2025年上海市虹口區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁（共1頁）2025年上海市虹口區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項(xiàng)中，有且只有一個選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上．】1．（4分）下列各組圖形中，一定相似的是（）A．兩個菱形 B．兩個正方形 C．兩個三角形 D．兩個等腰三角形2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，那么∠B的正切值為（）A． B． C． D．3．（4分）已知非零向量和，下列條件中，不能判定（）A． B．， C． D．，4．（4分）已知（﹣3，y1）、（0，y2）和（1，y3）都在拋物線y＝（x+2）2上，那么y1、y2和y3的大小關(guān)系為（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y25．（4分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）如圖所示，下列結(jié)論中（）A．a(chǎn)＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a(chǎn)+b+c＞06．（4分）如圖，已知AB∥CD，聯(lián)結(jié)AD、BC交于點(diǎn)O，∠ACB＝∠BAD，如果AB＝2，那么CO長為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知線段a是線段b、c的比例中項(xiàng)，b＝2cm，c＝8cmcm．8．（4分）計(jì)算：2+3（﹣）＝．9．（4分）已知是二次函數(shù)，那么m的值是．10．（4分）拋物線y＝（x﹣1）2+3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．11．（4分）如果拋物線y＝（m﹣2）x2﹣2有最高點(diǎn)，那么m的取值范圍是．12．（4分）已知拋物線在y軸右側(cè)的部分是下降的，且經(jīng)過（0，1），請寫出一個符合上述條件的拋物線表達(dá)式是．13．（4分）如圖，直線AD∥EB∥FC，如果DE＝2EF，那么AB長是．14．（4分）已知△ABC∽△A′B′C′，且△ABC和△A′B′C′的最長邊分別是5和10，如果△ABC的面積是6．15．（4分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，如果BD＝2AD，DE∥BC，，用、＝．16．（4分）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)B、C在x軸上，點(diǎn)A、D恰好在拋物線y＝x2﹣3上，那么正方形ABCD的面積是．17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanC＝2，D是AC上的動點(diǎn)，如果點(diǎn)C落到△ABD內(nèi)（不包括邊），那么CD的取值范圍是．18．（4分）過三角形的重心作一條直線與這個三角形兩邊相交，如果截得的三角形與原三角形相似，那么我們把這條直線叫做這個三角形的“重似線”，在△ABC中，AB＝10，tanC＝2，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，那么DE＝．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．20．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+2mx+m+1經(jīng)過點(diǎn)B（﹣1，0）．（1）求m的值以及拋物線的對稱軸；（2）將該拋物線向右平移n個單位后得到新拋物線，如果新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，求n的值．21．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝10，sinB＝，點(diǎn)D、E在BC的延長線上，且AD＝AC．（1）求tan∠ADC的值；（2）如果∠E＝∠BAC，求DE的長．22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，過點(diǎn)D作DE垂直AC交AB于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)EC、BD交于點(diǎn)F．（1）求證：△ABD∽△ACE；（2）如果BC＝BE，求證：．23．（12分）根據(jù)以下素材，完成任務(wù)．探究淋浴噴頭的位置素材1圖1是一種淋浴噴頭，淋浴噴頭固定器裝在升降桿上的某處，手柄與固定器的連接處記為點(diǎn)A（點(diǎn)A與墻之間的距離忽略不計(jì)），線段AB為手柄，射線BC為水流，手柄AB與墻EH的夾角∠HAB為淋浴噴頭的“調(diào)整角”，記為α．已知AB長為20cm．素材2圖3中的矩形EFGH是淋浴房的截面圖，EF＝90cm，EH＝195cm．為了方便在淋浴房里淋浴，人一直站在D處，DE＝52cm．素材3我們把人豎直站立時，頭頂以下30cm處記為這個人的“舒適噴淋點(diǎn)”，即“舒適噴淋點(diǎn)”到地面的距離等于人的身高減30cm．已知小明的身高是130cm，他爸爸和媽媽的身高分別是176cm和160cm．某次爸爸洗澡時，將淋浴噴頭固定器調(diào)整至如圖3的點(diǎn)A處，此時水流正好噴在爸爸的“舒適噴淋點(diǎn)”C處（即CD＝爸爸身高﹣30）．素材4參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，問題解決任務(wù)一求圖3中，淋浴噴頭手柄與固定器的連接處點(diǎn)A到地面的距離AE．任務(wù)二爸爸洗完澡后，不改變固定器的位置（即AE不變），把淋浴噴頭的“調(diào)整角”α調(diào)整至60°①小明發(fā)現(xiàn)水流無法噴在他的“舒適噴淋點(diǎn)”處，請通過計(jì)算說明理由；②下降固定器（將固定器下降后的位置記為點(diǎn)A′）后，小明發(fā)現(xiàn)水流可以噴在他的“舒適噴淋點(diǎn)”處，求此時固定器下降的距離AA′（精確到1cm）．24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求b的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)恰好在直線BC上．①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)且在對稱軸左側(cè)，聯(lián)結(jié)BM，如果∠MBP＝∠ABD25．（14分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝2，E是CD的中點(diǎn)，且∠ACD＝2∠EBC．（1）求證：CE＝CF；（2）如果BC＝2AD，求tan∠ABC的值；（3）如果∠ABE＝∠ACB，求的值．

2025年上海市虹口區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析題號123456答案BDCABC一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項(xiàng)中，有且只有一個選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上．】1．（4分）下列各組圖形中，一定相似的是（）A．兩個菱形 B．兩個正方形 C．兩個三角形 D．兩個等腰三角形【解答】解：A、兩個菱形的對應(yīng)角不一定相等，不符合題意；B、兩個正方形一定相似；C、兩個三角形不一定相似；D、兩個等腰三角形不一定相似，故選：B．2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，那么∠B的正切值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，∴AC＝＝5，則∠B的正切值為＝，故選：D．3．（4分）已知非零向量和，下列條件中，不能判定（）A． B．， C． D．，【解答】解：不能判定∥的是選項(xiàng)C．故選：C．4．（4分）已知（﹣3，y1）、（0，y2）和（1，y3）都在拋物線y＝（x+2）2上，那么y1、y2和y3的大小關(guān)系為（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2【解答】解：拋物線y＝（x+2）2圖象開口向上，對稱軸為直線x＝﹣3，（﹣3，y1）距離對稱軸2個單位長度，（0，y2）距離對稱軸5個單位長度；（1，y3）距離對稱軸2個單位長度，根據(jù)開口向上，距離對稱軸越遠(yuǎn)1＜y2＜y8．故選：A．5．（4分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）如圖所示，下列結(jié)論中（）A．a(chǎn)＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a(chǎn)+b+c＞0【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向下，∴a＜5，故A選項(xiàng)錯誤，不符合題意；∵＜0，∴＞0，∴b＜0，故B選項(xiàng)正確，符合題意；∵拋物線的圖象與y軸的正半軸相交，∴c＞4，故C選項(xiàng)錯誤，不符合題意；根據(jù)函數(shù)圖象，當(dāng)x＝1時，∴a+b+c＜0，故D選項(xiàng)錯誤，不符合題意，故選：B．6．（4分）如圖，已知AB∥CD，聯(lián)結(jié)AD、BC交于點(diǎn)O，∠ACB＝∠BAD，如果AB＝2，那么CO長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝＝，∴CO＝3BO，∴CB＝BO+3BO＝4BO，∵∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠B，∴△ACB∽△OAB，∴＝，∴CB?BO＝AB6＝22＝5，∴4BO2＝8，解得BO＝1或BO＝﹣1（不符合題意，舍去），∴CO＝3，故選：C．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知線段a是線段b、c的比例中項(xiàng)，b＝2cm，c＝8cm4cm．【解答】解：∵線段a是線段b、c的比例中項(xiàng)，c＝8cm，∴a2＝bc＝2×8＝16，∴a＝4（負(fù)值舍去），∴a＝7cm．故答案為：4．8．（4分）計(jì)算：2+3（﹣）＝3﹣．【解答】解：2+3（﹣）＝8+3＝3﹣．故答案為：4﹣．9．（4分）已知是二次函數(shù)，那么m的值是0．【解答】解：根據(jù)已知，得m2+2＝4，解得：m＝0．故答案為：0．10．（4分）拋物線y＝（x﹣1）2+3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4）．【解答】解：令x＝0，得y＝4，故與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是：（4，4）．故答案為：（0，5）．11．（4分）如果拋物線y＝（m﹣2）x2﹣2有最高點(diǎn)，那么m的取值范圍是m＜2．【解答】解：∵拋物線y＝（m﹣2）x2﹣6有最高點(diǎn)，∴拋物線圖象的開口向下，∴m﹣2＜0，∴m＜8，故答案為：m＜2．12．（4分）已知拋物線在y軸右側(cè)的部分是下降的，且經(jīng)過（0，1），請寫出一個符合上述條件的拋物線表達(dá)式是y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【解答】解：由拋物線在y軸右側(cè)的部分是下降的可知對稱軸可確定為y軸，即b＝0，∴圖象開口向下，取a＝﹣1，拋物線解析式為y＝﹣x2+c，把（0，1）代入，∴拋物線解析式為y＝﹣x3+1．本題答案不唯一．故答案為：y＝﹣x2+5（答案不唯一）．13．（4分）如圖，直線AD∥EB∥FC，如果DE＝2EF，那么AB長是6．【解答】解：∵AD∥EB∥FC，∴，∵DE＝2EF，AC＝9，∴，∴AB＝6，故答案為：5．14．（4分）已知△ABC∽△A′B′C′，且△ABC和△A′B′C′的最長邊分別是5和10，如果△ABC的面積是624．【解答】解：由題意得：＝（）2＝，S△ABC＝6，所以△A′B′C′的面積是＝24，故答案為：24．15．（4分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，如果BD＝2AD，DE∥BC，，用、＝．【解答】解：∵BD＝2AD，，∴．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴．又∵，∴，∴．故答案為：．16．（4分）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)B、C在x軸上，點(diǎn)A、D恰好在拋物線y＝x2﹣3上，那么正方形ABCD的面積是36．【解答】解：由題意設(shè)D（m，2m），∵點(diǎn)A、D恰好在拋物線y＝x2﹣8上，∴2m＝m2﹣3，解得m＝3，m＝﹣19（舍去），∴D（3，7），∴正方形ABCD的邊長為6，∴正方形ABCD的面積為36．故答案為：36．17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanC＝2，D是AC上的動點(diǎn)，如果點(diǎn)C落到△ABD內(nèi)（不包括邊），那么CD的取值范圍是1＜CD＜．【解答】解：∵∠ABC＝90°，tanC＝2，∴AB＝2BC，∵AC＝7，∴AB2+BC2＝3，∴AB＝2，BC＝，設(shè)C的對應(yīng)點(diǎn)為C'，當(dāng)C'在AC上時，如圖：∵將△BCD沿BD翻折，∴∠BDC＝∠BDC'＝90°，∴tanC＝＝2，∵BD2+CD5＝BC2，∴（2CD）3+CD2＝5，∴CD＝2；當(dāng)C'在AB上時，過D作DH⊥AB于H∵將△BCD沿BD翻折，∴BC＝BC'＝，∠CBD＝∠C'BD＝，CD＝C'D，∴△BDH是等腰直角三角形，tan∠BC'D＝2，∴BH＝DH，DH＝2C'H，設(shè)C'H＝x，則DH＝BH＝4x，∵C'H+BH＝BC'＝，∴x+2x＝，解得x＝，∴C'H＝，DH＝，∴C'D＝＝，∴CD＝；∵C'落到△ABD內(nèi)（不包括邊），∴1＜CD＜；故答案為：1＜CD＜．18．（4分）過三角形的重心作一條直線與這個三角形兩邊相交，如果截得的三角形與原三角形相似，那么我們把這條直線叫做這個三角形的“重似線”，在△ABC中，AB＝10，tanC＝2，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，那么DE＝或3．【解答】解：如圖，作AG⊥BC于G，，tanC＝6，∴，，∴AG＝8，BG＝6，∴BG＝5+4＝10，，作△ABC的中線AF，Q為△ABC的重心，∴，∵線段DE是△ABC的“重似線段”，∴當(dāng)△ADE∽△ABC時，∴∠ADE＝∠B，，∴DE∥BC，∴，∴，∴，；當(dāng)△AD'E'∽△ACB時，過B作BH⊥AC交AC于H，∴∠AE'D'＝∠ABC，∠AD'E'＝∠C，，∵BA＝BC＝10，∴∠C＝∠BAC，，∴∠BAC＝∠AD'E'，，Q在BH上，∴AE'＝D'E'，∵，∴，∵，∴，則，∴；綜上：或，故答案為：或．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝．20．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+2mx+m+1經(jīng)過點(diǎn)B（﹣1，0）．（1）求m的值以及拋物線的對稱軸；（2）將該拋物線向右平移n個單位后得到新拋物線，如果新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，求n的值．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+2mx+m+5經(jīng)過點(diǎn)B（﹣1，0），∴4﹣2m+m+1＝5，解得m＝2，∴拋物線解析式為：y＝x2+8x+3＝（x+2）2﹣1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2；（2）將拋物線y＝（x+5）2﹣1向右平移n個單位后得到新拋物線為y＝（x+6﹣n）2﹣1，∵新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，∴（8﹣n）2﹣1＝8，解得n＝3或1．21．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝10，sinB＝，點(diǎn)D、E在BC的延長線上，且AD＝AC．（1）求tan∠ADC的值；（2）如果∠E＝∠BAC，求DE的長．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，在Rt△ABM中，AB＝10＝，∴AM＝5，∴BM＝＝8，∵BC＝5，∴CM＝BM﹣BC＝3，∵AD＝AC，AM⊥CD，∴CM＝DM＝2，∴tan∠ADC＝＝＝4；（2）∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠CBA，∴△ABE∽△CBA，∴＝，∴＝，∴BE＝20，∴DE＝BE﹣BC﹣CM﹣DM＝20﹣5﹣8﹣3＝9．22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，過點(diǎn)D作DE垂直AC交AB于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)EC、BD交于點(diǎn)F．（1）求證：△ABD∽△ACE；（2）如果BC＝BE，求證：．【解答】證明：（1）∵∠ABC＝90°，DE⊥AC，∴∠ADE＝∠ABC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴△ADB∽△AEC．（2）∵△ADB∽△AEC，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BFC﹣∠ACE＝∠BFC﹣∠ABD，∴∠BDC＝∠BFC﹣∠ACE，∠BEC＝∠BFC﹣∠ABD，∴∠BDC＝∠BEC，∵BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠BCF＝∠BEC，CE2＝BC2+BE8＝2BC2，∴∠BCF＝∠BDC，BC6＝CE3，∵∠FBC＝∠CBD，∴△FBC∽△CBD，∴＝，∴BC2＝BF?BD，∴CE2＝BF?BD．23．（12分）根據(jù)以下素材，完成任務(wù)．探究淋浴噴頭的位置素材1圖1是一種淋浴噴頭，淋浴噴頭固定器裝在升降桿上的某處，手柄與固定器的連接處記為點(diǎn)A（點(diǎn)A與墻之間的距離忽略不計(jì)），線段AB為手柄，射線BC為水流，手柄AB與墻EH的夾角∠HAB為淋浴噴頭的“調(diào)整角”，記為α．已知AB長為20cm．素材2圖3中的矩形EFGH是淋浴房的截面圖，EF＝90cm，EH＝195cm．為了方便在淋浴房里淋浴，人一直站在D處，DE＝52cm．素材3我們把人豎直站立時，頭頂以下30cm處記為這個人的“舒適噴淋點(diǎn)”，即“舒適噴淋點(diǎn)”到地面的距離等于人的身高減30cm．已知小明的身高是130cm，他爸爸和媽媽的身高分別是176cm和160cm．某次爸爸洗澡時，將淋浴噴頭固定器調(diào)整至如圖3的點(diǎn)A處，此時水流正好噴在爸爸的“舒適噴淋點(diǎn)”C處（即CD＝爸爸身高﹣30）．素材4參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，問題解決任務(wù)一求圖3中，淋浴噴頭手柄與固定器的連接處點(diǎn)A到地面的距離AE．任務(wù)二爸爸洗完澡后，不改變固定器的位置（即AE不變），把淋浴噴頭的“調(diào)整角”α調(diào)整至60°①小明發(fā)現(xiàn)水流無法噴在他的“舒適噴淋點(diǎn)”處，請通過計(jì)算說明理由；②下降固定器（將固定器下降后的位置記為點(diǎn)A′）后，小明發(fā)現(xiàn)水流可以噴在他的“舒適噴淋點(diǎn)”處，求此時固定器下降的距離AA′（精確到1cm）．【解答】解：作BN⊥AH于點(diǎn)N，延長DC交BN于點(diǎn)M，∵爸爸身高是176cm，此時水流正好噴在爸爸的“舒適噴淋點(diǎn)”C處，∴CD＝176﹣30＝146（cm），∵AB＝20cm，α＝37°，∴BN＝20×sin37°≈20×0.60＝12（cm），AN＝AB×cos37°≈20×0.80＝16（cm），∵DE＝52cm，∠ABC＝90°，∴BM＝40（cm），∠CBM＝37°，∴CM＝40×tan37°≈40×6.75＝30（cm），∴DM＝146+30＝176（cm），∴EN＝176（cm），∴AE＝176﹣16＝160（cm）．答：點(diǎn)A到地面的距離AE約為160cm；（2）①當(dāng)α＝60°時，∠ABN＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBM＝60°，∵AB＝20cm，∴AN＝10（cm），BN＝10，∴BM＝（52﹣10）（cm），∴CM＝（52﹣10）×﹣30≈59.96（cm），∴CD＝AE+AN﹣CM＝160+10﹣59.96≈110.04（cm），∵小明的身高是130cm，∴小明的舒適距離CD＝130﹣30＝100（cm），∵110.04＞100，∴水流無法噴在小明的“舒適噴淋點(diǎn)”處；②設(shè)點(diǎn)A移動到了點(diǎn)A′，此時在小明的“舒適噴淋點(diǎn)”，∴C′D＝100cm，由題意得：C′M′＝CM≈59.96cm，A′N′＝AN＝10cm，∴A′E＝C′D+C′M′﹣A′N′＝100+59.96﹣10≈150（cm），∴AA′＝AE﹣A′E≈10（cm）．答：固定器下降的距離AA′約為10cm．24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求b的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)恰好在直線BC上．①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)且在對稱軸左側(cè)，聯(lián)結(jié)BM，如果∠MBP＝∠ABD【解答】解：（1）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C（0，則OC＝3，∵tan∠CAO＝7，則OA＝1，0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋