2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章概率3.1隨機(jī)事件及其概率講義蘇教版必修3

PAGE1-3.1隨機(jī)事務(wù)及其概率學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.體會(huì)確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象的含義．2．了解必定事務(wù)、不行能事務(wù)及隨機(jī)事務(wù)．3．了解隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的不確定性及頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)一步了解概率的意義以及概率與頻率的區(qū)分．(難點(diǎn))4．理解概率的統(tǒng)計(jì)定義，知道依據(jù)概率的統(tǒng)計(jì)定義計(jì)算概率的方法．(重點(diǎn))1.通過對事務(wù)性質(zhì)的推斷來熬煉學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)．2．通過對數(shù)據(jù)的分析、計(jì)算來培育學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).1．隨機(jī)事務(wù)(1)確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象在確定條件下，事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是確定性現(xiàn)象．在確定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，事先不能斷定出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是隨機(jī)現(xiàn)象．(2)試驗(yàn)、事務(wù)一次試驗(yàn)就是對于某個(gè)現(xiàn)象的條件實(shí)現(xiàn)一次，例如對“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”這個(gè)現(xiàn)象來說，做一次試驗(yàn)就是將硬幣拋擲一次．而試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果，都是一個(gè)事務(wù)．(3)必定事務(wù)、不行能事務(wù)、隨機(jī)事務(wù)在確定條件下，必定會(huì)發(fā)生的事務(wù)叫做必定事務(wù)；在確定條件下，確定不會(huì)發(fā)生的事務(wù)叫做不行能事務(wù)；在確定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事務(wù)叫做隨機(jī)事務(wù)．我們用A，B，C等大寫英文字母表示隨機(jī)事務(wù)，如我們記“某人射擊一次，中靶”為事務(wù)A．2．隨機(jī)事務(wù)的概率(1)頻數(shù)與頻率在確定條件下，重復(fù)進(jìn)行了n次試驗(yàn)，假如某一事務(wù)A出現(xiàn)了m次，則事務(wù)A出現(xiàn)的頻數(shù)是m，稱事務(wù)A出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比例eq\f(m,n)為事務(wù)A出現(xiàn)的頻率．(2)概率的統(tǒng)計(jì)定義一般地，假如隨機(jī)事務(wù)A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，我們可以發(fā)覺事務(wù)A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)趨近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加越來越穩(wěn)定，我們把這個(gè)常數(shù)作為事務(wù)A發(fā)生的概率的近似值，即P(A)≈eq\f(m,n).這里這個(gè)常數(shù)的意義就代表是隨機(jī)事務(wù)的概率，由于隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率越來越接近概率，也即概率是頻率的期望值，所以用頻率來定義概率是合理的，可行的．(3)必定事務(wù)和不行能事務(wù)的概率可以把必定事務(wù)和不行能事務(wù)當(dāng)成隨機(jī)事務(wù)的兩種特別狀況來考慮，分別用Ω和?來表示，明顯P(Ω)＝1，P(?)＝0.所以對任何一個(gè)事務(wù)A，都有0≤P(A)≤1.思索：頻率與概率之間有什么關(guān)系？[提示](1)頻率是隨機(jī)的，是一個(gè)變量，在試驗(yàn)前不能確定，且可能會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的變更而變更，它反映的是某一隨機(jī)事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，反映了隨機(jī)事務(wù)出現(xiàn)的可能性的大小，近似反映了概率的大?。热缛嗤瑢W(xué)都做了10次擲硬幣的試驗(yàn)，但得到正面對上的頻率可以是不同的．(2)概率是一個(gè)確定的常數(shù)，是客觀存在的，它是頻率的科學(xué)抽象，與每次試驗(yàn)無關(guān)，不隨試驗(yàn)結(jié)果的變更而變更，從數(shù)量上反映隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性大?。?，假如一個(gè)硬幣質(zhì)地勻稱，則擲該枚硬幣出現(xiàn)正面對上的概率是0.5，與做多少次試驗(yàn)無關(guān)．(3)頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近于概率．在實(shí)際問題中，隨機(jī)事務(wù)的概率未知，常用大量重復(fù)試驗(yàn)中事務(wù)發(fā)生的頻率作為它的估計(jì)值．1．有下列現(xiàn)象：①連續(xù)擲一枚硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)正面對上；②異性電荷相互吸引；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1℃結(jié)冰；④南通某天下雨．其中是隨機(jī)現(xiàn)象的是()A．①③ B．②③C．①④ D．③④C[隨機(jī)現(xiàn)象的典型特征是不能事先預(yù)料哪一種結(jié)果會(huì)出現(xiàn)，據(jù)此逐個(gè)分析，所以①④正確．]2．在10件同類商品中，有8件紅色的，2件白色的，從中隨意抽取3件．給出下列事務(wù)：①3件都是紅色；③3件都是白色；③至少有1件紅色；④至少有1件白色．其中是必定事務(wù)的序號(hào)為________．③[因白色商品共2件，而要抽出3件商品，故抽出的3件中至少有1件為紅色的，故選③.]3．某英語試題中，共有12道選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有1個(gè)選項(xiàng)是正確的，則隨機(jī)選擇其中一個(gè)選項(xiàng)正確的概率是eq\f(1,4)，某家長說：“要是都不會(huì)做，每題都隨機(jī)選擇其中一個(gè)選項(xiàng)，則確定有3題答對．”這句話____________________________________．(填“正確”“錯(cuò)誤”或“不確定”)錯(cuò)誤[把解答一個(gè)選擇題作為一次試驗(yàn)，答對的概率是eq\f(1,4)，說明白答對的可能性大小是eq\f(1,4)，由于每次試驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，因而做12次試驗(yàn)，結(jié)果都是隨機(jī)的，那么答對3道題的可能性較大，但是并不確定答對3道題，也可能都選錯(cuò)，也可能有1,2,3,4，…甚至12道題選擇正確．]4．將一枚骰子擲300次，則擲出的點(diǎn)數(shù)大于2的次數(shù)大約是________．200[依據(jù)題意，得300×eq\f(2,3)＝200.]事務(wù)的有關(guān)概念【例1】推斷下列事務(wù)哪些是必定事務(wù)，哪些是不行能事務(wù)，哪些是隨機(jī)事務(wù)．(1)拋一石塊，下落；(2)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃(3)某人射擊一次，中靶；(4)假如a>b，那么a－b>0；(5)擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面；(6)導(dǎo)體通電后，發(fā)熱；(7)從分別標(biāo)有號(hào)數(shù)1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號(hào)簽；(8)某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；(9)沒有水分，種子能發(fā)芽；(10)在常溫下，焊錫熔化．[解](1)是必定事務(wù)，該現(xiàn)象是大自然的客觀規(guī)律所致．(2)是不行能事務(wù)，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，只有溫度高于0℃時(shí)，冰才溶化．(3)是隨機(jī)事務(wù)，射擊一次可能中靶，也可能不中靶．(4)是必定事務(wù)，由不等式性質(zhì)可得．(5)是隨機(jī)事務(wù)，因?yàn)閷⒁幻队矌艗仈S一次，可能出現(xiàn)正面對上，也可能出現(xiàn)反面對上．(6)是必定事務(wù)，導(dǎo)體通電發(fā)熱是物理現(xiàn)象．(7)是隨機(jī)事務(wù)，從5張標(biāo)簽中任取一張，每張都有被取到的可能．(8)是隨機(jī)事務(wù)，因?yàn)榻Y(jié)果有不行預(yù)知性．(9)是不行能事務(wù)，因?yàn)榉N子只有在有水分的條件下，才能發(fā)芽．(10)是不行能事務(wù)，因?yàn)榻饘馘a只有在高溫下才能熔化．要判定某事務(wù)是何種事務(wù)，首先要看清條件，因?yàn)槿N事務(wù)都是相對于確定條件而言的．其次再看它是確定發(fā)生，還是不確定發(fā)生，還是確定不發(fā)生．確定發(fā)生的是必定事務(wù)，不確定發(fā)生的是隨機(jī)事務(wù)，確定不發(fā)生的是不行能事務(wù)．1．有下列事務(wù)：①足球運(yùn)動(dòng)員罰點(diǎn)球命中；②在自然數(shù)集合中任取一個(gè)數(shù)為偶數(shù)；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在100℃時(shí)沸騰；④已知A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，則B?A；⑤光線在勻稱介質(zhì)中發(fā)生折射現(xiàn)象；⑥隨意兩個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)．在上述事務(wù)中為隨機(jī)事務(wù)的有________，為必定事務(wù)的有________，為不行能事務(wù)的有________．①②③④⑤⑥[①足球運(yùn)動(dòng)員罰點(diǎn)球可能命中，也可能不命中；②在自然數(shù)集合中任取一個(gè)數(shù)可能為奇數(shù)，也可能為偶數(shù)；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在100℃時(shí)確定沸騰；④已知A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，則B?A是不行能的；⑤光線在勻稱介質(zhì)中是沿直線傳播的，不行能發(fā)生折射現(xiàn)象；⑥隨意兩個(gè)奇數(shù)之和為偶數(shù)．]2．分析下面給出的五個(gè)事務(wù)哪些是必定事務(wù)？哪些是不行能事務(wù)？哪些是隨機(jī)事務(wù)？(1)某地2月3日下雪；(2)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)在定義域上是增函數(shù)；(3)實(shí)數(shù)的確定值不小于0；(4)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1℃結(jié)冰；(5)a，b∈R，則ab＝bA．[解](1)隨機(jī)事務(wù)，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪．(2)隨機(jī)事務(wù)，函數(shù)y＝ax當(dāng)a>1時(shí)在定義域上是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)在定義域上是減函數(shù)．(3)必定事務(wù)，實(shí)數(shù)的確定值非負(fù)．(4)不行能事務(wù)，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在0℃(5)必定事務(wù)，若a，b∈R，則ab＝ba恒成立．對概率意義的理解【例2】某種病的治愈概率是0.3，那么前7個(gè)人沒有治愈，后3個(gè)人確定能治愈嗎？如何理解治愈的概率是0.3?思路點(diǎn)撥：解答本題要理解概率的意義．[解]假如把治療一個(gè)病人作為一次試驗(yàn)，治愈的概率是0.3，指隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，即治療的病人數(shù)的增加，大約有30%的人能夠治愈．對于一次試驗(yàn)來說，其結(jié)果是隨機(jī)的，因此前7個(gè)病人沒治愈是可能的，而對后3個(gè)病人來說，其結(jié)果仍舊是隨機(jī)的，即有可能治愈，也有可能沒治愈．治愈的概率是0.3，是指假如患病的有1000人，那么我們依據(jù)治愈的頻率應(yīng)在治愈概率旁邊搖擺這一前提，就可以認(rèn)為這1000人中，大約有300人能治愈，這個(gè)事先估計(jì)對于醫(yī)藥衛(wèi)生部門是很有參考價(jià)值的．這也進(jìn)一步說明白隨機(jī)事務(wù)的概率只是反映了大量重復(fù)試驗(yàn)條件下，隨機(jī)試驗(yàn)A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定性．隨機(jī)事務(wù)的發(fā)生具有隨機(jī)性，概率值僅說明事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，因此，在說明隨機(jī)事務(wù)的概率時(shí)，凡是出現(xiàn)“必定”“確定”之類的確定性字眼，一般都是錯(cuò)誤的．3．假如某種彩票中獎(jiǎng)的概率為eq\f(1,1000)，那么買1000張彩票確定能中獎(jiǎng)嗎？請用概率的意義說明．思路點(diǎn)撥：買1000張彩票，相當(dāng)于做1000次試驗(yàn)，因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，所以做1000次試驗(yàn)的結(jié)果也是隨機(jī)的，也就是說，買1000張彩票有可能沒有1張中獎(jiǎng)．[解]不確定能中獎(jiǎng)．因?yàn)橘I1000張彩票相當(dāng)于做1000次試驗(yàn)，而每次試驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，即每張彩票可能中獎(jiǎng)也可能不中獎(jiǎng)，因此，1000張彩票中可能沒有1張中獎(jiǎng)，也可能有1張、2張或者多張中獎(jiǎng)．4．試說明下列狀況中概率的意義．(1)某商場為促進(jìn)銷售，實(shí)行有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)，凡購買其商品的顧客中獎(jiǎng)的概率為0.20；(2)一生產(chǎn)廠家稱：我們廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的概率是0.98.思路點(diǎn)撥：有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)中，凡購買其商品的顧客中獎(jiǎng)的概率表示購買其商品的顧客中獎(jiǎng)的可能性的大??；生產(chǎn)廠家所說的產(chǎn)品合格的概率表示其廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性的大小．[解](1)指購買其商品的顧客中獎(jiǎng)的可能性為20%.(2)指其廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是98%.頻率與概率的關(guān)系及求法【例3】某公司在過去幾年內(nèi)運(yùn)用某種型號(hào)的燈管1000支，該公司對這些燈管的運(yùn)用壽命(單位：小時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：分組[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，＋∞)頻數(shù)4812120822319316542頻率(1)將各組的頻率填入表中；(2)依據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)燈管運(yùn)用壽命不足1500小時(shí)的概率．思路點(diǎn)撥：eq\x(分析數(shù)據(jù))→eq\x(計(jì)算頻率)→eq\x(估計(jì)概率)[解](1)頻率依次是：0．048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)樣本中壽命不足1500小時(shí)的頻數(shù)是48＋121＋208＋223＝600，所以樣本中燈管運(yùn)用壽命不足1500小時(shí)的頻率是eq\f(600,1000)＝0.6，所以燈管運(yùn)用壽命不足1500小時(shí)的概率約為0.6.1．頻率是事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率．頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)n很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值旁邊左右搖擺，這個(gè)穩(wěn)定值就是概率．2．解此類題目的步驟：先利用頻率的計(jì)算公式依次計(jì)算頻率，然后用頻率估計(jì)概率．5．下列說法：①頻率反映事務(wù)發(fā)生的頻繁程度，概率反映事務(wù)發(fā)生的可能性大??；②百分率是頻率，不是概率；③頻率是不能脫離詳細(xì)的n次試驗(yàn)的試驗(yàn)值，而概率是具有確定性的不依靠于試驗(yàn)次數(shù)的理論值；④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．其中正確的是________．①③④[由頻率與概率的定義及兩者之間的關(guān)系知①③④正確，②不正確．]6．某種菜籽在相同的條件下發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果如下表：菜籽粒數(shù)251070130310700150020003000發(fā)芽粒數(shù)24960116282639133918062715發(fā)芽頻率(1)填寫表中的菜籽發(fā)芽的頻率；(2)求該種菜籽發(fā)芽的概率．思路點(diǎn)撥：事務(wù)A出現(xiàn)的頻數(shù)nA與試驗(yàn)次數(shù)n的比值fn(A)＝eq\f(nA,n)即為事務(wù)A發(fā)生的頻率，當(dāng)事務(wù)A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上時(shí)，這個(gè)常數(shù)即為事務(wù)A發(fā)生的概率．[解](1)依據(jù)表格計(jì)算不同狀況下種子發(fā)芽的頻率分別是：1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893，0.903，0.905.(2)隨著菜籽粒數(shù)的增加，菜籽發(fā)芽的頻率越來越接近于0.9，且在它的旁邊搖擺．故該種菜籽發(fā)芽的概率約為0.9.1．本節(jié)課的重點(diǎn)是理解概率的含義，了解頻率與概率的區(qū)分與聯(lián)系．2．本節(jié)課的難點(diǎn)是求解事務(wù)發(fā)生的頻率和概率．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是混淆頻率與概率的概念，列舉試驗(yàn)結(jié)果時(shí)出現(xiàn)遺漏.1．下列現(xiàn)象中，不是隨機(jī)現(xiàn)象的是()A．在一條馬路上，交警記錄某一小時(shí)通過的汽車超過300輛B．若a為整數(shù)，則a＋1為整數(shù)C．放射一顆炮彈，命中目標(biāo)D．檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品還是次品B[當(dāng)a為整數(shù)時(shí)，a＋1確定為整數(shù)，是必定現(xiàn)象，其余3個(gè)均為隨機(jī)現(xiàn)象．]2．在200件產(chǎn)品中，有192件一級(jí)品、8件二級(jí)品，則下列事務(wù)：①“在這200件產(chǎn)品中隨意選出9件，全部是一級(jí)品”；②“在這200件產(chǎn)品中隨意選出9件，全部是二級(jí)品”；③“在這200件產(chǎn)品中隨意選出9件，不全是一級(jí)品”；④“在這200件產(chǎn)品中隨意選出9件，其中不是一級(jí)品的件數(shù)小于10”．其中________是必定事務(wù)；________是不行能事務(wù)；________是隨機(jī)事務(wù)．④②①③[事務(wù)①③，可能發(fā)生也可能不發(fā)生；對于事務(wù)②，由于200件產(chǎn)品中只有8件二級(jí)品，故不行能選出9件二級(jí)品，是不行能事務(wù)；對于事務(wù)④，選出的9件產(chǎn)品中不是一級(jí)品的件數(shù)必定小于10，是必定事務(wù)．]3．給出下列三個(gè)命題，其中正確的命題有________個(gè)．①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是eq\