，都有x3>x2；(3)有些整數(shù)既能被2整除，又能被3整除；(4)某個(gè)四邊形不是平行四邊形．解析：(1)?x∈R，x·(－1)＝－x.(2)?x∈R，x3>x2.(3)?x0∈Z，x0既能被2整除，又能被3整除．(4)?x0∈{x|x是四邊形}，x0不是平行四邊形．9．推斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題：(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有的梯形對(duì)角線相等；(3)對(duì)隨意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有一個(gè)函數(shù)，圖像是直線；(5)若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線相互垂直．解析：(1)可以改寫為“全部的凸多邊形的外角和等于360°”，故為全稱量詞命題．(2)含有存在量詞“有的”，故是存在量詞命題．(3)含有全稱量詞“隨意”，故是全稱量詞命題．(4)含有存在量詞“有一個(gè)”，故為存在量詞命題．(5)若一個(gè)四邊形是菱形，也就是全部的菱形，故為全稱量詞命題．[尖子生題庫]10．推斷下列命題的真假，并寫出它們的否定：(1)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ；(2)?x，y∈Z,3x－