5年級下冊第05講-計數(shù)綜合

第五講計數(shù)綜合

從三年級開始到現(xiàn)在，我們已經(jīng)學(xué)了很多有關(guān)計數(shù)的講次，其中包括枚舉法、加乘原理、排列組合、容斥原理等．我們先來做一個簡單的小結(jié)和復(fù)習(xí)．枚舉法是萬能的方法，只要有足夠多的時間和精力．并且往往在一些復(fù)雜棘手的題目中，別的方法都不能適用，此時就能體會到枚舉法的“威力”．使用枚舉法時一定要注意有序思考．加法原理強調(diào)的是分類，計數(shù)時我們只需選擇其中的某一類即可以滿足要求，類與類之間可以相互替代．乘法原理強調(diào)的是分步，每一步只是整個事情的一部分，必須全部完成才能滿足結(jié)論，缺一不可．在乘法原理中，步驟順序的安排往往非常重要．排列與組合：排列的計算公式由乘法原理推導(dǎo)而來，組合的計算公式由排列公式推導(dǎo)而來．從n個不同的元素中取出m個（），并按照一定的順序排成一列，其方法數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個的排列數(shù)，記作．從n個不同元素中取出m個（）作為一組（不計順序），可選擇的方法數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個的組合數(shù)，記作．在運用排列組合時，有特殊要求的我們往往優(yōu)先考慮，有時還會用到“捆綁法”和“插空法”.我們今天主要來學(xué)習(xí)計數(shù)中的分類思想，以及正面分類和反面排除的合理選擇．分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究的對象進行分類，將整體問題劃分為局部問題，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為單一問題，然后分而治之、各個擊破，最后綜合各類的結(jié)果得到整個問題的解答．例題1．五張卡片上分別寫有0、1、2、3、5，每張卡片各用一次可以組成一些五位數(shù)．其中5的倍數(shù)有多少個？4的倍數(shù)有多少個？分析：一個數(shù)是5的倍數(shù)，它要滿足什么條件？4的倍數(shù)呢？

練習(xí)1．五張卡片上分別寫有0、1、2、3、5，每張卡片只能用一次可以組成多少個三位偶數(shù)？

例題2．（1）用2個1、2個2和1個3可以組成多少個不同的五位數(shù)？

（2）用1個0、2個1和2個2可以組成多少個不同的五位數(shù)？

（3）用1個0、2個1和2個2可以組成多少個不同的四位數(shù)？分析：先選好1的位置，再選好2的位置，最后選好3的位置，就可以組成五位數(shù)．那么有多少種不同的選法？練習(xí)2．（1）用1個1、1個2、2個3可以組成多少個不同的四位數(shù)？

（2）用1個0、1個2、2個3可以組成多少個不同的四位數(shù)？

（3）用1個0、1個2、2個3可以組成多少個不同的三位數(shù)？例題3．數(shù)1447、1225、1031有某些相同的特點，每一個數(shù)都是以1為首的四位數(shù)，且每個數(shù)恰好只有兩個數(shù)字相同（1112，1222，1122這樣的數(shù)不算），這樣的數(shù)共有多少個？分析：根據(jù)題意可知這樣的四位數(shù)由三種數(shù)字組成，其中有一種數(shù)字出現(xiàn)了2次．那么可以根據(jù)這個數(shù)字所在的數(shù)位來分類．練習(xí)3．用1、2、3、4這4個數(shù)字組成四位數(shù)，至多允許有1個數(shù)字重復(fù)一次．例如1234、1233和2434是滿足條件的，而1212、3331和4444就是不滿足條件的．那么，所有這樣的四位數(shù)共有多少個？

例題4和2468相加至少會發(fā)生一次進位的四位數(shù)有多少個？分析：和2486相加發(fā)生進位有好多種情況，比如發(fā)生一次進位、發(fā)生兩次進位、發(fā)生三次進位等等，不同的類型太多了．這時不妨考慮下反面．練習(xí)4．和250相加至少會發(fā)生一次進位的三位數(shù)有多少個？例題5．有10名外語翻譯，其中5名是英語翻譯，4名日語翻譯，另外1名英語和日語都很精通，從中找出7人，使他們可以組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英語，另3人翻譯日語，這兩個小組能同時工作，則不同的分配方案共有多少種？分析：這個英語和日語都很精通的人很麻煩，應(yīng)該優(yōu)先考慮他．例題6．將右圖中的“○”分別用四種顏色染色，只要求有實線段連接的兩個相鄰的“○”都涂成不同的顏色，共有多少種涂法？如果還要求虛線段連接的兩個“○”也涂成不同的顏色，共有多少種涂法？分析：染色時順序很重要，要遵循“前不影響后”的原則．

四色定理四色定理指出每個可以畫出來的無飛地地圖（飛地是指與本土不相連的土地）都可以至多用4種顏色來上色，而且沒有兩個相鄰的區(qū)域會是相同的顏色．被稱為相鄰的兩個區(qū)域是指它們共有一段邊界，而不是一個點．這一定理最初是由FrancisGuthrie在1853年提出的猜想．很明顯，3種顏色不會滿足條件，而且也不難證明5種顏色滿足條件且綽綽有余．但是，直到1977年四色猜想才最終由KennethAppel和WolfgangHaken證明．他們得到了J.Koch在算法工作上的支持．證明方法將地圖上的無限種可能情況減少為1,936種狀態(tài)（稍后減少為1,476種），這些狀態(tài)由計算機一個挨一個的進行檢查．這一工作由不同的程序和計算機獨立的進行了復(fù)檢．在1996年，NeilRobertson、DanielSanders、PaulSeymour和RobinThomas使用了一種類似的證明方法，檢查了633種特殊的情況．這一新證明也使用了計算機，如果由人工來檢查的話是不切實際的．四色定理是第一個主要由計算機證明的理論，這一證明并不被所有的數(shù)學(xué)家接受，因為它不能由人工直接驗證．最終，人們必須對計算機編譯的正確性以及運行這一程序的硬件設(shè)備充分信任．參見實驗數(shù)學(xué)．缺乏數(shù)學(xué)應(yīng)有的規(guī)范成為了另一個方面；以至于有人這樣評論“一個好的數(shù)學(xué)證明應(yīng)當像一首詩——而這純粹是一本電話簿！”雖然四色定理證明了任何地圖可以只用四種顏色著色，但是這個結(jié)論對于現(xiàn)實中的應(yīng)用卻相當有限．現(xiàn)實中的地圖常會出現(xiàn)飛地，即兩個不相連的土地屬于同一個國家的情況（例如美國的阿拉斯加州），而制作地圖時我們?nèi)詴筮@兩個區(qū)域被涂上同樣的顏色，在這種情況下，四個顏色將會是不夠用的．

計算：（1）_________； （2）_________；

（3）_________； （4）_________．王老師家裝修新房，需要2個木匠和2個電工．現(xiàn)有木